1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações Binárias 0.1 Definição. Seja A um conjunto. Uma operação binária é uma aplicação de A A em A, ou seja, é uma regra que associa a cada par ordenado de elementos de A, algum elemento em A: :A A !A (a; b) 7 ! a b Observe que a operação binária num conjunto A é uma regra de…nida para todos os pares ordenados de elementos de A. Observe também o seguinte : uma operação binária em A é uma regra que associa a cada par de elementos em A algum elemento que também está em A. Esta exigência de que o elemento associado ou resultante pela regra também esteja em A é conhecida como condição de fechamento. Dizemos assim que A é um conjunto fechado sob a operação binária . E a operação binária é também chamada lei de composição interna. Exemplos e Contraexemplos Exemplo 0.1. A operação usual de adição no conjunto dos números reais, R (e também em C ou Z) é uma operação binária. Exemplo 0.2. A operação usual de multiplicação no conjunto dos números reais, R é uma operação binária. Exemplo 0.3. Seja M (R) o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A operação + : M (R) M (R) ! M (R) 2 (A; B) 7 ! A + B não é uma operação binária. Exemplo 0.4. Seja M = Mm n (R) o conjunto das matrizes de tamanho m n com elementos reais, então a adição usual de matrizes é uma operação binária. Exemplo 0.5. Seja M = Mn (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n com elementos reais, a operação multiplicação de matrizes é uma operação binária. Exemplo 0.6. A subtração em Z (e também em Q,R e C) é uma operação binária. Exemplo 0.7. A subtração em N não é uma operação binária. Exemplo 0.8. Consideremos +:R !R R (a; b) 7 ! a + b: Agora, analisemos se esta é uma operação binária. Exemplo 0.9. Consideremos :N ! N dada por (a; b) 7 ! ab , a operação de N potenciação em N é uma operação binária em N : Consideremos os exemplos abaixo, analisando se apresentam uma operação binária: Exemplo 0.10. A operação de potenciação em Z: Exemplo 0.11. A operação de potenciação em Q: Exemplo 0.12. A operação de potenciação em R: Exemplo 0.13. A operação de divisão em Q e em R . Exemplo 0.14. A operação de divisão em N, Z, Q, R, N e em Z Exemplo 0.15. Seja F = F (R) o conjunto das funções de R em R. Para cada par ordenado de funções (f; g) 2 F F , de…nimos as seguintes operações binárias: ADIÇÃO DE FUNÇÃO +:F F !F 3 (f; g) 7 ! f + g MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO :F F !F (f; g) 7 ! f g SUBTRAÇÃO DE FUNÇÃO :F !F F (f; g) 7 ! f g COMPOSIÇÃO DE FUNÇÃO :F F !F (f; g) 7 ! f g Exemplo 0.16. Vamos de…nir em Z+ uma operação * por : Z+ Z+ ! Z+ (a; b) 7 ! a b onde a b é igual ao menor valor de a e b ou o valor comum se a = b. Exemplo 0.17. Seja 0 : Z+ Z+ ! Z+ (a; b) 7 ! a onde a 0 b = (a b) + 2 e 0 b é a operação de…nida no exemplo anterior. Exemplo 0.18. 00 : Z+ Z+ ! Z+ (a; b) 7 ! a onde a 00 00 b b = a. 0.2 Definição. Uma operação binária em A é comutativa se a b = b a para todo a; b 2 A 4 Exemplo 0.19. Analisando os exemplos anteriores, temos operações comutativas em ...(responder). 0.3 Definição. Seja a1 a2 :A A ! A uma operação binária sobre um conjunto A. O elemento a3 é o elemento obtido determinando primeiramente (a1 a2 ) e daí (a1 a2 ) a3 . De…nimos por indução a1 a2 ::: an = (a1 ::: an 1 ) an : Costuma-se usar os parênteses para enfatizar que vamos primeiro determinar a1 a2 (= a4 ) e então operar a4 a3 Esta convenção para a notação é referida como associação à esquerda. 0.4 Definição. Uma operação binária em A é associativa se (a b) c = a (b c) para todo a; b; c 2 A. Se a operação binária for associativa, quaisquer expressão do tipo a1 a2 ::: an serão consideradas sem ambiguidade. Qualquer modo de inserir parênteses para reduzir o cálculo a uma sequência com operações binárias resultará sempre no mesmo elemento de A. E nesse caso, não há necessidade de usar os parênteses. Exemplo 0.20. A operação de adição em Z é associativa (a + b) + c = a + (b + c) Exemplo 0.21. A operação de subtração em Z não é associativa. Exemplo 0.22. Analisemos os exemplos anteriores e veri…quemos quais apresentam operação binária associativa. Exemplo 0.23. Analisemos os exemplos anteriores e veri…quemos quais apresentam operação binária não associativa. 0.5 Definição. Dizemos que e 2 A é um elemento neutro à esquerda para a operação quando e x=x para todo x 2 A: E dizemos que e 2 A é um elemento neutro à direita para a operação x e=x quando 5 para todo x 2 A: Se e é um elemento neutro à direita e à esquerda para , então dizemos que e é elemento neutro para esta operação. Exemplo 0.24. A subtração em Z admite 0 como elemento neutro à direita pois x 0 = x; 8x 2 Z, mas não possui elemento neutro à esquerda pois não existe e tal que e x = x; 8x 2 Z Exemplo 0.25. A divisão em R admite 1 como elemento neutro à direita pois x : 1 = x; 8x 2 R mas não possui elemento neutro à esquerda pois não existe e tal que e : x = x; 8x 2 R: Exemplo 0.26. Considerando a operação :R R !R (x; y) 7 ! y; percebemos que ela tem in…nitos elementos neutros à esquerda pois e y = y; 8y 2 R é satisfeita por qualquer elemento de R, mas não existe e tal que x e = x; 8x 2 R 0.6 Teorema. Se a operação 0.7 Definição. Seja tem um elemento neutro e, ele é único. uma operação binária com elemento neutro e. Dizemos que x 2 A é um elemento simetrizável se existe y 2 A tal que x y = e = y x: O elemento y é chamado simétrico de x para a operação . Quando a operação é uma adição, +, o simétrico de x também é chamado oposto de x e indicado por x. Quando a operação é uma multiplicação, , o simétrico de x é chamado inverso de x e indicado por x 1 . Exemplo 0.27. 2 é um elemento simetrizável para a adição em Z e seu simétrico é 2 pois 2 + ( 2) = 0 = ( 2) + 2: Exemplo 0.28. 2 é um elemento simetrizável para a multiplicação em Q e seu simétrico é 1 2 = 0; 5 pois 2 0; 5 = 1 = 1 2 2: 6 Exemplo 0.29. 0 não é simetrizável para a multiplicação em Q pois não há elemento y 2 Q tal que 0 y = 1 = y 0 Exemplo 0.30. 2 não é simetrizável para a multiplicação em Z pois não existe y 2 Z tal que 2 y = 1 = y 2: 0 @ 0 1 Exemplo 0.31. @ 2 4 2 1 0 A pois @ 1 2 2 4 0 1 2 simétrico é @ 0 @ 1 2 3 5 1 5 2 3 1 0 A. Mas @ A é simetrizável para a adição em M2 2 (R) e seu simétrico é 2 4 1 0 A+@ Exemplo 0.32. @ 0 1 1 1 2 3 0 A pois @ 1 2 2 4 1 5 1 1 2 2 1 4 1 0 1 0 0 A=@ 0 A=@ 0 0 1 2 2 4 1 0 A+@ 1 2 2 4 1 A A é simetrizável para a multiplicação em M2 (R) e seu 3 2 5 1 0 A @ 5 3 2 1 1 0 A = @ 1 0 0 1 1 0 A = @ A não é simetrizável para a mesma operação. 5 2 3 1 1 A De um modo geral, toda matriz B 2 M2 (R) 0 cujo1determinante é igual a zero não é a b A, B é simetrizável e seu simétrico simetrizável , enquanto, se det(B) 6= 0, para B = @ c d 0 1 d b A: é dado por ad 1 bc @ c a Exemplo 0 0.33. Todo elemento1é simetrizável para a adição em0Mm n (R). Seja A 2 a a12 ::: a1n a11 a12 ::: a1n B 11 B C B B C B a21 a22 ::: a2n C B a21 a22 ::: a2n B B C Mm n (R); A = B . e seu simétrico é B = ( A) = B C . . . . .. . . .. .. .. .. C .. B .. B .. . @ A @ am1 am2 ::: amn am1 am2 ::: amn onde aij ; 1 6 i 6 m e 1 6 j 6 n é o simétrico de aij para a adição em R. Exemplo 0.34. A função f (x) = 2x + 1 é bijetora de R em R , logo existe a função inversa de f , f 1 (x) = x 1 2 tal que f 1 f = id = f f 1 ; onde id é a função identidade de R em R. Então f é um elemento simetrizável para a composição em F (R). Já a função g(x) = x2 não é uma bijeção e consequentemente, não é um elemento simetrizável para a mesma operação. 0.8 Teorema. Se a operação em A é associativa, tem elemento neutro e, e um elemento x 2 A é simetrizável, então o simétrico de x é único. 1 C C C C C C A 7 0.9 Teorema. Seja uma operação em A com elemento neutro e. (a) Se x 2 A é simetrizável, então x (b)Se 1 também é e (x 1 ) 1 = x: é associativa, x; y 2 A são simetrizáveis, então x y é simetrizável e (x y) 0.10 Definição. Sendo 1 =y 1 x 1: uma operação sobre A, com elemento neutro e, indica-se por [ (A) = fx 2 A; 9x 1 2 A; x 1 x = e = x x 1g o conjunto dos elementos simetrizáveis para esta operação em A. Exemplo 0.35. [+ (N) = f0g Exemplo 0.36. [+ (Z) = Z Exemplo 0.37. [ (Z) = f1; 1g Exemplo 0.38. [ (R) = R Exemplo 0.39. [+ (Mm n (R)) = Mm n (R) 0 1 a b Ag; a; b; c; d 2 R e ad Exemplo 0.40. [ (M2 2 (R)) = f@ c d geral, [ (Mn (R)) = fA 2 Mn (R); det(A) 6= 0g: bc 6= 0. De forma Note que U (A) 6= ; pois e 2 U (A) uma vez que e e = e: 2 A é um elemento absorvente para uma operação 0.11 Definição. Um elemento a= =a se ; 8a 2 A: Exemplo 0.41. = 0 é elemento absorvente em R com a multiplicação pois 0 a = 0 = a 0; 8a 2 R: Exemplo 0.42. De…nindo :R R !R (a; b) 7 ! a b = a + b Temos ab: = 1 elemento absorvente. 0.12 Definição. Dizemos que um elemento a 2 A é regular (ou simpli…cável) em relação à operação se: 8 (1) a x = a y ) x = y; 8x; y 2 A e (2) x a = y a ) x = y; 8x; y 2 A Se temos apenas (1), dizemos que a é regular à esquerda. Se temos apenas (2), dizemos que a é regular à direita. Exemplo 0.43. 3 é regular para a adição em N pois 3 + x = 3 + y ) x = y; 8x; y 2 N Exemplo 0.44. 3 é regular para a multiplicação em Z pois 3x = 3y ) x = y; 8x; y 2 N Exemplo 0.45. 0 não é regular para a multiplicação em Z. 0 1 1 2 A é regular para a adição em M2 2 (R): Exemplo 0.46. @ 3 4 0 Exemplo 0.47. @ 0 0 0 1 1 A não é regular para a multiplicação em M2 (R): 0.13 Teorema. Se a operação é associativa, tem neutro e, e um elemento a 2 A é simetrizável, então a é regular. 0.14 Definição. Sendo uma operação sobre A, indica-se por R (A) = fa 2 A; a x = a y ) x = y e x a = y a ) x = y; 8x; y 2 A: o conjunto dos elementos regulares para esta operação em A. Exemplo 0.48. R+ (N) = N Exemplo 0.49. [ (Z) = Z Exemplo 0.50. [+ (Mm n (R)) = Mm n (R) Exemplo 0.51. Identi…quemos para a operação de potenciação em N , os elementos regulares. Note que se disso, se tem elemento neutro em A, então e 2 R (A); portanto, R (A) 6= ;: Além é associativa, então [ (A) R (A); conforme proposição 0.13. 9 e 4 duas operações sobre A. Dizemos que 4 é distributiva em 0.15 Definição. Sejam relação a se: (1) x4(y z) = (x4y) (y4x) (2) (y z)4x = (y4x) (z4x); 8x; y; z 2 A: Se vale (1), dizemos que 4 é distributiva à esquerda de . Se vale (1), dizemos que 4 é distributiva à direita de . Se 4 é comutativa, então distributiva à esquerda e distributiva à direita são equivalentes. Exemplo 0.52. A multiplicação em Z é distributiva em relação à adição em Z pois para todos x; y; z 2 Z temos x(y + z) = xy + xz e (y + z)x = yx + zx Exemplo 0.53. A multiplicação é distributiva em relação à adição em Mn (R): Exemplo 0.54. A potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação em N; mas não é distributiva à esquerda. 0.16 Definição. Seja uma operação sobre um conjunto A 6= ;: Seja B um subconjunto não vazio de A: Dizemos que B é uma parte fechada para a operação B é fechado ), se a restrição de aB (ou simplesmente que B é uma operação sobre B, isto é, se para todos x; y 2 B temos x y 2 B. Exemplo 0.55. O conjunto Q dos números racionais é fechado para a operação de adição sobre R. Exemplo 0.56. O conjunto dos números irracionais não é fechado para a operação de adição sobre R. Exemplo 0.57. Z+ = fx 2 Z; x > 0g; o conjunto dos números inteiros estritamente positivos é fechado sob a operação de adição e não é fechado sob a operação de subtração. Exemplo 0.58. O conjunto dos números reais positivos, R+ , é fechado para multiplicação sobre R: Exemplo 0.59. O conjunto R dos números negativos não é fechado para a operação de multiplicação sobre R: Exemplo 0.60. As funções bijetoras de R em R formam um subconjunto A fechado de F para a operação composição. 10 Tábua de uma operação Se A é um conjunto …nito, uma operação binária em A pode ser de…nida através de uma tábua. Vejamos como construir e analisar essa tábua para identi…carmos características e propriedades da operação no conjunto apresentado. Seja A = fa1 ; a2 ; :::; an g; (n > 1) um conjunto com n elementos. Cada operação sobre A é uma aplicação ai :A A ! A que associa a cada par (ai ; aj ); 1 6 i; j 6 n o elemento aj = aij : Vamos apresentar esse elemento aij por meio de uma tabela de dupla entrada, fazendo: 1o ) Chamando a 1a linha e a 1a coluna, respectivamente de linha fundamental e coluna fundamental, colocamos tanto nesta linha como na coluna, todos os elementos do conjunto A ordenadamente. E chamamos de i-ésima linha aquela que começa com ai e de j-ésima coluna aquela que começa com aj : 2o ) Dado um elemento ai na coluna fundamental e um elemento aj na linha fundamental, marcamos na interseção da linha i com a coluna j; o elemento correspondente aij : a1 a2 ::: ai ::: aj ::: an a1 a11 a12 a1i a1j a1n a2 a21 a22 .. . a2i a2j a2n ai .. . ai1 ai2 aii aij ain aj .. . aj1 aj2 aji ajj ajn an an1 an2 ani anj ann Montemos a tabela dos seguintes exemplos: Exemplo 0.61. Seja A = f 1; 0; 1g com a operação de multiplicação usual. Exemplo 0.62. Seja A = f1; 3; 5; 15g e mdc(a; b): :A A ! A dada por (a; b) 7 ! a b= 11 Exemplo 0.63. Seja A = ff1 ; f2 ; f3 g onde as fi ; 1 6 i 6 3 são funções assim descritas: f1 = f(a; a); (b; b); (c; c)g; f2 = f(a; b); (b; c); (c; a)g e f3 = f(a; c); (b; a); (c; b)g: Propriedades Vejamos agora como se pode estudar as propriedades de uma operação binária A = fa1 ; a2 ; :::; an g quando sobre é dada por meio de uma tábua. COMUTATIVA Chamamos de diagonal principal da tábua de uma operação o conjunto formado pelos compostos a11 ; a22 ; a33 ; :::; ann : Sabemos que uma operação é comutativa se: ai aj = aj ai ; isto é, se aij = aji para todo i; j = 1; :::; n: Mas aij e aji ocupam posições simétricas relativamente à diagonal principal, portanto uma operação é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação à diagonal principal, isto é, compostos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. Exemplo 0.64. Observando as tabelas, temos que os 3 exemplos anteriores apresentam operações comutativas. Exemplo 0.65. Analisemos a tábua para a operação no conjunto A = fa; b; cg a b c a a b c : b b c a c c b a ELEMENTO NEUTRO Sabemos que um elemento e é neutro para a operação quando: (I) e x = x; 8x 2 A e (II) x e = x; 8x 2 A Da condição (I) decorre que a linha de e é igual à linha fundamental. Da condição (II) decorre que a coluna de e é igual à coluna fundamental. Assim, uma operação tem neutro 12 desde que exista um elemento cuja linha e coluna são respectivamente iguais à linha e coluna fundamentais. Exemplo 0.66. Analisemos as tábuas dos últimos exemplos, observando que os elementos neutros são respectivamente 1; 15; f1 e a: Exemplo 0.67. A tábua abaixo nos mostra uma operação sem neutro. Observe que a é neutro à esquerda. a b c a a b c : b c a b c b a c ASSOCIATIVA É a propriedade cuja veri…cação exige maior trabalho. Pode ser feita de dois modos: 1o ) Calcula-se todos os compostos do tipo ai (aj ak ) e (ai aj ) ak com i; j; k 2 f1; 2; :::; ng e compara-os. Notemos que este método exige o cálculo de 2n3 compostos. 2o ) Encontra-se um conjunto F dotado de uma operação que se sabe ser associativa, de tal forma que exista f : A ! F com as seguintes propriedades: (a) f é bijetora. (b) f (x y) = f (x) f (y); 8x; y 2 A: Neste caso, a lei também será associativa. ELEMENTOS SIMETRIZÁVEIS Sabemos que um elemento ai 2 A é simetrizável para a operação que tem elemento neutro e; quando existe um aj 2 A tal que (I) ai aj = e(= aij ); (II) aj ai = e(= aji ): Da condição (I) decorre que a linha de ai deve apresentar ao menos um composto igual a e: Da condição (II) decorre que a coluna de ai deve apresentar ao menos um composto igual a e: 13 Como aij = aji = e decorre que o neutro deve aparecer em posições simétricas relativamente à diagonal principal. Assim, um elemento ai é simetrizável quando o elemento neutro aparece ao menos uma vez na linha i e na coluna i da tábua ocupando posições simétricas em relação à diagonal principal. Exemplo 0.68. A tábua abaixo de…ne uma operação sobre A = fe; a1 ; a2 ; a3 ; a4 g que tem neutro e. e e a 1 a2 a3 a4 e a 1 a2 a3 a4 a1 a1 a2 a3 a4 e Os elementos simetrizáveis são e; a1 ; a4 : a2 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a3 a4 a1 a2 a1 a4 a4 e a 3 a4 a1 ELEMENTOS REGULARES Sabemos que um elemento a 2 A é regular em relação à operação quando (I) x 6= y ) a x 6= a y (II) x 6= y ) x a 6= y a onde x e y são elementos quaisquer de A: Isto signi…ca que a é regular quando, composto com elementos distintos (à esquerda deles ou à direita), produz resultados distintos. Assim, um elemento a é regular quando na sua linha não aparecem elementos iguais, ou seja, repetidos e também na sua coluna não aparecem elementos iguais. Exemplo 0.69. A tábua abaixo de…ne uma operação sobre A = fe; a; b; c; dg onde os elementos regulares são e; a; c: 14 e a b c d e e a b c d a a b d e c b b c c b b c c d e a b d d e b d b Exemplo 0.70. Vamos analisar os exemplos 0.61 até 0.68. Exemplo 0.71. Sejam P (A) o conjunto das partes de um conjunto qualquer A e consideremos a operação união de conjuntos, [; dada por B [ C = fx; x 2 B ou x 2 Cg; 8B; C 2 P (A): Então [ : P (A) P (A) ! P (A) (C1 ; C2 ) 7 ! C1 [ C2 é uma operação binária em P (A): Ela é associativa, comutativa, possui elemento neutro , não possui elementos simetrizáveis além do neutro, e possui elemento absorvente. Exemplo 0.72. De…namos agora, \ : P (A) P (A) ! P (A) (C1 ; C2 ) 7 ! C1 \ C2 : A interseção de conjuntos também é uma operação binária. Vamos analisar quais propriedades ela possui. Exemplo 0.73. Analisemos agora a operação diferença de conjuntos : P (A) P (A) ! P (A) (C1 ; C2 ) 7 ! C1 C2 : Exemplo 0.74. Analisemos agora a operação diferença simétrica 4 : P (A) P (A) ! P (A) (C1 ; C2 ) 7 ! C1 4 C2 : 15 Exemplo 0.75. Seja Zm = f0; 1; 2; :::; m 1g a classe residual dos inteiros módulo m: E analisemos a operação binária de…nida por : Zm Zm ! Zm (a; b) 7 ! a b=a+b Exemplo 0.76. Consideremos agora a operação binária de…nida por : Zm Zm ! Zm (a; b) 7 ! a b=a b Grupóide, Semigrupo e Monóide 0.17 Definição. Um grupóide é um conjunto com uma operação binária. 0.18 Definição. Um semigrupo é um grupóide que satisfaz a propriedade associativa. 0.19 Definição. Um monóide é um semigrupo que possui elemento neutro. Os conjuntos nos quais de…nimos uma operação binária são todos grupóides. Veri…quemos entre eles quais são semigrupo e quais são monóide. OBS.: Esta apostila têm como objetivo orientar o decorrer da aula, onde os conceitos e resultados aqui descritos serão devidamente desenvolvidos, explicados e exempli…cados, sendo portanto imprescindível o acompanhamento da aula para que esta apostila seja, de fato, elucidativa. Referência Bibliográ…ca: Birkho¤ e Maclane. Álgebra Moderna Básica. Rio de Janeiro: Editora Guanabara, 1980. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e cientí…cos Editora S.A.,1974 Domingues e Iezzi. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 1982. Fraleigh. A …rst course in Abstract Algebra. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1994(5a ed).