Resolução

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA DISCRETA
Resolução do 2o TESTE
Curso: LEI
Data: 04 de Julho de 2011
2o Semestre
2010/2011
Duração: 2h
I
Diga, justi…cando adequadamente, se as seguintes a…rmações são verdadeiras ou
falsas.
[1,0]
1. Num conjunto de 20 elementos existem 1140 subconjuntos de 3 elementos.
Resolução: O número de subconjuntos de 3 elementos que é possível formar com
20 elementos é 20
: Como este número é igual a 1140, a a…rmação é verdadeira.
3
[1,5]
2. Existem 73 números naturais inferiores a 1000 que terminam em 5 e não têm dois
algarismos iguais.
Resolução: Consideremos os números inferiores a 1000 que terminam em 5 com
respectivamente, três, dois e um algarismos. No primeiro caso, existem 82 números
que não têm dois algarismos iguais (o algarismo mais à esquerda não pode ser nem
0 nem 5 e o seguinte não pode ser nem igual ao anterior nem a 5), no segundo caso
existem 8 números cujos algarismos são diferentes e, no terceiro caso, só o 5 poderá
ser considerado. Assim, existem 82 + 8 + 1 = 73 números nas condições pretendidas
pelo que a a…rmação é verdadeira.
[1,5]
3. Existe um grafo simples com exactamente sete vértices de grau ímpar.
Resolução: O teorema do aperto de mãos implica que, em qualquer grafo, o número
de vértices ímpares é par. Logo, não pode existir um grafo nas condições do enunciado, pelo que a a…rmação é falsa.
[1,0]
4. Se G é um grafo regular de grau r então
0
(G) = r:
Resolução: O grafo C5 constitui um contra-exemplo para esta a…rmação pelo que
esta é falsa. Com efeito, tem-se que C5 é regular de grau 2 mas 0 (C5 ) = 3:
1
II
1. Considere o grafo não orientado simples
seguinte matriz de adjacência:
2
0 1 0
6 1 0 0
6
6 0 0 0
6
6 0 0 0
A=6
6 1 1 0
6
6 1 1 0
6
4 0 1 1
1 1 0
G de vértices v1 ; v2 ; : : : ; v8 ; de…nido pela
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
3
1
1
0
0
1
0
1
0
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
[1,0] (a) Determine o número de arestas de G e a sequência de graus dos vértices de
G.
Resolução: G tem 15 arestas (metade do número de 1’s da matriz) e a sequência de graus é 4, 5, 1, 3, 4, 4, 5, 4.
[1,5] (b) Utilize A para determinar o número de passeios distintos de comprimento 2
do vértice v1 para o vértice v6 .
h i
(2)
Resolução: Designando o quadrado da matriz A por A2 = aij ; o número
de passeios de comprimento 2 entre os vértices v1 e v6 é dado por
2 3
1
6 1 7
6 7
6 0 7
6 7
6 1 7
(2)
7
a16 = 0 1 0 0 1 1 0 1 6
6 0 7 = 1:
6 7
6 0 7
6 7
4 1 5
0
O único passeio de v1 para v6 de comprimento 2 é v1
2. Considere o seguinte grafo ponderado G:
14
18
b
c
a
14
8
15
10
16
10
e
d
20
g
3
16
f
2
6
v2
v6 :
[1,5] (a) Escreva a matriz de incidência do subgrafo de G induzido pelo subconjunto
de vértices S = fa; b; e; f; gg e veri…que naquele subgrafo o teorema do aperto
de mãos.
Resolução: O subgrafo G[S] tem o seguinte aspecto:
b
a
e
g
f
A sua matriz de incidência é do tipo
2
a
1 1
b 6
6 1 0
e 6
6 0 1
f 4 0 0
g
0 0
5
0
1
1
0
0
6:
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
3
7
7
7:
7
5
Veri…quemos por …m o teorema do aperto de mãos
P em G [S]. Ora, d(a) =
d(b) = d(f ) = d(g) = 2 e d(e) = 4 e portanto,
d(s) = 12: Por outro lado,
s2S
jEj = número de arestas de G [S] = 6; pelo que
X
d(s) = 2 jEj ;
s2S
como se queria veri…car.
(b) Aplique o algoritmo de Kruskal para determinar uma árvore de suporte de
custo mínimo de G. (NOTA: descreva cuidadosamente os passos realizados
por aquele algoritmo.)
Resolução: Primeiro, ordenam-se as arestas por ordem não decrescente de
custo:
Custo ce
Aresta e
3
ef
6
fg
8
be
10 10 14 14 15 16
ae cg ab ce ad cf
16 18 20
df bc eg
As iterações do algoritmo de Kruskal podem resumir-se no quadro seguinte:
3
Iteração (k) Selecção de e k
Actualização de T D
Actualização de |T D |
1
e 1 = ef
ef
1
2
e 2 = fg
ef, fg
2
3
e 3 = be
ef, fg, be
3
4
e 4 = ae
ef, fg, be, ae
4
5
e 5 = cg
ef, fg, be, ae, cg
5
6
e 6 = ab
Não se inclui pois forma ciclo
5
7
e 7 = ce
Não se inclui pois forma ciclo
5
8
e 7 = ad
ef, fg, be, ae, cg, ad
6
Visto que o grafo tem 7 vértices, não é necessário prosseguir pois já seleccionámos 6 arestas para incluir na árvore. Tem-se então que T = fef; f g; be; ae; cg; adg
é uma árvore de suporte de custo mínimo, sendo este igual a c(T ) = cef +
cf g + cbe + cae + ccg + cad = 3 + 6 + 8 + 10 + 10 + 15 = 52:
[2,0] (c) Aplique o algoritmo guloso para determinar uma aproximação do número
cromático de G: A aproximação obtida coincide com (G)? Justi…que. (NOTA:
descreva cuidadosamente os passos realizados pelo algoritmo guloso.)
Resolução: Os passos do algoritmo guloso estão resumidos no quadro seguinte:
iter. vert.
AÝvÞ
KÝvÞ
1ª cor6 KÝvÞ cÝaÞ cÝbÞ cÝcÞ cÝdÞ cÝeÞ cÝfÞ cÝgÞ
1
a
?
?
?
1
?
?
?
?
?
?
2
b
áaâ
á1â
2
1
2
?
?
?
?
?
3
c
ábâ
á2â
1
1
2
1
?
?
?
?
4
d
áaâ
á1â
2
1
2
1
2
?
?
?
5
e
áa, b, câ
á1, 2â
3
1
2
1
2
3
?
?
6
f
ác, d, eâ á1, 2, 3â
4
1
2
1
2
3
4
–
7
g
ác, e, fâ á1, 3, 4â
2
1
2
1
2
3
4
2
Obteve-se assim uma coloração com 4 cores pelo que (G)
4: Dado que
G contém o subgrafo induzido por fc; e; f; gg é um K4 , tem-se (G)
4;
concluindo-se então que (G) = 4: Deste modo, a aproximação obtida pelo
algoritmo guloso coincide neste caso com (G).
III
[1,0]
1. Num congresso internacional, três portugueses, três ingleses, três espanhóis e quatro
franceses sentam-se num …la de 13 lugares de um an…teatro para ouvir uma palestra.
De quantas maneiras podem fazê-lo, se todos os membros da mesma nacionalidade
…carem juntos?
4
Resolução: Dado que …cam juntas, as pessoas de uma mesma nacionalidade
poderão ser consideradas com um bloco. Ora, existem 4! maneiras de dispor em
…la os 4 blocos e, como dentro de cada bloco, os respectivos elementos também
podem permutar entre si, o número total de maneiras de sentar os congressistas é
4! (3! 3! 3! 4!):
[1,0]
2. De quantas maneiras se podem colocar nove bolas diferentes em três urnas distintas,
de modo que na primeira urna …quem três bolas, na segunda duas e na terceira
quatro?
Resolução: Para a primeira urna podemos seleccionar as bolas de 93 maneiras
distintas, para a segunda só teremos 62 maneiras de o fazer e, para a terceira, resta
uma única maneira pois 44 = 1. Pelo princípio do produto, o número pedido é
9
6
1 = 1260.
3
2
[1,0]
3. Pretende-se pintar vinte bolas idênticas com quatro cores. Quantas possibilidades
existem para o fazer supondo que cada cor deverá estar presente em pelo menos
duas bolas?
Resolução: O problema equivale a determinar o número de soluções inteiras não
negativas da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 20; em que xi 2; 8i = 1; 2; 3; 4: O referido
1
4
= 4+12
= 15
= 455:
número é igual a C12
12
12
IV
[1,0]
1. Determine o coe…ciente de x3 no desenvolvimento do binómio
2
x2
+ 3x3
m
x
6
:
Resolução: Usando o teorema binomial, tem-se
2
+ 3x3
2
x
Como x3 = x
[1,5]
6
=
6
X
m=0
2m+3(6 m)
6
m
2
x2
m
3x
3 6 m
=
6
X
m=0
6 m 6
2 3
m
se e só se m = 3; o coe…ciente pedido é
6
3
2m+3(6 m)
:
23 33 = 4320:
2. Quantas permutações se podem fazer usando 5 letras “A”e 4 letras “B”de modo
que as letras iguais nunca constituam um bloco? (Sugestão: Utilize o princípio da
inclusão-exclusão.)
Resolução: Seja X o conjunto de todas as permutações disitintas das 9 letras e A e
B os conjuntos das permutações em que as 5 letras “A”e as 4 letras “B”aparecem
juntas, respectivamente. Então, o número de permutações pedido é A \ B ; ou
seja,
A\B
= A [ B = jXn (A [ B)j = jXj
= jXj jAj jBj + jA \ Bj ;
jA [ Bj
devendo-se a quarta igualdade ao princípio da inclusão-exclusão. Como jXj =
5!
jAj = 4!
; jBj = 6!
e jA \ Bj = 2!; tem-se
5!
A\B =
9!
5!4!
5!
4!
5
6!
+ 2! = 117:
5!
9!
;
5!4!
[1,5]
3. Mostre que em qualquer subconjunto de 9 elementos de f1; 2; : : : ; 16g, existem pelo
menos dois cuja soma é 17.
Resolução: Dado o conjunto f1; 2; : : : ; 16g, consideremos os 8 conjuntos f1; 16g,
f2; 15g,f3; 14g ; f4; 13g ; f5; 12g ; f6; 11g ; f7; 10g e f8; 9g. Assim, dado um qualquer
subconjunto de f1; 2; : : : ; 16g com 9 elementos, o princípio da distribuição garante
que pelo menos dois destes 9 elementos pertencem a um dos conjuntos acima, pelo
que a sua soma será 17.
6