UALG " 05/06 Matemática Discreta " Exercícios de Grafos 1. Seja G

UALG - 05/06
Matemática Discreta - Exercícios de Grafos
1. Seja G o grafo cuja matriz de adjacência é:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
32
1 76
76
76
2 76
76
76
6
3 7
76
76
76
4 76
76
76
6
5 7
76
76
76
6
6 7
76
76
76
7 76
76
76
6
8 7
76
54
9
3
0 0 0 1 1 0 0 0 0 7
7
7
0 0 0 0 1 1 0 0 0 7
7
7
0 0 0 0 0 1 0 0 0 7
7
7
7
1 0 0 0 1 0 1 1 0 7
7
7
1 1 0 1 0 1 0 1 1 7
7
7
7
0 1 1 0 1 0 0 0 0 7
7
7
7
0 0 0 1 0 0 0 0 0 7
7
7
0 0 0 1 1 0 0 0 0 7
7
5
0 0 0 0 1 0 0 0 0
(a) Determine o grau de cada vértice.
(b) Faça uma representação de G.
(c) Veri…que se há um caminho entre 1 e 9.
(d) Escreva as componentes conexas de G.
2. Um grafo também pode ser descrito pela lista dos seus sucessores. Encontre as
componentes fortemente conexas do grafo descrito por:
x
1
2
3
(x)
12
1; 3
10
4
5
6
7
5; 6 4; 6 3; 9 8; 9
8
9
10
11
12
7
10
9
10
2; 3
9
10
3. Seja G o grafo descrito por:
x
1
2
3
(x) 2; 3; 4 1; 3; 5 1; 2; 4
i
4
5
6
7
3; 6; 7
?
7
8
5; 6 9; 10 8; 10
8; 9
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(a) Represente matricialmente o grafo.
(b) Determine as componentes fortemente conexas de G.
(c) Determine as componentes conexas de G.
(d) Represente gra…camente o grafo.
(e) Represente gra…camente as relações entre as componentes fortemente conexas.
4. Será possível encontrar um grafo simples não orientado com quatro vértices de ordens
1,3,3,3. É possível encontrar um grafo não simples nas condições anteriores?
5. É possível ter um grafo não orientado com oito vértices de graus: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6,
e 8 ? Justi…que.
6. Sejam A1 = f1; 2; 3; 4; 5g; A2 = f2; 4; 6; 8g; A3 = f3; 5; 12g e A4 = f5; 8; 10g. Desenhar o grafo de vértices A1 ; A2 ; A3 ; A4 , tal que existe uma aresta entre dois vértices
se e só se a intersecção é não vazia. Construa a matriz de adjacência do grafo.
7. Determine o caminho mais curto entre os vértices 1 e 6.
8. Uma empresa de telecomunicações está a instalar uma rede de …bra óptica que cubra
várias localidades no Alentejo. As distâncias e as ligações possíveis entre as localidades são esquematizadas na rede abaixo.
Decida quais as ligações que devem ser executadas de modo a que todas as localidades
ii
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…quem ligadas com um mínimo de …bra óptica.
9. Encontre um caminho no grafo que passe por todas as arestas sem repetição.
10. Um grafo tem dez vértices numerados de 1 a 10. Existe uma aresta entre i e j se
i + j é ímpar e corresponde-lhe o custo ji jj.
(a) Escreva a matriz de adjacência correspondente.
(b) Será o grafo conexo? Justi…que
11. Veri…que teoricamente se no seguinte grafo é possível construir um circuito Euleriano
contendo todas as arestas e, em caso a…rmativo, construa-o.
iii
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12. Um grafo simples diz-se bipartido se os seus vértices podem ser divididos em dois
conjuntos A e B, de modo que cada aresta do grafo liga um vértice de A com um
vértice de B. Determine quais dos seguintes grafos são bipartidos:
(a)
(b)
(c)
(d)
13. Seja G um grafo. G é o seu grafo complementar se e só se o conjunto de vértices de
ambos for o mesmo e uma aresta existe em G se e só se não existe em G. Atendendo
iv
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a esta de…nição preencha a seguinte tabela:
K9
K9;9
K4;5
K9;9
K4;5
No de vértices
No de arestas
Soma dos graus dos vértices
conexo
14. Um grafo completo tripartido Kr;s;t consiste em três conjuntos de vértices com r; s e
t elementos respectivamente, tal que dois vértices estão ligados por uma aresta se e
só se estão em conjuntos diferentes.
(a) Represente gra…camente K2;2;2 e K2;2;3 .
(b) Quantos vértices e arestas tem Kr;s;t ? Justi…que.
(c) Quantas componentes conexas tem Kr;s;t ? Justi…que. Como se pode classi…car
cada componente conexa ?
(d) Quantas arestas tem Kr;s;t ? Justi…que.
15. O diagrama é a planta de uma casa. Existe alguma forma de percorrer a casa (iniciando o trajecto dentro ou fora da casa) passando por cada porta uma e uma só
vez?
16. No mapa da …gura cada aresta representa uma avenida e cada vértice representa uma
esquina entre avenidas. Pretende-se entregar o correio nesta área iniciando a entrega
no ponto A e terminando no ponto B, passando em cada avenida exactamente uma
vez. Determine o percurso a efectuar.
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17. Considere o grafo não orientado valorado representado na matriz:
A B C D E F
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
32
A 76
76
76
6
B 7
76
76
76
C 76
76
76
6
D 7
76
76
76
E 76
76
54
F
0 2
0
2 0
1
0 1
0
0 0 10
0 8
4
6 5
2
0
0
3
6 7
7
7
0 8 5 7
7
7
7
10 4 2 7
7
7
0 1 0 7
7
7
7
1 0 1 7
7
5
0 1 0
(a) Quantos caminhos de comprimento ( no de arestas ) 3 existem entre os vértices
A e D ? Quais são? Destes qual é o menos pesado e qual é o mais pesado?
(b) Utilizando o algoritmo de Dijkstra determine o caminho mais barato entre os
vértices A e D.
18. Determine a árvore geradora mínima do grafo:
vi
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A B C D E F
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
32
A 76
76
76
6
B 7
76
76
76
C 76
76
76
6
D 7
76
76
76
E 76
76
54
F
0 2 0
0 0 1
1 0 0
0 3 0
3 0
5
0 3 0
0
0
3
6 7
7
7
0 8 5 7
7
7
7
10 4 2 7
7
7
0 6 0 7
7
7
7
2 0 1 7
7
5
4 0 0
19. Mostre que num grafo simples existem, pelo menos, dois vértices com o mesmo grau.
20. Redesenhe os seguintes grafos planares de forma a que não haja cruzamento de arestas
e identi…que as faces dos grafos.
vii