Progressões - WordPress.com

Progressões
1
Introdução
Ao lançarmos uma moeda, teremos dois resultados
possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos duas moedas
diferentes, passamos a ter quatro resultados
diferentes: (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara) e
(coroa, coroa). Se lançarmos três moedas, serão oito
os resultados possíveis, e assim por diante.
A relação entre o número de moedas e o número de
resultados é mostrada na tabela:
Número de moedas
1
2
3
4
5
...
Número de resultados
2
4
8
16
32
...
Em todas essas situações observamos uma certa
ordem nos elementos da sequência. Esses
elementos são também chamados termos da
sequência ou sucessão. Na sequência dos meses do
ano, temos:
1º termo: janeiro
2º termo: fevereiro
...
12º termo: dezembro
Se representarmos o 1º termo de a1 (lê-se a índice
1), o 2º termo por a2 , o 3º termo de a3 , e assim por
diante, até o enésimo termo ( an ), essa sequência
pode ser representada por:
( a1 , a2 , a3 , a4 , ..., an )
1
2
2
Vemos que 1  2 , 2  2 , 4  2 , 4  2 , 16  24 ,
0
32  25 e por aí vai.
Nesse exemplo, temos:
Então se n é o número de moedas, o número de
a1  janeiro
n
resultados é 2 . Nesse caso, temos uma sequência:
(2, 4, 8, 16, 32, ...).
a7  julho
a10  outubro
e assim para os outros meses.
DEFINIÇÃO
Qual o total de resultados se lançarmos 8 moedas?
Uma sequência finita de n termos é uma função
Neste capítulo aprofundaremos o estudo das
sequências e das progressões, notadamente as
progressões aritmética e geométrica.
Os números do contradomínio são indicados por a1
2
sequências
Em muitas situações em nosso cotidiano aparece a
ideia de sequência ou sucessão. Por exemplo:



A sequência dos dias da semana.
(domingo, segunda, ..., sábado)
A sequência dos números naturais.
(0, 1, 2, 3, 4, ...)
A sequência dos anos em que ocorrem as
Olimpíadas, desde 1988.
(1988, 1992, 1996, ..., 2012, ...)
cujo domínio é o conjunto numérico 1, 2,3, 4,.., n .
, a2 , a3 , a4 , ..., an .
Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio

é
 1, 2,3, 4,.., n,... , e o contradomínio é
indicado por a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,... . Assim, temos:
f (1)  a1 , f (2)  a2 , f (n)  an .
Exemplos:

Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
A sequência dos números ímpares positivos
é infinita: (1, 3, 5, 7, 9, ..., n, ...) onde a1  1 ,
a2  3 , a3  5 , a4  7 , etc.
15
Capítulo 3 – Progressões


Álgebra II
A sequência dos quatro primeiros múltiplos
de 5 é finita: (0, 5, 10, 15). Nesse caso,
a1  0 , a2  5 , a3  10 e a4  15 .
c) (3, 6, 9, 12, 15, ...)
17, 12, 7, 2,  3,  8 é uma sequência finita
de 6 termos.
e) Dada uma sequência em que
As sequências podem ser aleatórias ou regradas, ou
seja, possuem um padrão de construção. Esses
padrões, regras ou leis matemáticas que as regem
são chamados de leis de formação, que permitem
que explicitemos todos os termos da sequência.
Vamos a um exemplo:
Construa a sequência a partir de sua lei de formação
an  2n  1 , para n 
Para n = 1  a1  2 1  1  1

Para n = 2  a2  2  2  1  3

Para n = 3  a3  2  3  1  5

Para n = 4  a4  2  4  1  7
3
progressão aritmética (PA)
Progressão aritmética (PA) é toda sequência de
números na qual a diferença entre cada termo (a
partir do segundo) e o termo anterior é constante.
Essa diferença constante é chamada razão da
progressão, e é representado pela letra r.
Exemplos:


Então temos a sequência (1, 3, 5, 7, ...)

Vejamos outro exemplo:
Vamos escrever a sequência definida por
a1  3

an  an 1  2, n 

Para n = 1  a1  3

Para n = 2  a2  a1  2  3  2  5

Para n = 3  a3  a2  2  5  2  7

Para n = 4  a4  a3  2  7  2  9
e
an  an1  5 , quantos dos dez primeiros números
.

a1  2
são primos?
DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA
*
d) (2, 5, 8, 11, 14, 17, ...)
A sequência (2, 7, 12, 17, ...) é uma
progressão aritmética infinita de razão 5,
em que a1  2 e r = 5. Essa é uma PA
crescente, pois r > 0.
A sequência (20, 10, 0,  10,  20) é uma PA
de cinco termos em que o 1º termo é
a1  20 e a razão é r =  10. Essa é uma PA
decrescente, pois r < 0.
A sequência (4, 4, 4) é uma PA de 3 termos
onde o 1º termo é a1  4 e a razão é r = 0.
Quando r = 0, a PA é chamada de constante
ou estacionária.
Como a razão se mantém constante, dados três
termos consecutivos de uma PA, por exemplo, a1 ,
a2 e a3 , temos que: a2 
a1  a3
, ou seja, quando
2
temos três termos consecutivos em uma PA, o
termo do meio é a média aritmética dos outros dois.
Então temos a sequência (3, 5, 7, 9, ...)
4
fórmula do termo geral de uma pa
EXERCÍCIOS DE TREINO
Em uma progressão aritmética ( a1 , a2 , a3 , ..., an )
de razão r temos o seguinte:
1. Escreva o termo geral das sequências:
a) (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
b) (2, 3, 4, 5, 6, ...)
16
Temos o termo a1 começando a sequência. O termo
a2 nada mais é do que a1 somado à razão, ou seja,
a1  r . O termo a3 é a2  r , mas como já vimos, a2
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões
é a1  r , então podemos reescrever a3 como
a1  2r . Esquematizando, temos:
a1
a2  a1  r
Álgebra II
a12  a10  2r  11  3  2r  r  7
Sabemos também que se ao avançar nos termos nós
somamos razões, ao retroceder termos nós
subtraímos razões. Então:
a3  a2  r  a1  r  r  a1  2r
a7  a10  3r  a7  3  3  7
a4  a3  r  a1  2r  r  a1  3r
a7  24
a5  a4  r  a1  3r  r  a1  4r
Numa PA crescente, sabemos que
Se generalizarmos para n termos, temos que o
termo geral de uma PA é:
an  a1  (n  1)r
Onde an é o enésimo termo, n é o termo de ordem e
r a razão da PA.
Vamos a alguns exemplos:
Encontre o termo geral da PA (5,9,...) .
Temos a1  5 e r  9  5  4 .
Colocando na expressão do termo geral:
a4  a9  35 . Determine o termo geral desta PA
Para resolver esse exercício, vamos colocar os termos
da sequência em relação a a1 e r .
a2  a6  20
a4  a9  35
 a2  a1  r

a6  a1  5r
a1  r  a1  5r  20
a4  a1  3r

 a9  a1  8r
a1  3r  a1  8r  35
2a1  6r  20
2a1  11r  35
Temos então duas equações com duas incógnitas.
Podemos resolver num sistema de equações:
an  a1  (n  1)r
 2a1  6r  20

2a1  11r  35
an  5  ( n  1)4
an  5  4n  4
an  4n  1
E obtemos como resposta a1  1 e r  3 . Para
descobrir o termo geral da PA, utilizamos a fórmula:
Esta é a expressão do termo geral
an  a1  (n  1)r
Determine o décimo termo da PA (2,8,14,...) .
an  1  (n  1)3
a1  2; r  6; n  10
a10  a1  9r
an  1  3n  3
an  3n  2
a10  2  9  6
EXERCÍCIOS DE TREINO
a10  56
2. Escreva a PA de:
Em uma progressão aritmética, o décimo termo é
3 e o décimo segundo é 11. Quanto vale o sétimo
termo dessa sequência?
Sabemos que a12  a10  2r , temos que:
a2  a6  20 e
a) cinco termos, em que o primeiro termo é 7 e a
razão é 4.
b) quatro termos, em que o primeiro termo é  6 e
a razão é 8.
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
17
Capítulo 3 – Progressões
3. Determine o sétimo termo de uma PA na qual o
quarto termo é 25 e a razão é  5.
Álgebra II
4. Qual é a fórmula do termo geral da sequência dos
números pares positivos?
a2  fevereiro  18000  12000  30000
a  março  30000  12000  42000
 3

a4  abril  42000  12000  54000
a5  maio  54000  12000  66000
5. Numa PA em que o 20º termo é 157 e o 1º termo
é 5, calcule a razão.
Quantos são os múltiplos de 5 compreendidos entre
101 e 999?
6. Numa PA, o 8º termo é 52 e o 10º termo é 66.
Calcule o 9º termo e a razão dessa PA.
5
interpolação aritmética
A interpolação aritmética consiste em inserir
termos, chamados de meios aritméticos dentro de
uma progressão. Para explicar melhor, vamos aos
exemplos:
No primeiro semestre de um dado ano, a produção
mensal de uma montadora está em PA crescente.
Em janeiro, a produção foi de 18000 carros e, em
junho, foi de 78000 carros. Qual foi a produção
dessa montadora nos demais meses do período
janeiro-junho?
Nessas condições, o problema consiste em formar
uma PA na qual:
a1  105 , r  5 e an  995 .
Para calcular o número de termos interpolados,
temos:
an  a1  (n  1)r
995  105  ( n  1)5
995  105  5n  5
995  100  5n
5n  895
n  179
a1  janeiro  18000
a  junho  78000 
 n
`


(18000,
___,
___,
___,
___,
78000)

n  6
São 179 os múltiplos de 5 dentro do intervalo dado.
6
Para interpolar quatro meios aritméticos ( a2 , a3 , a4 e
a5 ), devemos inicialmente calcular o valor da razão
r:
an  a1  (n  1)r
78000  18000  (6  1) r
Soma dos termos de uma pa
Karl Friedrich Gauss foi um matemático que viveu
de 1777 a 1855. Corre a história que quando ele
tinha 7 ou 8 anos, seu professor, visando que a sala
permanecesse em silêncio, ordenou aos alunos que
fizessem a soma de todos os números de 1 até 100.
Para a surpresa do professor, após poucos minutos,
Gauss deu a resposta: 5050. Veja seu raciocínio:
1  2  3  ...  98  99  100
78000  18000  5r
5r  60000
3  98  101
r  12000
2  99  101
Descoberta a razão, basta partir do 1º termo ir
somando as razões membro a membro:
18
Podemos facilmente verificar que o primeiro múltiplo
de 5 maior que 101 é 105, e que o último múltiplo de
5 menor que 999 é 995. Logo, os múltiplos de 5 entre
101 e 999 seguem a PA (105, 110, 115, ..., 995). O
exercício requer que nós saibamos quantos meios
estão interpolados na sequência da PA. Então, temos:
1  100  101
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões
Se reunirmos 100 termos, dois a dois, então temos
50 parcelas cuja soma resulta 101. Assim,
50 101  5050 . O raciocínio de Gauss também
serve para qualquer progressão aritmética de razão
r. Se reunirmos n termos, dois a dois, então temos
n
termos cuja soma resulta em a1  an :
2
a1  a2  a3  ...  an2  an 1  an
a1  an
a1  an
a1  an
(a  an )n
Logo, a soma de n termos é: S n  1
.
2
Onde a1 é o primeiro termo, an o enésimo termo,
S n a soma de n termos e n é o número de termos.
Vamos aos exemplos:
Álgebra II
A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1º
termo dessa PA é 2, qual a razão r da PA?
Nessa PA sabemos que S10  200 , a1  2 e n  10 .
Devemos calcular a10 utilizando a fórmula da soma:
(a1  an )n
2
(2  a10 )10
200 
2
400  20  10a10
Sn 
10a10  380
a10  38
Podemos então calcular r:
a10  a1  9r
38  2  9r
9r  36
r4
A razão procurada é 4.
Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA
infinita (2, 6, ...)
Nessa PA infinita, os 50 primeiros termos formam
uma PA finita, onde a1  2 , r  4 e n  50 .
EXERCÍCIOS DE TREINO
7. Quantos múltiplos de 11 existem entre 100 e
1000?
Devemos então calcular an , ou no caso, a50 :
8. Quantos números inteiros existem de 100 a 500
que não são divisíveis por 7?
an  a1  (n  1)r
9. Insira sete meios aritméticos entre 20 e 68.
a50  2  (50  1)4
10. Calcule a soma:
a50  2  49  4
a50  2  196
a) dos 30 primeiros termos da PA (4, 10, ...);
a50  198
b) dos 20 primeiros termos da uma PA em que o 1º
termo é 17 e a razão é 4;
(a1  an )n
2
(2  198)50
Agora aplicamos a fórmula: S n 
2
S n  200  25
Sn 
S n  5000
c) dos 200 primeiros números pares positivos;
d) dos 50 primeiros múltiplos de 5;
e) de todos os múltiplos de 5 que tenham 3
algarismos;
f) dos n primeiros números pares.
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
19
Capítulo 3 – Progressões
11. Numa PA, a soma dos seis primeiros termos é
12. Sabendo que o último termo dessa PA é 7,
calcule o 1º termo.
12. A soma dos 20 primeiros termos de uma PA
finita é igual a 710. Se o 1º termo dessa PA é 7,
calcule seu 10º termo.
13. Numa PA, a3  a6  34 e a4  a9  50 . Calcule a
soma dos 20 primeiros termos.
grandezas a e b quaisquer, a taxa de crescimento
relativo i é dada por:
i
ba
ba
100 .
, ou em porcentagem: i 
a
a
A relação entre a taxa de crescimento relativo e a
razão é dada por q  1  i .
Vamos usar os mesmos exercícios anteriores:
14. Sabe-se que numa soma a1  an  n . Calcule a
soma dos n termos dessa PA.

Para a sequência (2, 10, 50, 250), temos:
i
15. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17
km na segunda hora, e assim por diante, em
progressão aritmética. Quantos quilômetros o
ciclista percorrerá em 5 horas?
7
Álgebra II

Para a sequência (6,  12, 24,  48, 96),
temos:
i
progressão geométrica (PG)
b  a 10  2 8

  4 ou 400%
a
2
2
b  a 12  6
18

   3 ou  300%
a
6
6
Progressão geométrica (PG) é toda sequência de
números não nulos na qual é constante o quociente
da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo
termo anterior. Esse quociente constante é
chamado razão (q) da progressão. Ou seja, uma
progressão geométrica é uma sequência na qual a
taxa de crescimento relativo de cada termo para o
termo seguinte é constante.
Como a razão se mantém constante, dados três
termos consecutivos de uma PG, por exemplo, a1 ,
Vamos a alguns exemplos:
Dependendo da razão q, uma PG pode ser:

A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de
quatro termos, em que a1  2 e a razão é
a2 e a3 , temos que: a22  a1  a3 , ou seja, quando
temos três termos consecutivos em uma PG, o
termo do meio é a média geométrica dos outros
dois.
CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

os termos são positivos ou quando 0  q  1
q 5:
5
5
e os termos são negativos. Por exemplo:
(2, 6, 18, 54, ...), com q = 3.
5
2 10  50  250

A sequência (6,  12, 24,  48, 96) é uma PG
de cinco termos, em que a1  6 e a razão é
q  2 :
(  40,  20,  10, ...) com q =

1
.
2
Decrescente: A PG é decrescente quando
0  q  1 e os termos são positivos ou
quando q  1 e os termos são negativos. Por
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
6 
12 
 24 
48 
 96
exemplos:
(  4,  12,  36,  108, ...), em que q = 3.
TAXA DE CRESCIMENTO RELATIVO
As taxas de crescimento relativo são muito
utilizadas em análises quantitativas em diversas
áreas da ciência, e muito aplicada em Matemática
Financeira, que veremos no Capítulo 6. Dadas duas
20
Crescente: A PG é crescente quando q  1 e
(200, 100, 50, 25,...), em que q =

1
.
2
Constante: A PG é constante quando q = 1.
(5, 5, 5, ...) é uma PG de razão 1
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões

Alternante: A PG é alternante quando
q  0 . Por exemplo:
(4,  8, 16,  32, ...), em que q  2 .
1
(  81, 27,  9, 3,...), na qual q   .
3
8 fórmula do termo geral de uma pg
Em uma progressão geométrica ( a1 , a2 , a3 , ..., an )
de razão q temos o seguinte:
Temos o termo a1 começando a sequência. O termo
an  a1q n 1
an  5  5n 1
an  51 n 1
1
2


Determine o décimo termo da PG  ,1, 2, 4,...  .
1
a1  ; q  2; n  10
2
an  a1q n 1
a10  a1q 9
ou seja, a1q . O termo a3 é a2 q , mas como já vimos,
a10 
Esquematizando, temos:
Esta é a expressão do termo geral.
an  5 n
a2 nada mais é do que a1 multiplicado pela razão,
a2 é a1q , então podemos reescrever a3 como a1q ² .
Álgebra II
1 9
2
2
a10  28
a10  256
a1
a2  a1q
a3  a2 q  a1qq  a1q 2
a4  a3 q  a1q 2 q  a1q 3
Em uma progressão geométrica crescente, o quarto
termo é 2 e o nono é 64. Quanto vale o sétimo termo
dessa sequência?
a5  a4 q  a1q 3q  a1q 4
Sabemos que a9  a4 q5 (ao passar do 4º para o 9º,
Se generalizarmos para n termos, temos que o
termo geral de uma PG é:
a9  a4 q5  64  2q5  q5  32  q  2
an  a1q n1
Onde an é o enésimo termo, n é o termo de ordem e
avançamos 5 termos), temos que:
a7  a4 q 3  a7  2  23
a7  16
q a razão da PG.
Numa
Vamos ver alguns exemplos:
Determine o termo geral desta PG
Encontre o termo geral da PG (5, 25,...) .
Para resolver esse exercício, vamos colocar os termos
da sequência em relação a a1 e q .
Temos a1  5 e q 
25
 5.
5
Colocando na expressão do termo geral:
PG,
a3  a5  360
e
a4  a6  1080 .
a3  a1q 2 
 a3  a5  a1q 2  a1q 4
4
a5  a1q 
 a1 (q 2  q 4 )  360
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
1
21
Capítulo 3 – Progressões
Álgebra II
a4  a1q 3 
 a4  a6  a1q 3  a1q 5
5
a6  a1q 
 a1 (q 3  q 5 )  1080
20. Determine x para que as seguintes sequências
sejam PG:
 a1q (q 2  q 4 )  1080
b) (a, x, ab²)
a) (4, x, 9)
2
c) (x  3, x, x + 6 )
Dividindo 1 por 2 , temos:
a1 (q  q )
2
a1 q (q 2  q 4 )
d) (2x + 1, 3x  6, 4x  8)
1
4

360
1 1
  q3
q 3
1080
9
3
Podemos então descobrir a1 para descobrir o termo
geral:
a1 (32  34 )  360
a1 (9  81)  360
interpolação geométrica
A interpolação geométrica consiste em inserir
termos, chamados de meios geométricos dentro de
uma progressão. O processo é muito semelhante à
interpolação aritmética. Para explicar melhor,
vamos a um exemplo:
No primeiro semestre de 2013, a produção mensal
de uma indústria cresceu em PG. Em janeiro, a
produção foi de 1500 unidades e, em junho, foi de
48000 unidades. Qual foi a produção dessa
indústria nos demais meses do período janeirojunho?
360
90
a1  4
a1 
an  a1q n 1
Nessas condições, o problema consiste em formar
uma PG na qual:
an  4  3n 1
EXERCÍCIOS DE TREINO
16. Determine a fórmula do termo geral de cada PG:
a) (2, 8, ...)
b) (3, 9, ...)
a1  janeiro  1500
a  junho  48000 
 n
`

 (1500, ___, ___, ___, ___, 48000)
n  6
c) (2, 1, ...)
Para interpolar quatro meios geométricos
( a2 , a3 , a4 e a5 ), devemos inicialmente calcular o
17. Calcule:
valor da razão r:
a) o 5º termo da PG (1, 5, ...)
an  a1q n 1
b) o 10º termo da PG (9, 27, ...)
48000  1500  q 61
18. Numa PG infinita, temos a1  512 e q 
1
. Qual
2
é o 6º termo dessa PG?
19. As raízes da equação do 2º grau x²  5x +4 = 0
são o 1º e o 2º termo de uma PG crescente.
Determine o 6º termo dessa PG.
22
48000  1500q 5
q 5  32
q2
Descoberta a razão, basta partir do 1º termo ir
somando as razões membro a membro:
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões
 a2
a
 3

 a4
 a5
 fevereiro  1500  2  3000
primeiro termo é
 março  3000  2  6000
 abril  6000  2  12000
a1 
1
2
e
q
1
. Observe:
2
1
 0,5
2
1 1 3
S 2     0, 75
2 4 4
1 1 1 7
S3      0,875
2 4 8 8
1 1 1 1 15
S 4       0,9375
2 4 8 16 16
S1 
 maio  12000  2  24000
EXERCÍCIOS DE TREINO
21. Insira quatro meios geométricos entre 6 e 192
22. Entre os números 18 e x foram inseridos dois
meios geométricos, gerando uma PG de razão 3.
Qual é o valor de x?
23. A produção de uma empresa nos meses de
janeiro, fevereiro e março, respectivamente, forma
uma PG. Se a produção em janeiro foi de 3000
unidades e em março foi de 27000 unidades,
quantas unidades foram produzidas em fevereiro?
Você deve ter notado que cada vez mais a soma fica
próxima de 1, mas nunca chegará a 1. Dizemos que,
para esta soma, 1 é a situação-limite, ou
simplesmente limite da soma. Isto acontece quando
o valor absoluto, ou módulo da razão fica entre 0 e
1, ou seja, 0 < |q| <1. Para estes casos, a fórmula da
soma será igual a:
10 Soma dos termos de uma PG
A soma dos n termos de uma progressão
geométrica finita de razão q  1 é:
S n  a1 
Álgebra II
qn 1
q 1
Sn 
a1
1 q
Vejamos dois exemplos:
Determine a matriz geratriz:
a) da dízima periódica simples 0,333...
Vamos ver um exemplo:
b) da dízima periódica composta 0,52121...
Determine a soma dos dez primeiros termos da PG
(3, 6, 12, ...)
a) A dízima periódica pode ser escrita como uma
soma de frações:
Conhecemos a1  3 , q  2 e n  10 .
qn 1
210  1
S n  a1 
 3
 3  (1024  1)  3069
q 1
2 1
Mas e se q = 1? Se q = 1, a PG será constante, e para
saber a soma de seus termos basta multiplicar
qualquer um dos termos pelo número de termos da
PG, ou seja, Sn  a1  n .
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA
1 1 1 1

,...  .
 2 4 8 16 
Vamos considerar a seguinte PG:  , , ,
Podemos facilmente ver que é uma PG cujo
0,333...  0,3  0, 03  0, 003  ... 

3
3
3


 ...
10 100 1000
Essas frações formam uma PG, com a1 
q
3
e
10
1
. O número 0,333... é o limite máximo da soma
10
dessas frações. Então temos:
3
3
a1
9 1
Sn 
 10  10  
9 3 3
1 q 1 1
10 10
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
23
Capítulo 3 – Progressões
Logo, a fração geratriz é
1
.
3
b) 2 
b) Fazemos o mesmo procedimento:
1 1
  ...
2 8
27. Calcule a fração geratriz das seguintes dízimas
periódicas:
0,5212121...  0,5  0, 021  0, 00021  ... 

Álgebra II
a) 0,5151...
5
21
21


 ...
10 1000 100000
b) 0,4333...
Note que nesse caso, a PG começa a partir da
segunda fração.
c) 0,23131...
c) 2,666...
21
1
É uma PG em que a1  3 e q  2 , então:
10
10
21
21
a1
Sn 
 1000  1000 
99
1 q 1 1
100 100
7
Para descobrir a geratriz, somamos essa matriz que
descobrimos com a primeira fração que foi ignorada
no cálculo da geratriz:
5
7
86


10 330 165
Logo, a fração geratriz é
LISTA DE EXERCÍCIOS
1
21
100
7


330
10 1000
33 99
1. (Cefet-MG) A sequência (m, 1, n) é uma
progressão aritmética e a sequência (m, n, –8) é
uma progressão geométrica. O valor de n é:
a) –2
b) –1
c) 3
d) 4
e) 8
2. (Cefet-MG) Somando-se um mesmo número a
cada elemento da sequência (1, –2, 3), obtém-se
uma progressão geométrica. A razão dessa
progressão encontrada é igual a:
86
.
165
EXERCÍCIOS DE TREINO
24. Calcule a soma:
b)
a) dos seis primeiros termos da PG (2, 8, ...)
c)
b) dos seis primeiros termos da PG (7, 14, ...)
c) (5, 20, ..., 1280)
d)
25. Os termos do 1º membro da equação
3  6  ...  x  381 formam uma PG. Calcule o
conjunto solução dessa PG
26. Calcule o valor limite das seguintes somas:
a) 1 
24
1 1 1
   ...
2 4 8
5
3
3

5
1
8
3
5
5
3
a) 
e)
3. (PUC-MG) Os números inteiros não nulos a, b e c
formam, nessa ordem, uma progressão
geométrica de razão cinco. Os números a, bx e c,
nessa ordem, formam uma progressão
aritmética. O valor de x é:
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões
13
5
17
b)
5
a)
c) 15
d) 25
e)
Álgebra II
8
3
7. (Fuvest-SP) Os números a1 , a2 , a3 formam
uma progressão aritmética de razão r, de tal
modo que a1  3 , a2  3 , a3  3 estejam em
4. (PUC-MG) De segunda a sexta-feira, uma pessoa
caminha na pista de 670 metros que contorna
certa praça. A cada dia, ela percorre sempre
uma volta a mais do que no dia anterior. Se,
após andar cinco dias, ela tiver percorrido um
total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no
terceiro dia, essa pessoa deu x voltas em torno
da praça. O valor de x é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e
5. (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma
é 30, estão em progressão aritmética. Somandose, respectivamente, 4, – 4, e – 9 aos primeiro,
segundo e terceiro termos dessa progressão
aritmética, obtemos três números em
progressão geométrica. Então, um dos termos
da progressão aritmética é:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 13
e) 15
8. Quantos termos consideramos na PG (3, 6, ...)
para obter uma soma que seja igual a 765?
6. (Fuvest-SP) Sejam a e b números reais tais que:
I) a,b e a+b formam, nessa ordem, uma PA;
II-) 2 a , 16 e 2 b formam, nessa ordem, uma PG.
Então o valor de a é:
2
3
4
b)
3
5
c)
3
5
d)
3
a)
a2 = 2, conclui-se que r é igual a:
a) 3  3
b) 3 
3
2
c) 3 
3
4
d) 3 
3
2
e) 3  3
9. A sequência  a1 , a2 , a3 , a4  é uma PA de razão 4
e a sequência  b1 , b2 , b3 , b4  é uma PG de razão
4. Sabendo que a4  b3 e a1  b2 , escreva a PA e
a PG.
10. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa
ordem, estão simultaneamente em PA e PG,
calcule x e y.
11. A espessura de uma folha de papel é 0,05 mm.
Forma-se uma pilha de folhas de papel
colocando-se na 1ª vez uma folha, e em cada
uma das seguintes, tantas folhas quanto já havia
na pilha. Após 11 operações iguais a essa, qual a
altura da pilha de papel em centímetros?
12. Um sitiante estava perdendo sua plantação de
algodão em decorrência da ação de uma praga.
Ao consultar um agrônomo da Casa da Lavoura,
foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao
dia, um determinado agrotóxico da seguinte
maneira: 2 litros no 1º dia, 4 litros no 2º dia, 8
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
25
Capítulo 3 – Progressões
Álgebra II
litros no 3º dia, e assim por diante. Sabendo que
a quantidade de agrotóxico pulverizado foi de
126 litros, quantos dias esse tratamento durou?
13. Calcule x e y sabendo que a sequência (x, y, 9) é
uma PA, e a sequência (x, y, 12) é uma PG
crescente.
14. Uma bola de borracha cai de uma altura a. Após
chocar-se com o solo, a bola atinge apenas
2
de
3
altura inicial. Quanto a bola percorrerá até que
pare?
26
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC