Exercícios – Rosen 47

Lógica de Predicados
Conteúdo
Correção dos Exercícios (Rosen – 47)
Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38)
Ligando Variáveis (Rosen 38)
Predicados com duas variáveis.
Equivalências lógicas (Rosen 39)
Negando expressões com quantificadores
(Rosen 39)
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) x(R(x)
H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) x(R(x) ^ H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
c) x(R(x)
H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
c) x(R(x)
H(x)) Existe um animal que se é
coelho então ele salta.
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
c) x(R(x)
H(x)) Existe um animal que se é
coelho então ele salta.
d) x(R(x) ^ H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
c) x(R(x)
H(x)) Existe um animal que se é
coelho então ele salta.
d) x(R(x) ^ H(x)) Existe um coelho que salta
Exercícios – Rosen 47
9) Considere P(x) como a proposição “x fala
russo” e considere Q(x) como a proposição
“x sabe a linguagem computacional C++”.
Expresse cada uma dessas sentenças em
termos de P(x), Q(x), quantificadores e
conectivos lógicos. O domínio para
quantificadores são todos os estudantes de
sua escola.
Exercícios – Rosen 47
9) Considere P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
a) Há um estudante em sua escola que fala
russo e sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
a) Há um estudante em sua escola que fala
russo e sabe C++.
x (P(x) ^ Q(x))
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
b) Há um estudante em sua escola que fala
russo mas não sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
b) Há um estudante em sua escola que fala
russo mas não sabe C++.
x (P(x) ^ ~Q(x))
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
c) Todo estudante em sua escola ou fala russo
ou sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
c) Todo estudante em sua escola ou fala russo
ou sabe C++.
x (P(x) v Q(x))
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
d) Nenhum estudante em sua escola fala russo
ou sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
d) Nenhum estudante em sua escola fala russo
ou sabe C++.
x ~(P(x) v Q(x))
Prioridade dos
Quantificadores
Os quantificadores e têm prioridade
maior que todos os operadores lógicos do
cálculo proposicional.
x P(x) v Q(x)
x P(x) v Q(x)
( x P(x)) v Q(x)
x (P(x) v Q(x))
Prioridade dos
Quantificadores
Os quantificadores e têm prioridade
maior que todos os operadores lógicos do
cálculo proposicional.
x P(x) v Q(x)
x P(x) v Q(x)
( x P(x)) v Q(x)
x (P(x) v Q(x))
Isso nos mostra o conceito de variável ligada
Prioridade dos
Quantificadores
Os quantificadores e têm prioridade
maior que todos os operadores lógicos do
cálculo proposicional.
x P(x) v Q(x)
x P(x) v Q(x)
( x P(x)) v Q(x)
x (P(x) v Q(x))
E o conceito de escopo de uma variável
Variável Ligada
x (x+y = 1)
x é ligada
Quando um quantificador é usado na variável
x, dizemos que essa ocorrência da variável é
ligada.
Variável Livre
x (x+y = 1)
x é ligada
Uma ocorrência de uma variável que não é
ligada por um quantificador ou não
representa um conjunto de valores
particulares é chamada de variável livre (y).
Variável Livre
x (x+y = 1)
x é ligada
Não é uma
proposição, pois y
é variável livre
Todas as variáveis que ocorrem em um
função proposicional devem ser ligadas ou
devem representar um conjunto de valores
particulares para ser uma proposição.
Escopo
x (P(x) ^ Q(x)) v x R(x)
Escopo
Escopo não se sobrepõe.
Escopo
É a parte da expressão lógica à qual um
quantificador é aplicado.
Escopo
x (P(x) ^ Q(x)) v y R(y)
Escopo
Escopo
Escopo não se sobrepõe.
Pode ser y ao invés de x.
É a parte da expressão lógica à qual um
quantificador é aplicado.
Uma variável é livre se não está sob o
escopo de algum quantificador.
Dúvidas!!!
Dúvidas sobre Variável Livre, Variável Ligada
e Escopo????
Refrescar a Mente!!!
Na aula passada traduzimos as seguintes
sentenças:
Todo estudante desta classe estudou lógica
e
Todo estudante da classe visitou Canadá ou
México!!!
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
S(x) = “x é estudante desta classe”
Vamos reformular nossa primeira frase:
Todo estudante desta classe estudou lógica
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
S(x) = “x é estudante desta classe”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
x C(x)
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
S(x) = “x é estudante desta classe”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
x C(x)
Domínio 2: {todas as pessoas}
x (S(x)
C(x))
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
S(x) = “x é estudante desta classe”
Agora vamos definir uma novo predicado !!!
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
x Q(x,lógica)
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
x Q(x,lógica)
Domínio 2: {todas as pessoas}
x (S(x)
Q(x, lógica))
Predicados com duas
variáveis
Algum estudante da classe visitou Canadá ou
México.
V(x,y) = “x visitou o país y”
x (V(x,México) v V(x,Canadá))
Equivalências (S
T)
Sentenças que envolvem predicados e
quantificadores são logicamente equivalentes
se e somente se elas têm o mesmo valor
verdade quaisquer que sejam os predicados
substituídos nessas sentenças e qualquer
que seja o domínio para as variáveis nessas
funções proposicionais.
Equivalências
x(P(x) ^ Q(x))
x(P(x) v Q(x))
x P(x) ^ x Q(x)
x P(x) v x Q(x)
Equivalências
x(P(x) ^ Q(x))
x(P(x) v Q(x))
x P(x) ^ x Q(x)
x P(x) v x Q(x)
CUIDADO!!!!
x(P(x) v Q(x))
x(P(x) ^ Q(x))
x P(x) v x Q(x)
x P(x) ^ x Q(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de todos os estudantes desta
classe terem feito aulas de lógica.
~ x P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de todos os estudantes desta
classe terem feito aulas de lógica.
~ x P(x)
Podemos reformular a frase para:
Existe um estudante desta classe que não
teve aula de lógica.
x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de todos os estudantes desta
classe terem feito aulas de lógica.
~ x P(x)
Existe um estudante desta classe que não
teve aula de lógica.
x ~P(x)
Ilustramos que:
~ x P(x)
x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Existe um estudante na classe que teve
aulas de calculo.
x P(x)
Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.
~ x P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.
~ x P(x)
Podemos reformular a frase para:
Todo os estudantes nesta classe não tiveram
aulas de calculo.
x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.
~ x P(x)
Todo os estudantes nesta classe não tiveram
aulas de calculo.
x ~P(x)
Ilustramos que:
~ x P(x)
x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
As regras para negações de quantificadores
são chamadas de Leis de De Morgan para
quantificadores.
~ x P(x)
~ x P(x)
x ~P(x)
x ~P(x)
Exercícios
1) Quais as negações de:
a) “Existe um político honesto”
b) “Todos os brasileiros comem churrasco”
3) Negar x (x2 > x)
4) Negar x (x2 = x)
5) Mostre que:
~ x (P(x) Q(x))
x (P(x) ^ ~Q(x))
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
Como fica a proposição???
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
x H(x)
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
x H(x) negando ~ x H(x)
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
x H(x) negando ~ x H(x)
Sabemos que ~ x H(x)
x ~P(x)
Então podemos dizer que: ....
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
x H(x) negando ~ x H(x)
Sabemos que ~ x H(x)
x ~P(x)
Então podemos dizer que:
Todos os políticos são desonestos.
Exercícios
1) Quais as negações de:
a) “Existe um político honesto”
b) “Todos os brasileiros comem churrasco”
3) Negar x (x2 > x)
4) Negar x (x2 = x)
5) Mostre que:
~ x (P(x) Q(x))
x (P(x) ^ ~Q(x))
6) Rosen pg 47 exercícios: 6c, 6d, 6e, 6f
7) Rosen pg 48 exercício 34