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11.º ANO ENSINO SECUNDÁRIO A C I ÁT ANDREIA GONÇALVES CARLA SILVA M E T MA PTMA11_20154611_P001_058_4P.indd 1 06/03/17 10:04 ÍNDICE DOMÍNIO DOMÍNIO Trigonometria e Funções Trigonométricas Funções Reais de Variável Real 1 Revisões 04 06 3 Ângulos orientados, ângulos generalizados e rotações 08 4 Razões trigonométricas de ângulos generalizados 09 5 Funções trigonométricas 12 6 Equações trigonométricas18 Exercícios resolvidos Exercícios propostos Teste de avaliação 1 2 Limites segundo Heine de funções reais de variável real 152 Exercícios resolvidos Exercícios propostos Teste de avaliação 4 DOMÍNIO DOMÍNIO Gometria Analítica Estatística 1 Declive e inclinação de uma reta no plano 60 1 Revisões 2 Produto escalar de vetores 61 2 Reta de mínimos quadrados, amostras bivariadas 3 Equações de planos no espaço 63 4 Lugares geométricos definidos com o auxílio do produto escalar 19 34 55 148 3 Continuidade e assíntotas de funções 4 Derivadas de funções reais de variável real e aplicações 2 Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos 1 Revisões Exercícios resolvidos Exercícios propostos Teste de avaliação 2 65 66 78 101 155 158 163 181 206 212 e coeficiente de correlação 213 Exercícios resolvidos Exercícios propostos Teste de avaliação 5 216 220 229 Teste de avaliação global 1234 Teste de avaliação global 2237 Soluções241 DOMÍNIO Sucessões 1 Propriedades elementares de sucessões reais 106 2 Princípio de indução matemática 108 3 Progressões aritméticas e geométricas 4 Limites de sucessões Exercícios resolvidos Exercícios propostos Teste de avaliação 3 109 111 115 128 145 ISBN 978-989-767-149-4 PTMA11_20154611_P001_058_4P.indd 2 06/03/17 10:04 DOMÍNIO TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. Revisões 2. E xtensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos 3. Â ngulos orientados, ângulos generalizados e rotação 4. R azões trigonométricas de ângulos generalizados 5. Funções trigonométricas 6. Equações trigonométricas PTMA11_20154611_P001_058_4P.indd 3 06/03/17 10:04 6 RESUMO TEÓRICO 6.1. EQUAÇÕES TRIGOMÉTRICAS DO TIPO sen ( x ) = a • sen ( x ) = a ⇔ sen ( x ) = sen ( α ) ⇔ x = α + 2πk ∨ x = π − α + 2πk, k ∈ ℤ, a ∈ [ − 1, 1 ] Se a ∉ [ − 1, 1 ] , a equação sen ( x ) = aé impossível. • Casos EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS © AREAL EDITORES MATEMÁTICA A | 11.º ANO particulares: sen x = 0 ⇔ x = πk, k ∈ ℤ π sen x = 1 ⇔ x = __ + 2πk, k ∈ ℤ 2 3π sen x = − 1 ⇔ x = ___ + 2πk, k ∈ ℤ 2 6.2. EQUAÇÕES TRIGOMÉTRICAS DO TIPO cos ( x ) = a • cos ( x ) = a ⇔ cos ( x ) = cos ( α ) ⇔ x = ± α + 2πk, k ∈ ℤ, a ∈ [ − 1, 1 ] Se a ∉ [ − 1, 1 ] , a equação cos ( x ) = aé impossível. • Casos particulares: π cos x = 0 ⇔ x = __ + πk, k ∈ ℤ 2 cos x = 1 ⇔ x = 2πk, k ∈ ℤ cos x = − 1 ⇔ x = π + 2πk, k ∈ ℤ 6.3. EQUAÇÕES TRIGOMÉTRICAS DO TIPO tg ( x ) = a • tg ( x ) = a ⇔ tg ( x ) = tg ( α ) ⇔ x = α + πk, k ∈ ℤ Exemplos π π 5π 1 ⇔ sen ( x ) = sen __ __ ___ sen ( x ) = __ (6 ) ⇔ x = 6 + 2kπ ∨ x = 6 + 2kπ, k ∈ ℤ 2 __ √ 2 3π 3π __ ⇔ cos ( x ) = cos ( ___ ) ⇔ x = ± ___ + 2kπ, k ∈ ℤ cos ( x ) = − 2 4 4 π π __ ) ⇔ x = __ + πk, k ∈ ℤ tg ( x ) = 1 ⇔ tg ( x ) = tg ( 4 4 18 PTMA11_20154611_P001_058_4P.indd 18 06/03/17 10:04 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS MATEMÁTICA A | 11.º ANO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Numa circunferência de raio 2,5 cm, um arco com 7,5 cmde comprimento, tem amplitude, em graus, aproximada às décimas, de: (A) 68,8° (B) 57,2° (C) 57,3° (D) 137,5° RESOLUÇÃO Opção correta: (C) O perímetro da circunferência é o comprimento de um arco cuja amplitude é 3 60°. 7 ,5 ) cm ( 2 π × 2,5 ) cm (_______ Deste modo, ____________ = ⇔ x° = 57,3°. 360° x° 2. o sistema sexagesimal, a amplitude do ângulo formado pelos dois N ponteiros de um relógio, às 9h35min é: (A) 60° (B) 77,5° (C) 90° (D) 270° RESOLUÇÃO Opção correta: (B) Às 9h35min, o ponteiro dos minutos encontra-se exatamente no 7e o ponteiro das horas encontra-se entre o 9e o 1 0. O arco entre cada hora tem uma amplitude de 3 0° (360° : 12). Assim, a amplitude do arco compreendido entre 7e 9 é 60°. 11 10 12 1 30º 9 a 60º 8 7 2 3 4 6 5 Logo, a amplitude do ângulo formado pelos dois ponteiros do relógio será ( 6 0° + α ), sendo α, a amplitude, em graus, que o movimento do ponteiro das horas faz em 35 minutos. Em 60minutos, o ponteiro das horas percorre um arco de amplitude 30°, pelo que em 3 5minutos percorrerá um arco de amplitude 17,5°. Assim, a amplitude do ângulo formado pelos dois ponteiros de um relógio, às 9h35miné 77,5°. © AREAL EDITORES 3. Um balão meteorológico despenhou-se ao largo da ilha Androkas. Momentos antes disso acontecer, a sua posição estava a ser seguida por um navio e por astrofísicos da ilha. A figura abaixo ilustra a posição do balão relativamente a ambos. 24° 42° 19 PTMA11_20154611_P001_058_4P.indd 19 06/03/17 10:04 MATEMÁTICA A | 11.º ANO 83. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 4. © AREAL EDITORES EXERCÍCIOS PROPOSTOS y x O f Qual das expressões seguintes pode definir a função f', primeira derivada da função f? (A)( x − 4 ) 3 (B)x 3 − 4 (C)( x 2 − x ) × ( 4 − x ) (D)( x 2 − x ) × ( x − 4 ) x 3 84. Considera a função fdefinida, em ℝ, por f( x ) = − __ + 2x + 5. 4 Para um certo número real negativo a , sobre a função g sabe-se que g ( 1 ) = ae que g' ( 1 ) = 0,5. Sabendo que ( f ∘ g )' ( 1 ) = g ( 1 ) , a imagem de 1, por g, é: ___ ___ √ √ 10 − 4 10 − 4 2 − 2 (A) _______ (B)_________ 3 3 __ __ − 2 − 2 − 2 √ 7 2 √ 7 (D) ________ (C)______ 3 3 85. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função polinomial g, de grau 3. g y –3 O 2 x Sabe-se que: • − 3e 2são os únicos zeros da função g • a função gtem um extremo relativo em x = − 3 • lim h( x ) = 5 x → − ∞ primeira derivada de uma função h, tem domínio ℝe é definida g ( x ) . por h' ( x ) = ____ x 2 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? • h', (A)A função htem dois extremos (B)g' ( − 4 ) > h ( 1 ) − h ( − 2 ) (C)A reta de equação y + 5 = 0é uma assíntota do gráfico da função h quando xtende para − ∞ (D) lim ( h ' ( x ) ) = − ∞ x → + ∞ 206 PTMA11_20154611_P147_210_4P.indd 206 06/03/17 10:42 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL MATEMÁTICA A | 11.º ANO TESTE DE AVALIAÇÃO 4 Duração do Teste: 90 minutos Grupo I Na resposta aos itens deste grupo seleciona a opção correta. Escreve, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. a figura está representado um cone num refeN rencial o.n. Oxyz. C Sabe-se que: • [ AB ] é A um diâmetro da base do cone O B y x • o ponto O é o centro da base do cone • o ponto C é o vértice do cone e está contido no eixo Oz Admite que o ponto Cse desloca sobre o eixo Oze para cada posição do ponto C, considera a função, v, que à cota zdo ponto C, faz corresponder o volume do cone. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função v? (A) yy vv xx OO (C) yy OO 2. (B) vv xx OO (D) vv yy xx yy OO vv xx 2 + tg ( x ) Seja fa função definida em ℝpor f( x ) = _______ . x − 5 π n + 1 __ + . Considera a sucessão de termo geral u n = _____ n 2 2 n) ) é: O valor de lim ( f ( u © AREAL EDITORES (A)− ∞ (B)+ ∞ (C)0 (D)não existe 207 PTMA11_20154611_P147_210_4P.indd 207 06/03/17 10:42
