GEOMETRIA – AULA 01 – Soluções (POTI

GEOMETRIA – AULA 01 – Soluções (POTI – Pirassununga)
1. Na próxima aula (tarefa).
2. Do triângulo STU temos que
=180°- (75° + 30°)=75°. Logo, esse
triângulo é isósceles (por ter dois ângulos iguais) e portanto TU=SU. Como
TU=SV, segue que SU=SV. Portanto, o triângulo SUV também é isósceles e,
portanto, o ângulo
, então:
3. O triângulo ABE é isósceles porque tem dois ângulos iguais.
Logo os lados AE e AB são iguais,
portanto AB=120m. O triângulo BCD
também é isósceles porque tem dois
lados iguais, BC=BD, logo
.
Como
, então os três ângulos
do triângulo BCD são iguais, logo cada
um vale 180º ÷ 3 = 60º . Assim, ele é
equilátero e temos BD=BC=CD=115m.
Assim, o perímetro da figura é: 120 × 2 + 115 × 2 + 226 = 696m.
4. O triângulo KLM é isósceles porque tem dois lados Iguais KL=KM;
consequentemente seus ângulos da base são iguais, isto é:
Analogamente, o triângulo KST também é isósceles, portanto,
Sejam:
e
.
.
, então:
• No triângulo STM temos: x +α +180° − β =180° ⇒ x = β − α
• No triângulo KLM temos: α +α + 30° + y =180° ⇒ y =150º − 2α
• Pelo triângulo KST temos: β + β + y =180° ⇒ β + β + 150° − 2α = 180° ⇒
2β − 2α = 30° ⇒ β − α =15° . Portanto, x =15°.
⇒
5. Completamos a figura marcando os ângulos α e β, lembrando que ângulos
opostos pelo vértice são congruentes (iguais).
Como a soma dos ângulos internos de um
triângulo é 180°,
podemos escrever as três igualdades abaixo,
uma para cada um dos triângulos da figura:
α + 7x = 180°
β + 8x = 180°
α + β + 5x = 180°, logo:
(α + 7x) + (β + 8x) − (α + β + 5x) = 180° + 180° − 180°
α + 7x + β + 8x −α − β − 5x = 180°
10x = 180°, então x = 18°
6. O ângulo
(A medida do ângulo interno de um polígono regular
de n lados é obtida dividindo-se a soma dos ângulos internos por n, ou seja,
)
O ângulo
(Triângulo equilátero)
Pelo triângulo EAG, temos
, logo:
7. Sejam x e y as medidas dos ângulos em branco e cinza, respectivamente,
como mostra a figura:
Pelo teorema do ângulo externo no triângulo BCD, temos
Somando os ângulos do triângulo ABC, obtemos
, dividindo por 2, temos:
Então:
⇒
8. Como EDC é isósceles,
. Então:
⇒
Como BEC é isósceles
. Usando ângulo externo, temos que
⇒
. Como ABE também é isósceles,
.
Finalmente, usando mais uma vez ângulo externo, temos:
⇒
⇒
° ⇒
⇒
.
Logo a razão
9. Como o triângulo é isósceles concluímos que,
e
, então temos:
⇒
⇒
Pelo triângulo AQC, segue:
⇒
⇒
.
Como
e
(enunciado), então
, pois AI é bissetriz de
.
Finalmente no  AMB, temos:
⇒
e