IR significa o conjunto dos números reais, IR2 significa o conjunto

UFPE, 1-o semestre de 2005. Curso ET-589, “Introdução à Otimização”. Professor André Toom
Prova 1
IR significa o conjunto dos números reais, IR2 significa o conjunto de pares (x, y) , i.e. pontos
dum plano com coordenadas cartesianas. Para toda função real f (x, y) , sua curva de nı́vel
C ∈ IR é o conjunto de pontos (x, y) onde f (x, y) = C . Estudar uma função f (x, y) num
conjunto S ⊆ IR2 significa a) descobrir o conjunto dos valores de f (x, y) quando (x, y) fica
em S ; b) descobrir todos seus máximos, minimos, supremos e infimos; c) para cada máximo
e cada minimo descobrir os pontos, para quais este máximo ou minimo é realizado.
n
o
Problema 1. Seja S = (x, y) ∈ IR2 : |x| + |y| ≥ 1
e f (x, y) = x2 + y 2 .
a) Desenhar o conjunto S e curvas de função f com niveis 0, 1, 2 num desenho. (10 pontos)
b) Estudar a função f em conjunto S . (10 pontos)
n
Problema 2. Seja S = (x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ y ≤
√
1 − x2
o
e f (x, y) = x + y .
a) Desenhar o conjunto S e curvas de função f com niveis −1, 0, 1 num desenho. (10 pontos)
b) Estudar a função f em conjunto S . (10 pontos)
n
o
Problema 3. Seja S = (x, y) ∈ IR2 : y ≥ x2 + 1
e f (x, y) = y/x .
a) Desenhar o conjunto S e curvas de função f com niveis −1, 0, 1 num desenho. (10 pontos)
b) Estudar a função f em conjunto S . (10 pontos)
n
o
Problema 4. Seja S = (x, y) ∈ IR2 : x2 · y = 1
e f (x, y) = y + |x| .
a) Desenhar o conjunto S e curvas de função f com niveis −1, 0, 1 num desenho. (10 pontos)
b) Estudar a função f em conjunto S . (10 pontos)
n
o
Problema 5. Seja S = (x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 = 1
e f (x, y) = max(x, y) .
a) Desenhar o conjunto S e curvas de função f com niveis −1, 0, 1 num desenho. (10 pontos)
b) Estudar a função f em conjunto S . (10 pontos)
n
o
Problema 6. Seja S = (x, y) ∈ IR2 : (x − 1)(y − 1) = 0
e f (x, y) = x4 + y 4 .
a) Desenhar o conjunto S e curvas de função f com niveis 0, 1, 2 num desenho. (10 pontos)
b) Estudar a função f em conjunto S . (10 pontos)