Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens
L IGA D ELFOS 2016-2017
28 de Janeiro de 2017
J ORNADA 3
Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
Teorema (Lei dos Cossenos). Num triângulo, sejam a, b e c os comprimentos dos seus lados e β o ângulo
oposto ao lado de comprimento b. Temos b2 = a2 + c2 − 2ac cos β.
Teorema (Lei dos Senos). Num triângulo, sejam a, b e c os comprimentos dos seus lados e α, β e γ os
ângulos opostos aos lados de comprimento a, b e c, respetivamente. Temos
a
b
c
=
=
.
sin α
sin β
sin γ
Mais precisamente, se R é o raio da circunferência circunscrita de [ABC], então
a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
= 2R.
O teorema da bissectriz pode ser provado a partir da lei dos senos.
Teorema (Teorema da Bissectriz). Seja [ABC] um triângulo. Suponhamos que a bissectriz interna de
∠BAC corta [BC] no ponto L. Então temos
BL
AB
=
.
LC
CA
1. Seja [ABC] um triângulo isósceles tal que AB = AC. Suponham que a bissectriz de B̂ intersecta
[AC] em D e que BC = BD + AD. Determinem Â.
2. Seja [ABC] um triângulo retângulo, reto em C. Sejam D um ponto do segmento [AC] e E um ponto
do segmento [BD] tais que ∠ABC = ∠DAE = ∠AED. Provem que BE = 2CD.
3. Provem que um triângulo [ABC] é retângulo se e só se sin2 Â + sin2 B̂ + sin2 Ĉ = 2.
4. Dado um triângulo [ABC], sejam a, b e c os comprimentos dos lados do triângulo opostos aos vértices
A, B e C, respetivamente. A bissectriz do ângulo Ĉ corta [AB] no ponto D. Provem que
2ab · cos Ĉ2
CD =
.
a+b
5. Sejam [ABCD] um retângulo, e seja O a intersecção de AC com BD. O ponto E é o ponto da
semirreta ḂA tal que AE = AO e E não está em [AB], e o ponto Z é o ponto da semirreta ȮB tal
AB
que BZ = BO e Z 6= O. Sabe-se que o triângulo [CEZ] é equilátero. Determinem BC
, provando
que é constante, e provem que EO⊥ZD.
6. Seja [ABC] um triângulo tal que  = 18o e B̂ = 36o . Sejam M o ponto médio de [AB] e D um ponto
da semirreta ĊM tal que AB = AD. Seja E um ponto na semirreta ḂC tal que AB = BE, e seja F
um ponto na semirreta ȦC tal que AB = AF . Determinem a medida do ângulo ∠F DE.
7. Dois navios viajam em direcções diferentes e com velocidades constantes. Às 9h00, a distância entre
os navios é de 20 milhas, às 9h35 é de 15 milhas, e às 9h55 é de 13 milhas. Determinem quando é que
a distância entre os navios é mínima.
Alfredo Costa
[email protected]