Noções de Probabilidade
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Noções de Probabilidade
Introdução
É conveniente dispormos de uma medida que exprima a incerteza em afirmações tais como “É
possível que chova amanhã” ou “Não há chance de vitória”, em termos de uma escala numérica que
varie do impossível ao certo.
O conceito de probabilidade é fundamental para o estudo de situações em que os resultados são
variáveis, mesmo quando mantidas inalteradas as condições de sua realização. Por exemplo:
As declarações de despesas por funcionário de uma empresa podem assumir uma
variedade de valores;
A audiência estimada de um comercial de TV com 30 segundos de duração não é a mesma
para cada exibição.
Probabilidade pode ser definida como teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza
oriunda de fenômeno de caráter aleatório.
Fenômeno Aleatório
Fenômeno – qualquer acontecimento natural.
Os fenômenos podem ser classificados, quanto aos seus possíveis resultados, de dois tipos:
Determinísticos;
Aleatórios;
Fenômenos Determinísticos – são aqueles que repetidos sob mesmas condições iniciais
conduzem sempre a um só resultado.
Fenômenos Aleatórios - são aqueles que repetidos sob mesmas condições iniciais podem
conduzir a mais de um resultado.
Experimento Aleatório
Experimento - processo que gera resultados bem definidos.
São fenômenos aleatórios que possuem as seguintes características:
Repetitividade – pode ser repetido quantas vezes quisermos;
Regularidade – diz respeito à possibilidade da ocorrência dos resultados do fenômeno.
Exemplo de experimentos aleatório e seus respectivos resultados experimentais:
Experimento
Resultados Experimentais
Jogar uma moeda
Cara, coroa
Selecionar uma peça para inspeção
Defeituoso, não defeituoso
Fazer um contato de vendas
Comprar, não comprar
Lançar um dado
1, 2, 3, 4, 5, 6
Jogar uma partida de futebol
Ganhar, perder, empatar
Espaço Amostral
O espaço amostral de um experimento, denotado por , é o conjunto de todos os resultados
experimentais.
Exemplos:
1. Jogar uma moeda.
Cara
,Coroa
2. Selecionar uma peça para inspeção
= {Defeituosa, Não defeituosa}
3. Lançar um dado
1
,2
,3
,4
,5
,6
Obs: Quando o espaço amostral consiste em um número finito ou infinito enumerável de
‘resultados do experimento, é chamado espaço amostral discreto; se consistir em todos os
números reais de determinado intervalo, é um espaço amostral contínuo.
Regras de Contagem, Combinações e Permutações
Regra de Contagem de experimentos e múltiplas etapas
Se um experimento pode ser descrito como uma seqüência de k etapas com n1 resultados possíveis
na primeira etapa, n2 resultados possíveis da segunda etapa e assim por diante, o número total de
resultados dos experimentos será dado por
(
n
)
(
n
)
(
n
)
.
1
2
k
Exemplo: Jogar duas moedas
O experimento de jogar duas moedas pode ser imaginado com um experimento de duas etapas
no qual a etapa 1 consiste em lançar a primeira moeda, e a etapa 2, em lançar a segunda moeda.
(
Cara
,
Cara
),
(
Cara
,
Coroa
),
(
Coro
,
Cara
),
(
Cor
,
Co
)
(
)
(
2
)
(
2
)
4
n1 2 e n2 2 , então n
.
Diagrama em árvore – representação gráfica que ajuda a visualizar um experimento em múltiplas
etapas.
Exemplo: Jogar duas moedas:
Diagrama em árvore do experimento de lançar duas moedas
Etapa I
Etapa II
Resultado
Primeira Moeda
Segunda Moeda
Experimental
Cara
(Cara, Cara)
Coroa
(Cara, Coroa)
Cara
Cara
Coroa
(Coroa, Cara)
(Coroa, Coroa)
Coroa
Combinações
Conta o número de resultados experimentais quando o experimento envolve escolher n objetos
(geralmente maior) de N objetos.
Regra de contagem de combinações:
O número de combinações de N objetos, tomados de n a cada vez, é:
N
N
C
n
N
!
n
!
(
N
n
)!
n
!
N
(
N
1
)
(
N
2
)
2
1
em que N
n
!
n
(
n
1
)
(
n
2
)
2
1
e, por definição, 0 ! 1
Exemplo: Considerem um procedimento de controle da qualidade em que um inspetor seleciona
aleatoriamente duas de cinco peças para testar se há defeitos. Em um grupo de cinco peças, quantas
combinações de duas peças podem ser selecionadas?
N=5en=2
5
5
! 5
4
3
2
1
120
5
C
10
2
2
2
!
(
5
2
)!
2
1
3
2
1
12
Permutações
Permite calcular o número de resultados do experimento quando n objetos são escolhidos de um
conjunto de N objetos em que a ordem de escolha é importante.
Regra de contagem de permutações:
O número de permutações de N objetos, tomados n a cada vez, é dado por:
PNN N!
Exemplo: Considerem um procedimento de controle da qualidade em que um inspetor seleciona
aleatoriamente cinco das cinco peças para testar se há defeitos. Quantas permutações podem ser
escolhidas?
!5
4
3
2
1
120
5 5
P
20
2
(
5
2
)!
3
2
16
Atribuindo Probabilidade
Requisito básico para atribuição de probabilidade:
1. A probabilidade atribuída a cada um dos resultados experimentais deve situar entre 0 e 1,
inclusive. Se admitimos que Ei denota o í-ésimo resultado experimental e que P( Ei ) é a sua
probabilidade, então esse requisito pode ser escrito na seguinte forma:
0P
(E
1para todo i
i)
2. A soma das probabilidades de todos os resultados experimentais deve ser igual a 1,0. Para n
resultados experimentais, esse requisito pode ser escrito na seguinte forma:
P
(
E
)
P
(
E
)
P
(
E
)
1
1
2
n
Métodos de atribuição de probabilidade :
1. Através das freqüências de ocorrências (método de freqüência relativa)
Observamos o experimento aleatório n vezes e determinamos a freqüência relativa com que
cada resultado ocorre.
Números de vezes em que o evento ocorreu
Número total de repetições do experimento
Obs.: Este método é apropriado quando se tem dados disponíveis para estimar a proporção
do tempo em que o resultado experimental ocorrerá se o experimento for repetidos inúmeras
vezes.
2. Através de suposições teóricas (método clássico).
Número de casos favoráveis ao evento
Número de casos possíveis
Obs.: Apropriado quando todos os resultados experimentais são igualmente prováveis.
Evento
Subconjunto do espaço amostral do experimento.
Notação: A, B, C, ...
(conjunto vazio): evento impossível.
: evento certo
Exemplo: Lançamento de um dado.
1
,2
,3
,4
,5
,6
Espaço amostral:
Alguns eventos:
A : sair face par
A={2, 4, 6}
B : Sair face maior que 3
B={4, 5, 6}
C : Sair face 1
C={1}
Operações com Eventos
Interseção:
O evento interseção de dois eventos A e B equivale à ocorrência de ambos.
Notação: A B
Ω
Eventos Mutuamente Exclusivos:
Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos, ou mutuamente excludentes, quando a
ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro.
.
Exprime-se este fato escrevendo-se ABO
Ω
União
O evento união de A e B equivale à ocorrência de A, ou de B, ou ambas.
Notação: A B
Ω
Complementar
A negação do evento A, denotado por A , é chamado de evento complementar de A.
A e A são complementares se sua intersecção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,
AA O
e
AA
Ω
A
A
Probabilidade de um Evento
É uma função que atribui um número aos eventos que pertence ao espaço amostral (se A é um
evento de , P(A) é a probabilidade de A), que satisfaz as seguintes condições:
1.
2.
0P
(A
)1
, A;
P() 1;
3. Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P
(
B
)
.
Teoremas Fundamentais
1.
P(O
) 0;
(A
)
1
P
(A
);
2. P
(A
)P
(B
);
3. Se A B, P
4. Regra da soma: Se A e B são eventos quaisquer de , então:
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
A
B
)
.
Probabilidade Condicional
A probabilidade do evento A, quando se sabe que o evento B ocorreu, é chamado probabilidade
condicional de A dado B; denota-se por P(A| B) e é calculada por:
P
(
A
B
)
P
(
A
|B
)
P
(
B
)
desde que P(B) 0.
Da definição de probabilidade condicional podemos obter a regra de produtos de probabilidades
P
(
A
B
)
P
(
B
)
P
(
A
|B
)
Analogamente, se P(A) 0,
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P
(
B
|A
)
Regra da Probabilidade Total
Sejam A e B dois eventos representados na figura abaixo.
Há duas maneiras de ocorrer A: ou A e B ocorrem ( A B ) ou A e B ocorrem ( A B ).
A
A B
A
B
A B
B
(
A
B
)
(
A
B
)
Deste modo, A
, onde A B e A B são eventos mutuamente excludentes.
(
A
)
P
(
A
B
)
P
(
A
B
)
Pela regra da soma P
.
Pela regra do produto,
regra da probabilidade total
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
A
|
B
)
P
(
B
)
P
(
A
|
B
)
