Figuras geométricas planas e espaciais

Figuras geométricas planas
e espaciais
Joyce Danielle
Figuras geométricas planas
Joyce Danielle
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2
Apresentação
Na geometria plana vamos então nos atentar
ao método de cálculo da área das figuras
geométricas planas. Sendo elas os polígonos,
ou seja, figura com muitos ângulos.
A área é a denominação dada à medida de
uma superfície, medida através de duas
dimensões.
O polígono possui lados, vértices, diagonais,
ângulos internos e ângulos externos.
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Ângulos opostos pelo vértice
Observe o desenho abaixo, de dois ângulos
opostos pelo vértice (opv):
𝒂
𝒃
𝒂 e 𝒃 são ângulos opv (opostos pelo vértice).
Vamos comprovar se são ângulos opv.
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Ângulos opostos pelo vértice
Demonstração:
Queremos demonstrar que a = b, em que 𝒂 é a medida de a e 𝒃 é
a medida de b.
𝒙
𝒂
𝒃
Vemos que a + x = 180° e b + x = 180°.
Assim:
a+x=b+xa+x–x=b+x–xa=b
Sendo assim dois ângulos opostos pelo vértice são sempre
congruentes.
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Retas paralelas cortadas por uma
reta transversal.
As retas r e s são paralelas: estão no mesmo plano
e não têm ponto comum (r // s).
t
r
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
s
𝒆
𝒉
𝒇
𝒈
A reta transversal t forma 4 ângulos com r e 4
ângulos com s.
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Retas paralelas cortadas por uma
reta transversal.
Analisando a imagem abaixo, vemos que:
t
r
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
𝒆
s
o 𝒂e𝒆
𝒃e𝒇
𝒄e𝒈
𝒉
𝒇
𝒈
Ângulos correspondentes
a = e; b = f; c = g; d = h
𝒅e𝒉
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Retas paralelas cortadas por
uma reta transversal.
Analisando a imagem, vemos que:
o 𝒄e𝒆
𝒅e𝒇
Ângulos alternos internos
c = e; d = f
o 𝒂e𝒈
𝒃e𝒉
Ângulos alternos externos
a = g; b = h
o 𝒂e𝒉
𝒃e𝒈
Ângulos colaterais externos
a + h = 180°; b + g = 180°
o 𝒄e𝒇
𝒅e𝒆
Ângulos colaterais internos
c + f = 180°; d + e = 180°
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Vamos praticar...
Considere m e n retas paralelas (m // n),
calcule o valor de x e a medida de cada
ângulo assinalado.
n
m
x + 30°
2x + 10°
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Vamos praticar...
Analisaremos assim:
n
m
x + 30°
2x + 10°
𝑦
Como x + 30° é o ângulo opv de 𝑦, então 𝑦 = x + 30° e o
ângulo correspondente de 𝑦 é 2x + 10°, assim x + 30° = 2x
+ 10°
x + 30° = 2x + 10°
50°
x – 2x = 10° - 30°
-x = -20°
50°
x = 20
m
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n
10
Vamos praticar...
Na figura a seguir, a e b são retas paralelas
cortadas pela transversal r. Calcule as
medidas de x e y sabendo que a diferença
entre elas é 64°.
a
r
b
y
x
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Vamos praticar...
Como x e y são ângulos colaterais externos, ou seja, x + y =
180º, e pelo enunciado x – y = 64º, teremos um sistema:
x – y = 64º  x = 64° + y
x + y = 180º
x + y = 180°
64° + y + y = 180°
2y = 180° - 64º
2y = 116°
y = 58°
Agora é só utilizar o valor de y em algumas das equações, para
obter x.
x + 58° = 180º  x = 180° - 58°  x = 122°
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Paralelogramo
Em todo paralelogramo temos dois ângulos
opostos que são congruentes (medidas
iguais) e dois ângulos não opostos que são
suplementares (soma das medidas: 180°).
A
B
C
D
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Vamos praticar...
Calcule as medidas dos quatro ângulos
internos dos paralelogramos a seguir:
5x
3x + 22°
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Vamos praticar...
Como 5x e 3x + 22° são ângulos opostos, logo:
5x = 3x + 22°
5x – 3x = 22°
5x
y
2x = 22°
x = 11°
y
3x + 22°
5x = 5.11°
55°
Logo, 55° + y = 180°
y = 180° - 55°
y = 125°
A medida dos quatro ângulos internos são 55°, 55°, 125°
e 125°.
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Ângulos internos de um triângulo
A soma das medidas dos ângulos internos
de um triângulo qualquer é 180°.
C
𝑩
𝑪
𝑨
A
B
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Vamos praticar...
Uma corda foi esticada no topo desse prédio até o
chão. O ângulo determinado no chão pode ser
medido: 62°. Qual a medida do ângulo no topo
desse prédio?
x
62°
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Vamos praticar...
Pela figura anterior, temos os ângulos 62°, 90°
e x, onde formam um triângulo e a soma dos
ângulos de um triângulo é 180°.
62° + 90° + x = 180°
152° + x = 180°
x = 180° - 152°
x = 28°
Assim, a medida do ângulo do topo do prédio é
28°.
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Nomenclatura do polígonos
Polígono é uma figura fechada formada por
segmentos de retas, que constituem os
lados da figura. O encontro dos segmentos
formam os vértices, os ângulos internos e
os ângulos externos.
A nomenclatura de um polígono depende do
número de lados da figura.
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Nomenclatura do polígonos
A tabela abaixo contém a nomenclatura de
alguns polígonos.
Lados
Nome
Lados
Nome
1
11
undecágono
2
12
dodecágono
Lados
Nome
...
...
3
triângulo
13
tridecágono
30
triacontágono
4
quadrilátero
14
tetradecágono
40
tetracontágono
5
pentágono
15
pentadecágono
50
pentacontágono
6
hexágono
16
hexadecágono
60
hexacontágono
7
heptágono
17
heptadecágono
70
heptacontágono
8
octógono
18
octodecágono
80
octacontágono
9
eneágono
19
eneadecágono
90
eneacontágono
10
decágono
20
icoságono
100
hectágono
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Polígono Convexo
Um polígono é convexo se os ângulos do polígono forem
menores que 180º, assim ele será convexo.
Ângulos menores que 180°
Caso tenha um ângulo com medida maior que 180º ele
será classificado como não convexo ou côncavo.
Ângulo maior que 180°
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Ângulos internos de um quadrilátero
Em todo quadrilátero convexo, a soma das
medidas dos ângulos internos é 360°.
Podemos observar traçando-se uma diagonal,
transformando-o em dois triângulos.

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Vamos praticar...
Determine a medida do ângulo x do
quadrilátero abaixo:
2x – 30°
3x
x
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Vamos praticar...
Pela figura anterior, temos os ângulos 2x – 30°,
3x, 90° e x, onde formam um triângulo e a
soma dos ângulos de um quadrilátero é 360°.
2x – 30° + 3x + 90° + x = 360°
2x + 3x + x = 360° + 30° - 90°
6x = 300°
x = 50°
Como o ângulo x é o ângulo menor, então o
ângulo menor mede 50°.
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Ângulos internos de um polígono
Em um polígono convexo de n lados, a
soma das medidas dos ângulos internos(Si)
é igual a (n - 2) . 180°. Assim, teremos a
fórmula:
Si = (n - 2) . 180°
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Vamos praticar...
Qual o valor de x nesta figura?
160°
95°
x
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Vamos praticar...
Pela imagem, vemos que o polígono tem 5 lados,
utilizaremos desse valor na fórmula para obter a soma
dos ângulos internos desse polígono.
Si = (5 - 2) . 180°
Si = 3 . 180°
Si = 540°
Agora, vamos nomear o ângulo interno próximo de x de
y.
90° + 90° + 160° + 95° + y = 540°
160°
435° + y = 540°
95°
y = 540° - 435°
y = 105°
y
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x
Vamos praticar...
Como y + x = 180°, temos:
125° + x = 180°
x = 180° - 105°
x = 75°
105°
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x
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Polígonos regulares
Todo polígono regular possui os lados e os
ângulos com medidas iguais. Alguns
exemplos de polígonos regulares.
90°
108°
90°
108°
90°
90°
108°
120°
60°
108°
108°
120°
60°
120°
120°
60°
120°
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120°
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Ângulos internos de polígonos regulares
Assim para sabermos qual a medida dos
ângulos internos de um polígono regular
basta saber a soma dos ângulos internos
(Si) e o número de lados (n). A partir disso,
fazer o quociente entre eles.
Si
𝒏
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Ângulos externos de um polígono convexo
Um ângulo externo de um polígono convexo é formado
pelo prolongamento de um dos lados do polígono.
O ângulo indicado pela sua medida d é um ângulo
externo do triângulo ABC.
A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer
polígono convexo(Se) é igual a 360°.
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31
Ângulos externos de um polígono regular
Para sabermos a medida do ângulo externo
de um polígono regular basta fazer o
quociente entre a soma dos ângulos
externos (Se) e o número de lados (n).
S𝒆
𝒏
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Diagonais
Denominamos por diagonal o segmento de
reta que une um vértice ao outro. O número
de diagonais de um polígono é proporcional
ao número de lados. Para cálculos
envolvendo o número de diagonais,
utilizamos a seguinte fórmula:
𝒏 . (𝒏 − 𝟑)
d=
𝟐
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Figuras geométricas espaciais
Joyce Danielle
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Apresentação
Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço,
em que estudamos as figuras que possuem mais de
duas dimensões. Sendo elas os poliedros, ou seja,
figura com várias faces e a superfície é formada apenas
por polígonos.
Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a
geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume
dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras
espaciais.
Os seus elementos mais importantes são as faces, as
arestas e os vértices.
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Ponto e Reta
Relação entre um ponto e uma reta
B
A
r
o O ponto A pertence à reta r (A  r);
o O ponto B não pertence à reta r (B  r).
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Ponto e Reta
Relação entre pontos
E
D
A
B
F
C
s
o Os pontos A, B e C são colineares (existe uma
reta que passa pelos três).
o Os pontos D, E e F não são colineares.
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Ponto e Reta
Relação entre duas retas de um plano
b
f
c
m
o As retas c e m são distintas e paralelas;
o As retas b e f são concorrentes e oblíquas.
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Ponto e Reta
Relação entre duas retas de um plano
p
t
n
a
o As retas a e t são coincidentes (paralelas
iguais);
o As retas p e n são concorrentes e
perpendiculares.
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Ponto e Plano
Relação entre ponto e plano

H
F
G

M
I
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J
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Ponto e Plano
o O ponto F pertence a  (F  );
o O ponto F não pertence a  (F  );
o O ponto H não pertence a  (H  );
o O ponto H não pertence a  (F  );
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Ponto e Plano
Dados dois pontos ou mais no espaço:
o Eles são ou não pontos coplanares
W
Q
P
Y
R
X
P, Q e R são três
pontos coplanares.
Z
X, Y, Z e W são quatro
pontos não-coplanares.
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Ponto e Plano
1. Dois pontos distintos são sempre colineares
e sobre eles passa uma única reta. Dizemos
então que dois pontos distintos A e B
determinam uma reta (AB).
2. Três pontos não-colineares são sempre
coplanares e sobre eles passa um único
plano. Dizemos então que três pontos nãocolineares A, B e C determinam um plano
p(A, B, C).
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Poliedros
O poliedro é formado pela reunião de um
número finito de polígonos, onde cada
polígono representa uma face.
vértice
Nesse poliedro temos:
Vértices: 6
aresta
face
Arestas: 12
Faces: 8
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Poliedros
As figuras espaciais abaixo são exemplos
de poliedros.
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45
Nomenclatura de Poliedros
A
nomenclatura
dos
poliedros
é
estabelecida em função do número de
faces. O menor número de faces de um
poliedro é 4. A tabela abaixo mostra alguns
exemplos da nomenclatura usada para os
poliedros convexos. Número de faces Nome do poliedro
4
5
6
8
12
20
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tetraedro
pentaedro
hexaedro
octaedro
dodecaedro
icosaedro
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Relação de Euler
É uma relação entre o número de vértices
(V), o número de arestas (A) e o número de
faces (F) de um poliedro convexo.
Cubo
Pirâmide
Prisma
Vértices: 10
Arestas: 15
Faces: 7
Vértices: 8
Arestas: 12
Faces: 6
Vértices: 5
Arestas: 8
Faces: 5
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Relação de Euler
Observamos assim que, para cada um dos
poliedros, o número de arestas é
exatamente 2 unidades menos do que a
soma do número de faces com o número de
vértices. Essa relação pode ser escrita
assim:
V–A+F=2
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Poliedros Regulares
Um poliedro convexo é regular quando
todas as faces são regiões poligonais
regulares e congruentes e em todos os
vértices concorre o mesmo número de
arestas.
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Ângulos das faces de poliedros
A soma dos ângulos de todas as faces de
um poliedro convexo (Sf) que possui V
número de vértices é:
Sf = (V – 2) . 360°
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