Lista de Exercício

11
linearmente independentes se e somente
se:
1.4.3 Exercícios
13. Determine o vetor X, tal que 3X-2V
3
= 15(X - U).
14. Determine os vetores X e Y tais
que:
Figura 21
1.4.2 Multiplicação por um escalar.
Se um vetor
=
multiplicado por um escalar λ,, então:
é
=
De fato, se
produto
fica:
o
16. Quais são as coordenadas do
ponto P’, simétrico do ponto P =
(1;0;3) em relação ao ponto M =
(1;2;-1)?
1)? (Sugestão: o ponto P’ é
tal que o vetor
)
Quando se usa a
matricial, podemos escrever:
notação
Com estes conceitos é possível
reexaminar o conceito de dependência e
independência linear.
Os
vetores
=
e
=
são
linearmente
dependentes se e somente se
forem proporcionais a
.
=
vetores
e
=
Prof. José Carlos Morilla
17. Verifique se o vetor U
combinação linear de V e W:
é
V = (9,-12,
12,-6)
W = (-1,7,1)
1,7,1)
U = (-4,
4,-6,2)
=
Os
15. Determine as coordenadas da
extremidade
do
segmento
orientado que representa o vetor V
=(3;0;-3), sabendo-se
sabendo
que sua
origem está no ponto P = (2;3;-5).
(2
=
,
são
18. Verifique se o vetor U
combinação linear de V e W:
V = (5,4,-3)
(5,4,
W = (2,1,1)
U = (-3,
3,-4,1)
19. Quais dos seguintes vetores são
paralelos?
W = (15,-10,5)
U = (6,-4,-2)
V = (--9,6,3)
é
13
Mostre que f
1 , f2 , f3 é LI e
1.4.5 Exercícios.
portanto base de V3.
1 , e2 , e3 ,
20. Para a base E = e
e verifique se os vetores u
v são
LI ou LD.
= 1,2,3, v= 2,1,1
a. u
= 1,7,1, v= , , b. u
26. Calcule as coordenadas do vetor
v= 1,1,1 da base E na base F do
exercício anterior.
1 7 1
2 2 2
1 , e2 , e3 ,
21. Para a base E = e
; verifique se os vetores u
v e w
são LI ou LD.
= 1,-1,2
u
v= 0,1,3
w
= 4,-3,11,
22. Para uma mesma base E, sendo
= 1,-1,3
u
v= 2,1,3
w
= -1,-1,4,
Ache as coordenadas de:
+v
a. u
b. u-v
+2v
-3w
c. u
23. Com os dados do exercício
anterior, verifique se u
é
.
combinação linear de v e w
t= 4,0,13,
24. Escreva
como
; v
combinação linear dos vetores u
do exercício 22.
ew
25. Sejam:
1 - f1= 2e
e2 = e
1 - f2
e2 + 2 e3 1 + 2 f3= e
e3
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1.5
Mudança de Base
A escolha de uma base conveniente
pode, muitas vezes, ajudar a resolver um
problema qualquer.
Consideremos, então, duas bases:
1 , E = e
e2 , e3
f2 , f3 F = f1 , De tal sorte que os vetores f1 , f2 , f3 possam ser combinações lineares de
e
e2 , e3 , ou seja;
1 , f1 =a11 e1 +a21 e2 +a31 e3
f2 =a12 e1 +a22 e2 +a32 e3
f3 =a13 e1 +a23 e2 +a33 e3
Com os escalares aij é possível
construir a matriz M:
a11 a12 a13
M=a21 a22 a23
a31 a32 a33
A esta matriz, dá-se o nome de
Matriz Mudança da Base E para base F.
Para provar isto, vamos tomar um
vetor, que na base E é escrito como :
1 +x2 e
2 +x3 e
3 . Seja, agora, o
v = x1 e
mesmo vetor escrito na base F como
v = y f1 +y f2 +y f3.
1
2
3
Como F pode ser escrita como
sendo combinação linear de E, podemos,
então, escrever:
18
2.2.4 Exercícios.
32. Determinar
a
medida,
em
radianos, do ângulo entre os
=2,0,-3 e v=1,1,1.
vetores u
33. Determinar
a
medida,
em
radianos, do ângulo entre os
=1,10,200
vetores
u
e
v=-10,1,0.
34. Determinar
a
medida,
em
radianos, do ângulo entre os
=3,3,0 e v=2,1,-2.
vetores u
35. Determinar
a
medida,
em
radianos, do ângulo entre os
vetores
v= , ,√3.
2 2
√3 1
= u
√3 1
2
, 2 ,0
e
36. Para as situações mostradas;
determine o valor de 9 para que
u : v.
=9,0,3 e v=1,9,3.
d. u
=9, 9,4 e v=4,9,1.
e. u
=9,-1,4 e v=9,-3,1.
f. u
37. Mostrar que:
+ v|2 =|u
|2 +2u
×v
+ |v
|2
g. |u
= |u
+ v|2 -|u
|2 -|v
|2 h. u×v
2
1
1 , 38. Se e
e2 , e3
é uma base
3
; V , mostre que:
ortonormal e u
1 e
1 +u
2 e
2 +u
3 e
3
= u
×e
×e
×e
u
39. Prove que as diagonais de um
quadrado são perpendiculares
entre si.
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com módulo igual a
40. Determine u
3√3, ortogonal a v=2,3,-1 e a
w
=2,-4,6.
41. Dos vetores encontrados, no
exercício anterior, qual aquele que
forma ângulo agudo com o vetor
1,0,0?
42. Determine os cossenos diretores
de v=1,3,√6
w
=1,-1,2
v=3,-1,1, determine a projeção
na direção de v.
de w
43. Sabendo-se
que
e
=1,3,5 e
44. Sabendo-se que w
v=-3,1,0, determine a projeção
na direção de v.
de w
45. Mostre que as diagonais de um
paralelogramo têm a mesma
medida se e somente se o
paralelogramo é um retângulo.
46. Mostre que se um triângulo é
isóscele, os ângulos da base são
congruentes (possuem a mesma
medida).
47. Mostre que as bissetrizes de
ângulos adjacentes suplementares
são perpendiculares entre si.
+ v| < |u
|+ |v
|
48. Mostre que |u
$ v| < |u
|$ |v
|
49. |u
50. Das matrizes a seguir verifique
quais são ortogonais.
1 0 1
i. 2 1 0
0 1 -1
23
det @
2
-1
=w
|
a. |v
2 A k = 10
4
|
b. | v = w
Assim, o vetor resultante fica:
v=w
= 10i+10k
|v
=w
|=#102 +102 =10√2
4
x·(3i+2j)=6 E
+3k)=2i
x=(2j
60. Determine o vetor x tal que:
x=(i+k)=-2i2k e |x
| √6
2.4.2 Exercícios
=w
|=|v
|$|w
| se e
61. Prove que |v
.
somente se v:w
e
a. v=w
b. O seno do ângulo entre
v e w
54. Sendo os vetores v=2i+j-3k e
w
=4i+j-3k, determinar uma base
1 , orotonormal e
e2 , e3 tal que
e .
e1 //v
e2 coplanar com v e w
v=i+j
w
=2i-j+3k,
55. Sendo
e
determinar determinar a área do
triângulo ABC onde B = A + v e C
.
= A + w
56. Calcule o momento em relação ao
ponto O da força f=-1i+3j+4k,
aplicada ao ponto P tal que
OP=i+j+k. (o momento é o produto
vetorial entre o vetor posição e a
força)
57. A medida do ângulo, em radianos,
π
v e w
é
.
Sendo
entre
6
Prof. José Carlos Morilla
3
59. Resolva o sistema:
Com este valor, a área do triângulo
(A), fica:
1
A = 2 |v=w| = 5√2
|v
|=1 e |w
|=7, determinar
3
58. Determine
a
área
do
paralelogramo
ABCD
sendo:
=-i+j e AB
=j+3k
AC
Com estas componentes, o módulo
do vetor resultante fica:
53. Dados vetores v=2i-3j+2k
w
=4i-j+2k, determinar:
1
62. Calcule a distância do ponto C à
reta R que passa por dois pontos
distintos A e B.
2.5
Produto Misto
O produto misto é um escalar obtido
e o
pelo produto escalar entre um vetor u
vetor resultante de um produto vetorial
=w
), ou seja:
(v
=w
) × u
R=(v
Para três vetores, dados por suas
coordenadas:
v=v1i+v2j+v3 k
w
=w1i+w2j+w3 k
=u1i+u2j+u3 k
u
O produto misto, usando as
componentes dos vetores, é dado por:
=w
) ×u
=
(v
v2
u1i;u2j;u3 k× det @w
2
v3 v1
w3 A i-det @w1
v3 v1
w3 A j+det @w1
v2 w2 A k
25
=w
) ×u
=0
(v
v1
=w
) ×u
= det w1
(v
u1
v2
w2
u2
2.5.2 Exercícios
v3
w3 = 0
u3
Exemplo:
Verificar se os pontos P=(0;1;1),
Q=(1;0;2), R=(1;-2;0) e
S=(-2;2;-2)
são coplanares.
63. Calcule
o
volume
do
paralelepípedo da figura 35,
quando na base i,j,k as
componentes dos vetores são:
=1, 0, 1, =0, 3, 3
AB
BE=1,1,1 e AD
Com estes pontos podemos construir os
vetores:
=1-0, 0-1, 2-1=1,-1,1
PQ
PR=1-0, -2-1, 0-1=1,-3,-1
PS=-2-0, 2-1, -2-1=-2,1,-3
Para que os pontos sejam coplanares, é
necessário que os vetores traçados,
sejam coplanares, ou seja:
= (PQ
PR) × PS=0
1
=PR
= det 1
)×PS
(PQ
-2
-1
-3
1
1
-1 = 0
-3
Com este resultado podemos afirmar que
os três pontos estão no mesmo plano.
Ainda é possível escrever as
seguintes propriedades do produto misto:
,w
,u
I=0, os vetores
a. Quando Hv
são linearmente dependentes.
,w
,u
I = Hw
,u
,v
I = Hu
,v
,w
I
b. Hv
,w
,v
I = Hw
,v
,v
I = Hv
,v
,w
I = 0
c. Hv
,w
,u
I = - Hw
,v
,u
I
d. Hv
+v
I= Hv
,w
I + Hv
,w
I
e. Hv
1 ,w
2 ,u
1 ,u
2 ,u
Todas
estas
propriedades
resultam
das
propriedades
dos
determinantes.
Prof. José Carlos Morilla
Figura 35
,v
,w
I quando, em
64. Determine Hu
uma
base
ortonormal,
=-1, -3, 1, v=1,0,1 e w
=2, 1, 1
u
65. Calcule o volume de um
paralelepípedo
definido
pelos
vetores:
=-2, -1, -1
=2, -2, 0, v=0,1,0 e w
u
66. Calcule o volume do tetraedro
ABCD dados:
=1, 1, 0, AB
AC=0,1,1 e AD=-4, 0, 0
67. A medida do ângulo, em radianos,
π
é ortogonal a
entre u e v é 6 e w
u e a v. Sendo |u
|=1, |v
|=1
|w
|=4, determinar Hu
,v
,w
I.
e
68. Ache a distância de um ponto D a
um plano π, que passa pelos
pontos, não alinhados, ABC
e AD
, AC
.
quando se conhece AB