A REGRESSÃO LINEAR EM EVENTOS - VI MICTI

Mostra Nacional de Iniciação Científica e Tecnológica Interdisciplinar – VI MICTI
Instituto Federal Catarinense – Câmpus Camboriú
30 a 31 de outubro de 2013
A REGRESSÃO LINEAR EM EVENTOS HIDROLÓGICOS EXTREMOS: enchentes
Ester Hasse1; Veruschka Rocha Medeiros Andreolla2; Gilberto Mazoco Jubini3
INTRODUÇÃO
Define-se por enchente, o extravasamento de agua excedente de um rio
que atinge o seu leito maior excepcional. Os principais impactos sobre a população
consistem nos prejuízos com perdas materiais e humanas, interrupção da atividade
econômica das áreas inundadas, contaminação de doenças de veiculação hídrica e
a contaminação da agua pela inundação de deposito de material tóxico, estações de
tratamento, entre outros. O rio Itajaí-Açu, situado na Bacia Hidrográfica do Alto Vale
do Itajaí, em Santa Catarina, sofre freqüentemente com o fenômeno das enchentes
em resposta às precipitações intensas, o qual pela intervenção antrópica por meio
dos mais diferentes usos como cultivo, moradia, instalações industriais. A
irregularidade do evento dá uma “margem de segurança” quanto à ocupação dessas
áreas. De acordo com BIEMBEGUT (1999), a modelagem matemática sempre
esteve presente na criação das teorias científicas. Modelagem matemática é
representar segundo um modelo. A modelagem pode ser vista como o esforço de
descrever matematicamente o que é escolhido ou surge naturalmente. Para
BASSANEZI (1994) a modelagem matemática consiste na arte de transformar
problemas da realidade em problemas matemáticos. E resolver interpretando suas
soluções na linguagem do mundo real. Sendo assim, este trabalho teve como
objetivo a utilização da modelagem para a simulação de eventos hidrológicos
extremos, as enchentes, para auxiliar na tomada de decisão.
1
Acadêmica do Instituto Federal Catarinense - Campus Rio do Sul. Licenciatura em Matemática. Email: [email protected]
2
Professor Orientador Dra Eng. Agrônoma, Pós- doutoranda da UFPR, Curitiba – PR Instituto Federal
Catarinense. E-mail: [email protected]
3
Professor Orientador, Msc. Professor de Ensino Básico, Técnico e Tecnológico do Instituto Federal
Catarinense - Campus Rio do Sul. E-mail: [email protected]
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PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
O trabalho foi desenvolvido na região do Alto Vale do Itajaí, situado na
Bacia Hidrográfica Alto Vale do Itajaí, em Santa Catarina, nos municípios localizados
às margens do Rio Itajaí-Açu. O método de previsão foi desenvolvido através de
uma série cronológica de dados de cotas máximas de enchentes, coletados e
adquiridos em órgão da União do Governo Federal, a partir dos quais elaborou-se
um modelo matemático correlacionando pontos da pluviosidade e do nível do rio do
Rio Itajaí-Açu. O modelo matemático apresenta resultados satisfatórios para a
previsão de enchentes do Vale. O monitoramento do grande volume de chuvas e o
movimento das águas dos Rios que compõem a bacia do Alto vale ocorre de forma
permanente. Duas grandes barragens de Ituporanga e Taió, protegem o Rio ItajaíAçu. Conforme a elevação do nível do Rio no ponto de monitoramento na cidade de
Rio do Sul inicia-se o fechamento ou abertura das comportas das barragens. Foi
realizada uma modelagem matemática consistindo na utilização de uma curva
modelada a partir da correlação linear simples e mostrando o comportamento do
nível do Rio na Cidade de Rio do Sul nas enchentes de 2001, 2005, 2010 e 2011. O
modelo foi utilizado a partir dos dados coletados das 19 horas do dia 1 de outubro de
2001 às 11h do dia 08 de outubro de 2001, das 7 horas do dia 5 de setembro de
2005 às 7h do dia 10 de setembro de 2005, das 7 horas do dia 27 de abril de 2010
às 17h do dia 06 de maio de 2010, das 20 horas do dia 9 de setembro de 2011 às 7h
do dia 23 de setembro de 2011.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
O modelo a seguir consiste na utilização de uma curva modelada a partir
da correlação linear simples. Estabelecer uma relação funcional entre duas variáveis
x e y a partir de um conjunto de dados observados xi , yi . O problema consiste em
dados n pares de valores ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( xn , yn ) das variáveis x e y determinar os
parâmetros de uma formula empírica que represente essa relação funcional.
Sabendo que existe essa relação de dependência linear de y em relação à x
pretende se estabelecer os parâmetros a e b para que a fórmula axi + b melhor
represente os valores de yi . A escolha da formula empírica, denominada função de
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ajuste, é realizada a partir de considerações teóricas que possam fundamentar sua
eleição. Não existindo tais considerações, a partir do gráfico de pontos xi , yi
(diagrama de dispersão) determina se o tipo de curva (curva de ajuste) que melhor
reproduza a sua distribuição. A seguir a função de ajuste será expressa como Y (x) e
os valores calculados, a partir desta, para abcissas xi como Y( i ) (Y( i ) = Y( xi ) )
Os valores observados apresentam reflexos de fatores secundários e
erros de medição pelo que a curva de ajuste não passara pelos pontos P ( xi , yi ) .
Procura se que as diferenças entre os valores de xi e Yi sejam as menores
possíveis. O ajuste Linear é aplicar o critério dos mínimos quadrados no ajuste a
uma reta Y ( x) = a ( x) + b implica determinar o valor dos parâmetros a e b que
n
n
i
i =1
minimizem a soma S (a, b) = ∑ [Yi − yi ]2 = ∑ [(axi + b) − yi ]2 .
O método dos mínimos quadrados trata se a ao ajuste de um conjunto de
dados
para
uma
combinação
linear
de
s
funções
ϕ1 ,ϕ 2 ,...,ϕ s :
Y ( x) = a1ϕ1 ( x) + a2ϕ 2 ( x) + ... + asϕ s ( x)
O problema pode ser conhecidos n valores y1 , y2 ,..., yn correspondente as
abscissas x1, x2 ...xn , determinar os coeficientes a1 , a2 ,...an , que minimizam a soma.
n
s
i =1
k =1
S (a1 ,..., an ) = ∑ [ yi − ∑ akϕ k ( xi )]2
O valor mínimo da soma S (a1 ,..., an ) é atingido no ponto em que se
anulam
ao
mesmo
tempo
as
derivadas
∂s
(k = 1,2,..., s )
∂ ak
n
∂s
= 2∑{[(a1ϕ1 ( xi ) +a2ϕ2 ( xi ) + ..., asϕ s ( xi )) − yi ]ϕ k ( xi )} = 0, k = 1,2,..., s
∂ ak
i =1
Este conjunto de s equações lineares forma o seguinte sistema:
 (ϕ1 ,ϕ1 )

 (ϕ 2 ,ϕ1 )
 ⋅⋅⋅

 (ϕ ,ϕ )
 n 1
(ϕ1,ϕ2 )
(ϕ2 ,ϕ2 )
⋅⋅⋅
(ϕn ,ϕ2 )
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
(ϕ1,ϕn )   a1 
 
(ϕ2 ,ϕn )  a2 
⋅⋅⋅ 

(ϕn ,ϕn )
⋅ ⋅ ⋅
 
a 
 n
 (ϕ1 , y ) 


 (ϕ 2 , y )
=
⋅⋅⋅ 


 (ϕ , y )
 n 
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n
Onde
(ϕ j , ϕ k ) = ∑ [ϕ k ( xi )ϕ j ( xi )]
i =1
n
e
(ϕ j , y ) = ∑ [ϕ k ( xi ) yi ] .A solução do
i =1
sistema defini os parâmetros a1 , a2 ,...an , do ajuste.
Muitas vezes é possível transformar um ajuste não linear em linear
através de uma troca de variáveis. Essa metodologia foi amplamente usada devido à
dificuldade, no caso não linear, de obter o ponto mínimo da soma dos quadrados
dos resíduos S = (a1 , a2 ..., as ) . A troca de variáveis permite converter o problema num
ajuste a uma parábola. Y ( x) =
1
.
ax + bx + c
2
Na figura 1, foi estabelecida a correlação entre a cota máxima atingida
pelo nível do rio e o tempo para retornar ao nível normal após o término das chuvas
foi possível estabelecer os seguintes resultados.
Coeficiente de Determinação (R²) = 0,936
Função Y = 9e − 0,5 x 2 − 0,0519 x + 12,815
Onde: Y = nível do rio; x = tempo em horas;
Figura 1 - Correlação entre a cota máxima atingida pelo nível do rio e o tempo para retornar ao nível
normal após o término das chuvas.
Os coeficientes de determinação (R²) indicam uma forte correlação entre
o nível do rio e o tempo para retornar ao nível normal após o término das chuvas, a
correlação apresentou 93,60% de dependência, possivelmente devido a grande
volume das chuvas ocorrido no período. A influência de outras variáveis não são
consideradas no modelo, porém o aumento da população e as construções na
margem do rio, sem matas ciliares em suas margens, são fatores que influenciam a
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velocidade da água no leito do rio. Neste sentido, pode-se projetar o tempo que o rio
gastará para voltar o leito ao nível normal a partir do momento que atinge a cota
máxima e a paralização da chuva. Segundo CHRISTOFOLETTI (1999), os modelos
matemáticos para previsão geralmente são construídos embasados em análises de
regressão. Embora o modelo tenha sido obtido através do método de regressão,
apresente bom desempenho, principalmente nas correlações, este apresenta
algumas limitações, sobretudo quanto à distribuição espacial da chuva sobre a Bacia
do Vale do Itajaí, o tempo de pluviometria e a quantidade precipitada. As limitações
dos modelos hidrológicos também foram apontadas por TUCCI (1998), que apesar
de considerarem uma ferramenta extremamente útil que permite, através da
equacionalização dos processos, representar, entender e simular o comportamento
de uma bacia hidrográfica, afirmam ser impossível ou inviável traduzir todas as
relações existentes entre os diferentes componentes da bacia hidrográfica em
termos matemáticos.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O modelo pode ser adotado para a previsão de enchentes do Rio ItajaíAçu, sobretudo, na cidade de Rio do Sul, porém é necessário adotar margens de
erro no momento de alerta à população.
REFERÊNCIAS
BORCHE,ALEJANDRO. Métodos Numéricos. Porto Alegre: Editora da
UFRGS,2008.
BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. 3. Ed.
São Paulo: Contexto, 2006.
BIEMBENGUT, M.S.; HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. 3 ed. São
Paulo: Contexto, 2003.
CHRISTOFOLETTI, A. Modelagem de Sistemas Ambientais. São Paulo: Edgard
Blücher, 1999.
TUCCI, C.E.M. Modelos Hidrológicos. 10. ed. Porto Alegre: UFRGS, 1998.
TUCCI, C.E.M. Hidrologia – Ciência e Aplicação. 2. ed. Porto Alegre: UFRGS,
2000.