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Complemento Matemático 04 – Ciências da Natureza I
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Física - Ensino Médio
Material do aluno
A Trigonometria é a parte da Matemática que estuda os triângulos e seus elementos, como
ângulos, lados e alturas. Atualmente ela não fica limitada ao estudo dos triângulos. E podemos
observar a presença de aplicações da trigonometria em outras áreas do conhecimento como na
Física, música, engenharia e medicina por exemplo.
Muitos problemas cuja solucão pode estar associada à determinação de um elemento de um
triângulo têm sua resolução atendida pela trigonometria. Por exemplo, em muitas profissões
necessita-se usualmente determinar algumas distâncias que chamamos de distâncias
inacessíveis. Reflita sobre as situações abaixo:

Um navio precisa determinar a que distância se encontra da praia.

Um engenheiro na praia vê o navio e precisa determinar sua distância até uma ilha
próxima.

Um arquiteto precisa determinar a largura de um rio e a altura de uma montanha por
onde passará uma ponte.

Há mais de 2.000 anos os gregos utilizando relações trigonométricas determinaram o raio
da Terra.

Como os astrônomos, no passado, determinavam a distância da Terra à Lua?
Estas e outras situações podem ser resolvidas fazendo uso das relações trigonométricas. Para
entendermos melhor o que são essas relações trigonométricas vamos dar uma olhada no
triângulo retângulo (triângulo BAC) abaixo:
Nomeando os elementos do triângulo BÂC, temos:
B

a = hipotenusa
b = cateto
b = cateto
a
b
 = ângulo agudo (alfa)
 = ângulo agudo (beta)
 = ângulo reto

A
c
C
A partir da nomeação acima, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:
1) Seno (sen) de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e
a medida da hipotenusa.
sen  = cateto oposto = c
hipotenusa
a
sen  = cateto oposto = b
hipotenusa a
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Física - Ensino Médio
Material do aluno
2) Cosseno (cos) de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse
ângulo e a medida da hipotenusa.
cos  = cateto adjacente = b
hipotenusa
a
cos  = cateto adjacente = c
hipotenusa
a
3) Tangente (tang) de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do
cateto adjacente a esse ângulo.
tang  = cateto oposto = c
cateto adjacente b
tang  = cateto oposto = b
cateto adjacente c
Lembre-se que na linguagem comum, cateto oposto, é o cateto que esta de frente para ângulo,
e cateto adjacente, é o cateto que fica ao lado do ângulo.
Para cada ângulo foi estabelecido um valor para o seno, o cosseno e a tangente. Na tabela
abaixo podemos visualizar esses valores para os ângulos mais comumente utilizados.
ângulo
0o
30o
seno
0
1 = 0,5
2
cosseno
1
3
 0,87
2
tangente
__
3
 0,57
3
45o
60o
90o
2
 0,71
2
3
 0,87
2
1
2
 0,71
2
1 = 0,5
2
0
1
3  1,73
__
Observe que alguns dos valores acima podem ser apresentados na forma de números
fracionários ou de números irracionais. No final do volume 2 do livro de Matemática do
NovoTelecurso são apresentadas as tabelas trigonométricas com valores de seno, co-seno e
tangente para vários ângulos.
Na tabela a seguir mostramos outros valores para seno, cosseno e tangente que poderão ser
úteis na resolução de exercícios.
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Física - Ensino Médio
Material do aluno
ângulo
sen
cosseno
tangente
5
0,087156
0,996195
0,087489
10
0,173648
0,984808
0,176327
15
0,258819
0,965926
0,267949
20
0,34202
0,939693
0,36397
25
0,422618
0,906308
0,466308
30
0,500000
0,866025
0,577350
35
0,573576
0,819152
0,700208
40
0,642788
0,766044
0,839099
45
0,707107
0,707107
1,00000
50
0,766044
0,642788
1,191754
55
0,819152
0,573576
1,428148
60
0,866025
0,500000
1,732051
65
0,906308
0,422618
2,144507
70
0,939693
0,34202
2,747477
75
0,965926
0,258819
3,732051
80
0,984808
0,173648
5,671282
85
0,996195
0,087156
11,43005
90
1
0
-
01. Observe a tabela e responda às questões abaixo:
a) Qual o valor, aproximado, para o seno de 20º? ______________________________
b) Qual o valor, aproximado, para o co-seno de 70º? ____________________________
c) Qual o valor, aproximado, da tangente de 55º? _______________________________
d) Qual é o ângulo cujo seno vale aproximadamente 0,64? _______________________
e) Qual é o ângulo cujo cosseno vale aproximadamente 0,96? _____________________
f) Qual é o ângulo cuja tangente vale aproximadamente 11,4? ____________________
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Física - Ensino Médio
Material do aluno
Exercício resolvido
Um avião decola com ângulo de 30o com a horizontal. Utilizando as informações da ilustração
determine a distância percorrida pelo avião em linha reta e a altura na qual se encontra.
d=?
h=?
30o
100 m
Para cálculo da distância (d) que o avião percorreu em linha reta e a altura (h) na qual se
encontra, visualizemos os triângulos abaixo:
d=?
h=?
30o
100 m
30o
100 m
Para o triângulo da esquerda temos o valor do ângulo, um lado (cateto adjacente) e queremos
determinar o valor da hipotenusa. Entre as razões, seno, co-seno e tangente, aquela que
apresenta uma relação entre essas medidas é o cosseno.
Teremos então:
cos 30o = cateto adjacente
hipotenusa
hipotenusa
30o
cateto adjacente
onde cos 30o = 0,87, cateto adjacente = 100 e hipotenusa = d
cos 30o = 100
d
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0,87 = 100
d
0,87.d = 100
d = 100
0,87
d  115m
No caso do triângulo da direita temos também o valor do ângulo, um lado (cateto adjacente) e
queremos determinar o valor do cateto oposto. Entre as razões, seno, cosseno e tangente,
aquela que apresenta uma relação entre essas medidas é a tangente.
Teremos então:
tang 30o = cateto oposto
cateto adjacente
cateto oposto
30o
cateto adjacente
onde tang 30o = 0,57, cateto adjacente = 100 e cateto oposto
=h
tang 30o = h
100
0,57 = h
100
0,57.100 = h
h = 57m
Propomos agora alguns exercícios para você aprofundar seus estudos:
02. Determine os valores solicitados nas figuras abaixo.
____________________________________________________
a)
____________________________________________________
4
____________________________________________________
a=?
____________________________________________________
30
o
____________________________________________________
____________________________________________________
b=?
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
b)
____________________________________________________
60
o
____________________________________________________
x=?
____________________________________________________
____________________________________________________
8
____________________________________________________
____________________________________________________
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____________________________________________________
____________________________________________________
c)
____________________________________________________
10
____________________________________________________
x=?
____________________________________________________
40o
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
d)
____________________________________________________
____________________________________________________
80o
20
____________________________________________________
____________________________________________________
t=?
____________________________________________________
____________________________________________________
03. Na figura abaixo podemos observar um menino soltando uma pipa. O vento permite que o
fio fique esticado fazendo com a horizontal um ângulo de 55o. Considerando que as mãos
do garoto estão a uma altura de 1,70m do chão, a que altura está a pipa quando se
desenrolar 50m de fio? (Adote sen 55o  0,82; cos 55o  0,57; tang 55o  1,43.)
_____________________________________________
_____________________________________________
50 m
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
55o
_____________________________________________
1,70 m
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________________________________________________
___________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Física - Ensino Médio
Material do aluno
04. Um alpinista pretende escalar a encosta de uma montanha. Ele se afasta horizontalmente
80m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 60 o com o plano horizontal.
Considerando que o alpinista tem uma altura de 1,80m, qual a altura da encosta.
60o
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
05. Uma homem parte da posição A vai até a posição B e logo em seguida dirige-se para a
posição C. Calcule a distância entre os pontos de partida e de chegada. (Adote sen 35 o =
0,57 ; cos 35o = 0,82)
C
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
15 m
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
B
_____________________________________________
35o
A
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________________________________________________
___________
_____________________________________________________________________________________
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Resolução dos exercícios
01. Observando a tabela teremos:
a) seno de 20º  0,34
ângulo
sen
cos
tangente
20
0,34202
0,939693
0,36397
sen
cos
tangente
0,939693
0,34202
2,747477
sen
cos
tangente
0,819152
0,573576
1,428148
b) co-seno de 70º  0,34
ângulo
70
c) tangente de 55º  1,42
ângulo
55
d) observe que o valor 0,64 que está na coluna do seno está na linha do ângulo de 40º.
ângulo
sen
cos
tangente
40
0,642788
0,766044
0,839099
e) qual é o ângulo cujo co-seno vale aproximadamente 0,96? 15º
ângulo
sen
cos
tangente
15
0,258819
0,965926
0,267949
f) qual é o ângulo cuja tangente vale aproximadamente 11,4? 85º
ângulo
sen
cos
tangente
85
0,996195
0,087156
11,43005
02.
a)

Cálculo da medida a
cateto oposto ao ângulo de 30o = a
hipotenusa = 4
4
a=?
Para o cálculo da medida a utilizaremos a razão seno.
sen 30o = cateto oposto
hipotenusa
30o
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Material do aluno
0,5 = a
4
a = 0,5. 4
a=2

Cálculo da medida b
cateto adjacente ao ângulo de 30o = b
hipotenusa = 4
4
Para o cálculo de b utilizaremos a razão cosseno.
30o
cos 30o = cateto adjacente
hipotenusa
b=?
0,87 = b
4
b = 0,87.4
b  3,5
b) A ilustração fornece: ângulo, lado oposto ao ângulo de 60o e lado adjacente ao ângulo de 60o.
Trabalharemos com a razão tangente.
tang 60o = cateto oposto
cateto adjacente
60o
x=?
1,73 = 8
x
8
1,73.x = 8
x = _8_
1,73
x = 4,6
c) A ilustração fornece: ângulo, lado oposto ao ângulo de 40o e hipotenusa. Pelas informações
fornecidas utilizaremos a razão seno. Utilizando uma tabela trigonométrica1 temos que sen
40o  0,64.
sen 40o = cateto oposto
hipotenusa
0,64 = x
10
x = 0,64.10
x = 6,4
x=?
10
40o
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d) A ilustração fornece: ângulo, lado adjacente ao ângulo de 80o e hipotenusa. Pelas
informações fornecidas utilizaremos a razão co-seno. Novamente utilizando a tabela
trigonométrica temos que cosseno 80o  0,17.
cosseno 80o = cateto adjacente
hipotenusa
80o
0,17 = _t_
20
20
t=?
t = 0,17.20
t = 3,4
03. Visualizando um triângulo retângulo na ilustração abaixo a altura (h) na qual o pipa se
encontra será dada pela soma da medida do cateto oposto ao ângulo de 55o com o valor
1,70m.
h = x + 1,7
50 m
x=?
h=?
55
o
1,7 m
Utilizando a razão seno no triângulo retângulo da figura teremos:
sen 55o = 0,82
cateto oposto = x
hipotenusa = 50
sen 55o = cateto oposto
hipotenusa
0,82 = x
50
x = 0,82.50
x = 41 m
A altura será de:
h = 41 + 1,7
h = 42,7 m
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04. Visualizando um triângulo retângulo na ilustração abaixo a altura (h) da encosta será dada
pela soma da medida do cateto oposto ao ângulo de 60o com o valor 1,80 m (altura do
alpinista).
h = x + 1,8
x
h=?
60º
80
1,8 m
No triângulo retângulo da ilustração trabalhamos com o ângulo de 60º, os lados adjacente e
oposto a esse ângulo. Dessa maneira a razão trigonométrica utilizada será a tangente.
tang 60o = cateto oposto
cateto adjacente
tang 60o = 1,73
cateto adjacente = 80
cateto oposto = x
1,73 = x_
80
x = 138,4 m
Para a altura da encosta teremos:
h = x + 1,8
h = 138,4 + 1,8
h = 140,2 m
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05. O homem partiu da posição A e chegou na posição C. Chamando a distância AC de x
teremos:
ângulo de 35o
hipotenusa = 15
lado oposto ao ângulo de 35o = x
C
sen 35o = cateto oposto
hipotenusa
chegada
15m
x
0,57 = _x_
15
35º
x = 0,57.15
x = 8,55m
B
A
partida