inteligência artificial para avaliação de riscos: redes neurais

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL PARA AVALIAÇÃO DE RISCOS: REDES NEURAIS APLICADAS NA
MODELAGEM DO VALUE-AT-RISK
LEANDRO S. MACIEL, ROSANGELA BALLINI
Departamento de Teoria Econômica, Instituto de Economia, Universidade Estadual de Campinas
Rua Pitágoras, 65 Cidade Universitária Zeferino Vaz
CEP 13083-857 Campinas – São Paulo – Brasil
Emails: [email protected]; [email protected]
Abstract
The risk valuation through Value-at-Risk (VaR) tool is being widely used by the main institutions in the financial markets. Its capability
to give a standard comparison to the market risk of different positions exposed to different risk sources made VaR an accurate tool with
easy applicability. This work evaluates and analyzes empirically the most used model to VaR estimation, GARCH method, as a
comparison with the estimation resulted by the Artificial Neural Networks (ANNs) model – an artificial intelligence technique frequently
applied to financial time series forecasting. These methodologies were tested to Petrobrás preferential share returns. The results, by the
Kupiec test evaluated, showed that ANNs techniques presents the best VaR estimative to the series studied.
Keywords: Artificial Neural Networks, Value-at-Risk, Stock Markets, Volatility, Garch models.
Resumo
A avaliação quantitativa do risco, por meio do instrumento do Value-at-Risk (VaR), é cada vez mais utilizada nas principais instituições
financeiras do mercado de capitais. Sua capacidade de fornecer um padrão de comparação para o risco de mercado de diferentes posições
expostas a diferentes fontes de risco torna o VaR uma ferramenta eficaz e de fácil aplicação. Este trabalho avaliou e analisou
empiricamente o modelo mais utilizado para estimação do VaR, modelo GARCH, em comparação com a estimação gerada pelo método
de Redes Neurais Artificiais (RNAs) – técnica de inteligência artificial muito utilizada na predição de séries temporais financeiras. Essas
metodologias foram testadas para a série de retornos das ações preferenciais da Petrobrás. Os resultados obtidos, avaliados por meio teste
de Kupiec, mostraram que as RNAs apresentaram as melhores estimativas para o VaR da série estudada.
Palavras-chave: Redes Neurais Artificiais, Value-at-Risk, Mercado de Ações, Volatilidade, Modelos Garch.
1. Introdução
Nos últimos dois decênios do século XX,
intensificou o debate acerca do risco de mercado nas
instituições financeiras. As inovações no mercado de
capitais, combinadas com o processo de integração e
desregulamentação de importantes praças financeiras,
potencializaram tanto as oportunidades de ganho,
quanto às oportunidades de revés para agentes
econômicos operando em grande escala e sobre uma
base verdadeiramente global.
A elevada volatilidade das taxas de juro, das
taxas de câmbio e dos diversos ativos financeiros e
commodities fez com que os agentes participantes do
circuito financeiro internacional intensificassem a
busca de um método apropriado capaz de identificar,
monitorar e controlar as diversas fontes de riscos a
que estão expostos os ativos em carteiras, para que
seja possível não somente otimizar o retorno para um
dado patamar de risco aceitável, mas também
possibilitar uma seleção subjetiva de riscos que se
está disposto a correr em contraposição aos riscos
que se deseja evitar.
Neste contexto, surgiu uma das ferramentas mais
utilizadas atualmente pelas instituições financeiras
para a monitoração dos riscos associados a um ativo
ou portfólio: o Value-at-Risk (VaR). Trata-se de um
instrumental estatístico que fornece uma medida
representativa da maior perda possível, em condições
normais de mercado, de um ativo ou portfólio, dentro
de um intervalo de confiança estatística e horizonte
de tempo, pré-definidos (Jorion, 2003).
A obtenção do VaR envolve a estimação da
variabilidade futura dos valores de mercado, i.e.,
volatilidade. Essa estimação pode ser realizada por
diferentes metodologias. O principal método
utilizado pelas instituições financeiras corresponde à
modelagem de séries temporais de variância
condicional, por meio de um processo GARCH.
Em anos recentes, modelos de redes neurais
artificiais tornaram-se conhecidas para previsão de
séries temporais em várias áreas, incluindo finanças,
carga elétrica e recursos hídricos. Em vários estudos,
redes neurais e técnicas de séries temporais vêm
sendo comparadas (Gately (1996), Zang et al. (1998),
Wong e Selvi (1998), Chatterjee et al. (2000), Ballini
(2000) e Maciel e Ballini (2009). A maioria dos
estudos
realizados
utilizam
o
algoritmo
retropropagação do erro, ou algumas de suas
extensões. Este método já foi utilizado com sucesso
em diversas áreas entra as quais previsão de séries
financeiras (Weigend et al., 1991).
Neste trabalho é proposto um método para
estimar o VaR usando uma rede neural multicamadas com algoritmo de retropropagação do erro.
O objetivo é comparar essa metodologia com a
estimação obtida pelo modelo GARCH. Dessa forma,
avaliaremos essas duas metodologias para estimação
do VaR para a série de retorno financeiro das ações
preferenciais da Petrobrás (PETR4), por meio do
teste de Kupiec.
1997). Defini-se o Value-at-Risk
VaRt = MTM t ⋅ σ ⋅ FSα %
2. Metodologia
O presente trabalho avaliou o risco de mercado
das ações da Petrobrás (PETR4), no período de
03/01/2002 a 25/02/2008, perfazendo uma amostra de
dados diários com 1.590 observações. Como está
série é não estacionária e o modelo GARCH trabalha
apenas com séries estacionárias, foi considerada a
análise por meio dos retornos, obtidos por:
 P 
rt = ln t 
 Pt −1 
em que
( VaRt ) de uma
carteira ou ativo, no período t como:
(1)
Pi representa o preço da ação no tempo i.
A modelagem da volatilidade 1 pelo método
GARCH estruturou-se com base na análise de
autocorrelação e autocorrelação parcial da série
avaliada, de forma a resultar no processo de tipo
GARCH(1,1). Essa é a parametrização mais robusta e
comumente utilizada pelas instituições financeiras,
por motivo de seus bons resultados e adequação às
séries financeiras.
Na construção do modelo de rede neural para
estimação da volatilidade, foi aplicado o processo de
validação cruzada, constituído por tentativas
aleatórias de estruturação, na busca dos melhores
resultados, uma vez que não existe na literatura uma
regra fixa para escolha dos parâmetros (Kaastra e
Boyd, 1996).
Por fim, o teste de análise dos resultados
proposto por Kupiec (1995) é baseado na proporção
de falhas em que os resultados foram “piores” do que
podia supor a estimativa do VaR. Este teste foi
aplicado para avaliar as metodologias empregadas.
(2)
em que MTM t representa o valor marcado a mercado
(make-to-market) da carteira ou ativo no período t, σ
a volatilidade e FS α % o fator de segurança, que
representa o quantil correspondente a α % da
distribuição de probabilidade para o valor da carteira
ou ativo2.
Neste trabalho, abordaremos o cálculo do VaR
em sua abordagem paramétrica, ou seja, a questão
central do cálculo consiste em se estimar a variância.
Nessa análise, aplicaremos a modelagem tradicional
de séries temporais (GARCH) e a modelagem por
meio das redes neurais artificiais, avaliação central
deste trabalho.
4. Modelo GARCH
O modelo GARCH é uma técnica de séries
temporais que permite modelar a dependência serial
da variância. Proposto por Bollerslev (1986), o
modelo relaciona a volatilidade com retornos dos
períodos passados e a própria variância passada. A
parametrização utilizada com mais freqüência para
séries financeiras é o modelo GARCH(1,1),
representado como:
rt = σ t2 ε t ,
(3)
σ t2 = α 0 + α 1 rt2−1 + β1σ t2−1
com 0 ≤ α1, β1 < 1, α1 + β1 < 1 (condição para a
estacionaridade do modelo). Nesse trabalho, utilizouse o modelo descrito em (5) com Inovações
Gaussianas, i.e., GARCH(1,1) com distribuição
Normal.
3. Value-at-Risk
Ao fixarmos um horizonte de tempo t e um nível
de significância estatística α % , o Value-at-Risk ou
VaR representa a perda máxima esperada em t para
um nível de confiança de (1 − α )% . Na prática, em
termos estatísticos, o VaR é a medida representativa
do valor crítico da distribuição de probabilidade de
mudança no valor de mercado dos ativos em carteira
ou de um portfólio tomado em conjunto (Duffie e Pan,
5. Redes Neurais Artificiais
Redes Neurais Artificiais (RNAs) podem ser
definidas, basicamente, como
sistemas de
processamento paralelo e distribuído, baseados no
sistema nervoso biológico humano (Haykin, 2001).
Esses modelos são compostos por elementos
computacionais, chamados neurônios artificiais. Os
neurônios captam dados de entrada, os ponderam de
2
1
Neste trabalho, a volatilidade é definida como sendo o desviopadrão.
Utilizamos o quantil de uma distribuição Gaussiana, uma vez que
as parametrizações do modelo de VaR mais aplicados utilizam essa
distribuição para os retornos.
acordo com determinados pesos sinápticos que, após
passar por uma função de transferência ou ativação,
restringe a saída do neurônio para um determinado
valor desejado (Figura 1).
O algoritmo de aprendizagem de retropropagação consiste em alterar os pesos da rede a fim
de minimizar a diferença entra as saídas desejadas e
as saídas fornecidas pelo modelo. Se o erro na
camada de saída não é menor que uma dada
tolerância, então o erro é retro-propagado, tendo
como base para a atualização dos pesos a Regra Delta,
a qual implementa o Método do Gradiente
Descendente (Haykin, 2001).
Seja yd (n) a saída desejada do neurônio j e
j
y j (n) a saída calculada pela rede para uma entrada n.
O erro e j (n) na camada de saída é:
Figura 1. Neurônio Artificial (Haykin, 2001)
Uma característica fundamental das redes neurais
é sua estrutura ou topologia. A rede perceptron multicamadas (MultiLayer Perceptrons – MLPs) é uma
das mais conhecidas e aplicadas arquiteturas de redes
neurais e apresenta uma generalização do perceptron
proposto por Rosemblatt (1958). A topologia deste
modelo consiste em uma camada de entrada, uma ou
mais camadas intermediárias e uma camada de saída,
como pode ser visto na Figura 2.
O método de ajuste dos parâmetros da MLP é do
tipo supervisionado, ou seja, é necessário um
“professor” para indicar a resposta desejada para o
padrão de entrada apresentado à rede durante a fase
de aprendizagem. Um sinal de erro é definido como a
diferença entre a resposta desejada e a resposta
observada. Os parâmetros da rede (pesos e limiares)
são ajustados de acordo com esse sinal. O método de
aprendizado mais utilizado é o algoritmo de retropropagação do erro o qual é composto por duas fases.
Na primeira fase, conhecida como fase forward, as
entradas são apresentadas e propagadas, camada por
camada, calculando a saída de cada neurônio. Nessa
fase, os pesos são fixos e a saída calculada é
comparada com a saída desejada, resultando em um
erro para cada unidade. Na segunda fase, o erro
calculado é propagado da camada de saída para a
camada de entrada, fase backward, e os pesos são
ajustados de acordo com a regra de correção do erro,
originando o termo “retropropagação do erro” .
e j ( n) = y d j ( n) − y j ( n)
(4)
O valor do erro quadrático para o neurônio j é
definido como sendo 1 ⋅ (e j (n)) 2 . A soma dos erros
2
quadráticos é obtida para todos os neurônios da
camada de saída, isto é:
ε (n) =
1
∑ (e j (n)) 2
2 j
(5)
Com N representando o número total de pares
entrada/saída-desejada contidos no conjunto de dados
de treinamento, o erro quadrático médio é obtido pela
soma do erro ε (n) sobre todo n, normalizado com
relação ao número de padrões N:
E=
1
N
N
∑ ε (n)
(6)
n =1
O processo de treinamento objetiva ajustar os
parâmetros livres (pesos) da rede, minimizando uma
função objetivo representada pelo erro quadrático
médio3. Ou seja,
min E = min
1 N
∑ ε (n)
N n =1
(7)
O nível de ativação interna do neurônio j, v j (n) ,
é uma função linear das saídas y i dos neurônios que
estão conectados ao neurônio j através dos pesos
w ji dado por:
p
v j (n) = ∑ w ji (n) y i (n)
(8)
i =0
3
Figura 2. Rede Neural Perceptron Multi-Camadas.
Para a derivação do algoritmo de retro-propagação, é considerado,
inicialmente, um método de treinamento em que os pesos são
ajustados entrada-a-entrada, ou seja, o ajuste dos pesos é realizado
de acordo com o erro calculado pata cada entrada apresentada à
rede.
em que p é o número de neurônios da camada
imediatamente anterior ao neurônio j. O peso
sináptico w j 0 é igual ao limiar θ 0 e corresponde à
entrada y 0 = −1 .
A saída y j (n) do neurônio j é um valor real, dada
por uma função de ativação não-linear:
y j (n) = f j (v j (n))
(9)
Para minimizar (7), por meio do método do
gradiente descendente, é necessário calcular a
derivada parcial de ε em relação a cada peso da
rede4.
6. Análise Empírica
A volatilidade dos retornos das ações
preferenciais da Petrobrás, elemento essencial para o
cálculo do VaR, foi estimada por meio de um
processo GARCH e pela rede neural MLP.
Para estruturação do modelo GARCH, realizouse análises estatísticas da série estudada. A análise da
distribuição de probabilidade não permitiu inferir
normalidade à série avaliada, como uma boa proxy5,
mas, por ser a mais utilizada, essa assertiva será
imposta. Portanto, foi aplicado um modelo GARCH
(1,1), com distribuição Normal, para estimação da
volatilidade. A Figura 3 apresenta a estimação do
Value-at-Risk para a série dos retornos da Petrobrás,
com a volatilidade auferida por meio do modelo
GARCH, com um nível de significância de 95%.
Figura 3. VaR com modelagem GARCH (1,1)
4
A derivação do modelo do gradiente descendente pode ser vista
em Haykin (2001).
5
Essas análises compreendem o Teste de Jarque-Bera, avaliação
do gráfico QQ-Plot, desigualdade de Chebyshev e avaliação de
percentis. Para esses testes, ver Hamilton (1994).
Pode-se perceber, ao observar a Figura 3, que o
modelo GARCH apresentou nítida adesão aos dados,
com um bom desempenho e adequação aos clusters
de volatilidade. O próximo passo, agora, é a
estimação do VaR com as RNAs.
Na literatura, não existe trabalho que especifique
os parâmetros ideais para a construção de um modelo
padrão de rede neuronal que resulte nos melhores
resultados; portanto, sua construção envolve escolhas
empíricas que variam de acordo com a especificidade
dos dados e o objetivo de previsão ou estimação
(Kaastra e Boyd, 1995). Os dados utilizados como
entradas (inputs) na rede constam de valores passados
da volatilidade, estimados por meio da volatilidade
histórica com janela móvel de 30 dias. Para a série da
Petrobrás, as volatilidades de três dias passados
foram utilizadas para estimar a volatilidade no dia
precedente 6 . Esses dados foram divididos em três
conjuntos: treinamento, validação e teste, sendo que
cada conjunto contêm 80%, 15% e 5% do total dos
dados da amostra, respectivamente.
A estrutura da rede corresponde a um modelo
MLP, com uma camada de entrada, com 3 neurônios
de entrada, uma camada intermediária, composta por
5 neurônios, e, finalmente, uma camada de saída com
apenas um neurônio.
O treinamento do modelo de rede neural foi
realizado com o algoritmo de retropropagação do
erro, com um número de épocas7 estipulado em 1000.
O erro mínimo desejável foi da ordem de 10-3 e a taxa
de aprendizagem igual a 0,7. Vale ressaltar que o
algoritmo convergiu para o erro mínimo desejável
antes de atingir o número de épocas
A Figura 4 apresenta a estimação do VaR para a
série dos retornos da Petrobrás por meio da
modelagem de redes neurais.
A aderência do modelo de redes neurais para a
estimação do VaR é nítida (ver Figura 4), e comprova
a capacidade de ajuste desse modelo às alterações da
volatilidade observada no mercado, o que pode ser
verificado pelas quebras rápidas (perfil “recortado”)
nas linhas do VaR.
Numa comparação de análise gráfica entre o
VaR auferido, por meio da modelagem GARCH e de
Redes Neurais, é visível a melhor adequação do
instrumento de inteligência artificial. O número de
falhas, ou número de vezes em que o retorno
negativo excedeu o VaR, é bem maior quando a
volatilidade é estimada por meio do GARCH. A
Figura 3 indica que, na maioria das elevadas perdas,
o VaR não foi capaz de estimar a potencialidade de
auferição desses valores. Entretanto, para uma
6
Esses resultados foram obtidos pela análise de correlação e autocorrelação dos retornos.
7
Uma época é definida como toda apresentação de um conjunto
entrada-saída para o treinamento da rede, na busca de minimizar a
diferença entre o valor desejado e o valor estipulado pela rede.
comparação mais confiável, é necessária uma análise
estatística dos resultados.
N
=p
T
N
HA = ≠ p
T
H0 =
(11)
Com isso, Kupiec construiu os intervalos para a
proporção e o número de falhas de ocorrência para a
hipótese nula de que a proporção empírica é igual ao
nível de significância escolhido para o cálculo do
VaR9. A Tabela 1 apresenta os resultados para o teste
de Kupiec, de acordo com o nível de confiança de 5%
e 1%.
Tabela 1. Avaliação dos modelos de VaR pelo teste de Kupiec
Avaliação das Estimativas do VaR
Modelo
Figura 4. VaR com modelagem de Redes Neurais Artificiais
A avaliação mais precisa dos resultados do
modelo de VaR se deu com o teste proposto por
Kipiec (1995). Seu teste avalia estatisticamente a
hipótese nula de que a proporção verdadeira de falhas
p do modelo é igual ao nível de significância α %
preestabelecido para o cálculo do VaR. Com o teste
de razão de verossimilhança, Kupiec desenvolveu as
regiões de aceitação da hipótese nula em termos de
proporção e número de falhas, verificados
empiricamente para diferentes tamanhos de amostra
escolhidos para o back-test. O teste de razão de
verossimilhança (likelihood ratio – LR) desenvolvido
por Kupiec avalia estatisticamente a hipótese nula de
que a proporção verdadeira de falhas p do modelo é
igual ao nível de significância α % preestabelecido
para o cálculo do VaR. Seja N o número de vezes em
que o retorno observado excedeu o VaR em uma
amostra de tamanho T. Se cada uma das realizações
diárias da série de retornos apresenta probabilidade
de α % de superar o VaR, então a variável aleatória
“número de violações do VaR” apresenta distribuição
Binomial8 com média T e variância p:
N ~ B(T , p )
(10)
Idealmente, o percentual de falhas de ocorrência
deve ser igual à probabilidade associada à cauda
esquerda da distribuição, i.e., p = α % . As hipóteses
nula e alternativa são construídas da seguinte forma:
Número de Proporção de Número de Proporção de
Falhas (5%) Falhas (5%) Falhas (1%) Falhas (1%)
GARCH
41
2,57%
58
3,64%*
RNA
27
1,69%
36
2,26%
*Nesse caso, rejeita-se a hipótese nula.
É bastante discutível o exercício de retirar
conclusões generalistas a partir de um estudo
empírico que produz resultados particulares. A
atenção, neste trabalho, está voltada para a
possibilidade e a quantidade de ocorrência de perdas
financeiras superiores às estimativas geradas por
meio das diferentes modelagens para o VaR. Ao
observar a Tabela 1, nota-se que ambos os modelos
apresentaram bons resultados, e somente a estimação
do VaR por meio do processo GARCH com 95% de
confiança não passou pelo teste de Kupiec.
Entretanto, a modelagem obtida por meio das Redes
Neurais Artificiais apresentou um desempenho
significativamente superior ao modelo estimado a
partir do método GARCH, em que as taxas de
superação do VaR foram bem inferiores.
Para corroborar com os resultados da modelagem
das RNAs, é importante ressaltar que o atrativo desse
método está na sua simplicidade e facilidade de
implementação, se comparado ao modelo GARCH, e
que, as limitações, como imposição de uma
distribuição do tipo Gaussiana à série de retorno e
relação linear na modelagem da volatilidade, não são
necessárias. Ademais, apesar dos dois modelos
auferirem bons resultados por meio da avaliação do
teste de Kupiec, em finanças, o melhor modelo é
aquele que consegue evitar o maior número de perdas.
Desta forma, pode-se dizer que, nos momentos de
maiores perdas financeiras e maior volatilidade, as
RNAs adaptaram-se de forma mais acurada. Além
disso, o modelo conseguiu captar os movimentos
negativos e permitiu que a estimativa do VaR se
aproximasse das perdas verificadas, o que permite
8
A distribuição binomial em questão refere-se a n ensaios de
Bernoulli, em que a variável aleatória “número de violações do
VaR” assume valor 1 (um) para o caso de superação do VaR e 0
(zero) em caso contrário.
9
Para verificação da construção da tabela de Kupiec, ver em
Kupiec (1995).
maior manobra para os agentes financeiros rever suas
posições.
7. Conclusão
O objetivo deste trabalho foi realizar uma
avaliação quantitativa da questão do risco de mercado
nas ações preferenciais da Petrobrás (PETR4), por
meio do instrumento de mensuração do risco mais
utilizado pelos principais agentes financeiros
institucionais e não-institucionais, o Value-at-Risk.
Para tanto, duas metodologias distintas foram
investigadas para a obtenção da estimativa técnica:
modelo de variância condicional, GARCH(1,1), e o
modelo de redes neurais artificiais MLP. Ou seja, a
modelagem da volatilidade, elemento fundamental
para a auferição do VaR, foi realizada via essas duas
abordagens.
Na modelagem GARCH, apesar da hipótese de
distribuição Normal dos retornos não ter se mostrado
tão adequada no exame estatístico apreendido no
modelo, conferindo uma das principais críticas a essa
metodologia, seus resultados foram satisfatórios,
conseguindo-se adequar a dinâmica da série em
relação às variações observadas. Entretanto, o VaR
obtido por meio das RNAs apresentou resultados
mais significativos, adequando-se às mudanças da
volatilidade vigentes com maior rapidez e facilidade.
Esse resultado confirmou-se por meio da auferição do
teste de Kupiec, em que a proporção de falhas
observada na modelagem por meio da rede neural foi
significativamente menor, e, grande parte das falhas
de ocorrência exibidas esteve concentrada em
momentos de crises financeiras ocorridas ou no plano
doméstico ou no plano internacional.
Para trabalhos futuros, no caminho da
investigação quantitativa abordada neste trabalho,
pode-se citar a comparação da estimação do VaR via
RNAs com a técnica de Simulação de Monte Carlo,
que envolve um esforço computacional também
simples e pode gerar uma computação mais precisa
do VaR. Além disso, pode-se levar em conta a
estruturação de diferenciadas redes neuronais que
incluem diversas entradas, de acordo com a variável a
ser estimada, ou até mesmo, a utilização de outros
algoritmos de aprendizagem.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao Conselho Nacional de
Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)
processo 302407/2008-1, pelo auxílio.
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