Algoritmo da raiz quadrada

Actividade de enriquecimento
Algoritmo da raiz quadrada
Nota: Apresenta-se uma actividade de enriquecimento e de um possível trabalho conjunto com
as disciplinas da área de informática: os alunos poderão efectuar um programa
informático para implementar os métodos apresentados.
Hoje em dia utilizamos a máquina de calcular para
realizar alguns cálculos complexos (e não só!!!!).
Para efectuar cada um desses cálculos, a máquina de
calcular tem incorporados algoritmos1, que lhe permitem a
sua realização. Existem algoritmos que permitem calcular,
por exemplo, os zeros, os máximos e mínimos locais de
uma função, as razões trigonométricas (seno, co-seno,
tangente) de um ângulo, o inverso de um número e a raiz
quadrada. A verdade é que esses valores, calculados pela
máquina, são valores aproximados.
E se de repente ficamos sem máquina de
calcular? Que fazer? Como efectuar os cálculos?
Ainda nos lembramos como adicionar, multiplicar e
como dividir, pois aprendemos (ainda no primeiro
ciclo de escolaridade) os algoritmos que nos permitem
efectuar esses cálculos. E a raiz quadrada? Existem
alguns algoritmos, relativamente simples, que nos
permitem efectuar o cálculo da raiz quadrada de um
número.
1
Um algoritmo é uma sequência de passos, que nos permite obter uma solução para um problema.
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1
Um desses algoritmos é o chamado Método
Chinês. Este método permite determinar se um
determinado número é ou não quadrado perfeito e a
qual a sua raiz quadrada. O método baseia-se no facto
de a soma de números ímpares consecutivos produzir
sempre um quadrado perfeito:
1 + 3 = 22 = 4
1 + 3 + 5 = 32 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 2 = 25
…
Para determinar se um número é ou não quadrado perfeito e, nesse caso, qual a
sua raiz quadrada, vamos subtraindo a esse número a sucessão do números ímpares (1,
3, 5, 7, …). Se chegarmos a zero, esse número é quadrado perfeito e o número de passos
é a sua raiz quadrada.
Vejamos com alguns exemplos:
25 é um quadrado perfeito? Se sim, qual o valor da sua raiz quadrada.
25 = ?
1º Passo
25 − 1 = 24
2º Passo
24 − 3 = 21
3º Passo
21 − 5 = 16
4º Passo
16 − 7 = 9
5º Passo
9−9 = 0
Logo 25 é um quadrado perfeito e
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25 = 5
(… 5 passos)
2
728 é um quadrado perfeito?
728 = ?
1º Passo
728 − 1 = 727
2º Passo
727 − 3 = 724
3º Passo
724 − 5 = 719
4º Passo
719 − 7 = 712
5º Passo
…
712 − 9 = 703
26º Passo
52 − 51 = 1
27º Passo
51 − 53 = −1
Logo 728 não é um quadrado perfeito, mas podemos afirmar que 26 < 728 < 27 .
Exercício:
Utilizando o método chinês, verifica se os números seguintes são quadrados perfeitos.
Em caso afirmativo, determina a sua raiz quadrada. Caso contrário, indica os seus
valores aproximados às unidades, por defeito e por excesso.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
49
73
81
225
333
360
361
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3
Existe um processo, não tão simples, mas que permite calcular a raiz quadrada
de um número qualquer, com a aproximação desejada.
Vamos apresentar este método através de alguns exemplos.
Calculemos 1024 .
1. Começa-se por dividir o número, da direita para a esquerda, em grupos
de dois algarismos.
10 ⋅ 24
2. Determina-se a raiz quadrada do maior quadrado perfeito não superior ao
número formado pelo grupo da esquerda. No caso do nosso exemplo,
esse número é 3. De seguida, determina-se a diferença entre o número
formado pelo grupo da esquerda e o quadrado perfeito. No nosso
exemplo, 10 – 9 = 1.
10.24 3
− 9
1
3. À direita escreve-se o grupo seguinte de algarismos: 24. Debaixo do 3
escreve-se o seu dobro: 6.
10.24 3
−9
6
1 24
4. De 124, separa-se o algarismo da direita, 4, e divide-se o número à
direita, 12, por 6, obtendo-se 2. Coloca-se este quociente à direita do 6 e
multiplica-se o número assim obtido, 62, pelo quociente, 2.
10.24 3
−9
62
12 4
×2
124
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4
5. Como o produto obtido é menor ou igual que o numero se encontra à
esquerda, efectua-se a subtracção do segundo pelo primeiro. E aceita-se 2
como sendo o segundo número da raiz quadrada.
10.24 32
−9
62
12 4 × 2
− 12 4 124
0
Logo, 1024 = 32 .
Calculemos
728 .
1. Começa-se por dividir o número, da direita para a esquerda, em grupos
de dois algarismos.
7 ⋅ 28
2. Determina-se a raiz quadrada do maior quadrado perfeito não superior ao
número formado pelo grupo da esquerda. De seguida, determina-se a
diferença entre o número formado pelo grupo da esquerda e o quadrado
perfeito. No nosso exemplo, 7 – 4 = 3.
7.28 2
− 4
3
3. À direita escreve-se o grupo seguinte de algarismos: 28. Debaixo de 2
escreve-se o seu dobro: 4.
7.28 2
−4
4
3 28
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5
4. De 328, separa-se o algarismo da direita, 8, e divide-se o número à
direita, 32, por 4, obtendo-se 8. Coloca-se este quociente à direita do 4 e
multiplica-se o número assim obtido, 48, pelo quociente, 8.
7.28 2
−4
48
32 8 × 8
384
5. Como o produto obtido não é menor ou igual que o número que se
encontra à esquerda, não se efectua a subtracção do segundo pelo
primeiro. Tentamos o 7. O produto continua a ser superior ao número da
esquerda. Tentamos o 6.
6. Como o produto obtido é menor ou igual que o número que se encontra à
esquerda, efectua-se a subtracção do segundo pelo primeiro. E aceita-se 6
como sendo o segundo número da raiz quadrada.
Logo,
728 aproximada por defeito às unidades, é 26.
Exercício:
Calcula, por este método, as raízes quadradas de:
1.
2.
3.
4.
5.
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225
324
360
1225
9025
6
Vamos agora utilizar este método para calcular as raízes quadradas de 3 e de 5,
com valores aproximados por defeito a menos de 0,01.
Comecemos por verificar que:
• O quadrado de um número decimal tem sempre um número par de casas
decimais;
• O número de casas decimais da raiz quadrada é metade do número de
casas decimais do radicando.
Assim sendo, para que a aproximação seja a menos de uma centésima (0,01) o
radicando terá de ter quatro casas decimais. Podemos, então, utilizar o método
apresentado para calcular 3 e 5 :
Comecemos por
Portanto,
3.
3 ≈ 1,73
Vejamos agora
5.
5,00.00 2,23
−4
42
443
1 00
×2
×3
− 84
84 1329
1600
− 1329
0, 0 2 71
Portanto,
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5 ≈ 2,23
7
Exercício:
Calcule as raízes quadradas seguintes, com valores aproximados por defeito a
menos de 0,1. (Nota: Não esqueça que o número de casas decimais do radicando deve
ser sempre um número par)
1.
2.
3.
4.
5.
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2,56
3,24
7
122,5
90,25
8