Trigonometria no triângulo retângulo ou Razões trigonométricas a²

Prof. Evandro de Freitas
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Trigonometria no triângulo retângulo ou Razões trigonométricas
Triângulo retângulo
B
É todo triângulo que possui um ângulo reto.
Ao lado estão destacados o triângulo retângulo ABC e seus elementos.
a
c
# vértices: A, B e C
# ângulos:  , B̂ e Ĉ (ângulo  com medida de 90o)
A
# lados: AB (cateto) , BC (hipotenusa) e AC (cateto)
C
b
As medidas dos lados são: med( BC ) = a , med( AC ) = b e med( AB ) = c .
O teorema de Pitágoras
“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.”
Simbolicamente, isso se escreve do seguinte modo: a² = b² + c²
Este resultado pode ser provado observando as duas figuras a seguir:
P
Q
b
P’
b
b
Q’
b²
a²
a
S
c
c
b
R
S’
c²
c
c
R’
Os quadrados PQRS e P’Q’R’S’ são congruentes e, portanto, têm áreas iguais.
Os oito triângulos retângulos verdes são congruentes e, por isso, têm áreas iguais.
Se do quadrado PQRS retiramos os quatro triângulos verdes congruentes, então restará a área amarela a².
Se do quadrado P’Q’R’S’ retiramos os quatro triângulos verdes congruentes, então restarão as áreas amarelas b² e c²
que totalizam b² + c² .
Logo, concluímos que a² = b² + c² .
Antes de prosseguirmos para as razões trigonométricas, veremos a seguir um exemplo de aplicação do teorema de
Pitágoras.
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# Que altura na parede a escada atingiu?
Resolução:
A figura sugere o triângulo retângulo
abaixo:
escada
6,5m
6,5m
h
2,5m
2,5m
parede
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
a² = b² + c²
6,5² = 2,5² + h²
42,25 = 6,25 + h²
42,25 – 6,25 = h²
36 = h²
h = 6m
Resp.: Portanto, a escada atingiu 6m na parede.
Razões trigonométricas
As razões trigonométricas estabelecem relações entre os lados e os ângulos agudos de um triângulo retângulo. São
elas o seno, o cosseno e a tangente e estão definidas da seguinte forma:
seno do ângulo =
cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
cosseno do ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
hipotenusa
tangente do ângulo =
cateto oposto ao ângulo
cateto adjacente ao ângulo
Simbolicamente, temos:
Para o ângulo B̂
Para o ângulo Ĉ
b
sen Bˆ =
a
c
cos B̂ =
a
b
tg Bˆ =
c
c
sen Cˆ =
a
b
cos Ĉ =
a
c
tg Cˆ =
b
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Por meio da trigonometria podemos fazer o cálculo de medidas que são inacessíveis (na prática), pois os valores das
razões trigonométricas se encontram tabelados, de grau em grau, para os ângulos de 1o a 90o. Veja a tabela a seguir:
Com isso, podemos resolver, por exemplo, o seguinte problema:
Uma pessoa vê o topo de uma árvore sob um ângulo de 27o em relação a uma horizontal paralela ao chão. Sabendo
que a distância da pessoa à árvore é de 12m e que os olhos da pessoa estão a 1,5m do chão, calcule a altura da
árvore.
Resolução:
A representação a seguir destaca o que queremos.
A figura abaixo ilustra a situação.
x
27
o
h
1,5m
12m
27o
1,5m
12m
Notamos que a altura da árvore é h = x + 1,5.
Portanto, devemos calcular o valor de x usando
trigonometria no triângulo acima.
Temos,
x
12
x
0,51 =
12
tg 27O =
x = 0,51 ∙ 12 = 6,12m
Logo, h = 6,12 + 1,5 = 7,62m (ou 7m e 62cm).
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Exercícios
1-- Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo α no triângulo retângulo a seguir.
Resolução:
Primeiramente, calculamos a hipotenusa:
a² = b² + c²
a² = 12² + 16²
a² = 144 + 256
a² = 400
a = 20
Em seguida, as razões trigonométricas:
cat . op. 16 4

  0,8
hip.
20 5
cat . adj. 12 3

  0,6
cos  =
hip.
20 5
cat . op. 16 4
   1,333...
tg  =
cat . adj. 12 3
sen  =
2-- Determine a medida dos lados do triângulo retângulo abaixo indicados por x e y.
Resolução:
Observando que 25cm é a medida do cateto adjacente
ao ângulo de 60o, usaremos o cosseno para calcular o x:
cos 60O =
25
x
1 25

2
x
x
y
60o
25cm
x = 50 cm
Agora, usamos o seno para calcular o y, pois ele é cateto
oposto ao ângulo de 60o:
y
x
y
0,866 
50
sen 60O =
y = 0,866 ∙ 50 = 43,3 cm