Cone - NS Aulas Particulares

Cone (sem outras figuras misturadas)
1. (Pucrj 2013) De um disco circular, de raio medindo 6 e centro C, cortamos um setor cujo
arco mede 13. Usando o pedaço maior, fazemos um cone reto juntando os lados CA e CB,
como nas figuras abaixo.
Não use aproximações para π e determine:
a) o perímetro da base do cone;
b) o raio da base do cone;
c) o volume do cone.
2. (Ita 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120º e área
igual a 3 π cm2 . A área total e o volume deste cone medem, em cm2 e cm3 , respectivamente
a) 4π e
2π 2
3
b) 4π e
π 2
3
c) 4π e π 2
d) 3π e
2π 2
3
e) π e 2π 2
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3. (Enem 2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países
orientais.
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de
a) pirâmide.
b) semiesfera.
c) cilindro.
d) tronco de cone.
e) cone.
4. (Ufsc 2011) O volume de um cone reto é 1024πcm3 Se a altura, o raio da base e a geratriz
desse cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da
geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta.
5. (Upe 2011) Ao se planificar um cone reto, sua superfície lateral é igual a um quarto de um
círculo com área igual a 12π . Nessas condições, a área de sua base é igual a
a) π
b) 2π
c) 3π
d) 4π
e) 5π
6. (Enem 2ª aplicação 2010) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente
e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m2 , considerando
π  3,14 , a altura h será igual a
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 9 m.
e) 16 m.
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7. (Fgv 2010) A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto:
O cone a que se refere tal planificação é
a)
b)
d)
e)
c)
8. (Ufpr 2010) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as
dimensões indicadas na figura.
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia?
b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x
indicada na figura.
9. (Ufsc 2004) A geratriz de um cone equilátero mede 2 3 cm.
Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, e multiplique o resultado por 3 .
10. (Ufmg 2003) Em uma mineração, com o uso de esteira rolante, é formado um monte
cônico de minério, cuja razão entre o raio da base e a altura se mantém constante.
Se a altura do monte for aumentada em 30%, então, o aumento de volume do minério ficará
MAIS PRÓXIMO de
a) 60%.
b) 150%.
c) 90%.
d) 120%.
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11. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de
milk shake com as dimensões mostradas no desenho.
a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake,
calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote ð = 3.
b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em
porcentagem, terá bebido?
12. (Ufrrj 2000) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a
0,25 m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em
forma de círculo com área de 25 π m2, é de
a) 12 m.
b) 10 m.
c) 8 m.
d) 6 m.
e) 5 m.
13. (Unb 1997) Um cálice tem a forma de um cone reto de revolução, de altura igual a 100 mm
e volume V1. Esse cálice contém um líquido que ocupa um volume V2, atingindo a altura de 25
mm, conforme mostra a figura adiante. Calcule o valor do quociente
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V1
V2
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14. (Fatec 1996) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se
o comprimento da circunferência dessa base é 8ðcm, então o volume do cone, em centímetros
cúbicos, é
a) 64 ð
b) 48 ð
c) 32 ð
d) 16 ð
e) 8 ð
15. (Uel 1996) Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é,
em centímetros quadrados, sua área lateral?
a) 20 ð
b) 30 ð
c) 40 ð
d) 50 ð
e) 60 ð
16. (Fuvest 1994) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm
de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um
círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é:
a) 144°
b) 192°
°
c) 240
°
d) 288
e) 336°
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) O perímetro da base do cone é dado por
2  6  13  (12  13) u.c.
b) Seja r o raio da base do cone. Do item (a), sabemos que o perímetro da base do cone mede
12  13. Logo,
2  r  12  13  r 
12  13
u.c.
2
c) Como CA  6 corresponde à geratriz do cone e r 
12  13
, segue que a altura do cone é
2
dada por
2
13  (24  13)
 12  13 
62  
u.c.
 
2
 2 
Portanto, o volume do cone é igual a
2
2
13  (24  13)
 12  13 
1
1  12  13 



 
  13  (24  13)  u.v.
3
2

2

24





Resposta da questão 2:
[A]
Considere a figura abaixo.
Sabendo que a área do setor circular VAB é 3π cm2 , segue que
2
π  VA  120
 3π  VA  3cm.
360
O comprimento do arco AB é dado por
ˆ  VA  2π  3  2π cm.
AVB
3
Desse modo, como o comprimento do arco AB corresponde ao comprimento da base cone,
obtemos
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2π  r  2π  r  1cm,
em que r é o raio da base do cone.
Portanto, a área total do cone é
3 π  π  r 2  3 π  π  12  4 π cm2 .
Como VA é a geratriz do cone, temos que
2
h2  VA  r 2  h2  32  12  h  2 2 cm,
sendo h a altura do cone.
Por conseguinte, temos que o volume desse cone mede
1
1
2π 2
 π  r 2  h   π  12  2 2 
cm3 .
3
3
3
Resposta da questão 3:
[E]
A expressão superfície de revolução garante que a figura represente a superfície lateral de um
cone.
Resposta da questão 4:
ABERTA = 20
H(altura), R(raio da base) e g(geratriz) formam uma P.A, que pode ser escrita da seguinte
forma:
(R - r, R, R + r) onde r é a razão da P.A.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
(R  r)2  R2  (R  r)2
R2  2.R.r  r 2  R2  R2  2.R.r  r 2
R2  4.Rr  0
R  0( não convém)
R  4.r(convém)
logo h = 3r e g = 5r
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Considerando o volume do cone 1024 π , temos:
1
.π.(4r)2.3r  1024π  r 3  64  r  4cm
3
Portanto, a geratriz do cone será g = 5 . r = 20 cm.
Resposta da questão 5:
[C]
Considerando 12π como sendo a área da superfície lateral, r o raio da base e g sua geratriz
temos:
 .r.g  12  r.g  12
 2 .r 

  g  4.r

2
 g
Logo, r.4r.  12  r  3 .
2
Portanto, a área da base será A =
 . 3  3 .
Resposta da questão 6:
[B]
Se a área a ser iluminada mede 28,26 m2 e r é o raio da área circular iluminada, então
28,26
 r  3 m.
3,14
Portanto, como g  5 m e r  3 m, segue que h  4 m.
  r 2  28,26  r 
Resposta da questão 7:
[B]
252  7

180
5
7
2 .R 
.10  R  7 e g = 10 (raio do setor)
5
252o =
Resposta da questão 8:
a) V 
b)
1
r 2 212  16
3
Vlíquido
16
3
x 3
 x
    Vlíquido 
108
 12 
Resposta da questão 9:
9
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Resposta da questão 10:
[D]
Resposta da questão 11:
a) 500 ml
b) 87,5%
Resposta da questão 12:
[E]
Resposta da questão 13:
64
Resposta da questão 14:
[A]
Resposta da questão 15:
[E]
Resposta da questão 16:
[D]
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