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UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
CURSO: MATEMÁTICA - PROF. JCarlos Araújo - FOLHA 01
Disciplina: GEOMETRIA PLANA
A Geometria surgiu no Egito e na Babilônia, numa fase
intuitiva, não-axiomática, como uma coleção de regras práticas
sugeridas pela experiência, objetivando principalmente aplicações
às medições.
Com caráter dedutivo, apoiada em proposições gerais teve
seu início na antiga Grécia, com Tales de Mileto (640-546 a.C.) e
Pitágoras (580-500 a.C.). O aprimoramento deu-se com as
excelentes obras de Eudoxo e Arquimedes, devendo-se ainda
ressaltar o magistral livro de Euclides, os Elementos.
O primeiro sistema axiomático apareceu em Euclides, na sua
famosa obra Elementos, escrita entre 330 e 320 a.C. Este livro
pode-se afirmar sem cometer uma falsidade, teve mais influência
na civilização do que qualquer outra criação do gênio grego.
É um trabalho digno de admiração, que permaneceu sem
contestação até finais do século XIX, a não ser críticas ao V
postulado, que já aparecem com Proclo (410-485 d.C.).
Foram tantas as edições nas mais diversas línguas que se
acredita que somente a Bíblia ultrapassa esse trabalho, no que se
refere à divulgação.
Euclides baseou o desenvolvimento da Geometria nas
chamadas noções comuns, princípios aceitos por todos os ramos do
conhecimento, como, por exemplo, “o todo é maior que qualquer de
suas partes” e mais um grupo de postulados, proposições
geométricas específicas.
Os postulados são:
I. Pode-se traçar uma reta por quaisquer dois pontos.
II. Pode-se continuar uma reta infinitamente.
III. Pode-se descrever uma circunferência com qualquer centro e
qualquer raio.
IV. Todos os ângulos retos são iguais.
V. Se uma reta corta duas outras retas e a soma de dois ângulos
colaterais internos é menor que dois ângulos retos, as duas retas
continuadas infinitamente encontram-se no lado no qual a soma é
menor que dois retos.
Durante muito tempo, distinguiu-se axioma de postulado.
Os axiomas eram proposições evidentes por si mesmas, e
postulados, proposições que se pediam fossem aceitas sem
demonstração.
Hoje, axiomas e postulados são designações das proposições
admitidas sem demonstração. Constituem o ponto de partida de
uma teoria dedutiva. Atualmente, emprega-se sempre a palavra
axioma em lugar de postulado.
Observe-se que, ao que tudo indica, em Euclides, reta é o que
chamamos hoje de segmento. Daí, falar em prolongamento
indefinido da reta.
Já na Antiguidade, Proclo de Alexandria não aceitava o V
postulado, pois achava que este poderia ser demonstrado a partir
dos conceitos básicos da obra euclidiana, sendo, portanto, na
realidade um teorema.
A questão em torno deste assunto levantada por muitos
críticos que, posteriormente, seguiram a idéia de Proclo, levou ao
aparecimento das Geometrias não-Euclidianas, começando com a
obra de Girolamo Saccheri (1607-1733). A este trabalho seguiramse as investigações de Legendre. Com Gaus, Bolyai, Lobatschevski
nasce realmente a Geometria não-Euclidiana, que é complementada,
em outra direção, com Riemann. Isto tudo, na realidade, foi uma
demonstração da independência do V postulado, isto é, Euclides
tinha razão.
Introdução do livro FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA de Benedito
Castrucci.
Ainda que de forma informal procure justificar as
seguintes afirmações:
01. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
02. As bissetrizes de dois ângulos
suplementares são perpendiculares.
adjacentes
e
03. Admitindo que dois ângulos alternos internos, formados
por duas paralelas cortadas por uma transversal, são
congruentes, mostre que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180o.
04. Definimos ângulo externo de um triângulo o suplemento
do ângulo interno. Mostre que cada ângulo externo de um
triângulo é igual a soma dos dois ângulos internos não
adjacentes a ele.
05. No quadrilátero côncavo representado a seguir, o
ângulo α = a + b + c.
b
c
a
α
06. Qualquer que seja o triângulo, o ângulo formado pelas
bissetrizes internas de dois de seus ângulos internos,
excede 90o da metade do terceiro ângulo interno. Isto é,
num triângulo ABC, o ângulo formado pelas bissetrizes
internas dos ângulos B e C é igual a 90o +
A
.
2
07. No triângulo, o ângulo formado pelas bissetrizes de
dois de seus ângulos externos, é menor que 90o a metade
do terceiro ângulo interno. Isso significa que num triângulo
ABC, o ângulo formado pelas bissetrizes externas dos
ângulos B e C é igual a 90o -
A
.
2
08. Num triângulo, o ângulo formado pelas bissetrizes
interna e externa de dois de seus ângulos, é igual a metade
do terceiro ângulo interno. Portanto, num triângulo ABC, o
ângulo formado pelas bissetrizes interna e externa,
respectivamente, dos ângulos B e C, é igual a
A
.
2
09. Num triângulo isósceles, os ângulos adjacentes a base
são congruentes. Lembre-se que os casos de congruência
(LAL, ALA e LLL) estabelecem condições suficientes para
que dois triângulos sejam congruentes.
10. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de
gênero “n” é dada por S = 180º.(n – 2).
11. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre
360º.
12. Num triângulo retângulo a mediana
hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.
relativa
à