Aplicações da Pesquisa Operacional na Administração

HISTÓRICO E ORIGEM DOS
GRAFOS
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes
Março - 2009
HISTÓRICO
A teoria de grafos tem uma origem
relativamente recente (século XVIII) na
história da matemática. Dentre os primeiros
cientistas a trabalhar nesta área se destacam
L. Euler, G. Kirchhoff e A. Cayley. A teoria de
grafos
tem
extensiva
utilização
em
matemática aplicada, pois demonstra ser uma
poderosa ferramenta para a modelagem de
diversas situações reais em, entre outros,
física, química, biologia, engenharia e
pesquisa operacional
As pontes de Konigsberg
O primeiro e mais famoso problema em teoria
de grafos foi resolvido por Euler em 1736. Na
cidade de Konigsberg sete pontes cruzam o
rio Pregel estabelecendo ligações entre duas
ilhas e entre as ilhas e as margens opostas do
rio.
As pontes de Konigsberg
Será possível fazer um passeio pela cidade,
começando e terminando no mesmo lugar,
cruzando cada ponte exatamente uma vez?
As pontes de Konigsberg
Euler representou as relações graficamente. A
cada margem e ilha associou um nó e a cada
ponte um arco.
Grafo
C
B
A
D
Grafo: é uma noção simples, abstrata e intuitiva, usada
para representar a idéia de alguma espécie de relação
entre os objetos. Graficamente, aparece representado
por uma figura com nós ou vértices, significando os
objetos, unidos por um traço denominado aresta
configurando a relação imaginada.
Grafo
Pensamos em um grafo como um conjunto
de pontos num plano ou no espaço e um
conjunto de segmentos ou linhas
(possivelmente curvas), sendo que cada
linha junta dois pontos ou um ponto para
si próprio.
Representação Matemática
Um grafo é representado matematicamente
por:
G = (V,E)
Onde V é o conjunto de vértices e E é o
conjunto de arestas ou ligações entre os
vértices. (|V| = n, |E| = m).
Onde: n = |V| é a ordem do grafo
m = |E| é o tamanho do grafo.
Se m = 0 o grafo é dito trivial.
Exemplo 1
A figura acima mostra o grafo G(V,E). Observe que
laços (self-loops) são permitidos pela definição.
Múltiplas linhas não são permitidas. Neste exemplo,
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {{1,3},
{2,3},{3,4},{3,5},{6,6}}. È comum a utilização da
variável vi ou xi, i = 1, 2, ..., n para a distinção dos nós
(vértices). |V| = 6, |E| =5.
Exemplo 2
Seja o grafo G(V,A) dado por:
V = { p | p é uma pessoa }
A = { (u,v) | < u é amigo de v > }
Seja o exemplo:
V = { Maria, Pedro, Joana, Luiz }
A = { (Maria, Pedro) , (Joana, Maria) , (Maria,
Luiz), (Pedro, Luiz) , (Joana, Pedro) }
Construa o grafo do exemplo acima.

Exemplo 2
Vértices e Arestas

Em um grafo não orientado G=(V,E), o
conjunto de arestas E consiste em pares de
vértices não ordenados.
V={1,2,3,4,5,6}
E={(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)}
1
2
3
4
5
6
Aplicações práticas para grafos

Motores de busca de páginas Web
Vértices são as páginas HTML e as arestas
(direcionadas) são links ligando as páginas
 Identificar proximidade entre duas páginas
quaisquer
 Identificar se uma página é acessível a partir
de outra
 Identificar o número de links para uma página
(grau do vértice)

Aplicações práticas para grafos

Roteamento de Carga
Vértices são pontos de entrega e as arestas
(com pesos) são estradas
 Descobrir a rota de entrega com menor custo
 Identificar a rota mais rápida


Problema de Fluxo em Redes

Você poderia citar outras situações que
poderiam ser modeladas através de Grafos?