Introdução à Lógica.

Introdução à Lógica Formal
Disciplina de Introdução a Lógica
12/03/2015
Introdução
É razoável esperar que a relação entre a computação e a lógica
matemática produza tantos frutos... quanto a que se instalou
entre a Análise Matemática e a Física no curso do século XIX
(John McCarthy, 1963).
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Introdução
•
O que é Lógica?
1. O estudo da Lógica é o estudo dos métodos e princípios
usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto
(Copi, 2001);
2. A Lógica formal é uma ciência que determina as formas
corretas (ou válidas) de raciocínio (Dopp, 1970);
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Introdução
•
O que é Lógica ?
1. Lógica é o estudo dos argumentos.
2. Um argumento é uma sequência de enunciados na qual
um dos enunciados é a conclusão e os demais são
premissas, as quais servem para provar a conclusão
(John Nolt, 1991).
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Introdução
•
Por exemplo:
– Sócrates é homem.
– Todos os homens são mortais.
– Logo, Sócrates é mortal.
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Introdução
•
Por exemplo:
–
Há exatamente 136 caixas de laranja no
depósito.
–
Cada caixa contém pelo menos 140 laranjas.
–
Nenhuma caixa contém mais do que 166
laranjas.
–
Logo, no depósito estão pelo menos 6 caixas
contendo o mesmo número de laranjas.
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Introdução
●
●
O objeto de estudo da lógica é o argumento
para entender se o argumento é válido ou
não.
A lógica serve para nos dizer quando
estamos ou não diante de argumentos e
quando estes são válidos
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Introdução
•
É válido?
–
Ha exatamente 136 caixas de laranja no
depósito.
–
Cada caixa contém pelo menos 140 laranjas.
–
Nenhuma caixa contém mais do que 166
laranjas.
–
Deste modo, no depósito estão pelo menos 6
caixas contendo o mesmo número de laranjas.
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Introdução
•
É válido?
–
Alguns números são pares.
–
Alguns números são impares.
–
Logo, alguns números são pares e impares.
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HISTÓRIA DA LÓGICA
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História da Lógica
•
Lógica Aristotélica
– O estudo das condições para um dado
raciocínio estar correto.
– Desenvolvida por Platão e sintetizada por
Aristóteles.
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História da Lógica
•
Lógica Medieval
–
Nos séculos XIII a XV foram realizados
progressos na lógica aristotélica.
–
A lógica tornou-se mais sistemática e
progressiva.
–
A partir de um conjunto de premissas
universais, buscava-se explicar todos os
fenômenos por meio do processo dedutivo.
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História da Lógica
•
Período Moderno – Lógica matemática
–
Concepção de uma nova linguagem simbólica para
transformar a lógica numa álgebra.
–
A lógica passou a ser vista como um calculo, tal como a
álgebra.
–
É atribuído a George Boole (1815-1864) a criação da
lógica matemática.
–
A álgebra booleana é fundamental para o desenho dos
circuitos dos computadores.
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História da Lógica
•
Período Moderno – Lógica matemática
–
No século XIX são criados os seguintes sistemas lógicos: o
cálculo proposicional e o cálculo de predicados.
–
Frege (1848-1925) introduziu a função proposicional, o uso
de quantificadores e a formação de regras de inferência
primitivas.
–
Frege procurou transformar os raciocínios dedutivos em
demonstrações matemáticas.
–
Tudo deveria ser matematicamente explicado.
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História da Lógica
•
Período Contemporâneo
–
A lógica possui atualmente um sistema completo de
símbolos e regras de combinação de símbolos para obter
conclusões válidas.
–
Este fato torna a lógica uma ferramenta para construção
de computadores e máquinas inteligentes.
–
Máquinas que imitam as nossas capacidades intelectuais.
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AS BASES DA LÓGICA
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Primitivas Lógicas
•
A lógica possui as seguintes noções primitivas:
1) A noção de proposição e da verdade de uma proposição;
2) A noção de asserção ou julgamento;
3) A noção de evidência ou de prova de um julgamento;
4) A noção de correção ou validade de uma prova.
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1) Proposição e valor verdade
•
Combinação de um substantivo e de um verbo,
constituindo um sentença declarativa à qual se
pode atribuir um valor verdade (verdadeiro ou
falso).
Por exemplo:
•
– O homem aprende;
– O céu é azul;
– Hoje é terça-feira.
•
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Estão excluídas, entre outras, sentenças
interrogativas, auto-referentes.
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Proposição e os Princípios da
Lógica
●
Princípio da Identidade:
–
A é A e não pode ser B, C ou D...
–
Uma proposição é o que é.
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●
O que é, é; e
●
o que não é, não é.
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Proposição e os Princípios da
Lógica
●
Princípio da Não Contradição
–
Uma coisa não pode ser e não ser ao mesmo tempo.
–
Por exemplo:
●
Tereza é e não é Palotinense.
–
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo;
–
Uma proposição e a sua negação não podem ser
simultaneamente verdadeiras; e
–
Duas proposição contraditórias não podem ser
simultaneamente verdadeiras.
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Proposição e os Princípios da
Lógica
●
Princípio do Terceiro Excluído
–
Uma coisa deve ser, ou então não ser; não há
uma terceira possibilidade.
–
Uma proposição é verdadeira, ou então é falsa;
não há outra possibilidade, não há meio termo.
–
Em duas proposições contraditórias, se uma é
verdadeira, a outra é falsa, e se uma é falsa, a
outra é verdadeira, não há meio termo.
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2) Noção de asserção ou
julgamento
• A lógica Aristotélica é o estudo da concepção, do
julgamento, e do raciocínio;
– Os conceitos são expressos por termos gerais.
Por exemplo:
• Homem, Sócrates, etc.
–
Os julgamentos são expressos por proposições constituídas
por dois conceitos e pelo verbo “é” ou “não é”
Por exemplo:
●
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Sócrates é um homem.
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2) Noção de asserção ou
julgamento
– Os raciocínios ou inferências são sequências
de proposições pela qual se obtêm uma
conclusão.
Por exemplo:
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●
Sócrates é homem.
●
Todos os homens são mortais.
●
Logo, Sócrates é mortal.
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Universal X Individual
●
As proposições podem ser:
●
●
Termos gerais (universais) X termos singulares
(individuais);
As proposições podem ser relacionadas
logicamente de acordo com o “quadrado lógico”
ou “ tábua de oposições”.
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Universal X Individual
• Tipos de proposições e exemplos:
– A: Afirmação universal. Por exemplo:
• Todo homem é mortal;
– E: Negação universal. Por exemplo:
• nenhum homem é mortal;
– I: Afirmação particular. Por exemplo:
• Algum homem é mortal;
– O: Negação particular. Por exemplo:
●
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Algum homem não é mortal.
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Universal X Individual
Tábua de oposições
ias
r
ó
t
di
a
r
t
con
I
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E
subalternas
subalternas
A
contrárias
subcontrárias
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O
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Universal X Individual
• Relacionamento entre proposições :
– A e E são ditos contrários: se a proposição A é
verdadeira então E é falsa. Por exemplo:
• Todo homem é mortal (A).
• Nenhum homem é mortal (E).
– A e O e também E e I são contraditórios. Por
exemplo:
●
Todo homem é mortal (A).
●
Algum homem não é mortal (O).
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Universal X Individual
– I e O são subcontrários: não podem ser ambos
falsos.
Por exemplo:
●
●
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Algum homem é mortal (I);
Algum homem não é mortal (O).
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Universal X Individual
–
I é subalterno de A, e O é subalterno de E; se
A é verdadeira, I também o é, e se E é
verdadeira então O também o é. Por exemplo:
●
●
●
●
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Todo homem é mortal (A).
Algum homem é mortal (I).
Nenhum homem é mortal (E).
Algum homem não é mortal (O).
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Universal X Individual
• Além do Tábua de Opodições:
– O matemático Euler representou quatro relações
lógicas na forma de diagramas de conjuntos
(diagramas de Venn-Euler).
– Seja S o termo sujeito. Se P é um predicado, então
as proposições podem ser representadas pelos
diagramas a seguir.
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Universal X Individual
• Proposição A: inclusão total
(todo S é P)
P
S
• Proposição E: exclusão total
(nenhum S é P)
P
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S
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Universal X Individual
• Proposição I: inclusão parcial de S em P
(algum S é P)
S
P
• Proposição O: exclusão parcial de S em P
(algum S não é P)
S
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P
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3) Evidência ou prova de um
julgamento
• Os raciocínios lógicos ocorrem na forma de
sequências de proposições geradas por
inferências imediatas obtidas da tábua de
oposições.
• Um silogismo é um discurso no qual, estando
dadas certas proposições (premissas), uma nova
proposição conclusão é obtida necessariamente e
unicamente a partir das premissas.
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3) Evidência ou prova de um
julgamento
• Usualmente os silogismos são apresentados da
seguinte forma:
– Premissa maior
– Premissa menor
– Conclusão
• Seja termo menor (S) é o sujeito da conclusão, o
termo maior (P) é o predicado da conclusão, e o
termo comum às premissas é o termo médio (M).
12/03/15
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Evidência ou prova de um
julgamento
• Exemplos:
– Todos os mamíferos são vertebrados (P) (premissa
maior)
– Todos os homens (S) são mamíferos (premissa
menor)
portanto
– Todos os homens são vertebrados (conclusão).
(S)
(P)
– Termo Médio M: Mamíferos
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4) Correção ou validade de
uma prova
• Nem todos os silogismos são válidos;
• O estudo da Lógica por Aristóteles, e
posteriormente na idade média, buscou separar
os silogismos válidos;
• Pode-se deduzir a validade ou não de um
silogismo a partir dos diagramas de Venn-Euler
correspondentes;
12/03/15
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4) Correção ou validade de
uma prova
• Exemplo:
– Todos os animais venenosos (M) são perigosos (P) <tipo A>;
– Algumas serpentes (S) são animais venenosos (M) <tipo I>;
Portanto
– Algumas serpentes (S) são perigosas (P) <tipo I>.
P
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M S
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Correção ou validade de uma
prova
• Verdade e validade (ou correção):
–
Um silogismo é válido (correto) sse (se e somente se) a
verdade da conclusão segue necessariamente da verdade
das premissas;
– Os silogismos portanto “transmitem” a verdade das
premissas à conclusão;
– Exclui a possibilidade de que um silogismo válido possa ter
premissas verdadeiras e conclusão falsa;
– Não exclui a possibilidade de que a conclusão de um
silogismo válido seja falsa se a premissa for falsa.
12/03/15
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Correção ou validade de uma
prova
Exemplo:
– Todos os animais marinhos são peixes (F);
– Todas as baleias são animais marinhos (V);
Portanto:
– Todas as baleias são peixes (F).
12/03/15
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Correção ou validade de uma
prova
Exemplo:
– Nenhum submarino de propulsão nuclear (M) é navio
Mercante (P).
– Todos os Submarinos de propulsão Nuclear (M) são
vasos de guerra (S).
Portanto:
– Nenhum vaso de guerra (S) é Navio Mercante (P).
(falso)
S
M
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S
P
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Exercícios
1) Indique a forma do silogismo (termos, tipos e
diagrama), e indique se mesmo é válido ou não:
a)
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Todos os gregos são homens;
Todos os atenienses são gregos;
Todos os atenienses são homens.
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Exercícios
b) Todos os socialistas são marxistas;
Alguns governantes são marxistas;
Alguns governantes são socialistas.
c)
12/03/15
Todas as ações penais são atos cruéis;
Todos os processos por homicídio são ações penais;
Todos os processos por homicídio são atos cruéis.
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Exercícios
d) Alguns papagaios não são animais nocivos;
Todos os papagaios são animais de estimação;
Nenhum animal de estimação é nocivo.
e) Nenhum ator dramático é um homem feliz;
Alguns comediantes não são homens felizes;
Alguns comediantes não são atores dramáticos.
12/03/15
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Exercícios
2. Escreva na forma típica, indique termos,
diagrama, e verifique a validade:
a) Alguns sempre-verdes são objetos de culto, porque
todos os abetos são sempre-verdes e alguns objetos de
culto são abetos;
b) Todos os satélites artificiais são importantes
realizações científicas, portanto, algumas importantes
realizações científicas não são invenções americanas, à
medida que alguns satélites artificiais não são invenções
americanas.
12/03/15
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Exercícios
c) Nenhum ator de televisão é contador público, mas
todos os contadores públicos são homens de bom
senso comercial; segue-se que nenhum ator de
televisão é homem de bom senso comercial.
d) Alguns conservadores não são defensores de
tarifas elevadas, porque todos os defensores de
tarifas elevadas são republicanos, e alguns
republicanos não são conservadores.
12/03/15
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Exercícios
e) Todos os aparelhos de alta fidelidade são
constituídos de mecanismos caros e delicados, mas
nenhum mecanismo caro e delicado é um brinquedo
adequado para as crianças; por conseqüência,
nenhum aparelho de alta fidelidade é um brinquedo
adequado para crianças.
f) Todos os delinqüentes juvenis são indivíduos
desajustados e alguns delinqüentes juvenis são
produtos de lares desfeitos; logo, alguns indivíduos
desajustados são produtos de lares desfeitos.
12/03/15
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Exercícios
g) Todas as pessoas são compostos orgânicos; daí,
todas as enzimas são proteínas, porque todas as
enzimas são compostos orgânicos.
h) Nenhum carro de corrida foi feito para ser
conduzido em velocidades moderadas, mas todos os
automóveis destinados a uso familiar são veículos
feitos para serem conduzidos em velocidades
moderadas; segue-se, então, que nenhum carro de
corrida é automóvel destinado a uso familiar.
12/03/15
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Referências
COPI, Irving. M. Introdução à lógica. São Paulo:
Mestre Jou, 2001.
MURCHO, Desidério, Introdução à Lógica. 1999.
Disponível em: http://dmurcho.com/docs/introlog.pdf
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