Aula Inaugural - Concurseiro 24 Horas

AULA DEMONSTRATIVA
1.
APRESENTAÇÃO .................................................................................................................................................... 2
1.1.
2.
Conteúdo Programático ........................................................................................................................... 3
Números Inteiros – Noções Fundamentais .......................................................................................................... 4
2.1.
Conjunto dos Números Naturais .............................................................................................................. 4
2.2.
Conjunto dos Números Inteiros................................................................................................................ 4
2.3.
Módulo ou valor absoluto ........................................................................................................................ 5
2.4.
Operações com números inteiros ............................................................................................................ 6
2.5.
Multiplicações e divisões com números inteiros...................................................................................... 7
2.6.
Múltiplos de um inteiro ............................................................................................................................ 9
2.7.
Decomposição em fatores primos ............................................................................................................ 9
2.8.
Critérios de divisibilidade ....................................................................................................................... 10
2.9.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ........................................................................................................... 22
2.10.
Máximo Divisor Comum (MDC) .............................................................................................................. 26
3.
Lista com os exercícios abordados hoje ............................................................................................................. 29
4.
Considerações Finais........................................................................................................................................... 35
Concurso: Companhia Brasileira de Trens Urbanos (CBTU)
Cargo: Matemática (todos os cargos e níveis)
Matéria: Raciocínio Lógico
Professor: Bruno Leal
Este curso é protegido por direitos autorais (copyright), nos termos da Lei n.º
9.610/1998, que altera, atualiza e consolida a legislação sobre direitos autorais e dá
outras providências
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MATÉRIA: RACIOCÍNIO LÓGICO
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1. APRESENTAÇÃO
Olá, amigos concurseiros! Tudo tranquilo? Tomara que sim! Caso estejam
nervosos, ansiosos por conta da Matemática, fiquem calmos: costumo dizer que
não se trata de nenhum bicho-de-sete-cabeças (vá lá, duas ou três no máximo!) e
se eu, que não sou nenhum Einstein, aprendi, então por que vocês, caros amigos,
não conseguiriam?
Passo número ZERO para aprendizagem: AUTOCONFIANÇA!
Esta é a aula demonstrativa de Matemática para o concurso da CBTU. Conhecemos
a banca – CONSULPLAN.
Tal banca é bem conhecida, com uma tradição em organizar
principalmente para prefeituras de municípios de pequeno/médio porte.
concursos
Isso é bom, pois temos uma grande quantidade de questões para basear nossas
aulas.
Baseando-se na minha experiência de quase 18 anos em sala de aula, posso
afirmar que o grau de dificuldade das questões pode ser considerado de fácil para
médio.
Como ocorre com quase todas as bancas, costuma ser bastante “previsível” e
repetitiva nos assuntos que costuma cobrar. Claro que vamos nos basear nisso!
Evidentemente que uma ou outra questão pode ser mais difícil, porém, no geral, o
aluno bem preparado, como você, meu amigo, não terá maiores dificuldades.
Sobre mim, meu nome é Bruno Leal Monteiro, tenho 34 anos, dou aulas de
Matemática, Raciocínio Lógico e Matemática Financeira em cursinhos preparatórios
desde os 18 aninhos...
Lembro-me da minha primeira turma, preparatório para o CESD (Soldado
Especialista da Aeronáutica, hoje em dia, é um concurso interno). Era o mais novo
em sala! Todos com muita desconfiança daquele franzino professor, que nem
vestibular ainda havia feito... mas deu tudo certo e até hoje estou ajudando a
centenas de amigos/alunos a alcançarem seus objetivos. Só que nem um pouco
franzino... rsrsrs.
Sou autor de diversos materiais didáticos e do livro “Matemática para Concursos –
A Arte de Resolver Problemas”, pela Editora ELMO.
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Como nas minhas turmas presenciais, foco o aprendizado da Matemática e do Rac.
Lógico através da resolução de muitos, muitos exercícios.
Espero que gostem, aprendam de verdade e que exorcizem todo e qualquer
fantasma proveniente do Raciocínio Lógico que cismar rondar seus estudos!
Juntos somos fortes, não perca a força, o foco e a fé! Rumo à vitória!
1.1.
Conteúdo Programático
O conteúdo programático que veremos é o seguinte:
MATEMÁTICA (PARA TODOS OS CARGOS E NÍVEIS):
• Conjunto: Teoria dos conjuntos, símbolos lógicos, pertinência, representação,
igualdade, desigualdade e inclusão.
• Subconjuntos: Reunião, intersecção, conjunto vazio, diferença, complementar.
• Conjuntos Numéricos: Conjunto (N) dos números naturais; Conjunto (Z) dos
números inteiros; Conjunto (Q) dos números racionais; Conjunto (I) dos números
irracionais; Conjunto (R) dos números reais, intervalos reais.
• Funções: Produto Cartesiano, relação binária, diagrama de flechas, gráfico
cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função, domínio de uma
função real/função inversa e função composta.
• Função Polinomial do 1º Grau: Função crescente e decrescente, raiz ou zero de
uma função do 1º Grau; estudo dos sinais da função do 1º Grau, gráfico.
É bastante coisa! Mas não temos como correr. É encararmos, sem medo.
Esta aula zero tratará do tema Números Inteiros. Resolvemos nada menos que 32
exercícios, fora diversos exemplos de aplicação de propriedades.
Sem perder mais tempo, vamos lá!
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2. Números Inteiros – Noções Fundamentais
2.1.
Conjunto dos Números Naturais
É o conjunto ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}. Os números naturais são aqueles que
utilizamos para exprimir a quantidade de elementos de um conjunto. Como assim?
Por exemplo: No meu estojo há 7 canetas. O 7 é um número natural, pois serviu
para designar a quantidade de elementos do conjunto de canetas do meu estojo.
Eu não poderia nunca dizer que no estojo há 2/5 de caneta, ou 4,59 canetas, nem
mesmo – 5 canetas... Já imaginou se eu dissesse que no meu estojo há √2 caneta?
Você iria certamente fechar esse arquivo e dizer que eu sou louco!
Há alguns subconjuntos de ℕ que são importantes:
I. O conjunto ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = N – {0}. Toda vez que você vir o
asterisco (*) associado a um conjunto significa que o elemento ZERO foi retirado do
conjunto, ok?
II. O conjunto {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...} chamado
de conjunto dos números PRIMOS. Um número natural é dito PRIMO quando tiver
exatamente dois divisores naturais distintos: o 1 (chamado de divisor universal,
pois é divisor de todos os naturais) e o próprio número.
Por exemplo, o 11 é primo pois os únicos números naturais que o dividem
exatamente são o 1 e o próprio 11. Já o 15 não é primo pois, além de ser divisível
por 1 e por 15, também o é por 3 e por 5.
Um número natural, a partir do 4, que não for primo, será chamado de COMPOSTO.
É importante reparar que o menor número natural primo e o único par é o 2. O
zero e o um não são nem primos nem compostos.
O conjunto dos números naturais possui diversas “limitações”. Por exemplo, na
subtração. Embora possamos subtrair 5 de 8, obtendo 3, não podemos fazer 10 –
15, pois o minuendo (10) é menor que o subtraendo (15).
Ah, mas dá – 5! Sim, dá – 5, só que, por enquanto, não definimos ainda o que
seja a “quantidade – 5”. Para tanto, vamos “ampliar” o conjunto dos números
naturais e definir o Conjunto dos Números Inteiros (ℤ).
2.2.
Conjunto dos Números Inteiros
Eventualmente, você tomou noção de grandezas que admitiam valores menores
que zero (negativos), como por exemplo, a temperatura. Hoje mesmo, em Boston,
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EUA, houve uma nevasca e a temperatura chegou a 13 graus abaixo de zero
(−13ºC).
O saldo bancário, infelizmente, é outra grandeza que admite valores negativos...
mais frequentemente do que gostaríamos...
Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico ou
oposto. O oposto do 1 é o −1, do 2 o −2 e assim por diante. O sinal "−" indica que
se trata de um número negativo, portanto menor que zero.
Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos, que passam a ser
indicados por +1, +2, +3 etc., e o zero, bem, o zero é nulo, nem positivo, nem
negativo.
A presença do sinal “+” na frente dos inteiros positivos é opcional.
IMPORTANTE: a SOMA de um inteiro com o seu OPOSTO é sempre ZERO.
Exemplos: (+1) + ( −1) = 0;
(−5) + (+ 5) = 0
O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos formam um
outro conjunto, o conjunto dos números inteiros e é representando pela letra ℤ (do
alemão zahl, número): ℤ = {...−4,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,+4,...}.
Alguns subconjuntos importantes:
I) ℤ* = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3,...} = Z – {0} (inteiros não nulos)
II) ℤ− = {..., −3, −2, −1, 0} (inteiros não positivos)
São os números negativos incluindo o zero. Na sua representação deve ser
colocado - ao lado do ℤ.
CUIDADO! Não são os inteiros negativos, pois o zero PERTENCE a ℤ− .
III) ℤ∗− = {..., −3, −2, −1} (inteiros negativos)
IV) ℤ+ = {0,1,2,3,4,...} (inteiros não negativos)
Note que o conjunto ℤ+ = ℕ.
V) ℤ∗+ = {1, 2, 3, 4,...} (inteiros positivos)
Tal conjunto é igual a ℕ∗
2.3.
Módulo ou valor absoluto
Considere a reta abaixo, e os números inteiros nela indicados.
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Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o
zero) de módulo ou valor absoluto.
Assim, a distância do ponto que representa o número 4 à origem é 4. Dizemos que
o módulo de 4 é igual a 4. E representamos
|4| = 4.
Da mesma forma, a distância do ponto −2 à origem é 2, ou seja, o módulo de −2 é
2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim: |−2|
=2
Outros exemplos:
|3| = 3; |−7| = 7; |0| = 0; |−1| = 1.
Vamos generalizar:
Qual é o módulo de um número qualquer x?
|x| = ?
A resposta é: depende!
Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é
igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser
negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o
mesmo número de sinal trocado).
Portanto, |x| = x, se x for um número positivo e |x| = −x, se x for um número
negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo.
2.4.
Operações com números inteiros
Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre
resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão
bem definidas em ℤ ou, equivalentemente, que o conjunto ℤ é fechado para
qualquer uma destas três operações.
As divisões, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem
sempre têm resultado inteiro.
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Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto ℤ
ou, equivalentemente, que ℤ não é fechado para qualquer uma destas três
operações.
Adições e subtrações com números inteiros
Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números
inteiros. Observe os exemplos seguintes:
Exemplo 1:
Calcular o valor da seguinte expressão: 10 – 7 – 9 + 15 – 3 + 4
Faremos duas somas separadas: uma só com os números positivos
10 + 15 + 4 = +29;
e outra só com os números negativos: (−7) + (−9) + (−3) = −19.
Nós repetimos o sinal negativo e SOMAMOS ou módulos.
Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados.
+29 – 19 = +10 ou simplesmente 10.
Atenção: É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior
valor absoluto!
Exemplo 2:
Calcular o valor da seguinte expressão: −10 + 4 – 7 – 8 + 3 −2
1º passo: Achar os totais (+) e (−):
(+): +4 + 3 = + 7;
(−): −10 − 7 − 8 − 2= −27.
2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior
módulo:
−27 + 7 = −20.
2.5.
Multiplicações e divisões com números inteiros
Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais
dos dois termos da operação.
SINAIS IGUAIS: resultado POSITIVO (+)
SINAIS OPOSTOS: resultado NEGATIVO (−)
Exemplos:
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a) (+5) x (+2) = +10
b) (+5) x (−2) = −10
c) (−5) x (−2) = +10
d) (−5) x (+2) = −10
e) (+8) : (+2) = +4
f) (+8) : (−2) = −4
g) (-8) : (−2) = +4
h) (-8) : (+2) = −4
Vamos aos nossos primeiros exercícios resolvidos:
QUESTÃO 01 (Agente de Segurança Metroviária – SP/2013 – Fundação Carlos
Chagas) O resultado da expressão: 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + . . . − 168 +
169 – 170 é igual a:
(A) 170.
(B) − 170.
(C) 85.
(D) − 85.
(E) − 87.
Solução: A questão é tranquila, não precisamos nos desesperar! Vamos, para
facilitar a explicação, separar os termos da expressão em pares:
(1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + (7 – 8) + . . . + (167− 168) + (169 – 170).
Repare, meu amigo, 2 coisas:
1ª) Conseguimos formar 170 : 2 = 85 pares;
2ª) Em cada par, temos uma subtração cujo resultado é −1.
Logo, nossa expressão fica – 1 – 1 – 1 – 1 − ... – 1, com 85 termos, logo, o
resultado é −85, alternativa D.
Resolva a expressão (99 – 9)(99 – 19)(99 – 29) ... (99 – 189)
Solução: A primeira coisa é termos CALMA! Sem pânico nem precipitações!
Resolvendo as subtrações nos 3 primeiros parênteses, obtemos 90, 80 e 70, não é
verdade? Ótimo! Agora repare as reticências: o que elas indicam? Que o padrão
continua, e vai até uma última subtração, 99 – 189, que dá −90, pois nós
subtraímos e repetimos o sinal do −189, pois este tem maior módulo.
No momento, nossa expressão está assim: 90 . 80 . 70 ... (−90).
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Ainda pouco “falei” sobre um PADRÃO. Que padrão é esse? Os números estão
DIMINUINDO de 10 em 10, confere? Eles vão ficando cada vez menores até
eventualmente ficarem negativos até chegar no −90.
Podemos escrever então que a expressão é 90 . 80 . 70 . 60 . 50 . 40 . 30 . 20 . 10
. 0 . (−10) ... (−90). Ora, qualquer número multiplicado por ZERO dá... ZERO! A
resposta do exercício!
Ufa! Passamos pelos nossos primeiros desafios. Serão dezenas até o fim do nosso
curso. Não desanime, estamos juntos nesse barco!
2.6.
Múltiplos de um inteiro
Sejam m e n dois números inteiros. Dizemos que n é múltiplo de m se existir um
número k, inteiro, tal que n = k . m.
Desta forma, dizemos que 12 é múltiplo de 3, pois existe um número
inteiro k (neste caso k = 4 tal que: 3 · k = 12). Da mesma maneira, dizemos que –
21 é múltiplo de 7, pois existe um número inteiro k (neste caso k = – 3), tal que –
21 = 7 · k.
Observemos que o 0 (zero) é múltiplo do número inteiro k, qualquer que seja k,
pois sempre podemos escrever: 0 · k = 0.
O conjunto dos múltiplos de um inteiro k é indicado por M(k). Por exemplo, temos:
M(2) = {0, ±2, ±4, ±6, ±8, ...}.
O conjunto dos múltiplos de zero, M(0) é UNITÁRIO: M(0) = {0}.
Se a é múltiplo de b, podemos também dizer que a é divisível por b, ou então que b
é divisor de a.
2.7.
Decomposição em fatores primos
Todo o número composto pode ser decomposto ou fatorado num produto de
números primos.
Assim, por exemplo, o número 90, que não é primo, pode ser decomposto como:
90 = 2 · 45
O número 45, por sua vez, sendo composto, pode ser fatorado na forma:
45 = 3 · 15
Desta forma poderíamos apresentar o número 90 com uma fatoração:
90 = 2 · 3 · 15
Sendo o número 15 também um número composto, podemos apresentá-lo através
do seguinte produto: 15 = 3 · 5
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Teremos, finalmente, a fatoração completa do número 90 = 2 · 3 · 3 · 5
Se quisermos escrever o produto 3 . 3 na forma de potência, teremos o que
chamamos forma canônica: 90 = 2 . 32 . 5.
Como procedimento geral, podemos estabelecer uma regra para decomposição de
um número natural em fatores primos.
Regra:
•para decompormos um número natural em fatores primos, basta dividirmos o número dado
pelo seu menor divisor primo; dividimos o quociente pelo menor divisor primo; procedemos da
mesma maneira com os demais quocientes obtidos até chegarmos a um quociente igual a 1. O
produto indicado de todos os fatores primos obtidos representa o número fatorado.
Exemplos: Represente os números 90, 300 e 72 na forma canônica:
2.8.
Critérios de divisibilidade
Podemos verificar quando um número é divisível por outro, efetuando a operação
de divisão. Existem, porém, critérios que nos permitem reconhecer a divisibilidade
entre dois números sem que façamos a divisão. Tais critérios se aplicam aos
principais e mais usados divisores, como observaremos a seguir:
• divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando for par. Quando for
ímpar, deixará resto 1 na divisão por 2.
• divisibilidade por 3: um número é divisível por 3, quando a soma dos algarismos
que o formam for múltiplo de 3.
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Exemplos:
a) 8421 é divisível por 3, pois 8 + 4 + 2 + 1 = 15 é um múltiplo de 3.
b) 8422 NÃO é divisível por 3, pois 8 + 4 + 2 + 2 = 16 não é múltiplo de 3.
Como o 16, ao ser dividido por 3 deixa RESTO 1, 8422, dividido por 3, TAMBÉM
DEIXARÁ resto 1.
Note, pois, que o critério por 3 não nos diz apenas se o número é ou não divisível
por 3, quando não o for, também nos fornece o RESTO da divisão.
• divisibilidade por 4: um número é divisível por 4, quando o número formado pelos
seus dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplos:
a) 2 724 é divisível por 4, pois o número 24 é divisível por 4.
b) 584.563.211 deixa resto 3 na divisão por 4, pois 11 dividido por 4 deixa resto 3.
• divisibilidade por 5: um número é divisível por 5, quando o seu algarismo da
unidade for zero ou cinco.
Exemplo:
789546 deixa resto um na divisão por 5, pois o 6, algarismo da unidade, na divisão
por 5 também deixa resto 1.
• divisibilidade por 6: um número é divisível por 6, quando for divisível,
separadamente, por 2 e por 3.
Exemplo: 672 é divisível por 6, pois é par e divisível por 3 (6 + 7 + 2 = 15).
• divisibilidade por 8: um número é divisível por 8, quando o número formado pelos
três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
a) 22712 é divisível por 8, pois o número 712 é divisível por 8.
b) 22713 deixa resto 1 na divisão por 8, pois 713, dividido por 8, também deixa
resto 1.
• divisibilidade por 9: um número é divisível por 9, quando a soma dos algarismos
que o formam for múltiplo de 9. É a mesma regra do 3.
Exemplos: 18711 é divisível por 9, pois 1 + 8 + 7 + 1 + 1 = 18 é múltiplo de 9.
• divisibilidade por 10: um número é divisível por 10, quando o seu algarismo da
unidade for zero.
Exemplo: 123456767 deixa resto 7 na divisão por 10, pois termina em 7.
• divisibilidade por 11: um número é divisível por 11, quando a diferença entre as
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somas dos valores absolutos dos algarismos de posição ímpar e a dos algarismos
de posição par for divisível por 11.
Exemplo: 83 765 é divisível por 11, pois a diferença da soma dos algarismos de
posição ímpar (5 + 7 + 8 = 20) e a soma dos algarismos de posição par (3 + 6 =
9) é um número divisível por 11.
IMPORTANTE!! Nossa querida, pero no mucho, Fundação Cesgranrio com
alguma frequência cobra questões envolvendo restos. Vamos aprender como
resolvê-las com facilidade, dando uma olhadinha nos exemplos preliminares:
Exemplo 1:
→
Qual o resto da divisão por 5 da soma 36 + 87?
A Aritmética nos ensina que “o resto da soma” é a “soma dos restos” das parcelas.
Como assim, não entendi bulhufas!!! Calma, veja como é fácil:
O 36, dividido por 5, deixa resto 1 (pois termina em 6) e o 87, dividido por 5, deixa
resto 2 (pois termina em 7).
O resto da soma 36 + 87 é simplesmente a soma dos restos 1 e 2, ou seja 1 + 2 =
3.
Vamos conferir? 36 + 87 = 123 que dividido por 5, realmente deixa resto 3.
Exemplo 2:
→
Qual o resto na divisão por 10 do produto 285 x 833?
A Aritmética também nos ensina que o “resto do produto” é o “produto dos restos”
de cada fator. Observe:
O 285 dividido por 10 deixa resto 5, pois termina em 5. Já o 833, por terminar em
3, deixa resto 3 na divisão por 10.
Logo, o resto do produto 285 x 833 é simplesmente o resto que 5 x 3 = 15 deixa
na divisão por 10, ou seja, resto 5.
Conferindo, 285 x 833 = 237405, que realmente deixa resto 5 na divisão por 10.
Exemplo 3:
→
Qual o resto na divisão por 3 da expressão (4126 x 118) + 8375?
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Muita calma nessa hora! É bem fácil! Vamos inicialmente calcular os restos de
cada termo da expressão por 3.
1º) 4126 → 4 + 1 + 2 + 6 = 13 → 13 : 3 deixa resto 1;
2º) 118 → 1 + 1 + 8 = 10 → 10 : 3 deixa resto 1;
3º) 8375 → 8 + 3 + 7 + 5 = 23 → 23 : 3 deixa resto 2.
Agora, basta substituir cada número pelo seu respectivo resto na divisão por 3, e
resolver a expressão:
(1 x 1) + 2 → 1 + 2 = 3 que, dividido por 3, deixa resto ZERO!
Por curiosidade, vamos calcular o resultado da expressão: 486686 + 8375 =
495243 que, dividido por 3, dá quociente 165081 e resto zero.
Vamos a mais alguns exercícios resolvidos:
QUESTÃO 02. A diferença entre o 5º e o 2º número natural primo é:
Solução: O conjunto dos números naturais primos, números que apresentam
exatamente dois divisores positivos, o 1 e o próprio número, é infinito. Seus
primeiros elementos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
Note que o ÚNICO natural par que é primo é o 2.
O 5º número primo é o 11 e o 2º, o 3, sendo de 11 – 3 = 8 a diferença entre eles.
Lembrando que números naturais que são divisíveis finitamente por mais de dois
divisores positivos são chamados números COMPOSTOS.
Por exemplo, o 15 apresenta 4 divisores positivos: o 1, o próprio 15, o 3 e o 5.
Portanto, o 15 é composto.
De acordo com as definições acima expostas, o 1 não é nem primo nem composto,
pois D(1) = {1} (possui apenas um divisor). O zero também não é nem primo nem
composto, pois D(0) = {1, 2, 3, 4, 5, ...} (possui infinitos divisores).
QUESTÃO 03. (Colégio Militar do Rio de Janeiro) Examine as afirmativas abaixo:
I)
O
conjunto
dos
múltiplos
de
1
é
um
II) Todo número composto tem apenas 2 divisores primos;
conjunto
unitário;
III) O conjunto dos múltiplos de 0 é o conjunto dos números naturais;
IV) O número 1 é múltiplo de todos os números naturais;
V) Todo número primo admite um divisor primo.
todas as afirmativas são falsas
todas as afirmativas são verdadeiras
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apenas uma afirmativa é falsa
apenas uma afirmativa é verdadeira
nenhuma das anteriores
Solução: I) FALSO, pois M(1) = {0, 1, 2, 3, ...} = ℕ (conjunto dos números
naturais);
II) FALSO, pois, por exemplo, 30 = 2 x 3 x 5, ou seja, é um número composto que
possui 3 fatores primos;
III) FALSO, pois M(0) = {0};
IV) FALSO, pois é o zero o múltiplo universal. O 1 é um divisor universal;
V) VERDADEIRO, o próprio número.
A opção correta é a alternativa D.
QUESTÃO 04 (Olimpíadas Brasileiras de Matemática)
De quantas maneiras
podemos escrever 497 como a soma de dois números primos positivos?
Solução: Ao adicionarmos dois números pares, ou dois números ímpares, o
resultado será sempre par. Mas se adicionarmos um número par com um ímpar, a
soma será ímpar.
Sendo ímpar o 497, pelo que colocamos acima, ele é a soma de um número par
com um número ímpar. Como essas parcelas devem ser ambas primas, a única
opção possível seria escrever 497 = 2 + 495, pois o 2 é o único natural par e
primo.
Porém, o 495 é composto, por ser M(5). Logo, não há nenhuma maneira de ser
escrever 497 como a soma de 2 primos.
QUESTÃO 05 (Centro Federal de Educação Tecnológica – CEFET/RJ) Determine 3
números naturais consecutivos cujo produto é 504.
Solução: Sejam x, x + 1 e x + 2 os naturais consecutivos. Sendo 504 o produto
deles, podemos escrever que x . (x + 1) . (x + 2) = 504.
O problema é que, desenvolvendo a expressão acima, encontramos uma equação
do 3º grau! Logo, é uma questão proibitiva de ser resolvida por meios algébricos.
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Como os números são naturais e o produto deles é 504, tais números são
DIVISORES de 504. Decompondo-o em fatores primos e escrevendo-o na forma
canônica, vem: 504 = 23 . 32 . 7 = 8 . 9 . 7, que são justamente os números
consecutivos que estávamos procurando!
QUESTÃO 06 Qual o menor inteiro positivo que se deve multiplicar por 1 944 de
modo a obter um quadrado perfeito?
Solução: Um número natural é chamado quadrado perfeito quando possuir raiz
quadrada exata, ou seja, quando for o quadrado de um número natural. Qualquer
quadrado perfeito possui, na sua forma canônica, todas as suas bases elevadas a
expoentes pares. Exemplo: 144 = 24 . 32 é um quadrado perfeito por possui todas
as suas bases elevadas a expoentes pares.
O nosso número, 1944, quando fatorado, dá 23 x 35. Para ser um quadrado
perfeito, deveríamos ter, no mínimo, 24 x 36. Para que isso ocorra, precisamos
multiplicar o 1944 por 2 x 3 = 6, para acrescentar as bases 2 e 3 que estavam
faltando.
QUESTÃO 07 (FUVEST) O menor número natural n que torna o produto de n por
3888 um cubo perfeito é:
Solução: Um número natural é chamado cubo perfeito quando possuir raiz cúbica
exata, ou seja, quando for o cubo de um número natural. Qualquer cubo perfeito
possui, na sua forma canônica, todas as suas bases elevadas a expoentes que são
divisíveis por 3. Exemplo: 1728 = 26 . 33 é um cubo perfeito por possui todas as
suas bases elevadas a expoentes divisíveis por 3.
O nosso número, 3888, quando fatorado, dá 24 x 35. Para ser um cubo perfeito,
deveríamos ter, no mínimo, 26 x 36. Para que isso ocorra, precisamos multiplicar o
3888 por 22 x 3 = 12, para acrescentar as duas bases 2 e a base 3 que estavam
faltando.
QUESTÃO 08 Quais são os divisores positivos de 60?
Solução: Para determinar os divisores positivos de um número, procedemos como
se segue abaixo:
1º) Fatoramos o número dado;
2º) Traçamos uma segunda barra vertical à direita dos fatores primos;
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3º) Um pouco acima e à direita dessa barra, escrevemos o divisor 1, que é o divisor
universal;
4º) Multiplicamos os fatores primos pelos números que vão ficando à direita da
segunda barra.
Obs.: Os produtos que se forem repetindo não serão escritos.
Aplicando-se a regra para o 60, temos:
1
60 2
2
30 2
4
15 3
3 – 6 – 12
5 5
5 – 10 – 20
logo, D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,12, 15, 20, 30, 60}.
Note, meu amigo concurseiro, que o enunciado falou em divisores POSITIVOS...
mas haveria divisores negativos?
Da mesma forma que acontece com os múltiplos, o oposto ou simétrico de um
divisor positivo de um inteiro continuará divisor desse inteiro. Por exemplo, o 9
possui como divisores positivos o 1, o 3 e o próprio 9. Além desses, o −1, o −3 e o
−9 também são divisores do 9.
QUESTÃO 09 Marque V ou F:
a) Todo número inteiro é divisor de 1. (
)
b) Todo número inteiro é múltiplo de zero. (
)
c) 1 é múltiplo de todos os números inteiros. (
d) 1 é divisor de todos os números inteiros. (
)
)
e) Zero é múltiplo de todos os números inteiros. (
)
Solução: a) FALSO, pois o único divisor (positivo) de 1 é o próprio 1. Todo
número inteiro é MÚLTIPLO de 1.
b)
FALSO, pois o único múltiplo de zero é o próprio zero.
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c)
d)
e)
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FALSO, o 1 é DIVISOR de todos os números inteiros, assim como o – 1.
VERDADEIRO
VERDADEIRO
QUESTÃO 10 Analise as afirmativas abaixo:
I. O conjunto dos múltiplos de um número é um conjunto infinito.
II. O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito.
III. A soma de dois múltiplos de um número é também múltipla desse número.
Com relação às afirmações acima, pode-se dizer que:
as 3 são falsas
as 3 são corretas
apenas I e II são corretas
apenas II e III são corretas
nenhuma das anteriores
Solução: É importantíssimo repararmos nesse enunciado que ele cita o conjunto
dos múltiplos de um “número”, nada sendo especificado acerca de tal número.
Conclui–se que ele pode ser par, ímpar, positivo, negativo ou mesmo o ZERO.
Levando isso em consideração, vamos analisar as afirmativas:
I) FALSO, pois o conjunto dos múltiplos de zero é UNITÁRIO: M(0) = {0}.
II) FALSO, pois o conjunto dos divisores de zero é INFINITO: D(0) = {1, 2, 3, 4,
...}. Note que o zero não é divisor nem de si mesmo.
III) VERDADEIRO, por exemplo, 24 e 32 são múltiplos de 8 e a soma deles, 56,
também o é.
A diferença e o produto de dois múltiplos de um número também é múltipla do
número.
Conclui-se que a alternativa correta é a letra e)
QUESTÃO 11 A soma de 3 múltiplos consecutivos de 7 é 273.
números é um número:
O maior desses
a) par
b) ímpar
c) múltiplo de 3
d) múltiplo de 4
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Solução: Sabemos que os múltiplos de 7 se sucedem de 7 em 7 e por isso, sendo x
o menor dos números, os outros serão x + 7 e x + 14.
Como a soma deles é 273, vem: x + x + 7 + x + 14 = 273 → 3x + 21 = 273 →
3x = 252 → x = 84.
O maior será 84 + 14 = 98, que é um número par, letra a).
QUESTÃO 12 Os números inteiros positivos são dispostos em "quadrados" da
seguinte maneira:
1 2 3
10 11 12
19 __ __
4 5 6
13 14 15
__ __ __
7 8 9
16 17 18
__ __ __
O número 500 se encontra em um desses "quadrados". A "linha" e a "coluna" em
que o número 500 se encontra são, respectivamente:
a) 2 e 2.
b) 3 e 3.
c) 2 e 3.
d) 3 e 2.
e) 3 e 1.
Solução: Repare que há 9 elementos em cada quadrado, e a localização de cada
número pode ser dada pelo RESTO da divisão do número por 9. Pelo critério de
divisibilidade por 9, o número 500 deixa resto 5 + 0 + 0 = 5 na divisão por 9.
Portanto, o número 500 deve estar na mesma posição do 5, ou seja, no centro do
quadrado, na linha 2 e coluna 2.
QUESTÃO 13 (Banco do Brasil/2010 − Cesgranrio) De acordo com o Plano
Nacional de Viação (PNV) de 2009, a malha de estradas não pavimentadas de Goiás
tem 62.868km a mais do que a malha de estradas pavimentadas. Sabe-se,
também, que a extensão total, em quilômetros, das estradas não pavimentadas
supera em 393km o sêxtuplo da extensão das estradas pavimentadas. Quantos
quilômetros de estradas pavimentadas há em Goiás?
Solução: Sendo x a extensão das pavimentadas e y, das não pavimentadas,
podemos escrever:
1º) y = x + 62868 e
2º) y = 6x + 393,
logo, comparando as duas equações, vem: 6x + 393 = x + 62868 → 6x – x =
62898 – 393 → 5x = 62475 → x = 62475 : 5 → x = 12495.
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QUESTÃO 14 (Transpetro/2012 – Cesgranrio) Se a soma de dois números naturais
não nulos é igual ao quádruplo de um desses números, então:
(A) pelo menos um dos números é múltiplo de 3.
(B) um deles é par, se o outro for ímpar.
(C) certamente os dois números são compostos.
(D) os dois números podem ser iguais.
(E) um dos números é, obrigatoriamente, primo.
Solução: Vamos representar os números por x e y. O enunciado nos disse que a
soma deles é igual ao quádruplo (4 vezes) de um deles, digamos, 4 vezes y. Em
símbolos:
x + y = 4y → isolando x, vem: x = 4y – y → x = 3y.
Repare, querido amigo, que x é igual a 3 vezes o número natural y. Com certeza, x
será múltiplo de 3, pois todo múltiplo de 3 é igual a 3 vezes “alguém”. Alternativa
A.
Vamos pensar num exemplo numérico: números: 2 e 6 → soma: 2 + 6 = 8, que
é o quádruplo do 2. Note que o 6 é divisível por 3, por ser 3 vezes “alguém”, 3 x 2.
QUESTÃO 15 (BNDES/2012 − Cesgranrio) O Parque Estadual Serra do Conduru,
localizado no Sul da Bahia, ocupa uma área de aproximadamente 9.270 hectares.
Dessa área, 7 em cada 9 hectares são ocupados por florestas. Qual é, em hectares,
a área desse Parque NÃO ocupada por florestas?
(A) 2.060
(B) 2.640
(C) 3.210
(D) 5.100
(E) 7.210
Solução: O que o enunciado quis dizer com “Dessa área, 7 em cada 9 hectares são
ocupados por florestas”?
Que, separando a área do parque em “lotes” de 9 hectares cada, em cada “lote” 7
hectares são ocupados por florestas e 2 hectares NÃO serão ocupados.
Como a área do Parque é de 9270 hectares, podemos formar 9270 : 9 = 1030
“lotes” de 9 hectares. Portanto, a área pedida é 2 x 1030 = 2060 hectares,
alternativa A.
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QUESTÃO 16 (Banco do Brasil – Escriturário/2013 – Fundação Carlos Chagas)
Para recepcionar os 37 novos funcionários de uma agência, foi criada uma
brincadeira na qual os novos funcionários deveriam ser divididos em grupos iguais
(mesmo número de integrantes) que poderiam ter ou 5, ou 7, ou 8, ou 9, ou 10
integrantes. Das cinco opções de tamanhos dos grupos, a que deixa menos
funcionários sem grupo é aquela em que os grupos têm número de integrantes
igual a:
(A) 7.
(B) 9.
(C) 5.
(D) 10.
(E) 8.
Solução: A questão é simples, basta dividir 37 por 5, 7, 8, 9 e 10 e verificar os
restos de cada divisão. O divisor que “deixar o resto menor” será a resposta.
1º) 37 : 5 → quociente 7 e resto 2;
2º) 37 : 7 → quociente 5 e resto 2;
3º) 37 : 8 → quociente 4 e resto 5;
4º) 37 : 9 → quociente 4 e resto 1;
5º) 37 : 10 → quociente 3 e resto 7.
Portanto, a resposta é a alternativa B, pois dividindo os funcionários em grupos de
9 em 9, só sobra 1.
QUESTÃO 17 (DPE – RS/2013 – FCC) Em uma montadora, são pintados, a partir
do início de um turno de produção, 68 carros a cada hora, de acordo com a
seguinte sequência de cores: os 33 primeiros são pintados de prata, os 20
seguintes de preto, os próximos 8 de branco, os 5 seguintes de azul e os 2 últimos
de vermelho. A cada hora de funcionamento, essa sequência se repete.
Dessa forma, o 530º carro pintado em um turno de produção terá a cor:
(A) prata.
(B) preta.
(C) branca.
(D) azul.
(E) vermelha.
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Solução: Como se trata de uma sequência, vamos dividir 530 por 68:
encontramos quociente 7 e resto 54. O que isso significa? Que o ciclo de 68 carros
pintados ocorreu 7 vezes e, durante o oitavo ciclo, paramos no carro número 54.
Isso quer dizer que, no oitavo ciclo, chegamos a pintar os 33 carros prata e os 20
carros pretos (totalizando 53 carros). O carro de número 54, o último a ser
pintado, foi, seguindo a sequência, terá a cor branca. Alternativa C.
QUESTÃO 18 (DPE – SP/2013 – FCC) Alguns funcionários da Defensoria Pública
de São Paulo participaram de um seminário sobre “Ações na Área Cível”, pelo qual
pagaram o total de R$ 715,00, no ato de suas inscrições. Se X reais era o valor
unitário da inscrição e X é um número inteiro compreendido entre 40 e 60, quantos
funcionários da Defensoria participaram de tal seminário?
(A) 11.
(B) 13.
(C) 37.
(D) 55.
(E) 59.
Solução: Seja Y o total de funcionários que participaram do seminário. Note que Y
é um número inteiro positivo (não podemos ter 24,785 funcionários participando!).
Se cada um desses Y funcionários pagou X reais, podemos escrever que X . Y =
715.
O enunciado nos disse que X também é inteiro, logo precisamos que X e Y sejam
DIVISORES de 715, sendo X, entre 40 e 60, conforme o enunciado.
Decompondo 715 em fatores primos, encontramos 5.11.13. Podemos concluir que
X = 5 . 11 = 55 (pois é um número entre 40 e 60) e consequentemente Y = 13.
Logo, 13 funcionários participaram do evento, tendo cada um pagado 55 reais.
Alternativa B.
QUESTÃO 19 (Agente de Segurança Metroviária – SP/2013 – FCC) No universo
dos números naturais, o resto da divisão do número Y por 13 é 2. O resto da
divisão do mesmo número Y por 17 é 3. O número Y é menor do que 80. O resto da
divisão do número Y por 15 é:
(A) 3.
(B) 0.
(C) 5.
(D) 12.
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(E) 9.
Solução: Vamos encontrar os números naturais que, divididos por 13, deixam
resto 2:
13 x 1 + 2 = 15;
13 x 2 + 2 = 28;
13 x 3 + 2 = 41;
13 x 4 + 2 = 54;
13 x 5 + 2 = 87 (note que basta irmos somando de 13 em 13, a partir do 15), ...
Vamos agora encontrar os números naturais que, divididos por 17, deixa resto 3:
17 x 1 + 3 = 20;
17 x 2 + 3 = 37;
17 x 3 + 3 = 54;
17 x 4 + 3 = 71, ...
Percebemos que o 54 é o número menor que 80 que apareceu em ambas as
sequências. Logo, Y = 54. Dividindo-o por 15, o quociente é 3 e o resto é 9,
alternativa E.
Vejamos mais alguns exercícios resolvidos, dessa vez sobre restos:
QUESTÃO 20 (CMRJ) Considere 3 números naturais representados por m, n e p.
Se os restos das divisões de m, n e p por 11, são, respectivamente, 3, 4 e 5, então
o resto da divisão de (m + n + p) por 11 é:
Solução: Como vimos na teoria, basta substituir m, n e p por 3, 4 e 5, pois o
“resto da soma” é a soma dos restos das parcelas. Logo, teremos (3 + 4 + 5) : 11
→ 12 : 11 → resto 1
QUESTÃO 21 (UNICAMP) A divisão de um certo inteiro positivo N por 1994 deixa
resto 148. Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994.
Solução: Mesma história do anterior, o resto da soma é a soma dos restos das
parcelas. Como N deixa resto 148 na divisão por 1994 e o 2000 deixa resto 6, (N
+ 2000) deixará resto (148 + 6) = 154 na divsão por 1994.
2.9.
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Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
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Hora do “Varandão da Saudade”... bons tempos que nossas preocupações escolares
eram o mmc...
Relembrando: o mmc entre é o menor inteiro POSITIVO que é múltiplo, ao mesmo
tempo, de dois os mais inteiros dados.
Exemplo: Calcular o mmc (4, 6):
1º) Múltiplos (naturais) de 4 = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36...}
2º) Múltiplos (naturais) de 6 = {0,6,12,18,24,30,36,40,...}
3º) Múltiplos comuns (naturais) entre 4 e 6 = {0,12,24,36...}
Portanto, o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 é o 12.
Repare que o 12 não é “umc” – único múltiplo comum. É apenas o menor,
POSITIVO, dentre INFINITOS. Qualquer MÚLTIPLO de 12 continuará múltiplo tanto
do 4 quanto do 6.
Em princípio, no conjunto dos naturais, o mmc deveria ser o zero, por ele ser o
múltiplo universal e o menor natural. Por isso que para evitar de o zero ser sempre
a resposta, o fizemos de “café-com-leite” adotando o mmc como sendo o menor
inteiro POSITIVO que é divisível ao mesmo tempo, no caso, entre o 4 e o 6.
Esse processo é “artesanal”, e bastante lento, por isso de interesse apenas teórico.
Vamos utilizar preferencialmente o processo da decomposição simultânea em
fatores primos, como você certamente sabe fazer. Veja logo abaixo um exemplo:
Existe ainda um terceiro processo: da decomposição separada em fatores primos.
Veja o exemplo abaixo:
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Exemplo: Determine o mmc (90, 48).
Vamos utilizar o processo da decomposição separada em fatores primos dos
números dados. O mmc é igual ao produto dos fatores primos comuns e não
comuns elevados aos maiores expoentes.
No nosso caso, temos: 90 = 2 x 32 x 5 e 48 = 24 x 3, logo mmc (90, 48) = 24 x 32
x 5 = 720.
Há algumas questões clássicas envolvendo o mmc, que veremos agora:
QUESTÃO 22 De um aeroporto partem 3 aviões que fazem rotas internacionais. O
primeiro avião faz a rota de ida e de volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o
terceiro em 10 dias. Se num certo dia, os 3 aviões partirem simultaneamente,
depois de quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia?
Solução: Questões como essa, que pedem após quanto tempo determinados
eventos coincidirão pela primeira vez, são facilmente resolvidas. Basta
encontrarmos o mínimo múltiplo comum entre 4, 5 e 10, que é igual a 20 dias. O
que caracteriza um problema de mmc é justamente isso: coincidência entre os
acontecimentos dos eventos citados no enunciado.
QUESTÃO 23 As revisões mecânica, hidráulica e elétrica de um dado equipamento
devem ser realizadas respectivamente em intervalos de 6, 4 e 8 meses. Iniciandose a manutenção com uma revisão simultânea das 3 categorias em janeiro de
2013, essas 3 revisões coincidirão novamente em:
Solução: Repare a última frase do enunciado: essas 3 revisões coincidirão
novamente em... Como na anterior, a questão é sobre mmc.
Sendo o mmc (6, 4, 8) = 24 meses = 2 anos, conclui-se que a próxima revisão
simultânea ocorrerá em janeiro de 2015.
QUESTÃO 24 (Escola de Especialistas da Aeronáutica – EEAR) Certo jogo de
cartas pode ter de 2 a 5 participantes. Todas as cartas devem ser distribuídas aos
jogadores e todos devem receber a mesma quantidade de cartas. O número
mínimo de cartas que esse jogo pode ter é:
Solução: Se o jogo pode ter de 2 a 5 participantes, então pode ter 2, 3, 4 ou 5
participantes. A quantidade de cartas deve ser múltipla desses números, pois
todas as cartas devem ser distribuídas e todos os jogadores recebem a mesma
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quantidade de cartas. Logo, o número mínimo de cartas é dado pelo mmc(2, 3, 4,
5) = 60.
QUESTÃO 25 (Colégio Militar do Rio de Janeiro – CMRJ) Na festa de casamento de
Márcia, foi servido um jantar, constituído de arroz, maionese, carne e massa.
Garçons serviram os convidados utilizando pequenas bandejas. A quantidade
servida era aproximadamente igual parta todos, sem repetição. Todos os
convidados se serviram de todos os pratos oferecidos e as bandejas retornavam à
copa sempre vazias. Cada bandeja de arroz servia 3 pessoas, as de maionese , 4
pessoas, as de carne, 5 pessoas e as de massa, 6 pessoas cada. Nessas condições,
dos números abaixo apresentados, só um deles pode corresponder ao total de
convidados que foram à festa de Márcia. Assinale-o:
a) 90
b) 120
c) 144
d) 150
e) 200
Solução: Como no anterior, o total de convidados será dado por um múltiplo
comum de 3, 4, 5 e 6. O menor de todos é dado pelo mmc(3, 4, 5, 6) = 60, que
não apareceu nas alternativas.
Qualquer múltiplo do mmc continuará sendo um múltiplo comum de 3, 4, 5 e 6. Os
múltiplos de 60 são {0, 60, 120, 180, ...}. Observe que o 120 apareceu na opção
b), sendo esta a resposta.
QUESTÃO 26 Duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15
vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se em certo instante as
luzes piscarem simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar ao
mesmo tempo?
Solução: CUIDADO!! A questão tem “cheiro” de mmc, “gosto” de mmc, “cara” de
mmc, “corpo” de mmc... e É de mmc... Mas não é o mmc(15, 10) = 30!!!
Por quê? Pois não nos importa saber que determinado evento ocorre 15 vezes por
minuto, 25 vezes por hora, 60 vezes por dia, etc..., e sim de quanto em quanto
tempo leva para tal evento ocorrer APENAS UMA VEZ.
No nosso exercício, se a 1ª luz pisca 15 vezes por minuto, ou seja, 15 vezes a cada
60 s, então ela pisca uma vez a cada 60 : 15 = 4 s.
Da mesma forma, se a 2ª luz pisca 10 vezes por min, ou seja 10 vezes a cada 60 s,
pisca uma vez a cada 60 : 10 = 6 s.
Agora sim! Basta calcular o mmc(4, 6) = 12 s.
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QUESTÃO 27 O menor número que dividido por 15, 18 e 24 deixa resto 7 é:
Solução: Seja N o número procurado. Podemos escrever que:
N 15 N 18 N 24
,
,
.
7
7
7
Notemos que N não é múltiplo nem de 15, nem de 18 e nem de 24. Se
subtrairmos os três restos 7 de N, as 3 divisões se tornam exatas, portanto, N – 7
é um múltiplo comum (mc) de 15, 18 e 24.
Como o enunciado pediu o menor valor possível de N, podemos escrever que N – 7
= mmc (15, 18, 24) → N – 7 = 360 → N = 367.
2.10.
Máximo Divisor Comum (MDC)
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior natural que
divide todos estes números, ao mesmo tempo.
Exemplo 1: Calcular o mdc entre 60 e 80.
1º) Divisores de 60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
2º) Divisores de 80 = {1,2,4,5,8,10,16,20,40,80}
3º) Divisores comuns = {1,2,4,5,10,20}
Logo, o Máximo Divisor Comum é 20.
Exemplo 2: Determinar o mdc dos números 360 e 210.
Vamos utilizar o MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS ou ALGORITMO DE
EUCLIDES. Observe o esquema:
1
1
2
2
360 210 150 60 30
150 60
30
0
A primeira linha é a linha dos quocientes, enquanto que a última é a linha dos
restos.
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1º) Dividimos o maior número (360) pelo menor (210), obtendo quociente 1, que
ficará na primeira linha, acima do 210 e resto 150, que ficará na terceira linha,
abaixo do 360;
2º) Dividimos o primeiro divisor (210) pelo primeiro resto (150),
quociente 1 e resto 60;
obtendo
3º) Dividimos o segundo divisor (150) pelo segundo resto (60) e assim por diante
até encontrarmos resto zero. O último número escrito na linha do meio, que foi o
último divisor (30) será o mdc. No caso de determinarmos o mdc de 3 números,
calculamos o mdc entre dois deles e, depois, o mdc entre o número que sobrou e o
mdc encontrado para os 2 primeiros.
Há ainda um terceiro processo, que consiste em decompor separadamente os
números em fatores primos. O mdc é igual ao produto dos fatores primos comuns
elevados aos menores expoentes.
No nosso caso, temos: 360 = 23 x 32 x 5 e 210 = 2 x 3 x 5 x 7 logo, mdc
(360, 210) = 2 x 3 x 5 = 30.
Importante:
a) Se o menor dos números dados dividir todos os outros, sendo todos eles
positivos, ele será o mdc.
Ex.: O mdc entre 8, 16 e 32 é igual a 8 pois 8 é divisor de 16 e 32.
b) Números primos entre si são aqueles que não apresentam divisores primos
comuns, sendo o mdc deles sempre igual a um.
Ex.: O mdc entre 12 e 25 é igual a 1 pois são números primos entre si (nenhum
primo divide ao mesmo tempo 12 e 25).
Dividindo-se dois ou mais números pelo seu mdc os quocientes encontrados são
números primos entre si.
Ex.: O mdc entre 6, 9 e 21 é igual a 3, temos:
6 : 3 = 2; 9 : 3 = 3; 21 : 3 = 7 → 2, 3, e 7 são números primos entre si.
Há algumas questões clássicas envolvendo mdc. Vamos dar uma olhada nelas:
QUESTÃO 28 Seja n ∈ ℕ. Sabendo-se que o mdc (n, 15) = 3 e que o mmc (n,
15) = 90, determinar o valor de n.
Solução: Existe uma relação que liga o mmc e o mdc de dois números positivos:
mmc (a, b) x mdc (a, b) = a x b, ou seja, o produto do mmc de dois números
positivos pelo mdc dos mesmos números é igual ao produto deles.
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No nosso exercício, podemos escrever que 90 x 3 = n x 15 → 270 = 15n → n =
18.
QUESTÃO 29 Sabendo que a x b = 30240 e que o mmc(a,b) = 504, então o
mdc(a,b) é:
Solução: Como no anterior, temos que mmc (a, b) x mdc (a, b) = a x b. No nosso
exercício, vem: 504 x mdc = 30240 → mdc = 60.
QUESTÃO 30 Um antiquário adquiriu 112 tinteiros, 48 espátulas e 80 canivetes.
Deseja arrumá-los em mostruários de modo a cada um conter o mesmo e o maior
número possível de objetos da mesma natureza. O total de objetos em cada
mostruário será de:
Solução: A “marca registrada” de um problema de mdc é DIVISÃO DE DOIS OU
MAIS NÚMEROS EM PARTES IGUAIS E MAIORES POSSÍVEIS. O enunciado possui
claramente essa “marca”: deseja-se arrumar (distribuir, dividir) os objetos em
mostruários de modo a cada um conter o mesmo (divisão em partes iguais) e o
maior número possível de objetos da mesma natureza.
O que precisamos simplesmente é encontrar o mdc (112, 48, 80) = 16.
QUESTÃO 31 Maria tinha 3 carretéis, o 1o com 28m, o 2o com 52m e o 3o com
60m de fita colorida. Resolveu cortar as fitas em pedaços de comprimentos iguais,
do maior tamanho possível e sem sobras, para fazer um enfeite. Quantos pedaços
ela obteve?
Solução: Como no anterior, o enunciado nos pede que dividamos (cortemos) as
fitas em pedaços iguais e maiores possíveis. Logo, se trata de uma questão de
mdc. Calculando o mdc (28, 52, 60), encontramos 4 METROS como resposta.
Como diria João Kléber, PARA, PARA PARA!!! A resposta NÃO é 4!!
O enunciado NÃO pediu o TAMANHO de cada pedaço, e sim o NÚMERO DE
PEDAÇOS obtidos.
Adicionando os comprimentos dos 3 carretéis, temos 28 + 52 + 60 = 140 m.
Dividindo 140 por 4, obtemos 35 pedaços.
Depois de citar o João Kléber, acho melhor encerrar esta aula, rsrsrsrs...
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3. Lista com os exercícios abordados hoje
01) (Agente de Segurança Metroviária – SP/2013 – Fundação Carlos Chagas) O
resultado da expressão: 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + . . . − 168 + 169 – 170 é
igual a:
(A) 170.
(B) − 170.
(C) 85.
(D) − 85.
(E) − 87.
02) Resolva a expressão (99 – 9)(99 – 19)(99 – 29) ... (99 – 189)
03) A diferença entre o 5º e o 2º número natural primo é:
04) (Colégio Militar do Rio de Janeiro) Examine as afirmativas abaixo:
I) O conjunto dos múltiplos de 1 é um conjunto unitário;
II) Todo número composto tem apenas 2 divisores primos;
III) O conjunto dos múltiplos de 0 é o conjunto dos números naturais;
IV) O número 1 é múltiplo de todos os números naturais;
V) Todo número primo admite um divisor primo.
a.
b.
c.
d.
e.
todas as afirmativas são falsas
todas as afirmativas são verdadeiras
apenas uma afirmativa é falsa
apenas uma afirmativa é verdadeira
nenhuma das anteriores
05) (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) De quantas maneiras podemos
escrever 497 como a soma de dois números primos positivos?
06) (Centro Federal de Educação Tecnológica – CEFET/RJ) Determine 3 números
naturais consecutivos cujo produto é 504.
07) Qual o menor inteiro positivo que se deve multiplicar por 1 944 de modo a
obter um quadrado perfeito?
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08) (FUVEST) O menor número natural n que torna o produto de n por 3888 um
cubo perfeito é:
09) Quais são os divisores positivos de 60?
10) Marque V ou F:
a) Todo número inteiro é divisor de 1. (
)
b) Todo número inteiro é múltiplo de zero. (
)
c) 1 é múltiplo de todos os números inteiros. (
d) 1 é divisor de todos os números inteiros. (
)
)
e) Zero é múltiplo de todos os números inteiros. (
)
Solução: a) FALSO, pois o único divisor (positivo) de 1 é o próprio 1. Todo
número inteiro é MÚLTIPLO de 1.
b) FALSO, pois o único múltiplo de zero é o próprio zero.
c) FALSO, o 1 é DIVISOR de todos os números inteiros, assim como o – 1.
d) VERDADEIRO
e) VERDADEIRO
11) Analise as afirmativas abaixo:
I. O conjunto dos múltiplos de um número é um conjunto infinito.
II. O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito.
III. A soma de dois múltiplos de um número é também múltipla desse número.
Com relação às afirmações acima, pode-se dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
as 3 são falsas
as 3 são corretas
apenas I e II são corretas
apenas II e III são corretas
nenhuma das anteriores
12) A soma de 3 múltiplos consecutivos de 7 é 273. O maior desses números é
um número:
a) par
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b) ímpar
c) múltiplo de 3
d) múltiplo de 4
13) Os números inteiros positivos são dispostos em "quadrados" da seguinte
maneira:
1 2 3
10 11 12
19 __ __
4 5 6
13 14 15
__ __ __
7 8 9
16 17 18
__ __ __
O número 500 se encontra em um desses "quadrados". A "linha" e a "coluna" em
que o número 500 se encontra são, respectivamente:
a) 2 e 2.
b) 3 e 3.
c) 2 e 3.
d) 3 e 2.
e) 3 e 1.
14) (Banco do Brasil/2010 − Cesgranrio) De acordo com o Plano Nacional de
Viação (PNV) de 2009, a malha de estradas não pavimentadas de Goiás tem
62.868km a mais do que a malha de estradas pavimentadas. Sabe-se, também,
que a extensão total, em quilômetros, das estradas não pavimentadas supera em
393km o sêxtuplo da extensão das estradas pavimentadas. Quantos quilômetros de
estradas pavimentadas há em Goiás?
15) (Transpetro/2012 – Cesgranrio) Se a soma de dois números naturais não nulos
é igual ao quádruplo de um desses números, então:
(A) pelo menos um dos números é múltiplo de 3.
(B) um deles é par, se o outro for ímpar.
(C) certamente os dois números são compostos.
(D) os dois números podem ser iguais.
(E) um dos números é, obrigatoriamente, primo.
16) (BNDES/2012 − Cesgranrio) O Parque Estadual Serra do Conduru, localizado
no Sul da Bahia, ocupa uma área de aproximadamente 9.270 hectares. Dessa área,
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7 em cada 9 hectares são ocupados por florestas. Qual é, em hectares, a área
desse Parque NÃO ocupada por florestas?
(A) 2.060
(B) 2.640
(C) 3.210
(D) 5.100
(E) 7.210
17) (Banco do Brasil – Escriturário/2013 – Fundação Carlos Chagas) Para
recepcionar os 37 novos funcionários de uma agência, foi criada uma brincadeira na
qual os novos funcionários deveriam ser divididos em grupos iguais (mesmo
número de integrantes) que poderiam ter ou 5, ou 7, ou 8, ou 9, ou 10 integrantes.
Das cinco opções de tamanhos dos grupos, a que deixa menos funcionários sem
grupo é aquela em que os grupos têm número de integrantes igual a:
(A) 7.
(B) 9.
(C) 5.
(D) 10.
(E) 8.
18) (DPE – RS/2013 – FCC) Em uma montadora, são pintados, a partir do início
de um turno de produção, 68 carros a cada hora, de acordo com a seguinte
sequência de cores: os 33 primeiros são pintados de prata, os 20 seguintes de
preto, os próximos 8 de branco, os 5 seguintes de azul e os 2 últimos de vermelho.
A cada hora de funcionamento, essa sequência se repete.
Dessa forma, o 530º carro pintado em um turno de produção terá a cor:
(A) prata.
(B) preta.
(C) branca.
(D) azul.
(E) vermelha.
19) (DPE – SP/2013 – FCC) Alguns funcionários da Defensoria Pública de São
Paulo participaram de um seminário sobre “Ações na Área Cível”, pelo qual
pagaram o total de R$ 715,00, no ato de suas inscrições. Se X reais era o valor
unitário da inscrição e X é um número inteiro compreendido entre 40 e 60, quantos
funcionários da Defensoria participaram de tal seminário?
(A) 11.
(B) 13.
(C) 37.
(D) 55.
(E) 59.
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20) (Agente de Segurança Metroviária – SP/2013 – FCC) No universo dos
números naturais, o resto da divisão do número Y por 13 é 2. O resto da divisão do
mesmo número Y por 17 é 3. O número Y é menor do que 80. O resto da divisão do
número Y por 15 é:
(A) 3.
(B) 0.
(C) 5.
(D) 12.
(E) 9.
21) (CMRJ) Considere 3 números naturais representados por m, n e p. Se os
restos das divisões de m, n e p por 11, são, respectivamente, 3, 4 e 5, então o
resto da divisão de (m + n + p) por 11 é:
22) (UNICAMP) A divisão de um certo inteiro positivo N por 1994 deixa resto 148.
Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994.
23) De um aeroporto partem 3 aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro
avião faz a rota de ida e de volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em
10 dias. Se num certo dia, os 3 aviões partirem simultaneamente, depois de
quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia?
24) As revisões mecânica, hidráulica e elétrica de um dado equipamento devem
ser realizadas respectivamente em intervalos de 6, 4 e 8 meses. Iniciando-se a
manutenção com uma revisão simultânea das 3 categorias em janeiro de 2013,
essas 3 revisões coincidirão novamente em:
25) (Escola de Especialistas da Aeronáutica – EEAR) Certo jogo de cartas pode ter
de 2 a 5 participantes. Todas as cartas devem ser distribuídas aos jogadores e
todos devem receber a mesma quantidade de cartas. O número mínimo de cartas
que esse jogo pode ter é:
26) (Colégio Militar do Rio de Janeiro – CMRJ) Na festa de casamento de Márcia,
foi servido um jantar, constituído de arroz, maionese, carne e massa. Garçons
serviram os convidados utilizando pequenas bandejas. A quantidade servida era
aproximadamente igual parta todos, sem repetição. Todos os convidados se
serviram de todos os pratos oferecidos e as bandejas retornavam à copa sempre
vazias. Cada bandeja de arroz servia 3 pessoas, as de maionese , 4 pessoas, as de
carne, 5 pessoas e as de massa, 6 pessoas cada. Nessas condições, dos números
abaixo apresentados, só um deles pode corresponder ao total de convidados que
foram à festa de Márcia. Assinale-o:
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a)
b)
c)
d)
e)
90
120
144
150
200
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27) Duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por
minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se em certo instante as luzes
piscarem simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar ao
mesmo tempo?
28) O menor número que dividido por 15, 18 e 24 deixa resto 7 é:
29) Seja n ∈ ℕ. Sabendo-se que o mdc (n, 15) = 3 e que o mmc (n, 15) = 90,
determinar o valor de n.
30) Sabendo que a x b = 30240 e que o mmc(a,b) = 504, então o mdc(a,b) é:
31) Um antiquário adquiriu 112 tinteiros, 48 espátulas e 80 canivetes. Deseja
arrumá-los em mostruários de modo a cada um conter o mesmo e o maior número
possível de objetos da mesma natureza. O total de objetos em cada mostruário
será de:
32) Maria tinha 3 carretéis, o 1o com 28m, o 2o com 52m e o 3o com 60m de fita
colorida. Resolveu cortar as fitas em pedaços de comprimentos iguais, do maior
tamanho possível e sem sobras, para fazer um enfeite. Quantos pedaços ela
obteve?
GABARITO:
01) D
02) zero
03) 8
04) D
05) nenhuma
06) 7, 8 e 9
07) 6
08) 12
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09) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
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10) F - F - F - V - V
11) E
12) A
13) A
14) 12495
15) A
16) A
17) B
18) C
19) B
20) E
21) resto 1
22) resto 14
23) 20
24) janeiro de 2015
25) 60
26) B
27) 12 s
28) 367
29) 18
30) 60
31) 16
32) 35
4. Considerações Finais
É com enorme satisfação que concluímos nossa primeira aula. Acredito que todos
tenham entendido tudo e percebido que não “doeu nada”, rsrsrs.
Pratiquem, leiam várias vezes, tirem suas dúvidas, estou às ordens sempre!
Até nossa próxima aula! Rumo à vitória! Força, foco e fé!
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