Permutação - NS Aulas Particulares

Permutação
1. (Fgv 2013) O total de matrizes distintas que possuem apenas os números
1, 2, 3, 4, 5,..., 15, 16 como elementos, sem repetição, é igual a
a) (4!)4
b) 16.4!
c) 5.16!
d) (16!)5
e) 1616
2. (Uerj 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para
emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes −
vermelha, amarela e verde. Observe a figura:
Considere as seguintes informações:
— cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez;
— qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas
vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas
apagadas;
— duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas
é diferente.
Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.
3. (Uem 2013) Seja A o seguinte conjunto de números naturais: A  {1, 2, 4, 6, 8}. Assinale o
que for correto.
01) Podem ser formados exatamente 24 números ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre
os elementos do conjunto A.
02) Existem exatamente 96 números de 5 algarismos formados com elementos distintos de A e
terminados com um algarismo par.
04) Podem ser formados exatamente 64 números pares de 3 algarismos com elementos do
conjunto A.
08) Existem exatamente 3.125 números menores do que 100.000 formados com elementos do
conjunto A.
16) Podem ser formados exatamente 49 números menores do que 350 com elementos
distintos do conjunto A.
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4. (Espcex (Aman) 2013) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao
acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é
1
a)
5
2
b)
5
3
c)
4
1
d)
4
1
e)
2
5. (Fuvest 2013) Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que
envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados
e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá
conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas:
1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa;
2) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por
Xantipa.
a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território
em jogo?
b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território
em jogo?
6. (Ufmg 2013) Permutando-se os algarismos do número 123456, formam-se números de seis
algarismos.
Supondo-se que todos os números formados com esses seis algarismos tenham sido
colocados numa lista em ordem crescente,
a) DETERMINE quantos números possui essa lista.
b) DETERMINE a posição do primeiro número que começa com o algarismo 4.
c) DETERMINE a posição do primeiro número que termina com o algarismo 2.
7. (Upe 2013) Nove cartões, com os números de 11 a 19 escritos em um dos seus versos,
foram embaralhados e postos um sobre o outro de forma que as faces numeradas ficaram para
baixo. A probabilidade de, na disposição final, os cartões ficarem alternados entre pares e
ímpares é de
1
a)
126
1
b)
140
1
c)
154
2
d)
135
3
e)
136
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8. (Fgv 2013) No estande de vendas da editora, foram selecionados 5 livros distintos, grandes,
de mesmo tamanho, e 4 livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos
em uma prateleira junto com um único exemplar de Descobrindo o Pantanal.
a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo
tamanho devem ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos?
b) No final da feira de livros, a editora fez uma promoção. Numerou os livros da prateleira de 1
a 10, e sorteou um livro para o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidade
expressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujo número seja a média
aritmética de dois números primos quaisquer compreendidos entre 1 e 10?
9. (Upe 2013) Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa
retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir:
Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses
amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro?
a) 1 440
b) 1 920
c) 2 016
d) 4 032
e) 5 760
10. (Fgv 2013) O total de números naturais de 7 algarismos tal que o produto dos seus
algarismos seja 14 é
a) 14.
b) 28.
c) 35.
d) 42.
e) 49.
11. (Upe 2013) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental solicita aos
seus clientes que retirem seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa noite, 6
pares de sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dispostos na entrada do
restaurante, em duas fileiras com quatro pares de calçados cada uma. Se esses pares de
calçados forem organizados nessas fileiras de tal forma que as sandálias devam ocupar as
extremidades da primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se organizar esses
calçados nas duas fileiras?
a) 6!
b) 2 . 6!
c) 4 . 6!
d) 6 . 6!
e) 8!
12. (Unioeste 2012) Quantas palavras podemos formar, independente se tenham sentido ou
não, com as 9 letras da palavra BORBOLETA?
a) 81 440.
b) 90 720.
c) 362 880.
d) 358 140.
e) 181 440.
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13. (Espm 2012) ADRIANE e ARIADNE são permutações de um mesmo nome. A quantidade
de inversões de letras que ocorreram de um nome para o outro é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
14. (Ufu 2012) Um projeto piloto desenvolvido em um curso de Engenharia Mecânica prevê a
construção do robô “Eddie”, cujos movimentos estão limitados apenas a andar para frente (F) e
para a direita (D). Suponha que Eddie está na posição A e deseja-se que ele se desloque até
chegar à posição B, valendo-se dos movimentos que lhe são permitidos. Admita que cada
movimento feito por Eddie o leve a uma posição consecutiva, conforme ilustra um esquema a
seguir, em que foram realizados 10 movimentos (as posições possíveis estão marcadas por
pontos e o percurso executado de A até B, é representado pela sequência ordenada de
movimentos D F D D F F D F F D).
Com base nas informações acima, o número de maneiras possíveis de Eddie se deslocar de A
até B, sem passar pelo ponto C, é igual a
a) 192
b) 60
c) 15
d) 252
15. (Uespi 2012) De quantas maneiras podemos enfileirar 5 mulheres e 3 homens de tal modo
que os 3 homens permaneçam juntos?
a) 8!
b) 6!
c) 6!3!
d) 7!
e) 9!
16. (Uespi 2012) De quantas maneiras podemos formar 5 casais (com pessoas de sexos
diferentes e não ordenados) a partir de um grupo formado por 5 homens e 5 mulheres?
Desconsidere a ordem dos 5 casais.
a) 60
b) 80
c) 100
d) 120
e) 140
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17. (Insper 2012) Em cada ingresso vendido para um show de música, é impresso o número
da mesa onde o comprador deverá se sentar. Cada mesa possui seis lugares, dispostos
conforme o esquema a seguir.
O lugar da mesa em que cada comprador se sentará não vem especificado no ingresso,
devendo os seis ocupantes entrar em acordo. Os ingressos para uma dessas mesas foram
adquiridos por um casal de namorados e quatro membros de uma mesma família. Eles
acordaram que os namorados poderiam sentar-se um ao lado do outro. Nessas condições, o
número de maneiras distintas em que as seis pessoas poderão ocupar os lugares da mesa é
a) 96.
b) 120.
c) 192.
d) 384.
e) 720.
18. (Espcex (Aman) 2012) Se todos os anagramas da palavra ESPCEX forem colocados em
ordem alfabética, a palavra ESPCEX ocupará, nessa ordenação, a posição
a) 144
b) 145
c) 206
d) 214
e) 215
19. (Uel 2011) Um grupo de 6 alunos decide escrever todos os anagramas da palavra
PERGUNTA. Esta tarefa será feita em vários turnos de trabalho. Em cada turno 3 alunos
escrevem e os outros descansam. Para serem justos, decidiram escrever o mesmo número de
anagramas em cada turno.
Qual deve ser o número mínimo de anagramas, escrito por turno, de modo que não se repitam
grupos de trabalho?
a) 23
b) 720
c) 2016
d) 5040
e) 35000
20. (Enem 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista
com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada
candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para
convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados
números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é
a) 24.
b) 31.
c) 32.
d) 88.
e) 89.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Existem 5 matrizes com 16 elementos: 1 16, 2  8, 4  4, 8  2 e 16  1. Logo, como em cada
uma dessas matrizes podemos dispor os elementos, sem repetição, de P16  16! modos,
segue-se que o resultado é 5  16!.
Resposta
1ª Solução:
da
questão
2:
O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir é dado por
8 5 3
8!
5!
3!


    
 3   2   1  3!  5! 2!  3! 1!  2!
876 54


3
32
2
 1680.
2ª Solução:
O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de
permutações de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja,
8!
3!  2!  2!
87654

22
 1680.
P8(3, 2, 2) 
Resposta da questão 3:
02 + 16 = 18.
[01] Incorreto. Temos uma possibilidade para o algarismo das unidades e cinco para cada um
dos outros algarismos. Portanto, pelo PFC, podemos formar 5  5  5  1  125 números
ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre os elementos do conjunto A.
[02] Correto. Podemos escolher o algarismo das unidades de quatro maneiras. Definido o
algarismo das unidades, os outros quatro algarismos serão os elementos que restam de
A. Portanto, o resultado é 4  P4  4  4!  96.
[04] Incorreto. Existem quatro escolhas para o algarismo das unidades, e cinco escolhas para
os algarismos das dezenas e das centenas. Desse modo, pelo PFC, podem ser formados
4  5  5  100 números pares de 3 algarismos com elementos do conjunto A.
[08] Incorreto. Podemos formar 5 5 números de cinco algarismos, 5 4 números de quatro
algarismos, 5 3 números de três algarismos, 5 2 números de dois algarismos e 5 números
de um algarismo. Portanto, é possível formar exatamente
5  52  53  54  55  5 
55  1
 3905
5 1
números menores do que 100.000 com elementos do conjunto A.
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[16] Correto. Temos 5 números com um algarismo, 5  4  20 números com dois algarismos e
2  4  3  24 números com três algarismos, totalizando 5  20  24  49 números com
elementos distintos de A e menores do que 350.
Resposta da questão 4:
[B]
As permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 que terminam em 2 ou 4 são divisíveis por 2.
Logo, existem 2  P4  2  4! permutações nessas condições.
Por outro lado, existem P5  5! permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.
Desse modo, a probabilidade pedida é dada por
2  4! 2  4! 2

 .
5!
5  4! 5
Resposta da questão 5:
a) Sócrates deve obter pelo menos 2 seis.
Portanto, a probabilidade será P = 16/216 = 2/27.
b) Sócrates deve obter pelo menos dois seis (item a) ou um único 6 e pelo menos um 5.
Logo, a probabilidade será P = 43/216.
Resposta da questão 6:
a) 6.5.4.3.2.1 = 720.
b) Começando com 1: 5! = 120
Começando com 2: 5! = 120
Começando com 3: 5! = 120
Logo, o primeiro número que começa por quatro ocupa a 361ª posição.
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c)
A posição do primeiro número que termina em 2 é a trigésima quarta, pois
24  6  2  1  1  34.
Resposta da questão 7:
[A]
Observando que de 11 a 19 existem cinco números ímpares e quatro números pares, segue
que o primeiro e o último cartão devem ser, necessariamente, ímpares. Desse modo, existem
5! modos de dispor os cartões ímpares e 4! modos de dispor os cartões pares.
Portanto, como existem 9! maneiras de empilhar os nove cartões aleatoriamente, a
probabilidade pedida é
5!  4!
5!  4  3  2
1


.
9!
9  8  7  6  5! 126
Resposta da questão 8:
a) Temos 2 maneiras de dispor os blocos de livros grandes e pequenos, e 2 maneiras de
escolher onde ficará o exemplar de Descobrindo o Pantanal. Além disso, os livros grandes
podem ser dispostos de 5! maneiras, e os livros pequenos de 4! modos. Portanto, pelo
PFC, segue que o resultado é 2  2  5!  4!  4  120  24  11.520.
b) Os primos compreendidos entre 1 e 10 são: 2, 3, 5 e 7. Logo, os casos favoráveis são: 2
(média aritmética de 2 e 2), 3 (média aritmética de 3 e 3), 4 (média aritmética de 3 e 5), 5
(média aritmética de 3 e 7), 6 (média aritmética de 5 e 7) e 7 (média aritmética de 7 e 7).
Portanto, como podem ser sorteados 10 números, segue que a probabilidade pedida é
6
 100%  60%.
10
Resposta da questão 9:
[E]
Existem 4 escolhas para os acentos em que sentarão Amaro e Danilo. Definidos os assentos
que eles ocuparão, ainda podemos permutá-los de 2 maneiras. Além disso, as outras seis
pessoas podem ser dispostas de 6! maneiras.
Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue que o resultado pedido é
4  2  6!  5.760.
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Resposta da questão 10:
[D]
Como 14  2  7, segue-se que os números naturais de 7 algarismos cujo produto de seus
algarismos é igual a 14, apresentam, necessariamente, cinco algarismos iguais a 1, o
algarismo 2 e o algarismo 7.
Portanto, o resultado procurado é igual a
P7(5) 
7!
 42.
5!
Resposta da questão 11:
[B]
Podemos organizar as sandálias de 2! formas diferentes, e os sapatos podem ser dispostos de
6! modos. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, os calçados podem ser
organizados de 2!  6!  2  6! formas distintas.
Resposta da questão 12:
[B]
Calculando o número de anagramas da palavra BORBOLETA. (Observe que as letras O e B
parecem duas vezes cada).
Pp2,2 
9!
9  8  7!

 18  5040 = 90720
2!.2!
4
Resposta da questão 13:
[B]
Ocorreram três inversões da letra D com as letras R, I e A.
Resposta da questão 14:
[A]
Qualquer que seja o percurso de A até B, serão necessários 5 deslocamentos para frente e
5 para a direita. Logo, existem
(5, 5)
P10

10!
10  9  8  7  6

 252
5!  5!
5432
trajetos possíveis.
Por outro lado, existem
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P6(4, 2) 
6!
65

 15
4!  2!
2
percursos de A até C, e
P4(3) 
4!
4
3!
trajetos de C até B. Desse modo, pelo PFC, há 15  4  60 percursos de A até B passando
por C.
Portanto, o resultado pedido é dado por 252  60  192.
Resposta da questão 15:
[C]
Considerando os 3 homens como sendo uma única pessoa, teríamos a permutação de 6
pessoas. Além disso, ainda podemos permutar os 3 homens entre si. Portanto, o resultado
pedido é dado por P6  P3  6!  3!
Resposta da questão 16:
[D]
O resultado pedido corresponde ao número de funções injetoras que existem de H em M, com
H sendo o conjunto dos homens e M o conjunto das mulheres, isto é, 5!  120.
Resposta da questão 17:
[C]
Existem 2 maneiras de escolher um dos lados da mesa. Escolhido o lado, os três lugares que
o casal e um dos membros da família irão ocupar podem ser definidos de P2  2!  2 maneiras.
O casal ainda pode trocar de lugar de P2  2!  2 modos, e a família pode ocupar os 4 lugares
de P4  4!  24 maneiras.
Portanto, pelo PFC, segue que o resultado pedido é dado por 2  2  2  24  192.
Resposta da questão 18:
[B]
Ordenando alfabeticamente os anagramas da palavra ESPCEX, obtemos:
5!
 60 anagramas que começam pela letra C;
5
2!
ii. 3  P4  3  4!  72 anagramas que começam por E, e cuja segunda letra é C, E ou P;
iii. 2  P3  2  3!  12 anagramas que começam por ES, e cuja terceira letra é C ou E.
i. P(2) 
Portanto, como ESPCEX é o próximo anagrama na ordem considerada, segue que a sua
posição é 60  72  12  1  145.
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Resposta da questão 19:
[C]
Total de anagramas da palavra PERGUNTA: 8! = 40320.
Número de grupos com 3 alunos(turnos): C6,3 
6!
 20 .
3!.3!
Número de anagramas escrito por turno: 40320 : 20 = 2016.
Resposta da questão 20:
[E]
Começando com 1: 4! = 24
Começando com 3: 4! = 24
Começando com 5: 4! = 24
Começando com 71: 3! = 6
Começando com 73: 3! = 6
Começando com 751: 2! = 2
Começando com 753: 2! = 2
O próximo será 75913
Logo, 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89 (octogésima nona posição).
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