Raciocínio Lógico

A1-AT555
15/4/2013
Raciocínio Lógico
© 2013 Vestcon Editora Ltda.
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19/2/1998. Proibida a reprodução de qualquer parte deste material, sem autorização
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bem como às suas caracterís cas gráficas.
Título da obra: TJ-AM – Tribunal de Jus ça do Estado do Amazonas
Cargo: Analista Judiciário I – Nível Superior
Adendo: Raciocínio Lógico
(Conforme Edital nº 002/2013 – TJ/AM, de 11 de Março de 2013 [re ficado em 19 de
Março de 2013] – FGV)
Autor:
Júlio Lociks
DIRETORIA EXECUTIVA
Norma Suely A. P. Pimentel
ASSISTENTE EDITORIAL
Gabriela Tayná Moura de Abreu
PRODUÇÃO EDITORIAL
Rosângela Sandy Tiago
ASSISTENTE DE PRODUÇÃO
Laiany Calixto
EDIÇÃO DE TEXTO
Cláudia Freires
Paulo Henrique Ferreira
EDITORAÇÃO ELETRÔNICA
Adenilton da Silva Cabral
Carlos Alessandro de Oliveira Faria
Diogo Alves
Marcos Aurélio Pereira
CAPA
Ralfe Braga
ILUSTRAÇÃO
Fabrício Matos
Micah Abe
PROJETO GRÁFICO
Ralfe Braga
REVISÃO
Ana Paula Oliveira Pagy
Dinalva Fernandes
Érida Cassiano
Giselle Bertho
Micheline Cardoso Ferreira
Raysten Balbino Noleto
SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP 70750-502 Brasília/DF
SAC: 0800 600 4399 Tel.: (61) 3034 9576 Fax: (61) 3347 4399
www.vestcon.com.br
Publicado em abril/2013
(A1-AT555)
TJ-AM
SUMÁRIO
Raciocínio Lógico-Quan ta vo
Entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos
ou eventos fic cios. Dedução de novas relações fornecidas e avaliação das condições
usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Compreensão e análise da
lógica de uma situação. Raciocínio verbal, raciocínio matemá co, raciocínio sequencial.
Orientação espacial e temporal. Formação de conceitos e discriminação de elementos ............ 5
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
Júlio Lociks
NOÇÕES DE LÓGICA
O Que é uma Proposição?
Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que
exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de
dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.
Somente às sentenças declaraƟvas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso,
o que ocorre quando a sentença é, respec vamente, confirmada ou negada. De fato,
não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou de falso às demais formas de sentenças
como as interroga vas, as exclama vas e outras, embora elas também expressem juízos.
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declara vas:
O número 6 é par.
O número 15 não é primo.
Todos os homens são mortais.
Nenhum porco espinho sabe ler.
Alguns canários não sabem cantar.
Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.
Eu falo inglês e espanhol.
Míriam quer um sapaƟnho novo ou uma boneca.
Não são proposições:
Qual é o seu nome?
Preste atenção ao sinal.
Caramba!
Proposição Simples
Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não
contém qualquer outra proposição como sua componente.
Isto significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição simples
alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores
tais que alguma delas seja uma nova proposição.
Exemplo:
A sentença “Cínthia é irmã de Maurício” é uma proposição simples, pois não é
possível iden ficar como parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos
separá-la em duas ou mais partes menores nenhuma delas será uma proposição nova.
5
Proposição Composta
Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita
proposição composta ou proposição molecular. Isto quer dizer que uma proposição é
composta quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição.
Exemplo: A sentença “Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio” é uma proposição
composta, pois é possível re rar-se dela duas outras proposições: “Cínthia é irmã de
Maurício” e “Cínthia é irmã de Júlio”.
Conec vos Lógicos (ou Estruturas Lógicas)
Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nas
proposições compostas tais como “não”, “e”, “ou”, “se ... então” e “se e somente se”
aos quais denominamos conecƟvos lógicos ou estruturas lógicas.
Exemplo: A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor
que y” é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conec vos lógicos
(“não” , “se ... então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições simples “x é maior
que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”.
Os conec vos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de tal modo
que o valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente:
– do valor lógico de cada uma de suas proposição componentes;
– e da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos conec vos
lógicos u lizados.
Exemplo: Compare as seguintes proposições e seus respec vos valores lógicos:
Proposições
Valores Lógicos
O número 10 é inteiro.
V
O número 10 ímpar.
F
O número 10 é inteiro e é ímpar.
F
O número 10 é inteiro ou é ímpar.
V
V = verdadeiro ; F = falso
Algumas proposições compostas recebem denominações especiais de acordo com
a estrutura usada para ligar as proposições componentes.
O reconhecimento de tais estruturas é muito importante para a análise e a resolução dos problemas de raciocínio lógico que estudaremos mais adiante.
A tabela seguinte mostra as seis principais estruturas lógicas e suas denominações.
A par r deste ponto, passaremos a nos referir a estas estruturas como estruturas
fundamentais:
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Estruturas fundamentais
Não-A
A ou B
Ou A ou B
AeB
Se A, então B
A se e somente se B
Denominações
Negação
Disjunção
Disjunção Exclusiva
Conjunção
Condicional
Bicondicional
Negação: Não-A
Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A a proposição
composta que se obtém a par r da proposição A acrescida do conec vo lógico “não”
ou de outro equivalente.
A negação “não-A” pode ser representada simbolicamente como:
~A
ou
A
ou ainda
A
Podem-se empregar também, como equivalentes de “não-A”, as seguintes expressões:
Não é verdade que A;
É falso que A.
Uma proposição A e sua negação “não-A” terão sempre valores lógicos opostos.
Tabela-Verdade da Negação (~A)
Na tabela apresentada a seguir, denominada tabela-verdade, podemos observar
os resultados possíveis da negação “~A” para cada um dos valores lógicos que A pode
assumir.
A
V
F
Não-A
F
V
Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.
Conjunção: A e B
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Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições
quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “e”.
A conjunção “A e B” pode ser representada simbolicamente como:
AB
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: Elisabeth é mãe de Cínthia.
B: Elisabeth é mãe de Maurício.
A conjunção A e B pode ser escrita como:
A  B: Elisabeth é mãe de Cínthia e de Maurício.
Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem
forem verdadeiras. Ou seja, a conjunção “A  B” é verdadeira somente quando A é
verdadeira e B é verdadeira também.
Tabela-Verdade da Conjunção (A  B)
Na tabela apresentada a seguir (tabela-verdade) podemos observar todos os
resultados possíveis da conjunção “A e B” para cada um dos valores lógicos que A e
B podem assumir.
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
V
F
F
F
Disjunção: A ou B
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições
quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “ou”.
A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como:
AB
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: Alberto fala espanhol.
B: Alberto é universitário.
A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:
A  B: Alberto fala espanhol ou é universitário.
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Para que a disjunção “A ou B” seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas
proposições componentes seja verdadeira.
Em outras palavras, se A for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas,
A e B, forem verdadeiras, então a disjunção “A ou B” será verdadeira.
Ou seja, a disjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também.
Tabela-Verdade da Disjunção (A  B)
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da
disjunção “A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
V
V
V
F
Disjunção Exclusiva: ou A ou B
Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas
proposições quaisquer onde cada uma delas esteja precedida pelo conec vo “ou”.
A disjunção exclusiva ou A ou B pode ser representada simbolicamente como:
AB
(observe o sublinhado no símbolo )
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: O número 19 é par.
B: O número 19 é ímpar.
A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como:
A  B: Ou o número 19 é par ou o número 19 é ímpar.
Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando uma e apenas uma das
proposições que a compõem for verdadeira.
Ou seja, a disjunção exclusiva “ou A ou B” é verdadeira somente quando A e B
têm valores lógicos contrários (A é verdadeira e B é falsa ou vice-versa).
Se A e B verem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas) então
a disjunção exclusiva será falsa.
Tabela-Verdade da Disjunção Exclusiva (A  B)
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da
disjunção exclusiva “ou A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
9
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
F
V
V
F
Condicional: Se A então B
Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições
quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “Se ... então” ou por uma de suas formas
equivalentes.
A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada simbolicamente
como:
AB
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: José é alagoano.
B: José é brasileiro.
A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:
A  B: Se José é alagoano, então José é brasileiro.
Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelo
uso da conjunção “se”, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição
B, apontada pelo advérbio “então” é denominada conclusão ou consequente.
As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A,
então B”:
Se A, B;
B, se A;
Todo A é B;
A implica B;
A somente se B;
A é suficiente para B;
B é necessário para A.
Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando sua condição (A) é
verdadeira e sua conclusão (B) é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos.
Isto significa que numa proposição condicional, a única situação inaceitável é
termos uma condição verdadeira e uma conclusão falsa.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional “Se A então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
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A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
V
F
V
V
Alguns dos resultados da tabela acima podem parecer absurdos à primeira vista.
A fim de esclarecer o significado de cada um dos resultados possíveis numa sentença condicional, considere a seguinte situação: numa tarde de domingo um casal
está sentado no sofá da sala de seu apartamento assisƟndo a um filme quando a
campainha toca. A mulher, que se diz sensiƟva, diz: “Se for uma mulher, então ela
estará trazendo um pacote nas mãos”. O marido, que não costuma dar muita importância às previsões da mulher, resmunga “Vamos ver se você está mesmo certa!” e
vai abrir a porta.
Em que conjunto de situações poderemos dizer que a previsão da mulher estava
errada?
Há quatro situações a serem analisadas:
1a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher que estava mesmo
trazendo um pacote nas mãos. Neste caso teremos que reconhecer que a previsão da
mulher era correta (este caso corresponde ao que está descrito na primeira linha da
tabela-verdade apresentada para a condicional).
2a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher, mas ela não estava
trazendo um pacote nas mãos. Neste caso podemos dizer que a previsão da mulher
mostrou-se errada (este caso corresponde ao que está descrito na segunda linha da
tabela-verdade apresentada para a condicional).
3a – Quem tocou a campainha não era uma mulher embora es vesse mesmo trazendo um pacote nas mãos. Neste caso não podemos dizer que a previsão da mulher
estava errada, pois ela não disse que somente uma mulher poderia estar trazendo
um pacote nas mãos. Acontece que toda proposição deve ser ou verdadeira ou falsa
e esta não é falsa. Então é verdadeira! (Este caso corresponde ao que está descrito na
terceira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional)
4a – Quem tocou a campainha não era uma mulher e nem mesmo estava trazendo
um pacote nas mãos. Neste caso também não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada, pois a previsão de que a pessoa traria um pacote nas mãos estava
condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. Não sendo uma mulher, não
teria necessariamente que trazer um pacote nas mãos. Novamente, a proposição não
é falsa. Logo, é verdadeira (este caso corresponde ao que está descrito na quarta linha
da tabela-verdade apresentada para a condicional).
Cuidado: Usualmente, quando empregarmos uma sentença do po “se A então B”
esperamos que exista alguma forma de relacionamento entre A e B ou que guardem
entre si alguma relação de causa e efeito.
Neste sen do, aceitaríamos com facilidade, por exemplo, a proposição “Se um
número inteiro termina com o algarismo 8 então este número é par”.
No mesmo sen do, tenderíamos a recusar proposições como:
“se um triângulo tem três lados então o número sete é primo”
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Ou, ainda:
“se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil”
Provavelmente recusaríamos a primeira dizendo algo como:
“O que é que tem a ver um triângulo ter três lados com o fato de o número sete
ser primo?”
Quanto à segunda, é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como:
“Para começar, um quadrado não tem sete lados, mas quatro. E mesmo que Ɵvesse,
isto não tem nada a ver com falar-se ou não o português no Brasil”.
Esse po de recusa parece razoável, pois nestas afirmações falta algo que relacione
a primeira parte da proposição (condição) com a segunda (conclusão).
No entanto, segundo as regras da Lógica, estas duas proposições são verdadeiras!
Para verificarmos isto, basta analisarmos cada uma delas seguindo as regras
estudadas:
Vejamos:
Proposição: Se um triângulo tem três lados então o número sete é primo.
Esta é uma proposição do po “Se A então B”.
A condição da proposição é:
A: Um triângulo tem três lados.
(verdade)
A conclusão é:
B: O número sete é primo.
(verdade)
Como sabemos, uma proposição condicional onde a condição e a conclusão sejam,
ambas, verdadeiras será ela mesma, também, verdadeira.
Confira na tabela-verdade:
A
V
V
F
F
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B
V
F
V
F
A→B
V
F
V
V
Proposição: Se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil”
A proposição é do po “Se A então B”.
Condição da sentença:
A: Um quadrado tem sete lados.
(falso)
Conclusão da sentença é:
B: Fala-se o português no Brasil.
(verdade)
Como sabemos, TODA proposição condicional com condição FALSA é, sempre,
VERDADEIRA (independentemente de a conclusão ser verdadeira ou falsa).
Confira na tabela-verdade:
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A→B
V
F
V
V
Assim, percebemos que, para a Lógica, o valor lógico de uma proposição composta
independe da existência de qualquer relação entre as proposições dadas.
Bicondicional: A se e somente se B
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições
quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “se e somente se”.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada simbolicamente como:
AB
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: Adalberto é meu o.
B: Adalberto é irmão de um de meus pais.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:
A  B: Adalberto é meu o se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais.
Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se e
somente se B” equivale à proposição composta “se A então B e se B então A”.
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Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as
seguintes expressões:
A se e só se B;
Todo A é B e todo B é A;
Todo A é B e reciprocamente;
Se A então B e reciprocamente;
A é necessário e suficiente para B;
A é suficiente para B e B é suficiente para A;
A é necessário para B e B é necessário para A.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando
A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo
falsa quando A e B têm valores lógicos contrários.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da
proposição bicondicional “A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B
podem assumir.
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
V
F
F
V
Sentenças Abertas
Dizemos que uma expressão P(x) é uma sentença aberta na variável x se, e somente se, P(x) se tornar uma proposição sempre que subs tuirmos a variável x por
qualquer elemento pertencente a certo conjunto denominado universo de discurso.
Note que, ao subs tuirmos a variável da sentença aberta por um elemento dado
do seu universo de discurso, a proposição resultante não tem que ser Verdadeira.
Exemplo: A expressão 2x + 5 = 25 é uma sentença aberta na variável x. Quando
subs tuímos a variável pelo número 5 obtemos uma proposição Falsa: 2(5) + 5 = 25.
Tautologia
Uma proposição composta é uma tautologia se e somente se ela for sempre
verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.
Deste modo, quando uma proposição composta for uma tautologia, a úl ma coluna de sua tabela-verdade será o valor lógico V (verdadeiro) em todas as suas linhas.
Exemplo:
A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na
tabela-verdade abaixo:
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A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AeB
V
F
F
F
A ou B
V
V
V
F
(A e B)  (A ou B)
V
V
V
V
Contradição
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição se e somente se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos
das proposições que a compõem.
Portanto, quando uma proposição composta for uma contradição a úl ma coluna
de sua tabela-verdade será o valor lógico F (falso) em todas as suas linhas.
Exemplo:
A proposição “A se e somente se não A” é uma contradição pois é sempre falsa,
independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na
tabela-verdade abaixo:
A
V
F
A  ~A
F
F
~A
F
V
O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer A e sua negação, ~A, nunca
serão ambas verdadeiras nem ambas falsas.
Relação entre Tautologia e Contradição
Sabemos que uma tautologia é sempre verdadeira enquanto uma contradição,
sempre falsa, daí pode-se concluir que:
A negação de uma tautologia é sempre uma contradição.
e
A negação de uma contradição é sempre uma tautologia.
Con ngência
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma conƟngência se e somente se for possível que ela seja verdadeira tanto quanto que ela
também seja falsa, dependendo dos valores lógicos das proposições que a compõem.
Assim, quando uma proposição composta for uma con ngência, a úl ma coluna
de sua tabela-verdade deverá apresentar o valor lógico V (verdadeiro) pelo menos uma
vez e, também, o valor lógico F (falso) pelo menos uma vez.
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Exemplo:
A proposição “Se A então B” é uma con ngência, pois será Falsa quando A for
Verdadeira e B Falsa, sendo Verdadeira em todos os outros casos.
As Três Leis Fundamentais do Pensamento Lógico
Alguns autores citam três princípios como sendo fundamentais para o pensamento
lógico.
Princípio da Iden dade
Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira.
Em símbolos:
PP
Princípio da Não Contradição
Nenhuma proposição pode ser verdadeira e também ser falsa.
Em símbolos:
~(P  ~P)
Princípio do Terceiro Excluído
Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Em símbolos:
ou P ou ~P
Implicação Lógica
Dizemos que a proposição A implica (ou acarreta) a proposição B se, e somente
se, for impossível termos simultaneamente A verdadeira e B falsa na proposição
condicional “Se A então B” (em símbolos: AB).
Quando A implica B anotamos:
AB
(lê-se: A implica B ou A acarreta B)
Propriedades da Implicação Lógica
São propriedades da relação de implicação lógica:
1ª – A  A (reflexiva);
2ª – Se A  B e se B  C então A  C (transi va);
3ª – A implicação lógica NÃO é simétrica.
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Proposições Logicamente Equivalentes
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente
equivalentes quando sa sfazem às duas condições seguintes:
1o – são compostas pelas mesmas proposições simples;
2o – têm tabelas-verdade idênƟcas.
Uma consequência prá ca da equivalência lógica é que ao trocar uma dada
proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a
maneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada simbolicamente como:
AB
(lê-se: A é equivalente a B)
As proposições A e B serão equivalentes se, e somente se, for impossível termos
simultaneamente A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira na proposição
bicondicional “ A se, e somente se, B” (em símbolos: AB).
Regras de Equivalência
Da definição de equivalência lógica podem-se demonstrar as seguintes equivalências:
1. A  A (reflexiva);
2. Se A  B então B  A (simétrica);
3. Se A  B e se B  C então A  C (transi va);
4. Se A e B são duas tautologias então A  B;
5. Se A e B são duas contradições então A  B.
Leis de comuta vidade
6. A  B  B  A
7. A  B  B  A
8. A  B  B  A
9. A  B  B  A
Leis de associa vidade
10. (A  B)  C  A  (B  C)
11. (A  B)  C  A  (B  C)
Leis de distribu vidade
12. A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
13. A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
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Lei da dupla negação
14. ~(~A)  A
Equivalências da Condicional
15. A  B  ~A  B
16. A  B  ~B  ~A
Equivalências da Bicondicional
17. A  B  (A  B)  (B  A)
18. A  B  (A  B)  (~B  ~A)
19. A  B  ~(A  B)
Leis de Morgan
20. ~(A  B)  ~A  ~B
21. ~(A  B)  ~A  ~B
Negação de Proposições Compostas
Um problema de grande importância para a lógica é o da iden ficação de proposições equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples
é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto podem surgir algumas
dificuldades quando procuramos iden ficar a negação de uma proposição composta.
Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor
lógico oposto ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for
verdadeira, a sua negação não-A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não-A deve
ser verdadeira.
Em outras palavras a negação de uma proposição deve ser contraditória com a
proposição dada.
A tabela a seguir mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições compostas:
Proposição
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Negação direta
Equivalente da
Negação
AeB
Não (A e B)
Não A ou não B
A ou B
Não (A ou B)
Não A e não B
Se A então B
Não (se A então B)
A e não B
A se e
somente se B
Não (A se e
somente se B)
Ou A ou B
Todo A é B
Não (todo A é B)
Algum A não é B
Algum A é B
Não (algum A é B)
Nenhum A é B
Diagramas Lógicos
Um diagrama lógico é um esquema que busca representar as relações existentes
entre as diversas partes que compõem uma proposição.
O modelo mais comum para diagramas lógicos é o dos diagramas de Venn-Euler.
Neste capítulo aprofundaremos nossos estudos sobre os digramas lógicos estudando uma variação do modelo de Venn-Euler que nos permi rá uma representação
mais precisa do que aquela vista anteriormente.
Universo de discurso (U)
Denomina-se universo de discurso o conjunto de tudo o que se admite como
possível em um dado contexto.
Deste modo, qualquer proposição possível será um subconjunto do universo de
discurso.
O universo de discurso será sempre indicado pela região interna de um retângulo.
Cada proposição é indicada por uma região delimitada dentro do universo de
discurso.
U = universo de discurso
A = proposição
Uma proposição é verdadeira em qualquer ponto dentro de sua região sendo falsa
em todos os demais pontos do universo de discurso.
Na região 1 a proposição A é verdadeira.
Na região 2 a proposição A é falsa.
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Na região 1 A e B são falsas.
Na região 2 A é verdadeira e B é falsa.
Na região 3 A e B são verdadeiras.
Na região 4 A é falsa e B é verdadeira.
Ao representar uma estrutura lógica por um diagrama lógico somente as regiões
para as quais o resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro
serão sombreadas.
Diagrama Lógico da Negação
Num diagrama de conjuntos, se a proposição A for representada pelo conjunto A,
então a negação “não-A” corresponderá ao conjunto complementar de A.
Diagrama Lógico da Conjunção
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um
diagrama, a conjunção “A  B” corresponderá à interseção do conjunto A com o
conjunto B, A  B.
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Diagrama Lógico da Disjunção
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção “A  B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.
Diagrama Lógico da Disjunção Exclusiva
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção exclusiva “A  B” corresponderá à união da parte do conjunto A
que não está em B (AB) com a parte do conjunto B que não está em A (BA).
(AB)  (BA)
Observe que isto equivale à diferença entre a união e a interseção dos conjuntos
A e B.
(AB)  (A B)
21
Diagramas Lógicos da Condicional “A  B”
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição condicional “Se A então B” poderá ser indicada de dois modos:
1º Como nos casos anteriores, sombreando somente as regiões dos conjuntos
A e B correspondentes às linhas cujo resultado é V na tabela-verdade da proposição
condicional.
2º Como a inclusão do conjunto A no conjunto B (A está con do em B).
Diagramas Lógicos da Bicondicional
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição bicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdade
dos conjuntos A e B.
22
Proposições Categóricas
Na lógica clássica (também chamada lógica aristotélica) o estudo da dedução era
desenvolvido usando-se apenas quatro pos especiais de proposições, denominadas
proposições categóricas.
As proposições categóricas podem ser universais ou parƟculares, cada uma
destas podendo ser afirmaƟva ou negaƟva. Temos, portanto, quatro proposições
categóricas possíveis.
As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas ơpicas, são apresentadas no quadro seguinte:
Afirma vas
Nega vas
Universais
Todo A é B.
Nenhum A é B.
Par culares
Algum A é B.
Algum A não é B.
Sujeito e Predicado de uma Proposição Categórica
Dada uma proposição categórica em sua forma pica chamamos de:
– sujeito o elemento da sentença relacionado ao quan ficador da proposição;
– predicado o elemento que se segue ao verbo.
Exemplos:
Proposições
Categóricas
Todo atleta nato é um vencedor
Nenhum ser vivo é imortal
Algum quadro é obra de arte
Algum polí co não é honesto
Sujeito
Predicado
atleta nato
um vencedor
ser vivo
quadro
polí co
imortal
obra de arte
honesto
23
Representações Gráficas
Deve-se ao matemá co suíço Leonhard Euler (1707-1783) a ideia de representar
as proposições categóricas por meio de diagramas que, por isto, são denominados
diagramas de Euler ou diagramas lógicos.
Nas representações gráficas das proposições categóricas considere o significado
dos seguintes sinais que aparecerão em certas regiões dos conjuntos citados:
Sinal
x
?
Todo A é B.
Algum A é B.
Nenhum A é B.
24
Significado
Esta região tem pelo menos um elemento.
Esta região pode ter elementos ou não.
Algum A não é B.
Neste úl mo caso é importante lembrar que o conjunto B não poderá resultar totalmente vazio. Isto se deve em obediência a um dos princípios da lógica das proposições
categóricas que estabelece que “toda classe tem que possuir pelo menos um elemento”.
Quan ficação
A quan ficação é uma forma de estabelecer uma relação entre sujeito e predicado
de uma proposição.
Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador”, estamos fazendo referência a
dois conjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são
batalhadores. Assim, o sen do da sentença é que “todo aquele que pertença ao conjunto dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”.
Na teoria dos conjuntos, os elementos de um conjunto é que são quan ficados
para que se possa estabelecer sua relação de per nência com um outro conjunto.
Representação Simbólica
Os quan ficadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é feita
de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições categóricas.
Q
S
S
Universal

Todo,
Para todo ou
Qualquer que seja
Par cular

Existe algum
Par cular nega vo

Não existe
Par cular exclusivo
I
Existe um único
25
Exemplos:
Universal afirma va:
Todo A é B.
x, xA  xB
(para todo x, se xA então xB)
Universal nega va:
Nenhum A é B.
x, xA  xB
(para todo x, se xA então xB)
Par cular afirma va:
Algum A é B.
x, xA  xB
(existe algum x tal que xA e xB)
Par cular nega va:
Nenhum A é B.
 x, xA  xB
(não existe x tal que xA e xB)
Relações Quan ficacionais
Duas proposições categóricas dis ntas, que tenham mesmo sujeito e mesmo
predicado, ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas,
ou as duas coisas.
Dizemos que estarão sempre em oposição.
São quatro os pos de oposição.
Observe o quadro a seguir que é conhecido como quadro de oposições.
26
1. Contraditórias – Uma proposição categórica qualquer e sua negação lógica
são ditas contraditórias.
“Todo A é B” e “Algum A não é B” são contraditórias.
“Nenhum A é B” e “Algum A é B” são contraditórias.
Duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras nem ambas
falsas, tendo sempre valores lógicos opostos.
– Se soubermos que uma proposição qualquer é verdadeira, poderemos garan r
que a sua contraditória será falsa.
– Se soubermos que uma proposição qualquer é falsa, poderemos garan r que
a sua contraditória será verdadeira.
2. Contrárias – Uma afirmaƟva universal e a correspondente negaƟva universal
são ditas contrárias.
“Todo A é B” e “Nenhum A é B” são contrárias.
Duas sentenças contrárias nunca são ambas verdadeiras, mas podem ser ambas
falsas.
– Se soubermos que uma universal qualquer é verdadeira poderemos garan r
que a sua contrária é falsa.
– Por outro lado se soubermos que uma universal qualquer é falsa não poderemos
garan r que a sua contrária seja falsa também.
3. Subcontrárias – Uma afirmaƟva parƟcular e a correspondente negaƟva parƟcular são ditas subcontrárias.
“Algum A é B” e “Algum A não é B” são subcontrárias.
Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas falsas, mas podem ser ambas
verdadeiras.
– Se soubermos que uma proposição par cular é falsa, poderemos garan r que
a sua subcontrária é verdadeira.
– Por outro lado, se soubermos que uma proposição par cular é verdadeira não
poderemos garan r que sua subcontrária seja verdadeira também.
4. Subalternas – Duas afirma vas ou duas nega vas (sendo uma universal e sua
par cular correspondente) são ditas subalternas.
“Todo A é B” e “Algum A é B” são subalternas.
“Nenhum A é B” e “Algum A não é B” são subalternas.
27
– Se soubermos que uma proposição universal é verdadeira então poderemos
garan r que sua subalterna par cular também será verdadeira. A recíproca
(da par cular para a universal) não pode ser garan da.
– Se soubermos que uma proposição par cular é falsa então poderemos garan r
que sua subalterna universal será falsa também. A recíproca (da universal para
a par cular) não pode ser garan da.
Existe uma forma simples de resumirmos o comportamento de duas proposições
subalternas.
1º – Monte uma sentença condicional colocando as proposições subalternas na
seguinte ordem:
Se (Universal) então (ParƟcular)
2º – Marque o valor lógico (V ou F) junto da parte que contém a proposição cujo
valor lógico é conhecido.
3º – Deduzimos quais valores lógicos poderão ter a subalterna restante de modo
que a sentença condicional seja verdadeira.
Exemplos:
1. Sabemos que a proposição universal é verdadeira.
Se
(universal)
V
então

(par cular)
V
Portanto, a proposição parƟcular também é verdadeira.
2. Sabemos que a proposição universal é falsa.
Se
(universal)
F
então

(par cular)
V ou F
Portanto, a proposição parƟcular pode ser verdadeira ou falsa.
3. Sabemos que a proposição parƟcular é verdadeira.
Se
(universal)
V ou F
então

(par cular)
V
Portanto, a proposição universal pode ser verdadeira ou falsa.
4. Sabemos que a proposição parƟcular é falsa.
Se
(universal)
F
então

(par cular)
F
Portanto, a proposição universal também é falsa.
28
Argumento
Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1,
P2, ... Pn, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos
de conclusão do argumento.
{P1, P2, ... Pn} ⇢ C
No lugar dos termos “premissa” e “conclusão” podem ser empregados os termos
correspondentes “hipótese” e “tese”, respec vamente.
premissa = hipótese
conclusão = tese
Silogismo
Um argumento formado por exatamente três proposições, sendo duas como
premissas e a outra como conclusão, é denominado silogismo.
{ P1, P2 } ⇢ C
Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:
I. P1: Todos os arƟstas são apaixonados.
P2: Todos os apaixonados gostam de flores.
C : Todos os arƟstas gostam de flores.
II. P1: Todos os apaixonados gostam de flores.
P2: Míriam gosta de flores.
C : Míriam é uma apaixonada.
Silogismos Categóricos
Um silogismo é denominado categórico quando:
1o É composto por três proposições categóricas;
2o As três proposições categóricas devem conter, ao todo, três únicos termos;
3o Cada um dos termos deve ocorrer em exatamente duas das três proposições
que compõem o silogismo.
Exemplo:
No silogismo:
P1: Todo bom atleta é persistente.
P2: Hudson é um bom atleta.
C: Hudson é persistente.
Os três termos são:
bom atleta – que ocorre nas duas premissas, P1 e P2;
persistente – que ocorre na primeira premissa e na conclusão;
Hudson – que ocorre na segunda premissa e na conclusão.
Termos de um Silogismo
Cada um dos termos que ocorrem num silogismo categórico tem um nome especial:
– Termo médio (M): é aquele que ocorre nas duas premissas.
29
– Termo maior (T): é o termo que ocorre como predicado da conclusão.
– Termo menor (t): é o termo que ocorre como sujeito da conclusão.
Forma Típica de um Silogismo Categórico
Um silogismo categórico é dito de forma ơpica quando sa sfaz às três seguintes
condições:
1o As três proposições categóricas que o integram estão em suas formas ơpicas;
2o A primeira premissa (premissa maior) tem o predicado da conclusão (termo
maior) como um de seus termos;
3o A segunda premissa (premissa menor) tem o sujeito da conclusão (termo
menor) como um de seus termos.
Exemplo:
Observe o silogismo categórico seguinte:
P1: Todo ar sta é brincalhão.
P2: Todo brincalhão é cortês.
C: Todo ar sta é cortês.
Este silogismo não está na forma ơpica, pois o seu termo maior (cortês) está
presente na segunda premissa e não na primeira.
Para colocá-lo na forma pica, no entanto, basta permutarmos a premissas entre
si. Assim teremos:
P1: Todo brincalhão é cortês.
P2: Todo ar sta é brincalhão.
C: Todo ar sta é cortês.
Figura
Num silogismo categórico, na forma pica a posição do termo médio em cada
uma das duas premissas varia de um silogismo para outro havendo quatro situações
possíveis.
Cada uma dessas quatro situações corresponde a uma figura, conforme segue:
Primeira Figura – O termo médio ocorre “nos extremos”, ou seja, o termo médio
ocorre como sujeito da primeira premissa e como predicado da segunda premissa.
Segunda Figura – O termo médio ocorre como predicado nas duas premissas.
Terceira Figura – O termo médio ocorre como sujeito nas duas premissas.
Quarta Figura – O termo médio ocorre “nos meios”, ou seja, o termo médio ocorre
como predicado da primeira premissa e como sujeito da segunda premissa. É, portanto
o inverso da primeira figura.
Modo
O modo de um silogismo de forma pica é determinado pelos Ɵpos de proposições
categóricas usados em sua construção.
30
Cada modo é representado por três vogais, cada uma delas indicando uma proposição categórica de modo que:
– A primeira vogal indica o po da proposição categórica da premissa maior;
– A segunda vogal indica o po da proposição categórica da premissa menor;
– A terceira vogal indica o po da proposição categórica da conclusão.
As vogais representa vas das proposições categóricas são:
A: Universal Afirma va – Todo X é Y.
E: Universal Nega va – Nenhum X é Y.
I : Par cular Afirma va – Algum X é Y.
O: Par cular Nega va – Algum X não é Y.
Exemplo:
O silogismo
“Todos os cantores são pessoas vaidosas;
Algumas pessoas vaidosas são chatas.
Logo, alguns cantores são pessoas chatas.”
É um silogismo do modo AII pois a primeira premissa é do po A (universal afirma va) enquanto a segunda premissa é do po I (par cular afirma va) e a conclusão
é do po I (par cular afirma va).
Além disso, podemos dizer também que este silogismo é da quarta figura, pois o
termo médio ocorre nos “meios” das duas premissas.
Se enumerarmos todos os modos possíveis para um silogismo, verificaremos que
eles são, ao todo, 64.
1
2
3
4
5
6
7
:
:
:
64
AAA
AAE
AAI
AAO
AEA
AEE
AEI
:
:
:
OOO
Forma
Como podemos observar dos conceitos que estudamos de figura e de modo, um
silogismo não é completamente caracterizado somente por sua figura nem somente
por seu modo.
Ou seja, podemos ter dois silogismos categóricos de modos diferentes mas de
mesma figura, assim como podemos ter dois silogismos categóricos de figuras diferentes mas de mesmo modo.
31
Para caracterizarmos completamente um silogismo categórico, devemos iden ficar,
conjuntamente, tanto seu modo quanto sua figura.
Ao definirmos tanto o modo quanto a figura de um silogismo, estamos iden ficando a sua forma.
( modo ) + ( figura ) = ( forma )
Exemplo:
Considere o seguinte silogismo categórico:
“Todo elemento perigoso é potencialmente nocivo à sociedade;
Todo motorista desatento é um elemento perigoso;
Logo, todo motorista desatento é potencialmente nocivo à sociedade”
é um silogismo da forma AAA-1 (modo AAA – primeira figura)
Número de Formas Possíveis de Silogismos
Cada um dos 64 modos possíveis de um silogismo pode ocorrer em qualquer uma
das 4 figuras.
Portanto temos
644 = 256
Este é o total de formas diferentes possíveis para os silogismos.
De todos os 256 silogismos categóricos possíveis, somente uma pequena parte
cons tui argumentos válidos, conceito este que passaremos a estudar a seguir.
Argumento Válido
Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legíƟmo ou bem construído
quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Posto de outra forma:
Um argumento é válido quando, ao assumirmos as premissas do argumento como verdadeiras, a verdade da
conclusão fica logicamente estabelecida.
Isto significa que, num argumento válido, jamais poderemos ter uma conclusão
falsa quando as premissas forem verdadeiras.
É importante observar que o estudo dos argumentos ocupa-se tão somente da
validade destes e não leva em conta se as proposições que o compõem são realmente
verdadeiras ou não.
Deste modo, ao se discu r a validade de um argumento é irrelevante saber se as
premissas são realmente verdadeiras ou não.
Tudo que precisamos fazer é assumir que as premissas sejam todas verdadeiras
e verificar se isto obriga ou não a conclusão a ser também verdadeira.
32
Exemplo:
Considere o silogismo:
“Todos os pardais adoram jogar xadrez.
Nenhum enxadrista gosta de óperas.
Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”
Este silogismo está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo),
sendo, portanto, um argumento válido muito embora a verdade das premissas seja
ques onável.
Op = Conjunto dos que gostam de Óperas
X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez
P = Conjunto dos pardais
Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento o conjunto P (pardais) pode
pertencer ao conjunto Op (os que gostam de Óperas).
Argumento Inválido
Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegíƟmo, mal construído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é suficiente para garan r a
verdade da conclusão.
Exemplo:
O silogismo:
“Todos os alunos do curso, passaram.
Maria não é aluna do curso.
Portanto, Maria não passou.”
é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo).
33
P = Conjunto das pessoas que passaram.
C = Conjunto dos alunos do curso.
m = Maria.
Pelo diagrama vê-se que Maria pode ter passado mesmo sem ser aluna do curso.
(a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado).
Na tabela abaixo podemos ver um resumo das situações possíveis para um argumento:
Se um argumento e as premissas...
é...
são todas verdadeiras
Válido
(bem construído) não são todas verdadeiras
então a conclusão
será:
n e ce s s a r i a m e nte
Verdadeira.
ou Verdadeira ou
Falsa.
Se um argumento e as premissas...
é...
IndependenteInválido
mente de serem
(mal construído) ou não todas verdadeiras
então a conclusão
será:
ou Verdadeira ou
Falsa.
Noções sobre Cálculo de Predicados de 1a Ordem
Não existe um meio efe vo de testar a validade de todos os argumentos possíveis.
Daí surge o interesse no desenvolvimento de um método que permita a dedução da
conclusão de um argumento qualquer, ou seja, o cálculo axiomáƟco de predicados.
Este assunto é vasto e uma abordagem completa exigiria, primeiramente, que se
fundamentasse axioma camente o cálculo proposicional.
Faremos a seguir um breve resumo do assunto.
Sentenças Abertas
Considere uma expressão p(x) capaz de ser lida como uma proposição para cada
valor atribuído a x num dado conjunto U não vazio, ou seja, p(x) ou é verdadeira ou é
falsa para todo x pertencente a U.
Nessas condições dizemos que p(x) é uma sentença aberta em U.
Se p(x) é uma sentença aberta no conjunto U então esse conjunto é chamado
conjunto-universo de discussão da sentença enquanto x é chamado variável de discussão da sentença.
Exemplos:
Sentença aberta p(x)
x>3
2x+1 = 5
3x=10
34
Universo
Z
Z
Z
Valor de p(2)
Falso
Verdadeiro
Falso
Quando p(u) for verdadeira para algum u  U dizemos que esse u confirma p(x)
ou ainda que u é uma solução de p(x).
É preciso ficar bem claro que as sentenças abertas não são verdadeiras nem são
falsas. Ao subs tuirmos as variáveis das sentenças abertas por valores específicos as
sentenças tornam-se proposições. Estas sim é que são ou verdadeiras ou falsas. Por esse
mo vo é que as sentenças abertas também são chamadas de funções proposicionais.
Conjunto-Verdade
Chama-se conjunto-verdade de p(x) em U, ou conjunto-solução de p(x) em U,
ao conjunto que reúne todos os elementos de U que sejam solução de p(x), ou seja,
para os quais p(x) é verdadeira.
O conjunto-verdade é representado costumeiramente por V ou por S.
V = {u  U| p(u) é verdadeira}.
Exemplos:
Sentença aberta
x>3
2x+1 = 5
3x=10
3x=10
Universo
Z
Z
Q
Z
Conjunto-Verdade
V={4, 5, 6, 7, 8, ...}
V={2}
V={10/3}
V=
Sentenças com duas ou mais Variáveis
Uma sentença aberta pode ter duas ou mais variáveis.
p(x, y)
sentença aberta nas variáveis, x e y.
p(x, y, z)
sentença aberta nas variáveis, x, y e z.
p(x, y, z, w) sentença aberta nas variáveis, x, y, z e w.
No conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas ou mais variáveis os
elementos serão representados por pares ordenados ou por seus análogos para mais
variáveis.
Exemplos:
– O conjunto-verdade da sentença aberta xy = 5 em Z será:
V={(1;5), (5;1), (−1; −5), (−5; −1)}
– O conjunto-verdade da sentença aberta 0 < (x+y+z) < 4 em N será:
V={(1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1)}
35
Operações lógicas sobre sentenças abertas
As operações lógicas proposicionais podem ser associadas às sentenças abertas
criando outras sentenças abertas.
Assim, se p(x) e q(x) forem duas sentenças abertas quaisquer, serão também
sentenças abertas:
~p(x)
~q(x)
p(x)  q(x)
p(x)  q(x)
p(x) → q(x)
p(x) ↔ q(x)
etc.
Propriedades
Se p(x) e q(x) são sentenças abertas discu das no universo U e Vp representa o
conjunto-verdade de p(x), então valem as seguintes propriedades:
P1. O conjunto-verdade da negação ~p(x) é o complemento do conjunto verdade
de p(x).
V~p = U − Vp
P2. O conjunto-verdade da disjunção p(x)  q(x) é a união dos seus conjuntos-verdade.
Vpq = Vp  Vq
P3. O conjunto-verdade da conjunção p(x)  q(x) é a interseção dos seus conjuntos-verdade.
Vpq = Vp ∩ Vq
P4. O conjunto-verdade da condicional p(x) → q(x) é a união dos conjuntos-verdade
de ~p(x) e de q(x).
Vp→q = V~p  Vq
P5. O conjunto-verdade da bicondicional p(x) ↔ q(x) é a interseção dos conjuntos-verdade de ~p(x) e de ~q(x).
Vp↔q = V~p ∩ V~q
36
Quan ficação
Existem duas maneiras de se transformar uma sentença aberta em uma proposição.
Uma delas é atribuindo valores a suas variáveis. A outra é fazer uso da quanƟficação.
As quan ficações estabelecem relações de inclusão ou exclusão entre sujeito e
predicado em certas sentenças que funcionarão como proposições.
O quadro seguinte resume as quatro proposições quan ficacionais fundamentais:
Afirma va
Nega va
Universal
Todo A é B.
Nenhum A é B.
Par cular
Algum A é B.
Algum A não é B.
Símbolos Quan ficacionais
Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador.” estamos fazendo referência a dois
conjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são batalhadores. Assim, o sen do da sentença é que “todo aquele que pertença ao conjunto
dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”.
Na teoria dos conjuntos os elementos de um conjunto é que são quan ficados para
que se possa estabelecer sua relação de per nência com outro conjunto.
Os quan ficadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é usualmente feita de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições
categóricas.
Quan ficador
Universal
Símbolo
Par cular
Par cular nega vo


Significado
Todo,
Para todo
ou
Qualquer que seja
Existe algum
Não existe
Par cular exclusivo
I
Existe um único

Exemplos
Universal afirma va:
Todo A é B.
x, xA → xB
(para todo x, se xA então xB)
37
Universal nega va:
Nenhum A é B.
x, xA → xB
(para todo x, se xA então xB)
Par cular afirma va:
Algum A é B.
x, xA  xB
(existe algum x tal que xA e xB)
Par cular nega va:
Nenhum A é B.
 x, xA  xB
(não existe x tal que xA e xB)
Par cular exclusiva:
Só existe um número real que sa sfaz a igualdade x+2 = 6
I x, x  R, x+2 = 6
(existe um único x tal que x R e x+2 = 6)
Variáveis Livres
Dizemos que uma variável é livre em uma dada sentença se ela não está ligada a
algum quan ficador.
Exemplos
x ≤ 3 (x é variável livre)
x (x ≠ w) (x não é variável livre mas w é)
x (y (x ≥ y) ) (nem x nem y é livre)
Regras de Inferência
Nas regras apresentadas abaixo:
– uma vírgula separa duas premissas;
– o sinal  lê-se portanto e separa as premissas da conclusão;
– as premissas estão sempre à esquerda do sinal ;
– a conclusão está sempre à direita do sinal ;
– Rec. significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.
1. modus ponens
A , AB  B
38
2. modus tollens
AB , ~B  ~A
3. dupla negação
~(~B)  B
4. introdução da conjunção
A, B  A  B
5. eliminação da conjunção
ABA
ABB
6. adição
A, B  A  B
7. silogismo hipotéƟco
AB , BC  AC
8. silogismo disjunƟvo
A  B , ~A  B
A  B , ~B  A
9. dilema construƟvo
(AB)  (CD), A  C  B  D
10. dilema destruƟvo
(AB)  (CD), ~B  ~D  A  C
Teoremas
T1- (A  B) , BC  (A  C)
T2- AB  B A
Rec- B A  AB
T3- AB , (AB)  B
T4- (A  B)  C  A  (BC)
Rec- A  (BC)  (A  B)  C
T5- (A  B)  (C  C)  AB ( princ. da não contradição)
T6- A  (B  C) , B  AC
39
Proposições Dependentes
Sejam P1 e P2 duas proposições quaisquer. Dizemos que P2 é dependente de P1 se,
e somente se, o valor lógico de P2 depende do valor lógico dado a P1.
Ou seja, pelo menos uma das seguintes situações deve ocorrer:
P1 Verdadeira obriga P2 Verdadeira
ou
P1 Verdadeira obriga P2 Falsa
ou
P1 Falsa obriga P2 Verdadeira
ou
P1 Falsa obriga P2 Falsa
Dependência entre Proposições
Quanto à dependência entre duas proposições dadas, P1 e P2, podem ocorrer
somente duas situações dis ntas:
1ª Nenhuma das duas proposições tem seu o valor lógico dependente do valor
lógico da outra. Neste caso dizemos que não existe dependência ou ainda que as
proposições consideradas são independentes.
2ª Cada uma das proposições tem seu o valor lógico dependente do valor lógico
da outra. Neste caso dizemos que existe dependência ou ainda que as proposições
consideradas são dependentes.
Exemplos: Considere as seguintes proposições:
A: Ana é alta;
B: Beto é baixo;
C: Ana não é alta;
D: Se Ana é Alta então Beto é baixo.
As proposições A e B são independentes, pois, em princípio, pode-se ter qualquer
uma delas verdadeira ou falsa independentemente do valor lógico que seja atribuído
à outra.
As proposições A e C são dependentes. De fato uma vez que se tenha atribuído
algum valor lógico a uma delas, a outra, necessariamente ficará obrigada ao valor lógico
oposto, dado que C é a negação de A.
As proposições A e D também são dependentes. Isto pode ser constatado observando que ao colocarmos qualquer uma das duas com Falsa a outra, obrigatoriamente,
será Verdadeira.
Número de Linhas de uma Tabela-Verdade
Se uma tabela-verdade tem como componentes as proposições P1, P2, ..., Pn, duas
a duas independentes, então o número de linhas desta tabela-verdade será igual a:
Ln  2n
Exemplo: Sejam P1, P2 e P3, três proposições independentes entre si, então a
tabela verdade da proposição composta “(P1 e P2) ou não-P3” terá 23 = 8 linhas, como
se pode ver abaixo:
40
1
2
3
4
5
6
7
8
P1
P2
P3
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
(P1 e P2)
não-P3
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
(P1 e P2) ou não-P3
V
V
F
V
F
V
F
V
Exercícios Resolvidos
1.
Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:
a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.
b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.
c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.
d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.
e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.
Solução:
Alterna va: e
Dizer que “todos os bons estudantes são pessoas tenazes” equivale a dizer que
dentro do conjunto que reúne todas as pessoas tenazes acharemos todos os bons
estudantes. Assim sendo, podemos dizer que o conjunto das pessoas tenazes
contém o conjunto dos bons estudantes. Isto poderia ser visualizado com um
diagrama de conjuntos (diagrama de Euler-Venn).
2.
Represente com diagramas de conjuntos:
I) Algum A é B.
II) Algum A não é B.
III) Todo A é B.
IV) Se A, então B.
V) Nenhum A é B.
Solução:
I)
41
II)
III e IV)
V)
3.
Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo.
a) O tempo será frio e chuvoso.
b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova.
c) Maria não é morena ou Regina é baixa.
d) Se o tempo está chuvoso então está frio.
e) Todos os corvos são negros.
f) Nenhum triângulo é retângulo.
g) Alguns sapos são bonitos.
h) Algumas vidas não são importantes.
Solução:
a) O tempo não será frio ou não será chuvoso.
b) Ela não estudou muito e não teve sorte na prova.
c) Maria é morena e Regina não é baixa.
d) O tempo está chuvoso e não está frio.
e) Algum corvo não é negro.
f) Algum triângulo é retângulo.
g) Nenhum sapo é bonito.
h) Todas as vidas são importantes.
42
4.
Todo baiano gosta de “axé music”. Sendo assim:
a) Todo aquele que gosta de “axé music” é baiano.
b) Todo aquele que não é baiano não gosta de “axé music”.
c) Todo aquele não gosta de “axé music” não é baiano.
d) Algum baiano não gosta de “axé music”.
e) Alguém que não goste de “axé music” é baiano.
Solução:
Alterna va: c
Assumindo que “todo baiano gosta de ‘axé music’” podemos dizer que o conjunto
dos baianos (conjunto B) encontra-se completamente dentro do conjunto dos que
gostam de ‘axé music’ (conjunto A). Qualquer um que esteja fora do conjunto A
não poderá estar no conjunto B pois B está dentro de A. Mas todos os que não
gostam de ‘axé music’ estão fora do conjunto A. Logo todos os que não gostam
de ‘axé music’ estão fora do conjunto B. Ou seja: todo aquele que não gosta de
‘axé music’ não é baiano.
5.
Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente então Cláudia é conservadora. Sabe-se que Cláudia não é conservadora. Nestas condições
pode-se concluir que:
a) Ana não é benevolente.
b) Bruna não é altruísta.
c) Ana não é conservadora.
d) Cláudia não é altruísta.
e) Ana não é altruísta.
Solução:
Alterna va: e
Esta questão faz uso de uma estrutura bem conhecida na Lógica: a cadeia de proposições condicionais – A implica B que implica C ..... Por outro lado, toda vez que
uma proposição condicional como ‘Se A então B’ for verdadeira será verdadeira
também ‘Se não-B então não-A’(repare a ordem!), onde não-B e não-A são as
negações das proposições B e A, respec vamente. Deste modo, quando sabemos
que ‘Se A então B’ e sabemos que B não ocorre, podemos concluir que A também
não ocorre. Neste problema podemos representar a cadeia de proposições condicionais dada como A implica B que implica C que implica D. Como temos a negação
de D, teremos também não-C, não-B e não-A consecu vamente. Ou seja: Cláudia
não é conservadora, Bruna não é benevolente e Ana não é altruísta. As demais
opções não podem ser aceitas como conclusões pois não há dados suficientes no
enunciado para decidir se são verdadeiras ou se são falsas.
6.
Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:
a) Algum atleta é celta.
b) Nenhum atleta é celta.
c) Nenhum atleta é bondoso.
d) Alguém que seja bondoso é celta.
e) Ninguém que seja bondoso é atleta.
43
Solução:
Alterna va: b
Sejam A = o conjunto dos atletas, B o conjunto das pessoas bondosas e C o conjunto
dos celtas. De acordo com o enunciado, o conjunto A esta totalmente dentro de
B pois ‘todo atleta é bondoso’. O conjunto C está completamente fora de B pois
‘nenhum celta é bondoso’. Sendo assim os conjunto A e C não podem ter qualquer
elemento em comum, pois o primeiro está dentro de B e o segundo, fora. Ou seja:
nenhum atleta é celta.
7.
Se chove então faz frio. Assim sendo:
a) Chover é condição necessária para fazer frio.
b) Fazer frio é condição suficiente para chover.
c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio.
d) Chover é condição suficiente para fazer frio.
e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover.
Solução:
Alterna va: d
Esta questão faz referência aos conceitos de necessidade e de suficiência e às
relações destes conceitos com as proposições condicionais. Como já vimos, numa
proposição condicional ‘Se A então B’ a ocorrência de A implica (garante) a ocorrência de B. Então dizemos que A é uma condição suficiente para a ocorrência
de B, ou simplesmente que A é suficiente para B. Por outro lado, sabemos que
a não ocorrência de B implica a não ocorrência de A, ou seja: sem a ocorrência
de B certamente A também não ocorreria. Por este mo vo dizemos que B é uma
condição necessária para a ocorrência de A, ou simplesmente que B é necessária
para A. No contexto da questão: Chuva é condição suficiente para frio. Frio é
condição necessária para chuva.
8.
Numa compeƟção de enigmas, três espertas parƟcipantes de uma das equipes
propõem um desafio dizendo o seguinte:
Míriam: A Ana Flávia mente.
Ana Flávia: A Anna Laryssa é que mente.
Anna Laryssa: A Míriam e a Ana Flávia é que mentem.
O desafio consiste em descobrir, de acordo com as afirmações feitas, quem está
menƟndo e quem está dizendo a verdade. Nestas condições, marque a alternaƟva
correta:
a) A única menƟrosa é Míriam.
b) A única menƟrosa é Ana Flávia.
c) Míriam e Anna Laryssa mentem.
d) Ana Flávia e Míriam mentem.
e) Anna Laryssa e Ana Flávia mentem.
Solução:
Alterna va: c
Míriam diz: “A Ana Flávia mente”. Suponha que o que Míriam diz seja verdade.
Então Ana Flávia é mesmo men rosa. Sendo a Ana Flávia men rosa, o que ela diz
44
é men ra e, portanto, a Anna Laryssa diz a verdade. Por sua vez, se Anna Laryssa
diz a verdade, então Míriam deve ser men rosa. Ora, isto contradiz a suposição
inicial de que Míriam diz a verdade. Logo, não é possível que Míriam tenha dito
a verdade. Então Míriam mente e, se Míriam mente, Ana Flávia diz a verdade e,
portanto, Anna Laryssa mente.
9.
Um anƟquário acordou assustado quando o alarme instalado em sua casa acusou,
às 2 horas da madrugada, que sua loja estava sendo invadida. Chamou a polícia
por telefone e saiu correndo para a loja que ficava apenas a uma quadra de sua
residência. Tudo o que o pobre anƟquário conseguiu ver foi um carro saindo em
disparada, mas não conseguiu ver quem estava no carro e nem mesmo soube
dizer quantos eram os seus ocupantes. Após invesƟgar o caso, o deteƟve Berloque
Gomes conseguiu apurar os seguintes fatos:
– O carro visto pelo anƟquário foi realmente o carro usado para a fuga;
– Ninguém mais, exceto três conhecidos delinquentes, Ário, Bário e Cário, poderiam estar envolvidos no assalto;
– Cário nunca praƟca um assalto sem usar, pelo menos, Ário como cúmplice;
– Bário não sabe dirigir.
AdmiƟndo que os fatos apurados por Berloque Gomes sejam verdadeiros, pode-se
concluir logicamente que:
a) Bário é necessariamente inocente.
b) Cário é necessariamente inocente.
c) Ário é necessariamente inocente.
d) Cário é necessariamente culpado.
e) Ário é necessariamente culpado.
Solução:
Alterna va: e
Existem somente três hipóteses razoáveis:
1. Ário cometeu o crime sozinho.
2. Cário é culpado – Neste caso Ário também é culpado.
3. Bário é culpado – Neste caso, alguém o ajudou a dirigir o carro da fuga (pois ele
não sabe dirigir). Se o motorista foi Cário, então Ário também é culpado (pois
Cário nunca pra ca um roubo sem Ário). Se o motorista foi Ário, não se pode
provar nada sobre Cário, mas Ário já está novamente implicado.
Como se pode notar, em qualquer das três hipóteses Ário está necessariamente
envolvido.
10. Considere as afirmaƟvas seguintes:
I – A bolinha amarela está depois da branca.
II – A bolinha azul está antes da verde.
III – a bolinha que está imediatamente após a azul é maior que a que está antes
desta.
IV – A bolinha verde é a menor de todas.
45
Com base nas quatro afirmaƟvas anteriores, a ordem correta das quatro bolinhas é:
a) Branca, amarela, azul, verde.
b) Branca, azul, amarela, verde.
c) Branca, azul, verde, amarela.
d) Azul, branca, amarela, verde.
e) Azul, branca, verde, amarela.
Solução:
Alterna va: b
As afirma vas I e II estão sa sfeitas em todas as alterna vas de resposta dadas.
Assim, concentremos nossa atenção nas afirma vas III e IV:
– A afirma va III indica a existência de ao menos uma bolinha ANTES e ao menos
uma bolinha DEPOIS da bolinha azul. Portanto, a bolinha azul não pode ser a
primeira nem pode ser a úl ma. Isto elimina as alterna vas de resposta D e E.
– Ainda na afirma va III temos que a bolinha que está imediatamente após a
azul é MAIOR do que a bolinha que está antes desta. Além disto, sabemos pela
afirma va IV que a bolinha verde é a MENOR DE TODAS. Portanto a bolinha que
está imediatamente após a azul não pode ser a verde. Isto elimina as alterna vas
de resposta A e C.
Por exclusão, resta-nos apenas a alterna va de resposta B.
11. Alba, Bianca e Clara foram a uma festa com vesƟdos de cores diferentes, sendo
um azul, um branco e um carmim, mas não necessariamente nesta ordem. Atraído
pela beleza das três jovens, um rapaz aproximou-se delas e lhes perguntou quem
era cada uma delas. A de azul respondeu: “Alba está de branco.”. A que estava
de branco retrucou: “Eu sou Bianca!”. Então aquela que estava vesƟndo carmim
disse: “Clara é que está de branco.”. Perplexo, o rapaz pensou “Nossa, mas que
confusão!”.
Sabendo que Alba disse a verdade e que Clara menƟu, deduza as cores dos vesƟdos
de Alba, de Bianca e de Clara, nesta ordem:
a) Carmim, branco e azul.
b) Carmim, azul e branco.
c) Azul, carmim, e branco.
d) Azul, branco e carmim.
e) Branco, azul e carmim.
Solução:
Alterna va: b
– Se aquela que usava o ves do azul fosse Alba, ela teria men do ao dizer “Alba
está de branco” mas sabemos que Alba diz a verdade. Logo Alba não pode estar
de azul.
– Alba também não pode estar de branco pois aquela que estava de branco disse
“Eu sou Bianca” e sabe-se que Alba não poderia men r dizendo ser Bianca.
– Ora, se Alba não está de azul e também não está de branco, então Alba só pode
estar usando o ves do carmim.
46
Então concluímos que a afirmação de Alba (que estava de carmim) foi “Clara está de
branco” e como sabemos que Alba diz a verdade o ves do de Clara é mesmo o branco.
Por exclusão, resta o ves do azul para Bianca e, de quebra, ainda poderíamos concluir
que Bianca também men u!
Resumindo o que descobrimos, as cores dos ves dos de Alba, Bianca e Clara, nesta
ordem são Carmim, Azul, e Branco.
12. (Esaf) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema,
então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora,
Raul não briga com Carla. Logo,
a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.
b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.
c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
Solução:
Alterna va: a
Se Beto brigasse com Glória, Glória iria ao cinema, Carla ficaria em casa e Raul
brigaria com Carla.
Raul não brigou com Carla. Logo, Beto não briga com Glória, Glória não vai ao
cinema e Carla não fica em
Casa. A única alterna va concordante com estas conclusões é a letra A: “Carla não
fica em casa e Beto não briga com Glória”.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Noções de Lógica
1.
Sejam A e B duas proposições dis ntas quaisquer, então pode-se garan r que:
a) Sendo A verdadeira e B falsa a proposição composta “A e B” será verdadeira.
b) Sendo A falsa e B verdadeira a proposição composta “A e B” será verdadeira.
c) Sendo A falsa e B falsa a proposição composta “A e B” será verdadeira.
d) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A e B” será falsa.
e) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A e B” será verdadeira.
2.
Sejam A e B duas proposições dis ntas quaisquer, então pode-se garan r que:
a) Sendo A verdadeira e B falsa a proposição composta “A ou B” será falsa.
b) Sendo A falsa e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será falsa.
c) Sendo A falsa e B falsa a proposição composta “A ou B” será verdadeira.
d) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será verdadeira.
e) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será falsa.
3.
Considere a proposição composta X = “Se A então B”, onde A (condição) e B (conclusão) são duas outras proposições quaisquer, A  B. Nestas condições, assinale
a única correta:
a) X será verdadeira somente se a condição for falsa, independentemente de a
conclusão ser verdadeira ou falsa.
47
b) X será falsa sempre que a conclusão for verdadeira, independentemente de a
condição ser verdadeira ou falsa.
c) X será verdadeira somente se A e B verem valores lógicos iguais , ou seja, A e
B ambas verdadeiras ou então ambas falsas.
d) X será falsa somente quando a condição e a conclusão verem valores lógicos
opostos, ou seja, A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira.
e) X será falsa somente quando a conclusão for falsa.
4.
Uma proposição X é dita logicamente equivalente a uma outra, Y, quando ocorrer
que elas tenham sempre o mesmo valor lógico, ou seja, sempre que uma das duas
é verdadeira a outra também é verdadeira e sempre que uma das duas é falsa a
outra também é falsa. Com base nesta definição assinale a única proposição abaixo
que não é equivalente da proposição “Se A então B”:
a) Todo A é B.
b) A é condição suficiente para B.
c) Se B então A.
d) Se não-B então não-A.
e) B é condição necessária para A.
5.
Entre as proposições abaixo assinale a única que não corresponde corretamente
à negação da proposição “A e B”:
a) Não é verdade que A ou B.
b) Não ocorre A ou não ocorre B.
c) Não ocorre A ou não ocorre B ou não ocorrem ambos.
d) É falso que tem-se A e B.
e) Não se tem A e B.
6.
Sabe-se que a proposição “A ou B” é verdadeira. Assim sendo:
a) Se soubermos também que a proposição A é verdadeira poderemos concluir
que proposição B é falsa.
b) Se soubermos também que a proposição A é falsa poderemos concluir que
proposição B é falsa.
c) Se soubermos também que a proposição A é falsa poderemos concluir que
proposição B é verdadeira.
d) Se soubermos também que a proposição A é verdadeira poderemos concluir
que proposição B é verdadeira.
e) Se soubermos também que a proposição A tem um valor lógico (verdadeira ou
falsa) poderemos concluir que proposição B tem o valor lógico oposto (falsa ou
verdadeira).
7.
Se é verdade que “Nenhum A é B”, então é necessariamente verdadeiro que:
a) Algum A não é B.
b) Algum A é B.
c) Todo A é B.
d) Algum B é A.
e) Todo B é A.
8.
Todo ar sta é um boêmio. Sendo assim:
a) Todo boêmio é um ar sta.
b) Todo aquele que não é ar sta não é boêmio.
48
c) Todo aquele não é boêmio não é ar sta.
d) Algum ar sta não é boêmio.
e) Alguém que não é boêmio é ar sta.
9.
Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente então
Cláudia é conservadora. Sabe-se que Bruna não é benevolente. Nestas condições
pode-se concluir que:
a) Ana é altruísta.
b) Ana não é altruísta mas Cláudia é conservadora.
c) Ana não é altruísta e Cláudia não é conservadora.
d) Cláudia não é conservadora.
e) Ana não é altruísta.
10. (Esaf) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana
vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a
Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo:
a) Celso compra um carro e Ana não vai à África
b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro
c) Ana não vai à África e Luís compra um livro
d) Ana vai à África ou Luís compra um livro
e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma
11. (Esaf) Considere as afirmações:
A – Se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade;
B – Se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;
C – Se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.
A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que
elas:
a) São equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga
b) Implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga
c) Implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma
boa amiga
d) São consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não
seja uma boa amiga
e) São inconsistentes entre si
12. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:
a) Algum atleta é celta.
b) Nenhum atleta é celta.
c) Nenhum atleta é bondoso.
d) Alguém que seja bondoso é celta.
e) Ninguém que seja bondoso é atleta.
13. (Esaf) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo.
Sabe-se que o crime foi efe vamente come do por um ou por mais de um deles,
já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que:
A – se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada;
49
B – ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;
C – o mordomo não é inocente.
Logo:
a) a governanta e o mordomo são os culpados.
b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados.
c) Somente a governanta é culpada.
d) Somente o cozinheiro é inocente.
e) Somente o mordomo é culpado.
14. (Esaf) Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com ves dos de cores
diferentes. Uma ves u azul, a outra branco e a terceira preto. Chegando à festa o
anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que
está de branco.” A de branco falou: “Eu sou Maria.” E a de preto disse: “Cláudia
é quem está de branco.” Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade,
que Maria às vezes diz a verdade e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz
de iden ficar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos ves dos de Ana,
Maria e Cláudia eram, respec vamente:
a) preto, branco, azul.
b) preto, azul, branco.
c) azul, preto, branco.
d) azul, branco, preto.
e) branco, azul, preto.
15. (Esaf) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, ob veram os quatro primeiros
lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes.
Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo
uma delas verdadeira e a outra falsa:
Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”
Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”
Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”
Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto
colocados foram, respec vamente,
a) André, Caio, Beto, Dênis.
b) Beto, André, Caio, Dênis.
c) Beto, André, Dênis, Caio.
d) André, Caio, Dênis, Beto.
e) Caio, Beto, Dênis, André.
16. (AFC/SFC/2000) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente
nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em
Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou
seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu
curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, os cursos e os respec vos locais
de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem:
a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo
b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo
c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo
d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis
e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis
50
17. (AFC/SFC/2000) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se
Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo,
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento
b) Camile e Carla não foram ao casamento
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou
e) Vera e Vanderléia não viajaram
18. (Analista/2002) Se M=2x+3y, então M=4p+3r. Se M=4p+3r, então M=2w3r. Por
outro lado, M=2x+3y ou M=0. Se M=0 então M+H = 1. Ora, M+H  1. Logo,
a) 2w3r = 0
b) 4p+3r  2w3r
c) M  2x+3y
d) 2x+3y  2w3r
e) M = 2w3r
19. (TFC/SFC/2000) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia
será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora,
então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:
a) Anaís será professora e Anelise não será cantora
b) Anaís não será professora e Ana não será atleta
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta
e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista
20. (TFC/SFC/2000) Se é verdade que “Nenhum ar sta é atleta”, então também será
verdade que:
a) todos não ar stas são não atletas
b) nenhum atleta é não ar sta
c) nenhum ar sta é não atleta
d) pelo menos um não atleta é ar sta
e) nenhum não atleta é ar sta
21. (Gestor/2000) Dizer que “André é ar sta ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é ar sta se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é ar sta, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é ar sta, então Bernardo é engenheiro
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é ar sta.
e) André não é ar sta e Bernardo é engenheiro
22. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:
a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.
b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.
c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.
d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.
e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.
51
23. (Esaf) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que
a) Algum A não é G
b) Algum A é G
c) Nenhum A é G
d) Algum G é A
e) Nenhum G é A
24. Todo baiano gosta de ‘axé music’. Sendo assim:
a) Todo aquele que gosta de ‘axé music’ é baiano.
b) Todo aquele que não é baiano não gosta de ‘axé music’.
c) Todo aquele não gosta de ‘axé music’ não é baiano.
d) Algum baiano não gosta de ‘axé music’.
e) Alguém que não goste de ‘axé music’ é baiano.
25. Se chove então faz frio. Assim sendo:
a) Chover é condição necessária para fazer frio.
b) Fazer frio é condição suficiente para chover.
c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio.
d) Chover é condição suficiente para fazer frio.
e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover.
26. (Esaf) Seis pessoas – A, B, C, D, E, F – devem sentar-se em torno de uma mesa
redonda para discu r um contrato. Há exatamente seis cadeiras em torno da
mesa, e cada pessoa senta-se de frente para o centro da mesa e numa posição
diametralmente oposta à pessoa que está do outro lado da mesa. A disposição
das pessoas à mesa deve sa sfazer às seguintes restrições:
F não pode sentar-se ao lado de C
E não pode sentar-se ao lado de A
D deve sentar-se ao lado de A
Então uma distribuição aceitável das pessoas em torno da mesa é:
a) F, B, C, E, A, D
b) A, E, D, F, C ,B
c) A, B, F, C, D, E
d) F, D, A, C, E, B
e) F, E, D, A, B, C
27. (Esaf) Dizer que é verdade que “para todo x, se x é uma rã e se x é verde, então x
está saltando” é logicamente equivalente a dizer que não é verdade que
a) “algumas rãs que não são verdes estão saltando”
b) “algumas rãs verdes estão saltando”
c) “nenhuma rã verde não está saltando”
d) “existe uma rã verde que não está saltando”
e) “algo que não seja uma rã verde está saltando”
28. (Gestor/2000) A par r das seguintes premissas:
Premissa 1: “X é A e B, ou X é C”
Premissa 2: “Se Y não é C, então X não é C”
Premissa 3: “Y não é C”
52
Conclui-se corretamente que X é:
a) A e B.
b) não A ou não C.
c) A ou B.
d) A e não B.
e) não A e não B.
29. A proposição “Todo A é B” não é equivalente a:
a) Se A, então B.
b) Se não B, então não A.
c) Se não A, então não B.
d) B é necessário para A.
e) A é suficiente para B.
30. Se é verdade que todo atávico é belicoso, então: também é verdade que:
a) Todo belicoso é atávico.
b) Algum atávico não é belicoso.
c) Nenhum atávico é belicoso.
d) Se não é atávico então não é belicoso.
e) Se não é belicoso então não é atávico.
31. Se Ana é atenciosa, então Bruna é bagunceira.
Se Bruna é bagunceira, então Carla é carinhosa.
Sabe-se que Bruna não é bagunceira. Logo:
a) Ana é atenciosa e Carla é carinhosa.
b) Ana não é atenciosa e Carla não é carinhosa.
c) Ana não é atenciosa e Carla é carinhosa.
d) Carla é carinhosa, mas nada se pode afirmar sobre Ana.
e) Ana não é atenciosa, mas nada se pode afirmar sobre Carla.
32. Se Bruna brinca, Rita ri.
Se Rita ri, Carla canta.
Se Carla canta, Diana dança.
Se Diana dança, Lulu late.
Com base nestas proposições, pode-se concluir que:
a) Se Bruna não brinca, então Rita não ri, Carla não canta, Diana não dança e Lulu
não late.
b) Se Rita não ri, então Carla não canta, Diana não dança, Lulu não late e Bruna
não brinca.
c) Se Carla não canta, então Diana não dança, Lulu não late, Bruna não brinca e
Rita não ri.
d) Se Diana não dança, então Lulu não late, Bruna não brinca, Rita não ri e Carla
não canta.
e) Se Lulu não late, então Bruna não brinca, Rita não ri, Carla não canta e Diana
não dança.
33. Assinale a alterna va que apresenta uma contradição lógica:
a) Todo dramaturgo não é perspicaz e algum perspicaz é dramaturgo.
b) Todo dramaturgo é perspicaz e algum perspicaz não é dramaturgo.
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c) Nenhum dramaturgo é perspicaz e algum dramaturgo não é perspicaz.
d) Algum dramaturgo é perspicaz e algum dramaturgo não é perspicaz.
e) Algum dramaturgo não é perspicaz e todo perspicaz é dramaturgo.
34. Todo criança gosta de brincar.
Logo:
a) Se Miriam não gosta de brincar, então Miriam não é uma criança.
b) Se Miriam é uma criança, então Miriam não gosta de brincar.
c) Se Miriam gosta de brincar então Miriam é uma criança.
d) Se Miriam não é uma criança então Miriam não gosta de Brincar.
e) Se Miriam não é uma criança então Miriam gosta de Brincar.
35. Altair é alto ou Bruna é bela.
Altair não é alto.
Logo:
a) Bruna não é bela.
b) Altair é alto.
c) Bruna é bela.
d) Altair é alto e Bruna é bela.
e) Altair não é alto e Bruna não é bela.
36. Todo atleta é batalhador.
Sophia é atleta.
Logo:
a) Sophia é atleta e batalhadora.
b) Sophia é atleta, mas não é necessariamente batalhadora.
c) Sophia é batalhadora, mas não necessariamente é atleta.
d) Sophia não é atleta e nem batalhadora.
e) Ou Sophia é atleta ou Sophia é batalhadora.
37. Todo ator é bonachão.
Luís não é bonachão.
Logo:
a) Luís é ator.
b) Luís pode ser ator, bem como pode não sê-lo.
c) Luís é bonachão e não é ator.
d) Luís não é ator.
e) Ou Luís não é ator ou Luís não é Bonachão.
38. Todo homem que gosta de andar tem muitas bermudas.
Todo homem que come couve gosta de andar.
Logo:
a) Todo homem que tem muitas bermudas come couve.
b) Todo homem que come couve tem muitas bermudas.
c) Todo homem que tem muitas bermudas gosta de andar.
d) Alguém que come couve pode não gostar de andar.
e) Alguém que gosta de andar pode não ter muitas bermudas.
39. Todo animal que tenha pelagem arlequim é belicoso.
Nenhum dos meus cães é belicoso.
54
Logo:
a) Todo animal belicoso tem pelagem arlequim.
b) Algum animal belicoso não tem pelagem arlequim.
c) Nenhum animal belicoso tem pelagem arlequim.
d) Algum dos meus cães pode ter pelagem arlequim e não ser belicoso.
e) Nenhum dos meus cães tem pelagem arlequim.
40. Todo objeto que é acessório é sempre barato.
Tudo o que é barato é descartável.
Logo:
a) Se eu tenho um objeto que é acessório então ele é necessariamente barato e
é descartável.
b) Se eu tenho um objeto que é acessório então ele é barato, mas não é necessariamente descartável.
c) Se eu tenho um objeto que é acessório então ele é descartável, mas não é
necessariamente barato.
d) Existe algum objeto barato que não é um acessório.
e) Existe algum objeto descartável que não é barato.
41. Todo anel é brilhante.
Tudo o que é brilhante é caro.
Meu presente não é caro.
Logo:
a) Existe alguma coisa que é brilhante, mas que não é cara.
b) Meu presente é um anel e não é brilhante.
c) Meu presente é brilhante, mas não é um anel.
d) Meu presente não é um anel e não é brilhante.
e) Existe alguma coisa cara que não é brilhante.
42. Com base em um conjunto de hipóteses uma pessoa deduziu logicamente que
um determinado evento ocorreria. Porém, ao contrário do previsto, o tal evento
não ocorreu. Assim, esta pessoa deve logicamente concluir que:
a) Todas as hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria são falsas.
b) Várias das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria são
falsas.
c) Pelo menos uma das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria
é falsa.
d) Várias das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria são
verdadeiras.
e) Pelo menos uma das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria
é verdadeira.
43. “Sei que todos os cisnes são brancos. Sei também que o animal que você me trouxe
é um cisne. Logo, posso concluir que o animal que você me trouxe é branco.”
Considere que a conclusão dada no texto acima tenha se mostrado errada. Nestas
condições pode-se afirmar corretamente que:
a) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, portanto, duas
hipóteses verdadeiras levaram a uma conclusão falsa.
55
b) O argumento é falacioso, ou seja, embora bem construído duas premissas
verdadeiras levaram a uma conclusão falsa.
c) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, portanto, pelo
menos uma das duas hipóteses é falsa.
d) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas
premissas levaria necessariamente a uma conclusão também verdadeira.
Como a conclusão mostrou-se falsa as duas premissas u lizadas têm que ser
necessariamente falsas.
e) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas premissas levaria necessariamente a uma conclusão também verdadeira. Como a
conclusão mostrou-se falsa pelo menos uma das duas premissas u lizadas tem
que ser necessariamente falsa.
44. Com base em um conjunto de hipóteses uma pessoa deduziu que um determinado
evento ocorreria. Conforme o previsto, o tal evento ocorreu mesmo. Assim sendo:
a) Todas as hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento ocorreria são
necessariamente verdadeiras.
b) Várias das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento ocorreria
são verdadeiras, mas não necessariamente todas elas.
c) Pelo menos uma das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento
ocorreria tem que ser verdadeira.
d) Pelo menos uma das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento
ocorreria é falsa.
e) Nada se pode garan r sobre a verdade das hipóteses que a pessoa usou para
deduzir que o evento ocorreria.
45. Considere o seguinte argumento: “Sei que uma moeda normal não pode dar ‘cara’
em vinte lances consecu vos. Sei também que você jogou uma moeda vinte vezes
e que esta moeda é normal. Com base nisto posso concluir que você não obteve
uma sequência de vinte ‘caras’ consecu vas.”
Admita que a conclusão dada neste argumento tenha se mostrado verdadeira.
Nestas condições pode-se garan r que:
a) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, por isso, um
conjunto com hipóteses não todas verdadeiras puderam levar a uma conclusão
verdadeira.
b) O argumento é falacioso, ou seja, embora bem construído o conjunto das hipóteses, ainda que todas verdadeiras, não seria capaz de garan r que aquela
conclusão fosse sempre verdadeira.
c) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, portanto, pelo
menos uma das duas hipóteses é falsa.
d) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas premissas levaria necessariamente a uma conclusão verdadeira. Mas a recíproca
não está garan da, ou seja, uma conclusão verdadeira não implica em que as
premissas sejam todas verdadeiras. Este, alias, é o caso aqui, pois sabemos que,
embora muito improvável, é possível que uma moeda normal possa dar ‘cara’
vinte vezes consecu vamente.
e) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas
premissas levaria necessariamente a uma conclusão também verdadeira. Como
a conclusão mostrou-se verdadeira as duas premissas u lizadas têm que ser
necessariamente verdadeiras.
56
46. Considere o seguinte argumento: “ Todas as pessoas nascidas sob o signo de peixes
são sensíveis e cria vas e eu notei que você é sensível e cria vo. Assim eu deduzi
que você só pode ser do signo de peixes! “
Com relação ao argumento acima é correto que:
a) Este é um argumento falacioso, ou seja, está mal construído e, assim sendo,
mesmo que as premissas apresentadas sejam verdadeiras isto não garan rá
que a conclusão seja verdadeira nem implicará que seja falsa.
b) Este é um argumento falacioso, ou seja, está bem construído, mas ainda que
suas premissas sejam verdadeiras não se pode garan r que a conclusão será
verdadeira.
c) Este é um argumento inválido, ou seja, está mal construído, mas ainda que suas
premissas sejam verdadeiras sua conclusão será necessariamente falsa.
d) Este é um argumento legí mo, ou seja, está bem construído e, portanto, uma
vez que suas premissas sejam verdadeiras sua conclusão será necessariamente
verdadeira também.
e) Este é um argumento válido, ou seja, está bem construído e, portanto, uma vez
que alguma de suas premissas seja falsa sua conclusão será necessariamente
falsa também.
47. (AFC/STN/2000) Em uma pequena comunidade sabe-se que nenhum filósofo é
rico e que alguns professores são filósofos. Assim, pode-se afirmar corretamente
que, nesta comunidade,
a) Alguns filósofos são professores.
b) Alguns professores são filósofos.
c) Nenhum filósofo é professor.
d) Alguns professores não são filósofos.
e) Nenhum professor é filósofo.
48. Entre as proposições abaixo a única verdadeira é:
a) 5 é par e 3 é par.
b) 5 é ímpar e 3 é par.
c) 5 é par e 3 é ímpar.
d) 5 é ímpar e 3 é ímpar.
e) 5 e 3 são pares.
49. Entre as proposições abaixo a única falsa é:
a) 10 é ímpar ou 5 é ímpar.
b) 10 é par ou 5 é ímpar.
c) 10 é par ou 5 é par.
d) 10  5.
e) 10  5.
50. Entre as proposições abaixo a única verdadeira é:
a) Ou 6 é ímpar ou 5 > 10.
b) Ou 6 é par ou 5 é ímpar.
c) Ou 6 é inteiro ou 5 < 10.
d) Ou 6 > 10 ou 5 é par.
e) Ou 6 é ímpar ou 5 é inteiro.
57
51. Seja X a proposição composta “se A então B”, onde A e B são duas proposições
quaisquer. Assinale a única incorreta:
a) Caso A seja uma proposição verdadeira e B uma proposição falsa, X será falsa.
b) Caso A e B sejam proposições falsas, X será uma proposição verdadeira.
c) Caso A seja uma proposição falsa e B uma proposição verdadeira, X será falsa.
d) Caso A e B sejam proposições verdadeiras, X será uma proposição verdadeira.
e) A proposição X é equivalente à proposição “se não B então não A”.
52. A proposição composta “A se e somente se B” , onde A e B são duas proposições
quaisquer, é verdadeira:
a) Somente quando A e B são ambas falsas.
b) Somente quando A é verdadeira e B é falsa.
c) Somente quando A é falsa e B é verdadeira.
d) Somente quando A e B são ambas verdadeiras.
e) Somente quando A e B têm o mesmo valor lógico, ou seja, A e B são ambas
verdadeiras ou A e B são ambas falsas.
53. Entre as proposições abaixo assinale a única falsa considerando que A e B representam duas proposições quaisquer:
a) A negação de “A e B” pode ser corretamente enunciada como “Não A ou não
B”.
b) A negação de “A ou B” pode ser corretamente enunciada como “Não A e não
B”.
c) A negação de “Todo A é B” pode ser corretamente enunciada como “Algum A
não é B”.
d) A negação de “Se A então B” pode ser corretamente enunciada como “A e não
B”.
e) A negação de “Nenhum A é B” pode ser corretamente enunciada como “Todo
A é B”.
54. (Vunesp) Todo A é B e todo C não é B. Portanto:
a) Algum A é C.
b) Nenhum A é C.
c) Nenhum A é B.
d) Algum B é C.
e) Nenhum B é A.
55. (Vunesp) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:
a) Seu esforço é condição suficiente para vencer.
b) Seu esforço é condição necessária para vencer.
c) Se você não se esforçar, então não irá vencer.
d) Você só vencerá caso se esforce.
e) Mesmo que se esforce, você não vencerá.
56. (Vunesp) Se os os de músicos sempre são músicos, então:
a) Os sobrinhos de não músicos nunca são músicos.
b) Os sobrinhos de não músicos sempre são músicos.
c) Os sobrinhos de músicos sempre são músicos.
d) Os sobrinhos de músicos nunca são músicos.
e) Os sobrinhos de músicos quase sempre são músicos.
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57. (AFC/CGU/2004) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão
de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno
é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.
58. (AFC/CGU/2006) Se X está con do em Y, então X está con do em Z. Se X está
con do em P, então X está con do em T. Se X não está con do em Y, então X está
con do em P. Ora, X não está con do em T. Logo:
a) Z está con do em T e Y está con do em X.
b) X está con do em Y e X não está con do em Z.
c) X está con do em Z e X não está con do em Y.
d) Y está con do em T e X está con do em Z.
e) X não está con do em P e X está con do em Y.
59. (AFC/CGU/2004) Uma professora de matemá ca faz as três seguintes afirmações:
“X > Q e Z < Y”;
“X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z”;
“R ≠ Q, se e somente se Y = X”.
Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se
corretamente que:
a) X > Y > Q > Z
b) X > R > Y > Z
c) Z < Y < X < R
d) X > Q > Z > R
e) Q < X < Z < Y
60. (AFC/CGU/2006) Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou
Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não
é bailarina então Márcia é magra. Assim,
a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.
b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.
c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.
d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.
e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.
61. (AFC/CGU/2006) Ana é ar sta ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música,
então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é ar sta e Daniela não fuma. Pode-se, então, concluir corretamente
que:
a) Ana não é ar sta e Carlos não é compositor.
b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa.
c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma.
d) Ana não é ar sta e Mauro gosta de música.
e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa.
59
62. (AFC/CGU/2004) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou
Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não
é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
63. (AFC/CGU/2006) Três meninos estão andando de bicicleta. A bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, a do outro é branca. Eles vestem bermudas destas
mesmas três cores, mas somente Artur está com bermuda de mesma cor que sua
bicicleta. Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas. Marcos está com
bermuda azul. Desse modo,
a) a bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta.
b) a bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é preta.
c) a bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca.
d) a bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos é branca.
e) a bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos é azul.
64. (AFC/CGU/2006) Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e Valna seguiram diferentes
profissões e hoje uma delas é arquiteta, outra é psicóloga, e outra é economista.
Sabe-se que ou Beatriz é a arquiteta ou Dalva é a arquiteta. Sabe-se, ainda, que
ou Dalva é a psicóloga ou Valna é a economista. Sabe-se, também, que ou Beatriz
é a economista ou Valna é a economista. Finalmente, sabe-se que ou Beatriz é a
psicóloga ou Valna é a psicóloga. As profissões de Beatriz, Dalva e Valna são, pois,
respec vamente,
a) psicóloga, economista, arquiteta.
b) arquiteta, economista, psicóloga.
c) arquiteta, psicóloga, economista.
d) psicóloga, arquiteta, economista.
e) economista, arquiteta, psicóloga.
65. (AFC/CGU/2006) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3.
Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém
um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe
uma inscrição, a saber:
Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”
Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”
Caixa 3: “O livro está aqui.”
Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou
falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a
inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações,
Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respec vamente,
a) a caneta, o diamante, o livro.
b) o livro, o diamante, a caneta.
c) o diamante, a caneta, o livro.
d) o diamante, o livro, a caneta.
e) o livro, a caneta, o diamante.
60
66. (AFC/CGU/2006) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país
distante, habitado pelos verdamanos e pelos men manos. O que os dis ngue é
que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os men manos sempre
mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes
locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que
um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta,
então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes
respostas:
Alfa: “Beta é men mano”
Beta: “Gama é men mano”
Gama: “Delta é verdamano”
Delta: “Épsilon é verdamano”
Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta.
Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é:
a) Delta.
b) Alfa.
c) Gama.
d) Beta.
e) Épsilon.
67. (AFC/CGU/2004) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se
que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem
o estranho costume de sempre men r, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda,
que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema
é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três
homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:
O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”
O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”
O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”
Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente
que:
a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro.
b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo.
c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.
d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro.
e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.
68. (AFC/CGU/2006) Perguntado sobre as notas de cinco alunas (Alice, Beatriz, Cláudia, Denise e Elenise), um professor de Matemá ca respondeu com as seguintes
afirmações:
1. “A nota de Alice é maior do que a de Beatriz e menor do que a de Cláudia”;
2. “A nota de Alice é maior do que a de Denise e a nota de Denise é maior do que
a de Beatriz, se e somente se a nota de Beatriz é menor do que a de Cláudia”;
3. “Elenise e Denise não têm a mesma nota, se e somente se a nota de Beatriz é
igual à de Alice”.
61
Sabendo-se que todas as afirmações do professor são verdadeiras, conclui-se
corretamente que a nota de:
a) Alice é maior do que a de Elenise, menor do que a de Cláudia e igual à de Beatriz.
b) Elenise é maior do que a de Beatriz, menor do que a de Cláudia e igual à de
Denise.
c) Beatriz é maior do que a de Cláudia, menor do que a de Denise e menor do
que a de Alice.
d) Beatriz é menor do que a de Denise, menor do que a de Elenise e igual à de
Cláudia.
e) Denise é maior do que a de Cláudia, maior do que a de Alice e igual à de Elenise.
69. (AFC/CGU/2006) Cinco irmãs nasceram, cada uma, em um Estado diferente do
Brasil. Lúcia é morena como a cearense, é mais moça do que a gaúcha e mais velha do que Maria. A cearense, a paulista e Helena gostam de teatro tanto quanto
Norma. A paulista, a mineira e Lúcia são, todas, psicólogas. A mineira costuma ir
ao cinema com Helena e Paula. A paulista é mais moça do que a goiana, mas é
mais velha do que a mineira; esta, por sua vez, é mais velha do que Paula.
Logo:
a) Norma é gaúcha, a goiana é mais velha do que a mineira, e Helena é mais moça
do que a paulista.
b) Paula é gaúcha, Lúcia é mais velha do que Helena, e a mineira é mais velha do
que Maria.
c) Norma é mineira, a goiana é mais velha do que a gaúcha, e Maria é mais moça
do que a cearense.
d) Lúcia é goiana, a gaúcha é mais moça do que a cearense, e Norma é mais velha
do que a mineira.
e) Paula é cearense, Lúcia é mais velha do que a paulista, e Norma é mais moça
do que a gaúcha.
GABARITO
1. e
2. d
3. e
4. c
5. a
6. c
7. a
8. c
9. e
10. a
11. d
12. b
13. b
14. b
15. d
16. c
62
17. e
18. e
19. a
20. d
21. d
22. e
23. a
24. c
25. d
26. d
27. d
28. a
29. c
30. e
31. e
32. e
33. a
34. a
35. c
36. a
37. d
38. b
39. e
40. a
41. d
42. c
43. e
44. e
45. d
46. a
47. d
48. d
49. e
50. e
51. c
52. e
53. e
54. b
55. a
56. a
57. e
58. e
59. b
60. a
61. b
62. c
63. c
64. d
65. c
66. d
67. b
68. b
69. e
SEQUÊNCIAS
Denominaremos genericamente como sequência a toda fila ordenada de termos
(números, letras, figuras, palavras, etc) que obedeçam a um padrão de formação.
Exemplos:
1. Na sequência (13, 18, 23, 28, 33, 38) cada termo, a par r do segundo, é igual
ao anterior adicionado de 5 unidades.
2. Na sequência (A, D, G, J) as letras foram tomadas de três em três, em ordem
alfabé ca, a par r do “A”, ou seja: A, b, c, D, e, f, G, h, i, J.
3. Na sequência (triângulo – 0, quadrado – 2, pentágono – 5, hexágono – 9)
tem-se os nomes de figuras planas a par r de três lados, acompanhados do número
de diagonais em cada um deles, isto é: triângulo – nenhuma diagonal; quadrado – duas
diagonais; pentágono – cinco diagonais e hexágono – nove diagonais.
Determinação de um Termo por Indução
São comuns as questões de concurso onde se deve encontrar o valor de um termo
de uma dada sequência sem que seja declarado o padrão de formação de seus termos.
Em tais questões é necessário descobrir o padrão de formação e isto exige um po de
raciocínio, conhecido como raciocínio induƟvo ou indução, no qual nossas conclusões
jus ficam-se apenas por sua coerência em relação aos casos anteriores. Algo como:
‘se todos os casos anteriores obedeceram a este padrão, então o próximo deverá
obedecê-lo também’.
É importante salientar que não há nenhum po de garan a lógica ou matemáƟca
de que as conclusões ob das por indução estejam certas. Existem, aliás, na matemáca alguns exemplos célebres de conclusões incorretas ob das a par r de raciocínios
indu vos. Entretanto, o que se pretende verificar com as questões que envolvem a
percepção de padrões é a capacidade do candidato de formular e testar hipóteses.
Exemplos:
1. Determinar na sequência abaixo o valor do termo indicado por x:
(2, 8, 32, 128, x)
Solução:
Cada termo, a par r do segundo, é igual ao quádruplo do anterior.
Deste modo, seguindo o mesmo padrão o valor do termo x será
1284 = 512
2. Determinar na sequência abaixo o valor do termo indicado por x:
(2, 3, 5, 8, 12, x)
63
Solução:
Cada termo, a par r do segundo, foi ob do do termo anterior somando-se 1, 2,
3, e 4, respec vamente.
Assim, seguindo o mesmo padrão o valor do termo x será
12  5 = 17
3. Determinar na sequência abaixo o valor do termo indicado por x:
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, x)
Solução:
Cada termo, a par r do terceiro, foi ob do somando-se os dois anteriores.
Veja: 11=2, 12=3, 23=5, 35=8, 58=13.
Então, seguindo o mesmo padrão teremos:
x = 813 = 21
4. Determinar na sequência abaixo a letra que deve ocupar o lugar do x:
(B, F, J, O, x)
Obs.: As letras K, W e Y não devem ser consideradas.
Solução:
As letras foram tomadas de quatro em quatro, a par r de “B”.
Con nuando a sequência temos:
B, c, d, e, F, g, h, i, J, l, m, n, O, p, q, r, S.
Deste modo, a letra que deve ocupar o lugar de x deve ser o “S”.
Determinação de um Termo dada uma Fórmula Geral
Nas sequências numéricas, é bastante comum encontrarmos uma fórmula
ou expressão matemáƟca que permita determinarmos o valor de um dado termo
conhecendo-se somente a posição ocupada por ele.
Exemplos:
1. Considere a sequência numérica (a1, a2, a3, .....) onde cada termo an é dado pela
expressão:
an = 3n + 4
Onde n indica a posição ocupada pelo termo na sequência. Nestas condições, qual
será o valor do vigésimo termo da sequência?
64
Solução:
Usando a fórmula geral dada, o valor do vigésimo termo será:
a20 = 320  4
a20 = 60  4 = 64
2. Considere a sequência numérica (a1, a2, a3, .....) onde cada termo an é dado pela
expressão:
an = 2n2 – 3
Onde n indica a posição ocupada pelo termo na sequência. Nestas condições, qual
será o valor encontrado na décima posição desta sequência?
Solução:
Usando a fórmula geral dada, o valor do décimo termo será:
a10 = 2102 – 3
a10 = 2100 – 3
a10 = 200 – 3 = 197
Determinação de um Termo dada uma Fórmula de Recorrência
Frequentemente pode-se estabelecer uma fórmula de recorrência capaz de
produzir o valor de um certo termo conhecendo-se os valores de alguns dos termos
anteriores da sequência.
Exemplo:
1. Considere a sequência numérica (a1, a2, a3, .....) onde cada termo an , a parƟr
do segundo, é dado pela expressão an = 2an – 1  3 , onde n e n–1 indicam as posições
ocupadas por termos consecuƟvos na sequência. Sabendo que a1 = 0, qual será o valor
encontrado na sexta posição desta sequência?
Solução:
Analisando a fórmula dada, vemos que o valor de cada termo é calculado dobrando
o valor do termo anterior e adicionado 3 unidades ao resultado. Deste modo os valores
dos seis primeiros termos da sequência são:
a1 = 0
a2 = 20  3 = 3
a3 = 23  3 = 9
a4 = 29  3 = 21
a5 = 221  3 = 45
a6 = 245  3 = 93
65
No nosso exemplo, para obtermos o valor do sexto termo vemos que usar a
fórmula de recorrência cinco vezes. Daí já é possível notar que a determinação de algo
como o trigésimo ou o quinquagésimo termo de uma sequência, usando somente uma
fórmula de recorrência, não seria nada ‘confortável’ caso não dispuséssemos do valor
de um termo próximo ao termo desejado. Em tais casos, seria melhor encontrar uma
outra saída para o problema.
2. Considere a sequência numérica (a1, a2, a3, .....) onde cada termo an , a parƟr
do terceiro, é dado pela seguinte fórmula de recorrência an = an – 1  an – 2 . Sabendo que
os valores dos dois primeiros termos da sequência são definidos como a1 = 3 e a2 = 4,
determinar o valor do oitavo termo.
Solução:
De acordo com a fórmula apresentada, o valor de cada termo é conseguido
adicionando-se os valores dos dois termos imediatamente anteriores a ele na sequência. Assim, teremos:
a1 = 3
a2 = 4
a3 = 3  4 = 7
a4 = 4  7 = 11
a5 = 7  11 = 18
a6 = 11  18 = 29
a7 = 18  29 = 47
a8 = 29  47 = 76
O valor do oitavo termo da sequência é 76.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nas questões de 1 a 13 cada uma das sequências apresentadas segue um determinado
padrão de formação. Procure descobrir qual é o padrão de cada sequência e encontre o
valor que deve ocupar o lugar de cada incógnita, x ou y. (Note que em algumas das sequências é possível encontrarmos mais de um padrão que se ajuste a todos os termos.)
1.
2.
66
(30, 37, 44, 51, x)
a) 55
b) 56
(9876, 7654, 5432, x)
a) 1234
b) 2345
c) 3.210
d) 3456
e) 4321
c) 57
d) 58
e) 59
3.
(17, 20, 21, 24, 25, 28, x)
a) 31
b) 29
c) 30
4.
(2, 3, 4, 5, 8, 7, x, y)
a) x = 16 e y = 9
b) x = 9 e y = 16
c) x = 6 e y = 5
d) x = 5 e y = 6
e) x = 16 e y = 9
5.
(50, 360, 140, 180, 230, 90, x, y)
a) x = 45 e y = 320
b) x = 360 e y = 50
c) x = 50 e y = 30
d) x = 180 e y = 50
e) x = 320 e y = 45
6.
(243, 424, 245, 426, 247, x)
a) 248
b) 249
c) 428
7.
 124
a) 5
,
36
9
,
30
6
b) 6
,
48
8
c) 7
,
d) 27
e) 28
d) 429
e) 250
63
x

d) 8
e) 9
c) 3
d) 2
e) 1
10. (3, 6, 10, 15, 21, x)
a) 28
b) 27
c) 26
d) 25
e) 24
11. (2, 6, 12, 20, 30, x)
a) 32
b) 38
c) 42
d) 48
e) 52
12. (3, 10, 13, 23, 36, x)
a) 56
b) 57
c) 58
d) 59
e) 60
13. (77, 49, 36, 18, x)
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
8.
(1.568, 1586, 1658, x, y)
a) x = 1.856 e y = 1.685
b) x = 1.685 e y = 1.856
c) x = 1.658 e y = 1.865
d) x = 1.865 e y = 1.658
e) x = 1.568 e y = 1.568
9.
(37, 26, 17, 10, 5, x)
a) 5
b) 4
67
Nas questões de 14 a 17 encontre a letra que deve ocupar o lugar de x em cada uma
das sequências alfabé cas apresentadas (considere o alfabeto sem as letras K, W e Y):
14. (E, J, O, R, x)
a) T
b) A
c) L
d) B
e) D
15. (R, O, L, H, x)
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
16. (B, D, G, L, x)
a) P
b) Q
c) R
d) S
e) T
17. (S, Q, N, I, x)
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
Nas questões de 18 a 21 complete a úl ma sequência seguindo o mesmo padrão da
anterior (considere o alfabeto sem as letras K, W e Y):
18. (B, E, G, J)  (C, F, H, ?)
a) M
b) J
c) L
d) P
e) Q
19. (E, G, A, C)  (L, N, G, ?)
a) E
b) F
c) G
d) H
e) I
20. (E, B, F, A)  (M, I, N, ?)
a) E
b) F
c) G
d) H
e) I
21. (J, L, N, H)  (D, E, G, ?)
a) Z
b) A
c) B
d) C
e) D
22. Considere a sequência numérica tal que o valor do termo na n-ésima posição é
determinado pela expressão an = n2 – 2n. Qual é o valor do vigésimo termo desta
sequência?
a) 420
b) 360
c) 280
d) 220
e) 180
23. Dada a sequência numérica cujo termo geral é expresso por an = 2n – 1, qual o
valor da soma dos seis primeiros termos desta sequência?
a) 36
b) 38
c) 46
d) 48
e) 56
24. Sabe-se que os valores da sequência cujo termo geral e dado por dn = n(n–3)2
correspondem, a par r do terceiro termo, ao número de diagonais de um polígono com n lados. Assim, por exemplo, um quadrado (n = 4) tem d4 = 4(4–3)2
= 2 diagonais enquanto um hexágono (n =6) tem d6 = 6(6–3)2 = 9 diagonais.
68
A questão é: Qual o polígono no qual o número de diagonais é igual ao número
de lados?
a) Octógono.
b) Hexágono.
c) Pentágono.
d) Heptágono.
e) Eneágono.
25. Numa sequência cujo valor do primeiro termo é 4, cada termo, a par r do segundo,
pode ser descrito como
an = an–1 + 5.
Qual é o valor do quinto termo desta sequência?
a) 34
b) 54
c) 44
d) 64
e) 24
26. Numa sequência o valor do primeiro termo é 1 e cada termo, a par r do segundo, pode ser descrito como an = 2an–1 + 5. Determine o valor do 11o termo desta
sequência.
a) 6.193
b) 3.619
c) 6.139
d) 3.916
e) 9.631
27. (FCC/TRF 1ª Reg./2006) Assinale a alterna va que completa a série seguinte:
C3, 6G, L10,...
a) C4
b) 13M
c) 9I
d) 15R
e) 6Y
28. (FCC/ TRF 1ª Reg./2006) Assinale a alterna va que completa a série seguinte:
9, 16, 25, 36,...
a) 45
b) 49
c) 61
d) 63
e) 72
29. (FCC/ TRF 1ª Reg./2006) Qual dos cinco desenhos representa a comparação adequada?
a)
69
b)
c)
d)
e)
30. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) No esquema abaixo, observe que há uma certa relação
entre as duas primeiras palavras.
GATO – GALO : : LEÃO – ?
A mesma relação deve exis r entre a terceira palavra e a quarta, que está faltando.
Essa quarta palavra é
a) cachorro.
b) cobra.
c) cavalo.
d) golfinho.
e) sabiá.
31. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Chama-se persistência de um número inteiro e
posi vo o número de etapas necessárias para, através de operações sucessivas,
obter-se um número de um único algarismo.
Como é mostrado no exemplo seguinte, a persistência do número 1 642 é 3:
Com base na definição e no exemplo dados, é correto afirmar que a persistência
do número 27 991 é
a) menor que 4.
b) 4
c) 5
d) 6
e) maior que 6.
32. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Na sentença seguinte há duas palavras grifadas, cada
qual seguida de uma lacuna. Essas lacunas devem ser preenchidas por palavras,
70
de modo que a primeira palavra tenha, para a segunda, a mesma relação que a
terceira tem para com a quarta.
Primeiro está para ............ assim como janeiro está para .................. .
Assim, as palavras que preenchem a primeira e a segunda lacunas são, respec vamente,
a) fileira e mês.
b) ganho e verão.
c) vitória e reis.
d) úl mo e dezembro.
e) número e mês.
33. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Em quatro das alterna vas que seguem, os pares de
números apresentam uma caracterís ca comum. A alterna va cujo par não tem
tal caracterís ca é
a) (6;36)
b) (9;54)
c) (11;63)
d) (12;72)
e) (15;90)
34. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Considere que os termos da sequência (5, 12, 10, 17,
15, 22, 20,...) obedecem a uma lei de formação. Assim, o termo que vem após o
número 20 é
a) menor que 25.
b) maior que 30.
c) a metade de 52.
d) o triplo de 9.
e) par.
35. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Dos cinco grupos de 4 letras que aparecem nas
alterna vas abaixo, quatro têm uma caracterís ca comum.
Se a ordem alfabé ca adotada exclui as letras K, W e Y, então o único grupo que
NÃO tem a caracterís ca dos outros é
a) GHJI
b) CDGF
c) STXV
d) QRUT
e) NORP
36. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) O triângulo seguinte é composto de uma sucessão
de números ímpares posi vos. Observe que, em cada linha, a soma dos elementos
sugere uma regra geral.
71
Nessas condições, a soma dos elementos da 30ª linha desse triângulo é um número
compreendido entre
a) 2 500 e 3 000
b) 3 000 e 3 500
c) 20 000 e 25 000
d) 25 000 e 30 000
e) 30 000 e 35 000
37. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) No início de certo mês, Frida e Sada elaboraram um
relatório no qual constava o número de pessoas que cada uma delas havia atendido no mês anterior. Observou-se, então, que Frida atendera a 361 pessoas, 15 a
mais que o dobro do que Sada havia atendido. Para calcular quantas pessoas Sada
atendeu, Frida efetuou 361 + 15 e, em seguida dividiu por 2 o resultado ob do,
concluindo que 188 pessoas foram atendidas por Sada. Rela vamente aos cálculos
efetuados por Frida, é verdade que
a) estão corretos.
b) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 188 2 e ob do 376.
c) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 15 2 e a resposta correta seria
361 – 30 331.
d) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 361 – 15 e a resposta correta
seria 346 : 2 173.
e) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 188 2 e a resposta correta
seria 376 – 15 361.
Instruções: Para responder às questões de números 38 e 39, você deve observar que,
em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi formada
a par r da palavra da esquerda segundo um determinado critério. Você deve descobrir
esse critério e usá-lo para associar a terceira palavra àquela que deve ser corretamente
colocada no lugar do ponto de interrogação.
38. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005)
capitular – lar
loucura – cura
batalho – ?
a) alho
b) bolha
72
c) atola
d) atalho
e) talho
39. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005)
telefonar – arte
robustecer – erro
cadastro – ?
a) troca
b) roca
c) cada
d) caro
e) orca
40. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Você faz parte de um grupo de pessoas que estão
sentadas em torno de uma grande mesa circular. Um pacote com 25 balas deve
ser passado sucessivamente para as pessoas ao redor da mesa, de modo que cada
uma se sirva de uma única bala e passe o pacote com as balas restantes para a
pessoa sentada à sua direita. Se você pegar a primeira e a úl ma balas do pacote,
considerando que pode ter se servido de outras, o total de pessoas sentadas nessa
mesa poderia ser
a) 7
b) 9
c) 12
d) 13
e) 15
41. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Em um dado instante, um elevador estava parado no
andar médio de um prédio. A par r de então, ele recebeu algumas chamadas que
o fizeram deslocar-se sucessivamente: subiu quatro andares, desceu seis, subiu
oito e, quando subiu mais quatro andares, chegou ao úl mo andar do edi cio.
O total de andares desse prédio era
a) 21
b) 19
c) 15
d) 13
e) 11
42 Colocando as letras em ordem, qual a palavra que não pertence ao mesmo grupo
das demais?
a) HOILF
b) OIT
c) IPA
d) ROMAÇ
e) OTEN
43. Qual a letra que deve ser colocada no lugar do asterisco para completar corretamente a sequência:
108( C ) 648( S ) 325( T ) 214( * )
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
73
44. Observe o exemplo:
SOPA ( PALA ) GERAL
No exemplo dado, a palavra do meio, entre parênteses, segue uma lei de formação
que depende das outras duas palavras. Seguindo a mesma lei, qual a palavra que
se deve colocar entre os parênteses no caso abaixo?
FOCA ( ..... ) ATLAS
a)
b)
c)
d)
e)
FALA
CALA
FALTA
FACA
CASA
45. Observe o exemplo:
326 ( 20 ) 423
No exemplo dado, o número do meio, entre parênteses, segue uma lei de formação
que depende dos outros dois números. Seguindo a mesma lei, qual o número que
se deve colocar entre os parênteses no caso abaixo?
427 ( ..... ) 113
a) 20
b) 21
c) 41
d) 45
e) 73
46. Qual a palavra que não pertence ao mesmo grupo das demais?
a) Carro
b) Canapé
c) Camisa
d) Colo
e) Carícia
47. Colocando as letras em ordem, qual a palavra que não pertence ao mesmo grupo
das demais?
a) CUÉ
b) UNORA
c) SÉVUN
d) TRAME
e) ARTRE
74
48. Que número completa a sequência:
livro (5) olho (4) castor (6) noite (?)
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
5
6
7
49. Observe a sequência abaixo e descubra quais os números que faltam.
1 8 9 64 25 ? 49
1 4 27 16 125 ? 343
a) 16
64
b) 36
216
c) 32
128
d) 216
36
e) 128
32
50. Colocando as letras em ordem, qual a palavra que não pertence ao mesmo grupo
das demais?
a) ORTEP
b) LARAMEO
c) ZALU
d) FORRE
e) TIVOLEA
51. Observe o exemplo:
28 ( 82 ) 13
No exemplo dado, o número do meio, entre parênteses, segue uma lei de formação
que depende dos outros dois números. Seguindo a mesma lei, qual o número que
se deve colocar entre os parênteses no caso abaixo?
16 ( ..... ) 17
a)
b)
c)
d)
e)
17
61
67
71
76
75
SENHA ALFABÉTICA
Nas questões 52 a 58 deve-se descobrir uma palavra-chave. Para deduzir qual é
a palavra-chave são mostradas, como pistas, cinco outras palavras-teste, cada uma
delas seguida de dois números:
• o primeiro número, em negrito, indica a quan dade coincidências exatas entre
as letras da palavra testada e da palavra-chave (letras certas nos lugares certos);
• o segundo número indica a quan dade de coincidências parciais (letras certas
mas em lugares errados).
Assim, para a palavra-chave CERTO teríamos:
PERTO: 4-0 (4 coincidências exatas: E, R, T, O e nenhuma coincidência parcial)
NERVO: 3-0 (3 coincidências exatas: E, R , O e nenhuma coincidência parcial)
TERNO: 3-1 (3 coincidências exatas: E, R, O e 1 coincidência parcial: T)
uma palavra-chave é sempre formada por letras dis ntas.
52. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave.
M
S
R
R
M
Ê
I
Ó
O
O
S
M
I
L
A
0–0
0–1
1–0
0–1
0–1
a) ALI
b) LIA
c) ELA
d) RIA
e) DIA
53. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave.
R
T
P
S
a) AMOR
b) ROMA
c) MORA
d) ROAM
e) ARMO
76
I
R
U
O
J
E
M
L
O
M
A
A
0–2
0–2
0–2
0–2
54. Assinale a alterna va que corresponde à palavra.
P
C
S
P
P
U
O
U
R
O
N
N
R
E
L
H
T
D
S
A
O:
A:
O:
O:
R:
0–0
3–0
0–1
0–2
0–1
a) BESTA
b) CORTA
c) CESTA
d) CARTA
e) NESTA
55. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave.
M
M
N
F
C
A
Ó
A
R
A
D
V
V
A
S
R
E
I
C
A
E:
L:
O:
O:
L:
0–0
3–0
2–1
0–2
2–0
d) BANAL
e) SENIL
a) CANAL
b) COVIL
c) CANIL
56. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave.
F
F
L
S
P
I
O
I
U
L
L
R
M
M
U
M
M
A
I
M
E:
A:
R:
A:
A:
0–0
2–0
0–1
1–2
3–0
a) POUSA
b) LOUSA
c) PAUSA
d) LOURA
e) CAUSA
77
57. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave.
V
R
R
G
R
I
O
O
O
E
S
G
S
S
V
T
U
N
T
O
O:
E:
E:
A:
A:
0–0
3–1
1–1
1–1
3–0
d) RANGE
e) RÉGUA
a) RENOVA
b) VERONA
c) RAVINA
58. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave.
B
T
P
A
B
a) PRIMO
b) ROMPE
c) CURTO
E
U
O
M
R
S
M
B
B
U
T
B
R
A
T
A:
A:
E:
R:
O:
0–0
0–2
1–2
0–2
3–0
d) PRUMO
e) SURTO
GABARITO
1. d
2. c
3. b
4. a
5. e
6. c
7. e
8. b
9. d
10. a
11. c
12. d
13. b
14. a
15. e
16. b
78
17. d
18. c
19. e
20. d
21. c
22. b
23. a
24. c
25. e
26. c
27. d
28. b
29. e
30. e
31. a
32. d
33. c
34. d
35. a
36. d
37. d
38. d
39. b
40. c
41. a
42. d
43. d
44. e
45. d
46. d
47. a
48. c
49. d
50. d
51. b
52. a
53. a
54. c
55. b
56. a
57. e
58. d
ANOTAÇÕES: ______________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
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Formato
15x21cm
Mancha
11,5x17,5 cm
Papel
Offset
Gramatura
70 gr/m2
Número de páginas
80
SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP 70750-502 Brasília/DF
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