CAPÍTULO VI - MTM

CAPÍTULO VI
POLINÔMIOS
6.1 Informações Gerais.
O primeiro contato que se tem com polinômios é através das equações.
Uma equação da forma anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0, com n  N é
chamada de equação polinomial. Existem equações que não são
polinomiais, por exemplo ex = 0, sen x + 3 = x.
As equações polinomiais aparecem desde a antigüidade; no Papiro de
Ahmes, de cerca de 1500 AC, um dos problemas que aparece é “ Uma certa
quantidade, somada a seus 2/3, mais sua metade e mais sua sétima parte
perfaz 33. Qual é esta quantidade?”
A transcrição simbólica deste problema é : x +
2x x x
   33 que é uma
3 2 7
equação polinomial de grau 1.
Vários matemáticos trabalharam com equações polinomiais,
principalmente na pesquisa de fórmulas que permitissem a obtenção de
suas raízes, citamos aqui, Alkhowarizmi, Bhaskara, Cardano, Tartaglia,
Ferrari, Bombelli, Viète, Diofanto, Fermat, Gauss, D’Alembert, Bolzano,
Abel, Galois.
Salientamos que no século IX, Alkhowarizmi apresentou importantes
conclusões sobre a resolução de equações do 1 o e 2o graus e somente no
século XII, Bhaskara apresentou a fórmula de resolução de uma equação
do 2o grau.
No século XVI, Cardano, Tartaglia e Ferrari propuseram fórmulas para
resolver equações de 3o e 4o graus. Em 1824, Abel demonstrou que uma
equação do 5o grau não pode ser resolvida através de radicais e cerca de 5
anos após, Galois demonstrou que a impossibilidade apontada por Abel se
estendia às equações polinomiais de grau maior que 4. Em 1798 em sua
tese de doutorado, Gauss demonstrou que toda equação polinomial de grau
n admite pelo menos uma raiz complexa. Na realidade, apesar de
descrevermos os resultados das pesquisas na linguagem moderna, não sei
quando surgiu a denominação de polinômios, talvez o início tenha sido
dado por Diofanto que usou pela primeira vez um símbolo literal para
representar o desconhecido e por Gauss que apresentou a idéia de adição
formal quando estudou formas quadráticas; estas são idéias básicas para a
representação de polinômios.
O surgimento da teoria de polinômios, na metade do século XIX, está
estreitamente ligada a teoria dos corpos comutativos, e seu
130
desenvolvimento ao desenvolvimento da álgebra abstrata. O
desenvolvimento da álgebra abstrata e consequentemente dos polinômios
deveu-se principalmente aos trabalhos de Gauss e Galois.
Dos matemáticos que deram sua contribuição ao desenvolvimento da
teoria de polinômios citamos ainda Kronecker, que mostrou a
independência da teoria de números algébricos com relação ao teorema
fundamental da álgebra (Gauss), mostrando que todo corpo de números
algébricos ( de grau finito) é isomorfo a um corpo de restos Q[x]/(f), onde f
é um polinômio irredutível sobre Q.
No capítulo anterior já introduzimos a idéia de polinômio e vejamos
aqui a relação do que foi apresentado com a notação usual utilizada na
representação de um polinômio. Continuaremos considerando A um anel
comutativo com unidade.
A seqüência X = ( 0 1 0 0 0 ...) é a indeterminada sobre A.
Lembrando a definição da multiplicação definida em 5.8 temos:
X2 = (0 0 1 0 0 0 ...)
X3 = (0 0 0 1 0 0 0 ...)
X4 = (0 0 0 0 1 0 0 0 ...) e assim por diante.
Dado o polinômio f = (a0 a1 a2 a3 ... an 0 0 0 ...) temos:
f = (a0 0 0 0 ...) + (0 a1 0 0 0 ...) + (0 0 a2 0 0 0 ...) + ...+ (0 0 0 ... an 0 0 0
...) = a0 + a1(0 1 0 0 0 ...) + a2(0 0 1 0 0 0 ...) + ... + an(0 0 0 ... 1 0 0 0 ...) =
a0 + a1X + a2X2 + a3X3 + ... + anXn.
O penúltimo passo será explicado posteriormente.(*)
Anotaremos por A[X] = {a0 + a1X + a2X2 + ... + anXn | a0, a1, ...,an  A, n
N}
o anel dos polinômios sobre A.
Para representar um polinômio de uma forma mais concisa podemos
utilizar
n
f=
a X
i 0
i
i
.
Os elementos ai são chamados de coeficientes do polinômio f.
f = ( 0 0 0 ....) é chamado de polinômio nulo.
f = ( 1 0 0 0 ...) é a unidade do anel A[X].
6.1.1 Dispositivo prático para a multiplicação de polinômios.
131
Sejam f = ( a0 a1 a2 a3 a4 0 0 0...) , g = (b0 b1 b3 0 0 0 ...).
Colocamos os coeficientes ai e bj em uma tabela e multiplicamos todos os
ai pelos bj, somamos os produtos em cada diagonal e obtemos assim cada
coeficiente do polinômio produto f.g.
a0
a1
a2
a3
a4
b0
a0 b 0
a1 b 0
a2 b 0
a3 b 0
a4 b 0
b1
a0 b 1
a1 b 1
a2 b 1
a3 b 1
a4 b 1
b2
a0 b 2
a1 b 2
a2 b 2
a3 b 2
a4 b 2
b3
a0 b 3
a1 b 3
a2 b 3
a3 b 3
a4 b 3
Assim temos, c0 = a0b0, c1 = a0b1+a1b0, c2 = a0b2+a1b1+a2b0 , c3 = a0b3
+a1b2 +a2b1+a3b0, c4 = a0b4 + a1b3+a2b2+a3b1+a4b0 = 0 +
a1b3+a2b2+a3b1+a4b0, ...
Definição 6.1.1
Seja f = (ai) um polinômio não nulo.
Chama-se grau de f, e representa-se por gr(f), o número
natural n tal que an  0 e ai = 0 para todo i > n.
Neste caso dizemos que an é o coeficiente dominante.
Exemplos
1. f = (4 0 3 0 2 2 0 0 0 ....) possui grau 5 e o coeficiente dominante é 2.
2. f = (1 0 0 0 ...) possui grau 0 e o coeficiente dominante é 1.
Vejamos os recursos disponíveis no Maple.
f:=3*x^6-4*x^4+3*x^3+2*x^2-x+5:
coeff(f,x^4);
-4
coeffs(f); determina todos os coeficientes, mas a ordem não é mantida.
5, -1, -4, 2, 3, 3
lcoeff(f); determina o coeficiente dominante.
3
tcoeff(f); determina o coeficiente do termo de grau zero.
5
132
degree(f);
6
Teorema 6.1.1
Sejam f = (ai) e g = (bi) polinômios não nulos de A[X].
Então,
1. ou f + g = 0 ou gr(f+g)  max{gr(f),gr(g)}
2. Se gr(f)  gr(g), então gr(f+g) = max{gr(f),gr(g)}.
3. ou f.g = 0 ou gr(f.g)  gr(f) + gr(g)
4. Se gr(f) = n, gr(g) = m ,e an ou bm não é divisor próprio de zero, então
g(f.g) = n + m.
Prova.
1. Sendo f + g = (ci) e s = max{gr(f),gr(g)}, temos:
ci = ai + bi = 0 + 0 = 0 para i > s, portanto, ou f + g = 0 ou gr(f+g)
 s.
2. Sendo gr(f)  gr(g), suponhamos que gr(f) = n > gr(g), temos:
cn = an + bn = an + 0 = an  0 e ci = 0 para i > n, portanto, gr(f+g) =
n = max{gr(f),gr(g)}.
3. Sendo gr(f) = n, gr(g) = m e f.g = (ck), temos:
cn+m+p = a0bn+m+p + a1bn+m+p-1 + ... + anbm+p + ... + an+m+pb0,
e como bj = 0 para j>m e ai = 0 para i > n temos que cn+m+p = 0 para todo p
natural. Assim, ou f.g = 0 ou gr(f.g)  n + m.
4. Por outro lado, cn+m = a0bn+m + a1bn+m-1 + a2bn+m-2 + ... + anbm + ... +
an+mb0 = anbm.
Supondo que an não é um divisor próprio de zero temos que anbm 
0 e assim gr(f+g) = n + m.
Exemplos
1. f = (1 2 3 0 0 0 ...), g = ( -1 -2 -3 0 0 0 ...)  Z[X].
gr(f) = 2 e gr(g) = 2.
f+g = (0 0 0 0 0 ...).
2. f = ( 1 2 3 4 0 0 0 ...), g = ( -1 -2 -3 0 0 0)  Z[X].
133
gr(f) = 3 e gr ( g ) = 2.
f+g = (0 0 0 4 0 0 0 ...) e gr(f+g) = 3 = max{3,2}.
3. f = ( 2 2 0 0 0 ...), g = ( 0 0 2 0 0 ...)  Z4[X].
gr(f) = 1 e gr(g) = 2.
f.g = ( 0 0 0 ...)
4. f = ( 2 1 3 0 0 ...), g = ( 1 2 0 0 ...)  Z6[X].
gr(f) = 2 e gr(g) = 1.
f.g = ( 2 5 5 0 0 ...) e gr(f.g) = 2 < 2 + 1 = gr(f) + gr(g).
5. f = ( 3 -2 1 2 0 0 0 ...), g = (1 0 2 0 0 0 ...)  Z[X].
gr(f) = 3 e gr(g) = 2, a3 = 2 não é um divisor próprio de zero.
f.g =( 3 -2 7 -2 2 4 0 0 0...) e gr(f.g) = 5 = 3 + 2 =gr(f) + gr(g).
Teorema 6.1.2
L = {(a 0 0 0 ...) | a  A} é um subanel de A[X].
Teorema 6.1.3
A é isomorfo a L.
Prova.
Basta apresentar um isomorfismo entre A e L.
F: A  L
a  (a 0 0 0 ...) é um isomorfismo.
Sejam a, b  A.
1. F(a+b) = (a+b 0 0 0 ...) = (a 0 0 0 ...) + (b 0 0 0 ...) = F(a) + F(b)
2. F(a.b) = (a.b 0 0 0 ...) = (a 0 0 0 ...) .(b 0 0 0 ...) = F(a).F(b)
3. N(F) = {0} e portanto F é injetora
4. Im(F) = L e portanto F é sobrejetora.
Logo, F é um isomorfismo.
Como A é isomorfo a L podemos identificar os elementos de L com os
elementos de A, ou seja, (a 0 0 0 ....) = a.
Isto justifica (*).
Teorema 6.1.4
Se A é um anel de integridade, então A[X] é um anel de
integridade.
6.1.2 Elementos inversíveis
134
U(A[X]) = {f  A[X] |  g  A[X] e f.g = g.f = 1}
É evidente que U(A)  U(A[X]).
Quando A é um anel de integridade temos que U(A[X]) = U(A).
f  U(A[X])  g  A[X] tal que f.g = 1.
f.g = 1  gr(f.g) = gr(1) = 0  gr(f) + gr(g) = 0  gr(f) = gr(g) = 0
 f  U(A).
Observe que U(R[X]) = R*, U(Q[X]) = Q*, U(Z[X]) = U(Z) = {1, -1},
U(Zp[X]) = U(Zp).
6.2 Algoritmo de Euclides
Já conhecemos o Algoritmo de Euclides ( algoritmo da divisão) em Z e
em Z[i], vejamos agora este algoritmo aplicado em polinômios. A partir de
agora vamos utilizar a notação usual para polinômios.
Quais os recursos do software Maple para isto?
f:=2*x^3+3*x^2+5:
q:=quo(f,g,x);
g:=3*x+1:
2 2 7
7
q := x  x 
3
9
27
r:=rem(f,g,x);
r :=
142
27
g*q+r;
7  142
2 2 7
( 3 x 1 )  x  x  
9
27  27
3
simplify(");
3
2
2 x 3 x 5
Assim, vemos que f = g.q + r.
O que acontece se fizermos a divisão de g por f?
quo(g,f,x);
0
rem(g,f,x);
3 x 1
Aqui também temos g = f.q + r.
135
Podemos também observar que f, g  Z[X], no entanto q e r (na primeira
situação) não pertencem a Z[X].
Já podemos perceber que devemos analisar várias situações.
Teorema 6.2.1
Seja K um corpo. ( Podemos pensar em K = R, Q, C ou Zp)
Dados f, g  K[X] tal que g  0, existem q, r  K[X] tal que
f = g.q + r com r = 0 ou gr(r) < gr(g). Além disso q e r são únicos.
Prova.
Se f = 0, tome q = r = 0. Temos f = g.q + r.
Seja f  0.
Se gr(f) < gr(g), tome q = 0 e r = f. Temos f = g.q + r.
Seja gr(f)  gr(g).
n
Anotando gr(f) = n e gr(g) = m, escrevemos f =
 a i Xi e g =
i0
m
b X
i 0
i
i
Faremos a prova usando a indução sobre n.
Mostremos que o teorema é verdadeiro para n = 0.
n = 0 e n  m  m = 0. Portanto, f = a0 e g = b0.
Tome q = b0-1.a0 e r = 0. ( Lembre que K é corpo)
Suponhamos que o teorema seja verdadeiro para os polinômios de
grau k, com k < n.
Mostremos que o teorema é verdadeiro para os polinômios de grau n.
Tome h = anbm-1Xn-m . Considere f1 = f - h.g.
Se f1 = 0, temos f = h.g e r = f1 = 0.
Caso contrário f1 tem grau e gr(f1) < gr(f). ( Observe que podemos
ter gr(f1) < gr(g) ou gr(f1)  gr(g) ).
Pela hipótese de indução, existem q 1, r1  K[X] tal que f1 = q1.g +
r1, com r1 = 0 ou gr(r1) < gr(g).
Portanto, q1.g + r1 = f - g.h, ou seja, f = q1.g + h.g + r1 = (q1 + h).g
+ r1
Assim, existem q = q1 + h e r = r1  K[X] tal que f = g.q + r, com r
= 0 ou gr(r) < gr(g).
Vejamos agora que o quociente e o resto são únicos.
Sejam q1, q2, r1, r2 tais que f = q1.g + r1 = q2.g + r2, com ri = 0 ou
gr(ri)< gr(g).
(q1 - q2).g = r2 - r1.
Suponhamos q1  q2. Então g((q1 - q2).g) = gr(q1 - q2) + gr(g) 
gr(g)
Isto é um absurdo pois, gr(r2 - r1) < gr(g).
136
Logo, q1 = q2 e r1 = r2.
O leitor é convidado a analisar este teorema para os casos Z[X] e Z n[X].
6.3 Raízes de Polinômios
Conhecemos várias funções que têm como lei uma expressão
polinomial, por exemplo, função quadrática, função linear, função
biquadrática,... .
Exemplos.
1. f: R  R, f(x) = 3x2 + x + 1.
f é chamada de função quadrática.
Qual o valor (imagem) de f no número 1?
f(1) = 3(1)2 + 1 + 1 = 5.
No Maple temos:
f:=x->3*x^2+x+1: f(1);
5
Qual o valor de f no número –5?
f(-5);
71
2. g: R  R, g(x) = 4x3 + 2
g é chamada de função cúbica.
Qual o valor de g em 1 e em –5?
g:=x->4*x^3+2:
g(1);
6
g(-5);
-498
137
Podemos perceber a estreita relação entre estas funções e polinômios,
temos:
f = 3x2 + x + 1, g = 4x3 + 2.
Fixados os elementos a0, a1, a2, a3, ..., an  A podemos definir a
seguinte função f: A  A, onde f(X) =
n
a X
i0
i
i
. Esta função é chamada de
função polinomial. f(X) é chamado de valor de f em X.
O valor de f = 3x2 + x + 1 em 1 é 5, o valor de f em -5 é 71.
Definição 6.3.1
Quando o valor de f em um elemento é zero, dizemos que
este elemento é raiz de f.
Em geral não estamos interessados em deixar o elemento chamado raiz tão
solto como aparece na definição. Queremos determinar raízes dentro de um
anel específico. Uma pergunta clássica é: dado um polinômio f  R[X],
este polinômio f possui raízes inteiras?
Vejamos primeiro alguns recursos do Maple com relação a raízes.
f:=x->3*x^2+x+1:
solve(f(x),x); determina todas as raízes complexas de f.
1 1
1 1
  I 11 ,   I 11
6 6
6 6
fsolve(f(x),x,complex); determina todas as raízes com aproximação.
.1666666667.5527707984 I, .1666666667.5527707984 I
isolve(f(x),x); determina as raízes inteiras.
f não possui raízes inteiras.
h:=x^4-6*x^3+6*x^2+12*x-16:
isolve(h,x);
{ x 2 }, { x 4 }
solve(h,x);
2, 4, 2 ,  2
138
fsolve(h,x);
-1.414213562, 1.414213562, 2.000000000, 4.000000000
f:=x^2-x:
msolve(f,6); determina as raízes de f no anel Z6.
{ x 0 }, { x 1 }, { x 3 }, { x 4 }
Teorema 6.3.1 (Teorema do resto)
Seja A[X] um anel onde podemos utilizar o algoritmo de
Euclides. ( Tal anel é chamado de anel euclidiano).
Sejam f  A[X] e a  A.
Existe q  A[X] tal que f = q(X - a) + f(a).
Prova.
Pelo algoritmo de Euclides, existem q, r  A[X] tais que f = q(X - a)
+r
com r = 0 ou gr(r) <1.
Se r = 0, então f(a) = q(a)(a - a) = 0 = r.
Se r  0, então gr(r) < 1. Portanto, gr(r) = 0, ou seja, r  A.
Assim, f(a) = q(a)(a - a) + r(a) = r.
Logo, f = q(X - a) + f(a).
Exemplo.
Sejam f = x3 + x2 –4x + 5  Z[x] e a = 1.
Temos que f(1) = 13 + 12 –4(1) + 5 = 3
Sabemos que existe q  Z[x] tal que f = q(x – 1) + 3
Como f(1)  0, 1 não é raiz de f.
Como r  0 temos que x – 1 não divide f.
Isto nos leva ao seguinte teorema.
Teorema 6.3.2 (Teorema de D’Alembert)
Seja A[X] como no teorema anterior.
(X - a) | f  a é raiz de f.
Prova.
Imediata pelo Teorema dos resto.
Dispositivo prático de Briot - Ruffini.
139
Serve para determinar o quociente e o resto na divisão euclidiana por X
- a e consequentemente para testar se determinados elementos são raízes do
polinômio dado.
Exemplo
f = 3X6 -4X4 + 3X3 + 2X2 - X + 5
3

3
0
-6
-6
-4
12
8
e X-a=X+2
3
-16
-13
2
26
28
-1
-56
-57
5
114
119
|
| -2
Logo, q = 3X5 - 6X4 + 8X3 - 13X2 + 28X -57 e r = 119.
Assim, sabemos que f(-2) = 119 e portanto -2 não é raiz de f.
Quais as raízes de f?
Sugerimos que o leitor utilize os recursos computacionais para determinar
as raízes.
6.4 Decomposição em fatores lineares
Seja f  A[X] de grau n. f =
n
a X
i0
i
i
Se d1  A é raiz de f, então existe q1  A[X] tal que f = q1(X - d1).
Se d2  A é raiz de f e d2  d1, então d2 é raiz de q1. Portanto, existe
q2  A[X] tal que f = q2(X - d1)(X - d2).
Assim sucessivamente se temos d1, d2, ..., dn todas as raízes de f em A
podemos escrever f = an(X - d1)(X - d2)...(X - dn) que é a decomposição
linear de f em A[X].
Na realidade não precisamos fazer a decomposição linear no anel onde
tomamos f, mas sempre devemos especificar onde queremos tal
decomposição.
Exemplo
Obter a decomposição linear de f = x3 – x2 –2x + 2 em R[x].
Devemos obter as raízes de f em R ( caso existam).
As possíveis raízes inteiras de f são 1 , 2.
f(1) = 0, portanto 1 é raiz de f.
140
Utilizando o dispositivo prático de Briot– Ruffini, obtemos f = (x2 –
2)(x – 1)
As outras raízes de f são as raízes de x2 – 2, ou seja,  2 e portanto
f=(x - 2 )(x + 2 )(x – 1).
É claro que f não possui uma decomposição linear em Z[x].
6.4.1 Relações de Girard
n
Seja f =
a X
i0
i
i
 R[X]
Sejam d1, d2, ..., dn as raízes de f em C.
Temos que:
a0 = an(-1)n d1.d2. ... .dn
a1 = an(-1)n-1(d1.d2. ... .dn-1 + d1.d2. ... .dn-2.dn + d1.d2. ... .dn-3.dn-1.dn + ...
+
d2.d3. ... .dn)
a2 = an(-1)n-2(d1.d2. ... .dn-2 + d1.d2. ... . dn-3.dn + d1.d2. ... .dn-4.dn-1.dn +
... + d3.d4. ... .dn + d2.d3. ... .dn-1 + ...+ ...) sempre se retira duas raízes.
--------------------------------------------------------------------------------------an-2 = an(-1)2(d1.d2 + d1.d3 + ... + dn-1.dn)
an-1 = -an(d1 + d2 + ... + dn)
Estas relações são chamadas de relações de Girard.
Um caso específico destas relações e já conhecido é quando temos o
seguinte problema: “a soma de dois números é -4 e seu produto é 10”.
Com estes dados e pelas relações de Girard temos f = X2 + 4X + 10 e
determinando as raízes de f obtemos a solução do problema.
Observe também o seguinte fato importante, como a 0 = an(-1)n d1.d2.
... .dn
temos que qualquer raiz de f é um divisor de a 0, portanto quando queremos
obter raízes inteiras ( por exemplo) ( leitor pense um pouco sobre isto) este
resultado juntamente com o “dispositivo de Briot-Ruffini” é bastante útil.
Teorema 6.4.1
Sejam A um anel de integridade, f  A[X] e f  0.
Então o número de raízes de f em A não ultrapassa gr(f).
Prova.
Faremos a prova por indução no gr(f).
141
gr(f) = 0  f = a0  0  f não possui raízes.
gr(f) = n > 0.
Suponhamos a afirmação verdadeira para todos os polinômios de
grau n-1.
Se f não possui raízes em A, então número de raízes = 0 < n.
Caso contrário, seja d  A uma raiz de f.
Portanto, existe q  A[X] tal que f = (X - d)q.
Se f só possui esta raiz, então número de raízes de f em A = 1  n.
Caso contrário, qualquer outra raiz de f, diferente de d é raiz de q.
Por outro lado temos que gr(f) = n = 1 + gr(q), ou seja, gr(q) = n - 1.
Pela hipótese de indução temos que q possui no máximo n - 1 raízes
em A.
Logo, f possui no máximo n raízes em A.
Corolário
Seja A um anel de integridade.
Sejam f, g  A[X] tais que gr(f) = gr(g) = n
Se existem d1, d2, ...,dn, dn+1  A, distintos entre si, tais que f(d i) =
g(di), 1  i  n+1, então f = g.
O leitor deve observar que a condição do anel ser de integridade é
essencial neste teorema.
Teorema 6.4.2 (Teorema Fundamental da Álgebra) - Karl F. Gauss (1799)
Seja A = Z, Q, R, C.
Qualquer polinômio não constante em A[X], possui todas
suas raízes em C.
Este teorema faz parte da tese de Doutorado de Gauss e devido
sua complexidade não o demonstramos aqui.
Observe que este teorema garante que qualquer polinômio em A[X] (A
=Z,Q,R,C) pode ser decomposto em fatores lineares de C[X].
Teorema 6.4.3 (Teorema de Bolzano)
Seja f  R[X].
Sejam c1, c2  R, distintos.
a) Se f(c1) > 0 e f(c2) > 0, então entre c1 e c2, f possui um número par de
raízes reais.
142
b) Se f(c1) < 0 e f(c2) > 0, então entre c1 e c2, f possui um número ímpar de
raízes reais.
Exemplos
1. f:=x->x^7+2*x^6+3*x^4+5:
solve(f(x),x);
7
6
4
RootOf( _Z 2 _Z 3 _Z 5 )
As raízes não são calculadas.
f(-1);
9
f(1);
11
Portanto entre -1 e 1, f possui um número par de raízes.
f(-3);
-481
Portanto entre -3 e -1, f possui um número ímpar de raízes.
with(plots): plot(f,x=-1..1);
plot(f(x),x=-3..-1);
143
O polinômio f possui 0 raízes reais entre -1 e 1 e possui 1 raiz real entre -3
e -1.
6.4.2 Interpolação de Lagrange
Dados a1, a2, ..., an  R distintos dois a dois e b 1, b2, ..., bn  R não
todos nulos desejamos determinar um polinômio f  R[X] de grau n-1 tal
que f(a1) = b1, f(a2) = b2, ..., f(an) = bn.
Isto significa geometricamente que dados os pontos (a 1,b1), (a2,b2), ...,
(an,bn) desejamos determinar a curva algébrica de grau n-1 que passa por
estes pontos.
Por exemplo, dados dois pontos, determinar a reta que passa por eles.
Vejamos como obter a curva quadrática que passa por três pontos não
colineares.
Sejam P1 = (a1,b1), P2 =(a2,b2) e P3 = (a3,b3).
Uma curva quadrática é dada pelo polinômio f = aX 2 + bX + c, e
portanto devemos determinar a, b, c tais que f(a1) = b1, f(a2) = b2 e f(a3) =
b3.
Assim,
a. a 12  b. a 1  c  b1

2
a. a 2  b. a 2  c  b 2
 a. a 2  b. a  c  b
3
3
 3
Tal sistema possui uma única solução se
144
2
a1
2
 = a2
2
a3
a1 1
a 2 1 = (a3 - a1)(a3 - a2)(a2 - a1)  0.
a3 1
Aqui fica claro a exigência de que a1, a2, a3 devem ser dois a dois distintos.
Procedimento
Primeiro determinamos um polinômio f 1 que se anula em a2 e a3 e que
f1(a1) = b1.
f1 = b 1
( X  a 2 )( X  a 3 )
(a 1  a 2 )(a 1  a 3 )
De maneira análoga obtemos,
( X  a 1 )( X  a 3 )
( X  a 1 )( X  a 2 )
f2 = b 2
f3 = b 3
(a 2  a 1 )(a 2  a 3 )
(a 3  a 1 )(a 3  a 2 )
A curva procurada é dada pelo polinômio f = f1 + f2 + f3
Generalização
Dados n pontos nas condições estabelecidas a curva procurada é dada pelo
n
( X  a 1 )...( X  a i 1 )( X  a i 1 )...( X  a n )
polinômio f =  b i
. Esta fórmula
(a i  a 1 )...(a i  a i 1 )(a i  a i 1 )...(a i  a n )
i 1
chama-se “Fórmula de Interpolação de Lagrange”.
Exemplo
Determine a curva algébrica que passa pelos pontos P 1 = (-2,2), P2
= (-1,2), P3 = (0,6), P4 = (1,2) e P5 = (2,2).
f1:=2*(x+1)*x*(x-1)*(x-2)/((-2+1)*(-2)*(-2-1)*(-2-2));
f1 :=
1
12
( x 1 ) x ( x 1 ) ( x 2 )
f2:=2*(x+2)*x*(x-1)*(x-2)/((-1+2)*(-1)*(-1-1)*(-1-2));
f2 := 
1
3
( x 2 ) x ( x 1 ) ( x 2 )
f3:=6*(x+2)*(x+1)*(x-1)*(x-2)/(2*1*(-1)*(-2));
145
3
f3 := ( x 2 ) ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 2 )
2
f4:=2*(x+2)*(x+1)*x*(x-2)/((1+2)*(1+1)*1*(1-2));
f4 := 
1
3
( x 2 ) ( x 1 ) x ( x 2 )
f5:=2*(x+2)*(x+1)*x*(x-1)/((2+2)*(2+1)*2*(2-1));
f5 :=
1
12
( x 2 ) ( x 1 ) x ( x 1 )
f:=expand(f1+f2+f3+f4+f5);
4
2
f := x 5 x 6 Este é o polinômio procurado.
O leitor pode perceber como é penoso fazer todos estes cálculos
manualmente.
Vejamos agora a curva procurada.
with(plots): plot(f,x=-2..2);
6.5 Polinômios Irredutíveis
Definição 6.5.1
f  A[X] é irredutível sobre A se
1) f  0
2) f  U(A[X])
3) f = g.h  g  U(A[X]) ou h  U(A[X]).
146
Definição 6.5.2
f  A[X] é redutível sobre A se
1) f  0
2) f  U(A[X])
3)  g,h  A[X] não inversíveis tais que f = g.h
Exemplos
1. f = 2X3 + 4X - 6  Z[X]
1) f  0 ( evidente)
2) f  U(Z[X]), pois gr(f) = 3 > 0
3) f = 2.(X3 + 2X - 3) com g = 2  U(Z[X]) = {1,-1} e h = X3 + 2X - 3 
U(Z[X]).
Logo, f é redutível sobre Z.
Observe que isto não é suficiente para afirmar que f é redutível sobre R,
pois
2  U(R[X]), mas será que conseguimos dois outros polinômios g, h não
inversíveis em R[X] tais que f = g.h?
Ora, sabendo que todo polinômio de grau ímpar possui pelo menos uma
raiz real (Por que?) podemos obter g = X - d e h = aX2 + bX + c tais que f =
g.h e assim f também é redutível sobre R.
Veja pelo Maple que
irreduc(f);
false
Este comando testa a irredutibilidade sobre o menor corpo onde os
coeficientes do polinômio estão. Para Z não possuímos tal comando.
Deixamos ao leitor a análise de f sobre Q e sobre C.
2. f = X2 + 1  Z[X]
1) f  0 ( evidente)
2) f  U(Z[X]), pois gr(f) = 2 > 0
gr (g)  0 e gr(h) = 2
3) f = g.h  2 = gr(f) = gr(g) + gr(h)  
 gr(g) = gr(h) = 1
gr(g) = 0  g = c0  Z . Como X2 + 1 = g.h, concluímos que c0 = 1 
U(Z[X])
147
gr(g) = gr(h) = 1  f possui raiz em Z, mas os candidatos a raízes de f são
 1 que com uma simples verificação percebe-se não serem raízes de f.
Portanto, não existe g, h  Z[X] ambos de grau 1 tais que f = g.h.
Logo, f é irredutível sobre Z.
De forma análoga podemos mostrar que f é irredutível sobre Q e sobre R.
Por outro lado, como f possui raízes complexas, obtemos g = X - i e h = X
+ i tais que f = g.h e assim f é redutível sobre C.
3. f = X3 - X2 - X - 2  Z[X] é redutível sobre Z
4. f = 3 X  15  Z17[X] é irredutível sobre Z17
5. f = X2 + 2 X  3  Z6[X] é redutível sobre Z6.
1) f  0 ( evidente)
2) f  U(Z6[X]), pois gr(f) = 2 > 0.
3) f = g.h
Testando os elementos de Z6 para determinar raízes de f encontramos 3
e 1 como raízes , portanto podemos obter g = X - 3 e h = X - 1 não
inversíveis tais que f = g.h.
6.6 Fatoração
Fatorar um polinômio em A[X] é escrevê-lo como produto de
polinômios irredutíveis em A[X].
Teorema 6.6.1
Seja A um anel de integridade
Seja f  A[X] , f  0 e f  U(A[X]).
Então existem polinômios irredutíveis p 1, p2, ..., pr  A[X]
tais que f = p1.p2. ... .pr.
Além disso se f = p1.p2. ... .pr = q1.q2. ... .qs, com q1, q2, ...,qs
irredutíveis sobre A, então r = s e pi ~ qi ( a menos de uma permutação nos
índices).
Obs. p ~ q significa que p|q e q|p.
Exemplo
Fatorar f = X3 - X2 - X - 2 em Z[X].
148
f = (X – 2)(X2 + X + 1)
Observe que X - 2 e X2 + X + 1 são irredutíveis sobre Z.
Vejamos agora como a idéia de primo coincide com a idéia de
polinômio irredutível.
Teorema 6.6.2
Seja A um anel de integridade.
Seja p  A[X] irredutível sobre A.
Sejam f, g  A[X] tais que p|f.g
Então p|f ou p|g.
Prova.
f = 0 ou g = 0  f.g = 0  p|f.g e (p|f ou p|g)
( f  U(A[X]) ou g  U(A[X])) e p|f.g.
Suponhamos que f  U(A[X]) e p|f.g.
p|f.g   h  A[X] tal que f.g = p.h.
Multiplicando ambos os lados de f.g = p.h por f-1 temos g = f-1.p.h e
portanto p|g.
Suponhamos agora f , g  0 e f, g  U(A[X]).
p|f.g   h  A[X] tal que f.g = p.h
Pelo teorema 6.6.1 podemos fatorar f e g e obtemos
(p1.p2. ... .pr)(pr+1.p2. ... .ps) = p.h
Como a fatoração é “única” e p é irredutível sobre A temos que p ~
pi para algum i.
Se 1  i  r, então p|f.
Se r+1  i  s, então p|g.
6.7 Multiplicidade de Raízes
Seja f  A[X] e d  A uma raiz de f.
Sabemos que (X - d) |f, mas pode acontecer que (X - d)2 |f, (X - d)3 | f,
...,
(X - d)i | f.
s = max{i  N | (X - d)i | f} é chamado de multiplicidade da raiz d de f
.
Notação; m(d,f).
Quando s = 1, dizemos que d é uma raiz simples.
Exemplo
149
f= X8 - 2X4 + 1  R[X]
A fatoração de f em R[X] é (X – 1)2(X + 1)2(X2 + 1)2
Assim vemos que 1 é raiz de f com multiplicidade 2 e -1 também é raiz
com multiplicidade 2. As outras raízes são complexas.
A fatoração de f em C[X] é (X – 1)2(X + 1)2(X + i)2 (X – i)2
As raízes são: 1, -1, i, -i todas com multiplicidade 2.
Observe que a resolução de um problema depende onde ele é
formulado e de qual o interesse do momento.
No teorema a seguir f’ significa a derivada de f e f (s) significa a s-ésima
derivada de f.
Teorema 6.7.1
Seja f  A[X] tal que gr(f) = n.
  A é uma raiz de f de multiplicidade s, se e somente se
f() = f’() =f’’()= ...=f(s-1)() = 0 e f(s)()  0.
Prova.

 raiz de f tal que m(, f) = s  f = (X - )s . q , com q()  0.
Temos que f( ) = 0 pois  é raiz de f.
f’ = s(X - )s-1.q + (X - )s. q’ = (X - )s-1[s.q + (X - ).q’] = (X - )s-1.q1.
Portanto, f’() = 0 e q1()  0.
f’’ = (s - 1)(X - )s-2.q1 + (X - )s-1.q1’ = (X - )s-2[(s - 1)q1 + (X - ).q1’] =
(X - )s-2.q2.
Portanto, f’’() = 0 e q2() 0.
Assim sucessivamente, até
f(s-1) = (X - ).qs-1 e f(s-1)() = 0 e qs-1()  0.
Finalmente, f(s) = qs-1 + (X - ).qs-1’ e portanto f(s)()  0.

Pela fórmula de Taylor obtemos
f = f() + f’()(X - ) +
f' ' ( )
f (s-1) ( )
(X - )2 + ... +
(X - )s-1+
2
(s - 1)!
f (s) ( )
f (n) ( )
s
(X - ) + ... +
(X - )n.
s!
n!
150
Como f() = f’() = ... = f(s-1)() = 0 e f(s)()  0, obtemos
f (s) ( )
(X - )s + ...
s!
 f (s) ( )

f (n) ( )
...
( X -  ) n-s  =
)s 
n!
 s!

f=
+
f (n) ( )
(X
n!
-
)n
=
(X
-
= (X - )s.q com q()  0.
Logo,  é raiz de f de multiplicidade s.
Exemplo
Dado o polinômio, f = X5 – 10X4 + 30X3 – 135X + 162 que possui 3
como raiz, determine a multiplicidade desta raiz.
f'’ = 5X4 – 40X3 + 90X2 – 135 e f’(3) = 0
f’’ = 20X3 – 120X2 + 180X
e f’’(3) = 0
f’’’ = 60X2 – 240X + 180
e f’’’(3) = 0
f(4) = 120X – 240
e f(4)(3) = 120
Como f(4)(3)  0, temos que m(f,3) = 4.
6.8 Corpo de funções racionais
Como Z[X] é um anel de integridade, podemos a partir deste anel
construir um corpo, que consiste de todas as frações de polinômios e é
denominado de corpo de funções racionais em X sobre Z.
Z(X) = {
f
| f, g  Z[X] e g  0 }.
g
Lembre do teorema 5.5.4
Através do homomorfismo injetor  : Z[X]  Z(X)
f
f 
1
temos que Z[X]  Z(X).
151
6.9 Decomposição em frações parciais
Tal decomposição tem utilidade quando se processa a integração de
funções racionais.
Queremos decompor
f
em frações do tipo:
g
1)
a
X-b
2)
a
,k2
(X - b) k
3)
aX + b
, onde X2 + pX + q é irredutível em R[X]
2
X  pX + q
4)
aX + b
,k2
(X 2 + pX + q) k
Suponhamos que f e g não possuem raízes em comum.
Seja a uma raiz de g tal que k = m(a,g), ou seja, g = (X - a)k.g1 com
g1(a)  0.
f
b
f
1
Então
=
, onde b  0 e gr(f1) < (k - 1) +

k
k
-1
g
(X - a)
(X - a)
.g
1
gr(g1).
f
1
Procedendo de maneira análoga para
, obtemos
k
-1
(X - a)
.g
1
f
b
f
1
1
2
, ..., sucessivamente obtemos,


k
-1
k
-1
k
2
(X - a)
.g
(X - a)
(X - a)
.g
1
2
b
b
f
f
b
1


... k -1  k
g (X - a) k (X - a) k -1
(X - a) g
k
152
Procedimento geral
Seja
f
 R(X) com MDC(f,g) = 1.
g
Primeiro decompomos g em produto de elementos irredutíveis de R[X].
Para a  R tal que m(a,g) = k, obtemos as frações parciais :
b
b
b
1 
2
... k -1 .
X-a
(X - a) k (X - a) k -1
Para os fatores irredutíveis de g da forma (X2 + pX + q)s, obtemos as
frações parciais:
m X+n
m X+n
m X+n
1
1 
2
2
s
s
...
(X 2  pX + q) s (X 2  pX + q) s -1
X 2  pX + q
Exemplos.
1. Decompor
X2  2
em frações parciais.
3
( X +1) ( X - 2)
Primeiro vemos que MDC(X2+2,(X+1)3(X-2))=1.
b1
b2
X2  2
b
c




Portanto,
3
3
2
(X + 1) ( X - 2) (X + 1)
(X + 1)
X +1 X - 2
Logo, X2 + 2 = b(X-2) + b1(X + 1)(X - 2) + b2(X + 1)2(X - 2) + c(X + 1)3
=
= (b2 + c)X3 + (b1 + 3c)X2 + (b - b1 -3b2 + 3c)X + (-2b - 2b1 - 2b2 + c)
Assim,
0 = b2 + c
1 = b1 + 3c
0 = b - b1 - 3b2 + 3c
153
2 = -2b - 2b1 - 2b2 + c
1
2
2
, b2 =
ec= .
3
9
9
Você também pode utilizar o Maple para encontrar as soluções sem
muito esforço.
Resolvendo este sistema encontramos b = -1, b1 =
solve({b2+c=0,b1+3*c=1,b-b1-3*b2+3*c=0,-2*b-2*b12*b2+c=2},{b,b1,b2,c});
2
1
-2
{ c , b1 , b-1, b2 }
9
3
9
Assim, temos a decomposição em frações parciais de
X2  2
.
3
( X +1) ( X - 2)
Vejamos o comando do Maple para obtermos esta decomposição
diretamente
f:=(x^2+2)/((x+1)^3*(x-2)): convert(f,parfrac,x);

1
( x 1 )
2. Decompor
3

1
1
3
( x 1 )
2

2
1
9 x 1

2
1
9 x 2
X
em frações parciais.
( X 2  1)( X  1)
MDC(X, (X2 + 1)(X – 1)) = 1, portanto, estamos em condição de
utilizar o procedimento.
Também devemos perceber que X2 +1 é irredutível sobre R.
A decomposição procurada será da forma
X
aX  b
c
 2

2
( X  1)( X  1) X  1 X  1
Assim, X = (aX + b)(X - 1) + c(X2 + 1).
Fazendo X = 1, obtemos 1 = 2c.
Fazendo X = 0, obtemos 0 = -b + c
154
Fazendo X = 2, obtemos 2 = 2a + b + 5c
Resolvendo este sistema ( você pode utilizar o Maple, olhe anexo VI)
1
1
obtemos a =
,b=c=
2
2
6.10 O Binômio Xn - 1. Interpretação Geométrica.
Vamos analisar o comportamento do binômio Xn - 1 para n > 1.
Como 1 é raiz de Xn -1 sabemos que ele não é irredutível sobre A, (A =
Z, Q, R, C).
Pelo algoritmo de Euclides temos que Xn - 1 = (X - 1)(Xn-1 + Xn-2 + ... +
X + 1), portanto a pergunta natural que surge é:
O polinômio Xn-1 + Xn-2 + ... + X + 1 é irredutível sobre A?
Vamos utilizar o Maple para obtermos algumas informações.
1. n = 2
irreduc(x+1);
true
Já chamamos a atenção anteriormente que este comando testa a
irredutibilidade sobre um corpo. No caso o menor corpo que contém os
coeficientes é Q. O que acontece sobre Z, R e C?
O leitor pensando um pouco concluirá que ele é irredutível sobre todos
estes anéis.
2. n = 3
irreduc(x^2+x+1);
true
irreduc(x^2+x+1,complex);
false
Na realidade, neste ponto o leitor já deve saber que todo polinômio de
grau maior que 1 é redutível sobre C.
O leitor deverá também saber argumentar a afirmação verdadeira de que
este polinômio é irredutível sobre Z e sobre R.
3. n = 4
irreduc(x^3+x^2+x+1);
false
Neste ponto já podemos concluir que nem sempre X n-1 + Xn-2 + ... + X +
1 é irredutível sobre Q.
O que acontece em Z e em R?
factor(x^3+x^2+x+1);
155
2
( x 1 ) ( x 1 )
Como X + 1 e X2 + 1 são polinômios em Z[X] e em R[X] não
inversíveis concluímos que o polinômio dado é redutível sobre Z e sobre
R.
A pergunta que surge a seguir é:
Para que valores de n o polinômio Xn-1 + Xn-2 + ... + X + 1 é irredutível
sobre A?
4. n = 5
irreduc(x^4+x^3+x^2+x+1);
true
Portanto o polinômio é irredutível sobre Q . Na realidade com um
pouco mais de teoria poderíamos facilmente concluir que ele também é
irredutível sobre Z.
Não tendo esta teoria podemos proceder da seguinte maneira:
As decomposições possíveis não triviais são em polinômios de grau 1 e
grau 3 ou em polinômios de grau 2.
Como 1 e -1 não são raízes de X4 + X3 + X2 + X + 1 a primeira opção
está descartada.
Vejamos então, se é possível escrever X4 + X3 + X2 + X + 1 = (X2 + aX
+ b) (X2 + cX + d) sendo a, b, c, d  Z.
g:=expand((x^2+a*x+b)*(x^2+c*x+d));
4
3
2
3
2
2
g := x x cx da x a x ca x db x b c x b d
collect(g,x);
4
3
2
x ( ca ) x ( da cb ) x ( a db c ) x b d
isolve({a+c=1,b+a*c+d=1,a*d+b*c=1,b*d=1},{a,b,c,d});
Não apresenta solução, significando que o sistema não possui solução
inteira.
Logo, o polinômio é irredutível sobre Z
Vejamos agora sobre R.
solve({a+c=1,b+a*c+d=1,a*d+b*c=1,b*d=1},{a,b,c,d});
2
2
{ cRootOf( _Z _Z1 ), aRootOf( _Z _Z1 )1, d1,
2
2
bRootOf( _Z _Z1 ) ( RootOf( _Z _Z1 )1 ) },
3
2
3
2
{ c%1, b4 %12%1 2 %1 , d3 %11%1 %1 , a%11 }
4
3
2
%1 := RootOf( _Z 2 _Z 4 _Z 3 _Z1 )
156
Aqui percebemos que nem sempre as respostas do Maple são tão
diretas quanto o desejado. Precisamos interpretar as respostas. Quando o
Maple coloca c = RootOf(_Z2 - _Z –1), significa que c é uma raiz de z 2 - z
– 1.
Na realidade para o nosso propósito bastaria sabermos que a, b, c, d são
reais.
Vamos determinar mais especificamente quais os valores de a, c, b.
c:={solve(x^2-x-1,x)};
c := {
1
1 1 1
5  , 
5}
2
2 2 2
a:=-c[1]+1;
1 1
a := 
5
2 2
b:=expand(c[1]*(c[1]-1));
b := 1
Logo, X4 + X3 + X2 + X + 1 = (X2 +
1 5
1 5
X + 1)(X2 +
X +1) e
2
2
consequentemente é redutível sobre R.
O leitor é convidado a analisar as outras possibilidades.
Para obtermos alguma conclusão devemos analisar muitos outros
casos e deixamos esta tarefa ao leitor. Solicitamos que o leitor analise a
partir de n = 6 somente a irredutibilidade sobre Q e sobre Z, pois para R o
argumento utilizado tem outro caráter.
Primeiro, qualquer polinômio de grau ímpar em R[X] é redutível sobre
R.
Segundo, f  R[X] tem grau par diferente de zero.
Duas coisas podem acontecer: ou ele possui pelo menos uma raiz real e
neste caso é redutível sobre R, ou todas as suas raízes são complexas.
Suponhamos f com todas as raízes complexas não reais.
Se gr(f) = 2, então f é irredutível sobre R.
Se gr(f) > 2, então f é redutível sobre R.
Percebendo que as raízes complexas não reais aparecem aos pares, ou
seja,  e  e que  +  = 2Re( )  R e  .  = ||2  R , concluímos
que sempre é possível decompor f em produto de polinômios reais de grau
2 e portanto f é redutível sobre R.
157
Interpretação geométrica
Quando as raízes de um polinômio são reais podemos visualiza-las
facilmente através do gráfico, por exemplo
f:=x^4-1: with(plots):
plot(f,x=-2..2);
Portanto, -1 e 1 são as raízes reais de f, mas sabemos que f possui 4
raízes complexas. Como visualizar todas raízes ?
S:={solve(f,x)};
S := { -1, 1, I, I }
Como queremos obter a interpretação geométrica devemos considerar a
representação geométrica das raízes obtidas, ou seja, r 1=(-1,0), r2=(1,0),
r3=(0,1) e r4=(0,-1).
Assim,
PLOT(CURVES([[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0]]));
158
Concluímos que as raízes de X4 - 1 são os vértices do quadrado inscrito
em um círculo de raio 1.
Como todas as raízes de Xn - 1 possuem módulo 1 é fácil perceber que
isto sempre acontece, ou seja, as raízes de Xn -1 são os vértices de um
polígono regular de n lados inscrito em um círculo de raio 1.
159
EXERCÍCIOS
1. Quais seqüências são polinômios? Em caso afirmativo represente-a na
forma a0 + a1X + ... + anXn.
1
1.1 f : N  Q, onde f(i) = se i > 0 e f(0) = 0.
i
1.2 f: N  Z, onde f(i) = 1 se i é par e f(i) = 0 se i é ímpar.
1.3 f: N  Z, onde f(i) = 1 se i < 20 e f(i) = 0 se i  20.
2. Prove os teoremas 6.1.2 e 6.1.4.
3. Dividindo o polinômio f por g = X2 - 3X + 5 obtemos o quociente X2 + 1
e o resto 3X - 5 . Determine f.
4. Mostre que se a soma dos coeficientes de um polinômio é zero, então ele
é divisível por X - 1.
5. Verifique como fica o algoritmo de Euclides quando A = Zn e A = Z.
6. Apresente uma justificativa para a seguinte afirmação “o produto dos
polinômios 1-x + x2 – x3 + ... – x99 + x100 e 1 + x + x2 + x3 + ... + x99 + x100
só contem termos de grau par”.
7. Determine as raízes do polinômio f = 6X3 + 7X2 - 14X - 15, sabendo que
uma das raízes é -1.
8. Decomponha o polinômio f = -X3 - 4X2 + 7X +10 em fatores lineares de
Z[X].
9. Determinar m para que a divisão euclidiana de f= 4X 3 - 6X + m por g =
X + 3 seja exata, supondo-se que f e g pertençam a Q[X] ou a Z7[X].
10. Escrever as Relações de Girard para o caso de polinômios de grau 2 e
grau 3.
11. Determine as raízes do polinômio f = X 3 + 2X2 -5X - 6, sabendo que a
soma de duas de suas raízes é 1.
12. Determinar a soma dos coeficientes do polinômio (X 2 - 6X + 4)125(X3 4X + 4)200 .
13. Determinar o polinômio que passa pelos pontos P1 = (-1,3), P2 = (0,4),
160
P3 = (2,-5) e P3 = (1,3).
Esboce o gráfico correspondente.
14. Mostre que todo polinômio de grau 1 é irredutível em K[X], onde K é
corpo.
15. Verifique se os seguintes polinômios são irredutíveis:
a) f = X3 + X + 1 em Z[X].
b) f = X3 + X + 1 em R[X]
c) f = X2 + 5 em C[X]
d) f = 5X 2 + 2X + 1 em Z7[X].
16. Determine as raízes de X6 - 1 em C[X].
Analise o comportamento destas raízes graficamente.
17. Seja p  R[X]* com p  U(R[X]) tal que  f, g  R[X], se p|f.g,
então p|f ou p|g.
Mostre que p é irredutível em R[X].
18. Verifique que 1 é raiz de f = X4 - X3 - 3X2 +5X- 2.
Qual a multiplicidade de 1 ?
19. Verifique que 1 + i é raiz de f = X6 - 4X5 + 6X4 - 12X2 + 16X - 8.
Qual a multiplicidade de 1 + i ?
20. Decompor a seguinte função racional
X 4 - 4X 3  11X 2  12X + 8
em
(X 2  2X + 3) 2 ( X + 1)
soma de frações parciais.
21. Determine o máximo divisor comum em Q[X] dos polinômios f = X4 +
X3 + X + 1 e
g = 2X + 2.
22. Seja f  R[X].
Se u  C é raiz de f, então u
também é raiz de f.
Obs. u é o conjugado de u.
161
23. Decompor os seguintes polinômios em fatores irredutíveis .
a) f = X6 + 8X5 + 17X4 - 6X3 - 44X2 - 8X + 32 em Z[X].
b) f = X4 + 2X2 + 1 em C[X]
24. Determinar a, b, c,d  Q para que f = 3X4 + aX3 + bX2 + cX + d seja
divisível por g = X3 - 5X2 + 6X.
25. Mostre que não existe f  R[X] tal que f2 = X3 + X + 1.
26. Seja f  C[X].
Dividindo f separadamente por X - 1, X + 1, X - i e X + i, obtemos os
restos 0, 2, -5-5i e -5 + 5i respectivamente.
Obter o resto da divisão de f por X4 - 1.
27. Seja K um corpo.
Então K[X] é um anel principal.
28. Z[X] não é um anel principal. Justifique.
29. Exercício complementar para quem já fez a disciplina de Álgebra
Linear.
Seja A  Mn(R).
Mostre que I = {f  R[X] | f(A) = 0} é um ideal de R[X].
Sendo R[X] um anel principal (exercício 26) temos que I é um ideal
principal, ou seja, existe fm  R[X], com lcoeff(fm) =1 tal que I = <fm>.
Este polinômio fm é chamado de polinômio minimal de A. Ele é muito
utilizado no estudo de operadores lineares. Um outro polinômio muito
utilizado e que também pertence a este ideal é o polinômio caraterístico f c
de A.
Pode-se mostrar que fc é um múltiplo de fm e que ambos possuem as
mesmas raízes.[ 10 , 179-181]
 1 3 3


Determine os polinômios característico e minimal de A =  3 1 3  .


 3 3 5
Veja que ambos possuem as mesmas raízes.
Veja que fc(A) = fm(A) = 0.
Você pode utilizar o Maple para resolver estas questões.
162
RESPOSTAS
1. 1.1 não é polinômio
1.2 não é polinômio
1.3 1 + x + x2 + ... + x19
7. -1,
5 3
, .
3 2
3. f = x4 - 3x3 + 6x2
8. -(x + 1)(x + 5)(x - 2)
9. m = 90 em Q[x]
m = 6 em Z7[x]
11. -1, 2, -3
12. -1
13. f =
15. a) irredutível
16. 1, -1 ,
b) redutível
c) redutível
d) irredutível
3 1 - 3 1 - 3 1
3 1
 i,
 i,
 i,
 i
2 2
2
2
2
2
2 2
18. m(1,f) = 3
20.
5 3
5
x  x2  x  4
6
6
19. m(1+i,f) = 2
21x  11
2 x  10
3


( x 2  2 x  3) 2 x 2  2 x  3 x  1
21. x + 1
23. a) (x-1)2(x+2)3(x+4)
b) (x-i)2(x+i)2
24. a qualquer, b = -57 - 5a, c = 90 +6a, d = 0
26. r = -2x3 + 3x2 + x -2
29. fc = ( x - 1)(x + 2)2
fm = ( x - 1) (x + 2)
163