Primeira lista de exercícios Aluno

Primeira lista de exercícios
Aluno:
Sendo a e b dois números inteiros, denimos por D(a) e D(b) o conjunto dos
divisores de a e b respectivamente. Denimos também M (a) e M (b) o conjunto
dos múltiplos de a e b respectivamente. Pergunta-se:
1.
a.
D(a) e D(b) podem ser disjuntos?Em outras palavras, exitem a e b inteiros
tal que D(a) ∩ D(b) = {∅}?
b.
Que nome se dá a um inteiro m tal que D(a) ∩ D(b) = D(m)?
c.
Quando D(a) ∩ D(b) = {1, −1}, qual a relação entre a e b?
d.
Em que caso M (a) ⊂ M (b)?
e.
Em que caso M (a) ∩ M (b) = M (ab)?
f.
Que nome se dá ao inteiro n tal que M (a) ∩ M (b) = M (n)?
2.
Descreva os seguintes conjuntos: D(6), D(−18), D(−24) ∩ D(16), M (4),
M (10), M (−9) ∩ M (6)
√
√
Provar que, se a, b, c e d são racionais, p é primo positivo e a+b p = c+d p
então a = c e b = d.
3.
4. Dados dois números x e y reais positivos, chama-se média aritmética de
e chama-se média geométrica o número real
x com y o número real a = x+y
2
√
b = xy . Mostrar que a ≥ b para todo x, y ∈ R+ .
5. Seja f de R em R assim denida:
1
se x ∈ Q,
f (x) =
x + 1 se x ∈ R − Q.
Calcule:
6.
a. f (3)
√
d. f ( 4)
√
c. f ( 2)
f . f (0.75)
Determine os seguintes conjuntos
a. [−1, 3] ∪ [0, 4]
d. [− 12 , 0) ∪ (− 32 , 41 ]
7.
−3
b. f (√
7 )
e. f ( 3 − 1)
b. [−2, 1] ∪ (0, 5)
e. [1, 2] ∩ [0, 3] ∩ [−1, 4]
c. (−1, 3] ∪ [3, 4]
f . [−1, ∞) ∩ [− 29 , 2)
Construir o gráco cartesiano das seguintes funções:
a. y = 2x − 1
d. y = 2x−3
2
b. y = x + 2
e. y = −3x − 4
c. y = 3x + 2
f . y = −x + 1
8.
Resolva analiticamente e gracamente os sistemas de equações:
a.
d.
x+y =5
x−y =1
b.
4x + 5y = 2
6x + 7y = 4
e.
3x + 2y = −14
3x + 2y = 8
c.
x + 2y = 1
2x + 4y = 3
f.
2x − 5y = 9
7x + 4y = 10
2x + 5y = 0
3x − 2y = 0
Sejam f e g funções lineares dadas pelo gráco abaixo. Determine f e g e
encontre o ponto de interseção das duas retas.
9.
f
g
2
1
-1
10.
que
2
Sejam f (x) = ax + b uma função am. Determine os valores de a e b tal
a.
f (0) = 1 e f (−1) = 4
b.
f (−2) = 1 e f (2) = 1
c.
d.
f (1) = 1 e f (2) = 2
e.
f (1) = 2 e f (2) = 1
f.
f (−10) = −1 e f (10) = 1
f ( 21 ) =
3
4
e f ( 34 ) = 1
Para as funções ans descritas na questão 10. determine seus zeros, se são
crescente ou decrescente e ainda os intervalos onde são positivas e negativas.
11.
12.
Determine os intervalos onde as seguintes inequações são satisfeitas:
a.
x + 1 ≤ −2x + 4
b. 2x − 3 ≤ 4x + 5
c.
d.
x + 8 ≤ 4x − 3
e. − x + 1 ≤ x + 1 ≤ −8x + 4
f.
13.
x ≤ 2x + 1 ≤ −3x + 2
x+3
2
≤ − (4x+3)
+ 0.5 ≤ x
2
Determine os valores de m para que as funções ans abaixo sejam crescentes:
a.
f (x) = (m − 1)x + m
b.
f (x) = 2x + m
c.
d.
f (x) =
(x+1)
m
e.
f (x) = −m(x + 1)
f.
f (x) =
f (x) =
√
(m−4)
x
2
m x − 4.
14. Sejam f ,g e h funções ans dadas pelo gráco abaixo. Determine estas
funções e encontre os intervalos onde as seguintes inequações são satisfeitas.
2
−1
a.
f (x) ≤ g(x)
b.
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
c.
d.
h(x) ≤ f (x) ≤ g(x)
e.
h(x) ≤ g(x)
f.
f
g
h
4
2
-2
2
4
3
g(x) ≤ h(x) ≤ f (x)
h(x) ≤ g(x).