Lógica de Predicados

Lógica de Predicados
Conteúdo
Correção dos Exercícios (Rosen – 47)
Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38)
Ligando Variáveis (Rosen 38)
Equivalências lógicas (Rosen 39)
Negando expressões com quantificadores
(Rosen 39)
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) ∀x(R(x)
H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) ∀ x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) ∀ x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) ∀ x(R(x) ^ H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) ∀x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) ∀x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) ∀ x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) ∀ x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
c) ∃ x(R(x)
H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) ∀ x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) ∀ x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
c) ∃ x(R(x)
H(x)) Existe um animal que se é
coelho então ele salta.
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) ∀ x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) ∀ x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
c) ∃ x(R(x)
H(x)) Existe um animal que se é
coelho então ele salta.
d) ∃ x(R(x) ^ H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o
português, em que R(x) é “x é um coelho” e
H(x) é “x salta” e o domínio são todos os
animais.
a) ∀ x(R(x)
H(x)) Todo coelho salta.
b) ∀ x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
c) ∃x(R(x)
H(x)) Existe um animal que se é
coelho então ele salta.
d) ∃ x(R(x) ^ H(x)) Existe um coelho que salta
Exercícios – Rosen 47
9) Considere P(x) como a proposição “x fala
russo” e considere Q(x) como a proposição
“x sabe a linguagem computacional C++”.
Expresse cada uma dessas sentenças em
termos de P(x), Q(x), quantificadores e
conectivos lógicos. O domínio para
quantificadores são todos os estudantes de
sua escola.
Exercícios – Rosen 47
9) Considere P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
a) Há um estudante em sua escola que fala
russo e sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
a) Há um estudante em sua escola que fala
russo e sabe C++.
∃ x (P(x) ^ Q(x))
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
b) Há um estudante em sua escola que fala
russo mas não sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
b) Há um estudante em sua escola que fala
russo mas não sabe C++.
∃ x (P(x) ^ ~Q(x))
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
c) Todo estudante em sua escola ou fala russo
ou sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
c) Todo estudante em sua escola ou fala russo
ou sabe C++.
∀x (P(x) v Q(x))
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
d) Nenhum estudante em sua escola fala russo
ou sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo”
Q(x)=“x sabe a linguagem C++”.
Domínio ={todos os estudantes de sua
escola}
d) Nenhum estudante em sua escola fala russo
ou sabe C++.
~ ∃x (P(x) v Q(x))
Refrescar a Mente!!!
Na aula passada traduzimos as seguintes
sentenças:
Todo estudante desta classe estudou lógica
e
Todo estudante da classe visitou Canadá ou
México!!!
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
S(x) = “x é estudante desta classe”
Vamos reformular nossa primeira frase:
Todo estudante desta classe estudou lógica
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
S(x) = “x é estudante desta classe”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
∀x C(x)
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
S(x) = “x é estudante desta classe”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
∀x C(x)
Domínio 2: {todas as pessoas}
∀x (S(x)
C(x))
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
S(x) = “x é estudante desta classe”
Agora vamos definir uma novo predicado !!!
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
∀x Q(x,lógica)
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
∀x Q(x,lógica)
Domínio 2: {todas as pessoas}
∀x (S(x)
Q(x, lógica))
Predicados com duas
variáveis
Algum estudante da classe visitou Canadá ou
México.
V(x,y) = “x visitou o país y”
∃x (V(x,México) v V(x,Canadá))
Quantificadores Agrupados
∃x (P(x) ^ Q(x)) v ∀x R(x)
Escopo
Escopo não se sobrepõe.
Escopo
Relembrando o que é escopo de um
quantificador.
Variável Livre
∀ x (x+y = 0)
x é ligada
Não é uma
proposição, pois y
é variável livre
Todas as variáveis que ocorrem em um
função proposicional devem ser ligadas ou
devem representar um conjunto de valores
particulares para ser uma proposição.
Quantificadores Agrupados
Dois quantificadores são agrupados se um
está no escopo do outro.
∀x ∃y (x+y = 0)
Quantificadores Agrupados
Dois quantificadores são agrupados se um
está no escopo do outro.
∀x ∃y (x+y = 0)
Tudo que está no escopo
pode ser considerado uma
função proposicional
∀x Q(x) onde
Q(x) = “∃yP(x,y)”
P(x,y) = “(x+y = 0)”
Quantificadores Agrupados
Dois quantificadores são agrupados se um
está no escopo do outro.
∀x ∃y (x+y = 0)
É difícil de se
∀x Q(x)
onde
entender!!!!
Q(x) = “∃yP(x,y)”
P(x,y) = “(x+y = 0)”
Pensando em quantificações
como um laço
x ∈ {1,2,3 } e y {a,b,c}
∀x ∀y P(x,y)
1
2
3
a
b
c
=V
=V
=V
a
b
c
=V
=V
=V
a
b
c
=V
=V
=V
Todas as
combinações
devem ser
verdadeiras
Pensando em quantificações
como um laço
x ∈ {1,2,3 } e y {a,b,c}
∀x ∃y P(x,y)
1
2
3
a
b
c
=?
=?
=?
a
b
c
=?
=?
=?
a
b
c
=?
=?
=?
Pelo menos
um de cada
deve ser
verdadeiro
Pensando em quantificações
como um laço
x ∈ {1,2,3 } e y {a,b,c}
∃x ∀y P(x,y)
1
2
3
a
b
c
=V
=V
=V
a
b
c
=?
=?
=?
a
b
c
=?
=?
=?
Em um
grupo
tem que
dar tudo
Verdade
Pensando em quantificações
como um laço
x ∈ {1,2,3 } e y {a,b,c}
∃x ∃y P(x,y)
1
2
3
a
b
c
=V
=?
=?
a
b
c
=?
=?
=?
a
b
c
=?
=?
=?
Basta
que um
resultado
seja
Verdade
Quantificadores Agrupados
Como vimos a ordem dos quantificadores
agrupados é importante, a menos que todos
sejam iguais (∀ ou ∃ ).
Quantificadores Agrupados
Como vimos a ordem dos quantificadores
agrupados é importante, a menos que sejam
todos sejam todos ∀ ou ∃ .
Exemplo:
Q(x,y) = “x+y=0”
Domínio = {números reais}
∃y ∀x Q(x,y)
Falso ou Verdadeiro?
Pensando....
Existe um número real y para todo numero real x
x,y ∈ R
∃y ∀x(x+y = 0)
-1 = V
1
2
3
-2
-3
=F
=F
-1
-2
-3
=F
=V
=F
-1
-2
-3
=F
=F
=V
Deveria
ser o
mesmo y
para todo
x
Pensando....
x,y ∈ R
∃y ∀x(x+y = 0)
1
2
3
-1
-2
-3
=V
=F
=F
-1
-2
-3
=F
=V
=F
-1
-2
-3
=F
=F
=V
Deveria ser
o mesmo y
para todo x,
logo é ...
FALSO
Quantificadores Agrupados
Como vimos a ordem dos quantificadores
agrupados é importante, a menos que sejam
todos sejam todos ∀ ou ∃ .
Exemplo:
Q(x,y) = “x+y=0”
Domínio = {números reais}
∃y ∀x Q(x,y)
∀x ∃y Q(x,y)
Falso !!!!
Falso ou Verdadeiro?
Pensando....
x,y ∈ R
∀x ∃y(x+y = 0)
1
2
3
-1
-2
-3
=V
=F
=F
-1
-2
-3
=F
=V
=F
-1
-2
-3
=F
=F
=V
Sempre tem
um V no
conjunto
logo é ...
Pensando....
x,y ∈ R
∀x ∃y(x+y = 0)
1
2
3
-1
-2
-3
=V
=F
=F
-1
-2
-3
=F
=V
=F
-1
-2
-3
=F
=F
=V
Sempre tem
um V no
conjunto
logo é ...
Verdade
Quantificadores Agrupados
Como vimos a ordem dos quantificadores
agrupados é importante, a menos que sejam
todos sejam todos ∀ ou ∃ .
Exemplo:
Q(x,y) =ENTÃO
“x+y=0” ....
DomínioA= ORDEM
{números reais}
IMPORTA!!!
∃y ∀x Q(x,y)
∀x ∃y Q(x,y)
Falso !!!!
Verdadeiro!!!
Quantificadores Agrupados
Como vimos a ordem dos quantificadores
agrupados é importante, a menos que sejam
todos sejam todos ∀ ou ∃ .
Exemplo:
Q(x,y) = “x+y=0”
Domínio
= {números
reais}
Podemos
ter
quantificações com
de duasFalso !!!!
∃ymais
∀x Q(x,y)
∀xvariáveis!!!
∃y Q(x,y) Verdadeiro!!!
Traduzindo sentenças da
matemática
“A soma de dois números inteiros positivos é
sempre positiva”
Domínio = Z+
Traduzindo sentenças da
matemática
“A soma de dois números inteiros positivos é
sempre positiva”
Domínio = Z+
∀x ∀y (x+y > 0)
Traduzindo sentenças da
matemática
“A soma de dois números inteiros positivos é
sempre positiva”
Domínio = Z+
∀x ∀y (x+y > 0)
Domínio = Z
Traduzindo sentenças da
matemática
“A soma de dois números inteiros positivos é
sempre positiva”
Domínio = Z+
∀x ∀y (x+y > 0)
Domínio = Z
∀x ∀y (((x>0)^(y>0)) (x+y > 0))
Traduzindo do Português
Se uma pessoa é do sexo feminino e tem
filhos, então ela é mãe de alguém
Domínio = { todas as pessoas}
F(x) = “x é do sexo feminino”
P(x) = “x tem filho”
M(x,y) = “x é mãe de y”
Traduzindo do Português
Se uma pessoa é do sexo feminino e tem
filhos, então ela é mãe de alguém
Domínio = { todas as pessoas}
F(x) = “x é do sexo feminino”
P(x) = “x tem filho”
M(x,y) = “x é mãe de y”
?????
????
Traduzindo do Português
Se uma pessoa é do sexo feminino e tem
filhos, então ela é mãe de alguém
Domínio = { todas as pessoas}
F(x) = “x é do sexo feminino”
P(x) = “x tem filho”
M(x,y) = “x é mãe de y”
(F(x) ^ P(x))
????
Traduzindo do Português
Se uma pessoa é do sexo feminino e tem
filhos, então ela é mãe de alguém
Domínio = { todas as pessoas}
F(x) = “x é do sexo feminino”
P(x) = “x tem filho”
M(x,y) = “x é mãe de y”
(F(x) ^ P(x))
M(x,y) e os quantificadores?
Traduzindo do Português
Se uma pessoa é do sexo feminino e tem
filhos, então ela é mãe de alguém
Domínio = { todas as pessoas}
F(x) = “x é do sexo feminino”
Todas as pessoas
P(x) = “x tem filho”
que são do sexo
M(x,y) = “x é mãe de y”
feminino e tem
filhos.
∀x((F(x) ^ P(x))
M(x,y))
Traduzindo do Português
Se uma pessoa é do sexo feminino e tem
filhos, então ela é mãe de alguém
Domínio = { todas as pessoas}
F(x) = “x é do sexo feminino”
Para todos os x’s
P(x) = “x tem filho”
existe um y.
M(x,y) = “x é mãe de y”
∀x((F(x) ^ P(x))
∃yM(x,y))
Traduzindo do Português
Se uma pessoa é do sexo feminino e tem
filhos, então ela é mãe de alguém
Domínio = { todas as pessoas}
F(x) = “x é do sexo feminino”
Podemos por do
P(x) = “x tem filho”
lado de fora
M(x,y) = “x é mãe de y”
∀x∃y ((F(x) ^ P(x))
M(x,y))
Lógica de Predicados
Concluímos o 1.3 do Rosen e estamos aptos
a fazer todos os exercícios das páginas 47 a
50
Equivalências (S T)
Sentenças que envolvem predicados e
quantificadores são logicamente equivalentes
se e somente se elas têm o mesmo valor
verdade quaisquer que sejam os predicados
substituídos nessas sentenças e qualquer
que seja o domínio para as variáveis nessas
funções proposicionais.
Equivalências
∀x(P(x) ^ Q(x))
∃x(P(x) v Q(x))
∀x P(x) ^ ∀x Q(x)
∃x P(x) v ∃x Q(x)
Equivalências
∀x(P(x) ^ Q(x))
∃x(P(x) v Q(x))
∀x P(x) ^ ∀x Q(x)
∃x P(x) v ∃x Q(x)
CUIDADO!!!!
∀x(P(x) v Q(x)) ∀x P(x) v ∀x Q(x)
∃x(P(x) ^ Q(x)) ∃x P(x) ^ ∃x Q(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de todos os estudantes desta
classe terem feito aulas de lógica.
~ ∀x P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de todos os estudantes desta
classe terem feito aulas de lógica.
~ ∀ x P(x)
Podemos reformular a frase para:
Existe um estudante desta classe que não
teve aula de lógica.
∃x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de todos os estudantes desta
classe terem feito aulas de lógica.
~∀x P(x)
Existe um estudante desta classe que não
teve aula de lógica.
∃x ~P(x)
Ilustramos que:
~ ∀ x P(x)
∃ x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Existe um estudante na classe que teve
aulas de calculo.
∃ x P(x)
Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.
~ ∃ x P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.
~ ∃ x P(x)
Podemos reformular a frase para:
Todo os estudantes nesta classe não tiveram
aulas de calculo.
∀x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.
~ ∃ x P(x)
Todo os estudantes nesta classe não tiveram
aulas de calculo.
∀x ~P(x)
Ilustramos que:
~ ∃ x P(x)
∀x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
As regras para negações de quantificadores
são chamadas de Leis de De Morgan para
quantificadores.
~ ∀ x P(x)
~ ∃ x P(x)
∃x ~P(x)
∀ x ~P(x)
Exercícios
1) Quais as negações de:
a) “Existe um político honesto”
b) “Todos os brasileiros comem churrasco”
2) Negar ∀x (x2 > x)
3) Negar ∃x (x2 = x)
4) Mostre que:
~ ∀ x (P(x) Q(x)) ∃ x (P(x) ^ ~Q(x))
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
Como fica a proposição???
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
∃x H(x)
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
∃ x H(x) negando ~ ∃ x H(x)
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
∃ x H(x) negando ~ ∃ x H(x)
Sabemos que ~ ∃ x H(x) ∀x ~H(x)
Então podemos dizer que: ....
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”
H(x) = “x é honesto”
Domínio = {todos os políticos}
∃ x H(x) negando ~ ∃ x H(x)
Sabemos que ~ ∃ x H(x) ∀x ~H(x)
Então podemos dizer que:
Todos os políticos são desonestos.
Exercícios
2) Negar ∀x (x2 > x)
Exercícios
3) Negar ∀x (x2 > x)
~ ∀x (x2 > x) ????
Exercícios
3) Negar ∀x (x2 > x)
~ ∀x (x2 > x)
∃x ~ (x2 > x) ????
Exercícios
3) Negar ∀x (x2 > x)
~ ∀x (x2 > x)
∃x ~ (x2 > x) ????
∃x (x2 x)
Qual????
Exercícios
1) Mostre que:
~ ∀ x (P(x) Q(x)) ∃ x (P(x) ^ ~Q(x))
Rosen pg 47 exercícios: 6c, 6d, 6e, 6f
Rosen pg 48 exercício 34
Rosen pg 59
9 a)
9 b)
9 c)
9 i)
11 a)
11 b)
Rosen pg 61 exercício 26