Progressão Geométrica 2

PG – apostila 2
1. (Fuvest 2015) Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos,
representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n  1, é formada por n escolhas
sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e
#* * # é uma palavra de comprimento 4.
Usando esse alfabeto minimalista,
a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?
b) qual é o menor valor de N para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho
menor ou igual a N?
2. (Ufrgs 2015) Para fazer a aposta mínima na Megassena uma pessoa deve escolher 6
números diferentes em um cartão de apostas que contém os números de 1 a 60. Uma pessoa
escolheu os números de sua aposta, formando uma progressão geométrica de razão inteira.
Com esse critério, é correto afirmar que
a) essa pessoa apostou no número 1.
b) a razão da PG é maior do que 3.
c) essa pessoa apostou no número 60.
d) a razão da PG é 3.
e) essa pessoa apostou somente em números ímpares.
3. (Udesc 2015) Os números reais a, b e c são tais que a progressão geométrica
S1  {5a  b, b, 48, } e a progressão aritmética S2  {c, a  b,  6a  c, } possuem razões
opostas. Então, o valor de é a  b  c igual a:
a) 3
b) 20
c) 13
d) 15
e) 10
4. (Pucrs 2015) O resultado da adição indicada 0,001  0,000001  0,000000001 
1
a)
9
1
b)
10
1
c)
99
1
d)
100
1
e)
999
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é
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5. (Espcex (Aman) 2015) Na figura abaixo temos uma espiral formada pela união de infinitos
semicírculos cujos centros pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo
(o maior) é igual a 1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo anterior, o
comprimento da espiral é igual a
a) π .
b)
c)
d)
e)
2 π.
3 π.
4 π.
5 π.
6. (Unesp 2015) Para cada n natural, seja o número
Kn  3  3  3  ...  3  2  2  2  ...  2 .
n vezes
n vezes
Se n  , para que valor se aproxima Kn ?
7. (Uemg 2015) Gastos com cartão movimentaram R$ 455 bilhões no 1º semestre.
Valor representa alta de 16,3% em relação ao mesmo período de 2013
“As transações feitas com cartões de débito e crédito no primeiro semestre de 2014 somaram
R$ 455 bilhões, segundo dados divulgados nesta terça-feira (19) pela Associação Brasileira
das Empresas de Cartões de Crédito e Serviços (Abecs)...”
http://g1.globo.com/economia/noticia/2014/08/gastos-com-cartao-movimentaram-r-455-bilhoesno-1-semestre.html. Acesso em 20/8/2014
Analisando a reportagem acima e considerando constante a alta dos gastos, em bilhões de
reais, com a movimentação do cartão (crédito e débito), entre 2013 e 2014, nos próximos anos,
podemos supor que, em 2020, no mesmo período, serão movimentados com cartão
aproximadamente
a) 7,11 1011 bilhões de reais.
b) 7,75  1011 bilhões de reais.
c) 9,03  1011 bilhões de reais.
d) 8,38  1011 bilhões de reais.
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8. (Ufrgs 2015) Considere o padrão de construção representado pelo desenho abaixo.
O disco A tem raio medindo 1. O disco B é tangente ao disco A no ponto P e passa pelo
centro do disco A. O disco C é tangente ao disco B no ponto P e passa pelo centro do disco
B. O disco D é tangente ao disco C no ponto P e passa pelo centro do disco C. O processo
de construção dos discos é repetido infinitamente.
Considerando a sucessão infinita de discos, a soma das áreas dos discos é
π
a) .
4
π
b) .
3
2π
c)
.
3
d) π.
4π
.
e)
3
9. (Uem-pas 2015) Sejam (a1,a2,a3 ,....) e (b1,b2 ,b3 ,....), com , ai ,bi  respectivamente,
uma progressão aritmética (PA) e uma progressão geométrica (PG) infinitas. Nessas
condições, assinale o que for correto.
1
1
01) Se a1  a2  a3  3 e a1  a2  , então a razão da PA é .
2
2
02) Se b1  1 e a razão da PG é 1, e se n  , então a soma dos n primeiros termos dessa
PG é zero.
04) Se todos os ai forem positivos, então a PA é crescente.
08) Se a razão da PG for negativa, então a PG é decrescente.
16) Se a4  16  104 e a12  32  104 , então a101  21 105.
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Leia o texto para responder à(s) questão(ões).
Pesquisas mostram diferenças numéricas significativas entre as várias regiões do
Brasil no que diz respeito ao número de fiéis distribuídos pelos diversos grupos religiosos. Os
católicos, por exemplo, tem uma maior participação no total da população nas regiões Nordeste
e Sul, ultrapassando 80% da população no Nordeste contra uma média nacional de 74%. Por
outro lado, Rio de Janeiro e Rondônia são os estados com menor população de católicos.
Considere que nos anos seguintes a publicação dos dados constantes no quadro abaixo, o
número de fiéis das religiões orientais cresceu 20% ao ano em progressão geométrica
enquanto que o número de fiéis afro-brasileiros cresceu 25% ao ano em progressão
aritmética.
Números de fiéis por grupos religiosos no Brasil
REGIÃO NORTE
Católicos
Evangélicos
Afro-Brasileiro
Orientais
Espiritualista
Outras Religiões
Sem Religião
TOTAL
Nº. DE FIÉIS
9.285.000
2.550.000
5.500
15.000
50.500
156.500
849.500
12.911.000
Fonte: Texto adaptado – www.mercator.ufc.br – Revista de Geografia da UFC, 2009.
10. (Uepa 2015) Sendo log(1,2)  0,08 e log(2,0736)  0,32, o tempo necessário para que o
número de fiéis das religiões orientais seja 16.104 a mais do que o valor constante no quadro
acima é:
a) 72 meses
b) 60 meses
c) 48 meses
d) 40 meses
e) 36 meses
11. (Ufg 2014) Devido às condições geográficas de uma cidade, um motorista, em seu veículo,
desloca-se pelas ruas somente nas direções norte-sul e leste-oeste, alternando o
deslocamento entre essas direções. Cada um desses deslocamentos foi medido em intervalos
iguais de tempo, nas duas direções e com o mesmo número de medições em ambas, obtendose os seguintes dados:
- direção norte-sul: x1  1 km, x2  3 km e x3  5 km;
- direção leste-oeste: y1  1 km, y2  2 km e y3  4 km.
Sabendo que o motorista inicia seu deslocamento na direção norte-sul, que este padrão de
deslocamento manteve-se ao longo de todo o percurso e que a soma das distâncias
percorridas no sentido norte-sul foi de 36 km, determine a soma dos deslocamentos do
motorista, em km, no sentido leste-oeste.
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12. (Uem 2014) Uma sequência infinita de quadrados é construída da seguinte forma: dado
um quadrado Qi , constrói-se outro quadrado Qi  1, cujos vértices estão sobre os lados de Qi
e de tal forma que a distância de qualquer vértice de Qi  1 ao vértice de Qi mais próximo dele
é igual a 1/3 do lado de Qi .
Sobre essa sequência de quadrados, assinale o que for correto.
01) O lado do quadrado Qi  1 é igual a 5/9 do lado do quadrado Qi .
02) A área do terceiro quadrado construído é menor do que a metade da área do primeiro
quadrado.
04) A sequência formada pelas áreas dos quadrados construídos dessa forma é uma
progressão geométrica de razão 5/9.
08) A sequência formada pelos lados dos quadrados construídos é uma progressão aritmética
de razão 5 / 3.
16) As diagonais de todos os quadrados construídos se intersectam no mesmo ponto.
13. (Uepa 2014) Os museus são uma das formas de comunicar as produções científicas entre
as gerações. Um exemplo dessa dinâmica é a comunicação da ideia de que “nada que é
humano é eterno”, sugerida por um sistema composto por um motor e engrenagens exposto
num museu de São Francisco, nos EUA. Suponha que esse sistema é composto por um motor
elétrico que está ligado a um eixo que o faz girar a 120 rotações por minuto (rpm), e este, por
meio de um parafuso sem fim, gira uma engrenagem a uma velocidade 20 vezes menor que a
velocidade do próprio eixo e assim sucessivamente.
Texto Adaptado: Revista Cálculo, Agosto 2013.
Um sistema similar ao sistema descrito acima contém n engrenagens, todas ligadas umas às
outras por meio de eixos e parafusos sem fim, que fazem cada uma das engrenagens girar 20
vezes mais lentamente do que a engrenagem anterior. Nestas condições, o número n de
engrenagens necessárias para que a velocidade da última engrenagem seja igual a 0, 015 rpm
é:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
14. (Pucrj 2014) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescente de altura. A primeira caixa tem
1 m de altura, cada caixa seguinte tem o triplo da altura da anterior. A altura da nossa pilha de
caixas será:
a) 121 m
b) 81 m
c) 32 m
d) 21 m
e) 15 m
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15. (Uema 2014) Numa plantação tomada por uma praga de gafanhotos, foi constatada a
existência de 885.735 gafanhotos. Para dizimar esta praga, foi utilizado um produto químico em
uma técnica, cujo resultado foi de 5 gafanhotos infectados, que morreram logo no 1º dia. Ao
morrerem, já haviam infectado outros gafanhotos. Dessa forma, no 1º dia, morreram 5
gafanhotos; no 2º dia, morreram mais 10; no 3º dia, mais 30 e assim sucessivamente.
Verificando o número de mortes acumulado, determine em quantos dias a praga de gafanhotos
foi dizimada.
16. (Enem PPL 2014) Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada
quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa
afirmação. Ele usou uma população inicial de 105 bactérias X e encerrou a observação ao
final de uma hora.
Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias X se
duplica a cada quarto de hora.
Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias X foi
de
a) 22  105
b) 21  105
c) 22  105
d) 23  105
e) 24  105
17. (Fgv 2014) a) Um sábio da Antiguidade propôs o seguinte problema aos seus discípulos:
“Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7,5 metros de raio e se movimenta saltando
em linha reta até o centro. Em cada salto, avança a metade do que avançou no salto
anterior. No primeiro salto avança 4 metros. Em quantos saltos chega ao centro?”
b) O mesmo sábio faz a seguinte afirmação em relação à situação do tem A:
“Se o primeiro salto da rã é de 3 metros, ela não chega ao centro.”
Justifique a afirmação.
18. (Ufrgs 2014) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.
Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na etapa 2, esse quadrado foi dividido em nove
quadrados congruentes, sendo quatro deles retirados, como indica a figura. Na etapa 3 e nas
seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas
condições, a área restante, na etapa 5, é
125
625
125
625
625
.
.
.
.
.
a)
b)
c)
d)
e)
2187
2187
6561
729
729
19. (Pucrj 2014) A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é disputada por 32 times. Em
cada fase, só metade dos times se mantém na disputa pelo título final. Com o mesmo critério
em vigor, uma competição com 64 times iria necessitar de quantas fases?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
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20. (Uerj 2014) Um feirante vende ovos brancos e vermelhos. Em janeiro de um determinado
ano, do total de vendas realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros 50% de ovos
vermelhos. Nos meses seguintes, o feirante constatou que, a cada mês, as vendas de ovos
brancos reduziram-se 10% e as de ovos vermelhos aumentaram 20%, sempre em relação ao
mês anterior. Ao final do mês de março desse mesmo ano, o percentual de vendas de ovos
vermelhos, em relação ao número total de ovos vendidos em março, foi igual a:
a) 64%
b) 68%
c) 72%
d) 75%
21. (Uema 2014) Considere a seguinte situação sobre taxas de juros no mercado financeiro,
em que o cálculo é efetuado por uma composição de juros determinado pelo coeficiente
1  in , sendo
i a taxa de juros e n o período (tempo). Este coeficiente é multiplicado ou
dividido, de acordo com a natureza da operação, do empréstimo ou da aplicação. O Sr. Borilo
Penteado tomou um empréstimo de a R$800,00 juros de 5% ao mês. Dois meses depois,
pagou R$ 400,00 e, um mês após o último pagamento, liquidou o débito. O valor do último
pagamento, em reais, é de
a) 1.282,00.
b) 926,10.
c) 882,00
d) 526,10.
e) 506,10.
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
A sequência de figuras acima ilustra três passos da construção de um fractal, utilizando-se
como ponto de partida um triminó: o nível I é constituído de uma peça formada por três
quadrados de 1cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segundo passo, substitui-se
cada quadrado do fractal de nível I por um triminó, que tem os comprimentos dos lados de seus
quadrados adequadamente ajustados à situação, de forma a se obter o fractal de nível II,
conforme ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de nível II, também
substituindo-se cada um de seus quadrados por um triminó com os lados de seus quadrados
ajustados, o fractal de nível III. O processo continua dessa forma, sucessiva e indefinidamente,
obtendo-se os fractais de níveis n  I, II, III, ... .
22. (Upf 2014) Com base nessas informações, a partir de que nível a área da figura se torna
menor que 1 cm2 ?
a) Nível 3.
b) Nível 4.
c) Nível 5.
d) Nível 6.
e) Nível 7.
23. (Upf 2014) Uma vez que n representa o nível do fractal, a área do fractal de nível n é:
n
 1
a) 3   
2
n
3
b)  
2
n1
c) 3
n
 1
 
4
3
d) 3   
4
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n 1
e) 3n  2
(1n)
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) palavras com uma letra: 2
palavras com duas letras: 22
palavras com três letras: 23
E assim sucessivamente.
Portanto, o número de palavras de comprimento menor do que 6 será dado por:
2  4  9  16  32  62.
b) Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G, temos:

  106
2  2N  1
2 1
N1
2
 2  106
2N1  106  2
2N1  1000002
220  1024  1024  1000002
219  512  1024  1000002
Logo, N  1  20  N  19.
Resposta da questão 2:
[A]
A única PG que obedece às condições da questão é (1, 2, 4, 8, 16, 32).
Portanto, com certeza esta pessoa apostou no número 1.
Resposta da questão 3:
[E]
Sejam q e r, respectivamente as razões de S1 e S2 .
De S2 , vem
2(a  b)  c  (6a  c)  b  4a.
Logo, tem-se que S1  {a, 4a, 48,
} e, portanto, q 
r são opostas, encontramos r  4 e
4a
 4. Em consequência, dado que
a
q e
48
 4, o que implica em a  3. Daí, temos b  12 e
4a
c  5, pois b  4a e a  b  c  4.
Por conseguinte, o valor de a  b  c é 10.
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Resposta da questão 4:
[E]
Lembrando que o limite da soma dos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo
a
a1 e razão 1  q  1 é dado por 1 , temos
1 q
 10 3  10 6  10 9 
0,001  0,000001  0,000000001 


103
1  103
1
103  1
1

.
999
Resposta da questão 5:
[B]
Comprimento de uma semicircunferência de raio r :
2πr
 π r
2
Logo, a soma pedida será dada por:
S  π  1  π  2  π  4  π  8  ...
S  π  (1  2  4  8  ...)
1
S  π
1
1
2
S  2π
Resposta da questão 6:
Tem-se que
Kn 
1
2
3
1
4
3
1

n

 1
1
1  2 

2 1 1
2
3

 1
1 
3 2
n
1
2
2
n
 32
1
4
2
1

n
 22
n
 1
1
1  2 

2 1 1
2
2
n
 1
1 
 2 2
.
n
 1
Se n  , então    0 e, portanto, segue que Kn  3  2  1.
2
Resposta da questão 7:
Sem resposta.
Gabarito Oficial: [D]
Gabarito SuperPro®: Sem resposta.
Supondo uma taxa de crescimento constante de 0,163, tem-se que o resultado pedido é dado
por
455  (1,163)6  1,13  103 bilhões de reais
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Resposta da questão 8:
[E]
Área do círculo maior: A  π  12  π
O raio do segundo círculo é
1
do raio do primeiro, portanto a segunda área será
2
2
π
 1
A2  π     .
4
2
A sequência das infinitas áreas é uma P.G. de razão q 
1
.
4
Daí, a soma dos infinitos termos desta sequência será dada por:
π
4π
S

1
3
1
4
Resposta da questão 9:
01 + 16 = 17.
[01] Verdadeira.
a 2  r  a2  a 2  r  3  a 2  1
a1  1 
1
1
 a1 
2
2
Logo, a razão da P.A. será dada por r  1 
[02] Falsa, pois Sn 

  (1)
1  1  1
n
1  1
2
n
1
1 1
 .
2 2
que é igual a zero se n for par e igual a 1 e se n
for ímpar.
[04] Falsa. A P.A. poderia ser constante, como no exemplo (5, 5, 5, 5, ).
[08] Falsa. A P.G. será alternante.
[16] Verdadeira, pois
a12  a4  8  r  32  104  16  104  8  r  r  2  10 4
a101  a12  89  r  a101  32  104  89  2  10 4  a101  10 4  (32  2  89)  a101  210  10 4
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Resposta da questão 10:
[C]
O número de fiéis das religiões orientais após n anos é dado por an  15000  (1,2)n , com n
sendo um número natural.
Queremos calcular n de modo que an  15000  16104  31104. Logo, segue que
31104  15000  (1,2)n  (1,2)n  2,0736
 log(1,2)n  log2,0736
 n  log(1,2)  log2,0736
n
log2,0736
log(1,2)
0,32
0,08
 n  4.
n
Portanto, a resposta é 4  12  48 meses.
Resposta da questão 11:
Norte Sul: P.A. (1, 3, 5, ...)
an  1  (n  1)  2  an  2n  1
Como a soma do termo é 36, temos:
1  2n  1  n
 36  n  6
2
Leste- Oeste (n = 6)
P.G. (1, 2, 4, 8, ...)
S6 

  63km
1 26  1
2 1
Resposta da questão 12:
02 + 04 + 16 = 22.
2
a
 2a 
AD2      
3
 3 
AD 
2
a 5
3
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[01] Falsa. O lado do quadrado Qi  1 é igual a
5
do lado do quadrado Qi .
3
2
25a2
25a2 a2
 5a 
[02] Verdadeira, pois   
e

.
81
81
4
 9 
2
a 5 
5
[04] Verdadeira, pois 
 .
 3 
9


[08] Falsa, pois é uma P.G de razão
5
.
3
[16] Verdadeira. Na figura acima os triângulos PAF, PDG, PCH e PBE são congruentes pelo
caso LAL, portanto, o ponto P é equidistante dos pontos A, B, C, e D. Portanto, P é centro do
quadrado ABCD.
Resposta da questão 13:
[A]
De acordo com as informações, obtemos
0,015 
120
20n
 20n  8000
 20n  203
 n  3.
Observação: rpm é uma unidade de frequência, que é o número de revoluções por unidade de
tempo.
Resposta da questão 14:
[A]
A altura da pilha é igual a 1 3  9  27  81  121m.
Resposta da questão 15:
O número total de gafanhotos mortos após n dias constitui a progressão geométrica
(5, 15, 45,
, 5  3n1,
).
Daí, temos
5  3n1  885735  3n1  177147
 3n1  311
 n  12.
Portanto, a resposta é 12 dias.
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Resposta da questão 16:
[E]
Uma hora corresponde a
4
de hora. Logo, ao fim de uma hora, o número de bactérias X foi
4
de 24  105.
Resposta da questão 17:
a) As distâncias percorridas pela rã constituem uma progressão geométrica de primeiro
1
termo igual a 4 e razão . Logo, se n é o número de saltos necessários para que a rã
2
alcance o centro, então
n
 1
1  
n
 2   7,5  7,5  1   1 
4
 
1
8
2
1
2
n
1
 1
  
2
16
 n  4.
b) Supondo que a rã pudesse dar tantos saltos quanto quisesse, teríamos
lim Sn 
n
3
1
1
2
 6.
Portanto, como 6  7,5, concluímos que a rã não chegaria ao centro.
Resposta da questão 18:
[E]
A sequência é uma P.G. de razão
 5  5 2  5 3  5 4
 1, ,   ,   ,   ,
 9 9 9 9

5
9




4
625
5
O quinto termo é   
.
6561
9
Resposta da questão 19:
[B]
O número de times em cada fase corresponde aos termos da progressão geométrica
(64, 32, , 2). Logo, sendo n o número de fases pedido, temos:
n1
 1
2  64   
2
 21n  25  n  6.
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Resposta da questão 20:
[A]
Seja 2q a quantidade total de ovos vendidos em janeiro. Assim, o resultado pedido é dado por
(1,2)2  q
2
2
(1,2)  q  (0,9)  q
 100% 
1,44
 100%
2,25
 64%.
Resposta da questão 21:
[E]
O montante da dívida após 2 meses é 800  (1  0,05)2  R$ 882,00. Pagando R$ 400,00, o
saldo devedor fica em 882  400  R$ 482,00. Portanto, o valor do último pagamento é igual a
482  (1  0,05)  R$ 506,10.
Resposta da questão 22:
[C]
De acordo com o texto as áreas formam uma P.G. de razão 3/4, representada pela sequência
abaixo:
 9 27 81 243 
,
,
, ...
 3, ,
 4 16 64 256 
Como 243 < 256 concluímos que a partir do nível 5 a área da figura se torna menor que 1.
Resposta da questão 23:
[D]
De acordo com o texto as áreas formam uma P.G. de razão 3/4, representada pela sequência
abaixo:
 9 27 81 243 
,
,
, ...
 3, ,
 4 16 64 256 
Apresentando a fórmula do termo geral da P.G., temos:
3
an  3   
4
n 1
, onde 3/4 é a razão da P.G.
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