Apostila 1 - Biblioteca Anton Dakitsch

Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro
Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE)
Com esta apostila espera-se
levar o aluno a:
o
o
Apostila organizada por:
o
o
Identificar o modelo da função
afim em situações cotidianas;
Identificar os casos particulares,
observando suas peculiaridades;
Esboçar gráficos;
Modelar
situações-problema,
dentro e fora da Matemática.
Vanderlane Andrade Florindo
Silvia Cristina Freitas Batista
Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo
Campos dos Goytacazes/RJ – Abril – 2015
Sumário
1. Função Afim: definição........................................................................................... 3
1.1. Introdução ......................................................................................................... 3
1.2. Definindo Função Afim .................................................................................... 4
1.3. Casos particulares da Função Afim .................................................................. 4
1.3.1
Função identidade ....................................................................................... 4
1.3.2
Função linear .............................................................................................. 5
1.3.2.1 A função linear e a proporcionalidade direta ....................................... 5
1.3.3
Função constante ........................................................................................ 8
1.3.4
Função polinomial do primeiro grau .......................................................... 9
2. A Representação Gráfica da Função Afim .............................................................. 10
Exercícios .................................................................................................................... 17
Gabarito ....................................................................................................................... 21
Referência .................................................................................................................... 23
Página |3
1. Função Afim: definição
1.1. Introdução
O ato de medir está totalmente integrado ao nosso dia a dia. No entanto, essa integração depende
diretamente do uso de unidade de medidas padronizadas e da possibilidade de conversão entre
unidades equivalentes.
Existe, por exemplo, uma fórmula que relaciona as escalas termométricas Fahrenheit (muito
utilizada nos Estados Unidos) e Celsius (usada na maioria dos países, incluindo o Brasil). Tal
fórmula depende do ponto de fusão do gelo (quando a água vira gelo), que na escala Celsius ocorre
a 0° C e na escala Fahrenheit ocorre a 32° F, e do ponto de ebulição da água (quando a água vira
vapor), que na escala Celsius ocorre a 100°C e na escala Fahrenheit ocorre a 212° F. A relação entre
as escalas Celsius e Fahrenheit é determinada pela equação:
9
F = 5 C + 32
na qual F representa a medida da temperatura em graus Fahrenheit e C em graus Celsius. Então, se
um termômetro na escala Celsius marcar 30° e quisermos saber qual a medida equivalente na escala
Fahrenheit teremos que substituir, na fórmula, a variável C por 30, logo:
9
F = 5 C + 32
9
F = 5 . 30 + 32 = 86
Então, 30° C equivalem a 86° F. Vamos transformar outros valores de temperatura em graus
Celsius para graus Fahrenheit (Tabela 1):
Tabela 1 – Conversão de temperaturas - graus Celsius para graus Fahrenheit
Temperatura em graus
Celsius
Utilizando a fórmula:
9
F = 5 C + 32
-20
F = 5 . (−20) + 32
-5
F = 5 . (−5) + 32
45
F = 5 . 45 + 32
Perceba que, em F =
9
9
9
9
5
Temperatura em graus
Fahrenheit
-4
23
113
C + 32, a temperatura em graus Fahrenheit depende do valor que
atribuímos à temperatura em graus Celsius. Isso significa que a temperatura em graus Fahrenheit
está em função da temperatura em graus Celsius. Esse é um exemplo aplicável de função afim.
Página |4
1.2. Definindo Função Afim
Uma função 𝑓: ℝ → ℝ é chamada função afim quando existem
dois números reais a e b tais que f (x) = ax + b, para todo 𝑥 𝜖 ℝ.
Na representação
𝑓: ℝ → ℝ temos
que:
Nome
da função
Exemplos:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 (𝑎 = 2; 𝑏 = 1)
2
2
𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3 (𝑎 = −1; 𝑏 = 3 )
Representa
o Domínio
4
4
ℎ(𝑥) = 7 𝑥 (𝑎 = 7 ; 𝑏 = 0)
𝑓: ℝ → ℝ
Existe definição de função afim
que exige que a seja diferente
de zero.
Nesta apostila,
estamos adotando a definição
acima, que é baseada em Lima
et al. (2012).
𝑖(𝑥) = √3 (𝑎 = 0; 𝑏 = √3)
Representa o
Contradomínio
Lembrando que ℝ
representa o
conjunto dos
números reais.
𝑗(𝑥) =
𝑥−2
3
1
(𝑎 = 3 ; 𝑏 =
−2
3
)
Os números reais a e b são os parâmetros da função afim e podem assumir
quaisquer valores reais.
1.3. Casos particulares da Função Afim (𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃)
1.3.1 Função identidade – função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥, em que a = 1 e b = 0 (Figura 1).
Figura 1 – Função identidade
No caso da função identidade,
o valor de y sempre será igual
ao de x. Observe, na figura 1,
que a reta que representa
essa função é a bissetriz do 1°.
e 3°. quadrantes, ou seja, corta
estes quadrantes exatamente
ao meio.
Exemplo resolvido:
Determine o valor de f (-3) na função identidade.
Solução:
A função identidade é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥, logo, se x = -3 temos f (-3) = -3.
Página |5
1.3.2 Função linear – função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, na qual b = 0.
Figura 2 – Exemplos de função linear
Exemplos:

𝑓(𝑥) = −2𝑥 (𝑎 = −2; 𝑏 = 0)

𝑔(𝑥) = 0,1𝑥 (𝑎 = 0,1; b = 0)
A figura 2 mostra a representação gráfica desses
exemplos.
Para refletir:
A função identidade é um caso
particular de função linear, no
qual o valor de a é sempre igual
a 1.
A Função Linear e a Proporcionalidade Direta
Um corredor mantém-se em velocidade constante de 20 km/h durante uma maratona. Nesse
ritmo, depois de meia hora de prova ele percorrerá 10 km; após 1 hora, 20 km; após 1 hora e meia,
30 km; após 2 horas, 40 km e, assim, sucessivamente. A distância percorrida (d) em função do
tempo (t) é dada, neste caso, por 𝑑 = 20𝑡, cujos pontos pertencem a uma função linear.
Observe que quando o tempo dobra a distância percorrida também dobra e quando o tempo
triplica a distância percorrida também triplica. Portanto, podemos afirmar que essas grandezas são
diretamente proporcionais. Genericamente, duas grandezas são diretamente proporcionais quando o
aumento de uma implica o aumento da outra, na mesma razão. Ou seja, ao dobrarmos uma
grandeza, a outra também será dobrada; ao triplicarmos uma, a outra também será triplicada; ao
reduzirmos uma à metade, a outra também será reduzida à metade. Em outras palavras, grandezas
diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão.
O modelo matemático que representa a proporcionalidade direta, ou simplesmente
proporcionalidade, entre duas grandezas é dado por uma função linear 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, em que 𝑎 > 0,
uma vez que nesse caso os valores de y são proporcionais aos valores correspondentes de x, de tal
forma que quando o valor de x aumenta/diminui, o valor de y aumenta/diminui na mesma razão.
Página |6
Exemplo resolvido:
Um botânico mediu o tamanho de uma planta, em centímetros, todos os dias desde sua
germinação, até encontrar um padrão de crescimento. Ele observou que a planta crescia
linearmente. Sabendo que no 10°. dia, a planta estava com 5 centímetros e no 20°. dia com 10
centímetros, responda:
a) O comprimento da planta é diretamente proporcional ao número de dias decorridos?
b) Qual a fórmula matemática que expressa o comprimento da planta em função dos dias
decorridos?
c) Quanto o comprimento da planta no 1°. dia?
d) Mantendo esse padrão de crescimento, em que dia a planta alcançará 3 metros?
Solução:
a) O enunciado afirma que a planta crescia linearmente, isso significa que seu comprimento era
acrescido de um mesmo valor a cada dia. Diz também que no 10°. dia a planta media 5 centímetros,
no 20°. dia media 10 centímetros. Assim, podemos deduzir o comprimento da planta no decorrer dos
dias (Tabela 2):
Tabela 2 – Comprimento da planta no decorrer dos dias
X
X3
X
4
2
Dias decorridos
d
Comprimento da planta (cm)
c
10
5
20
10
30
15
40
20
X
2
X
3
X
4
Perceba que quando o número de dias dobra, o comprimento da planta também dobra, quando o
número de dias triplica, o comprimento triplica, e assim sucessivamente; o que nos indica que há
uma proporcionalidade direta entre as grandezas.
b) No enunciado desse item pede-se para apresentar a fórmula matemática que expressa o
comprimento da planta em função dos dias decorridos. Logo, a variável dependente será o
comprimento da planta e a independente será o número de dias decorridos.
Como visto no item anterior, esse é um caso de proporcionalidade direta. A fórmula matemática
que expressa essa situação pode ser deduzida analisando os dados da tabela 2. Podemos notar que 5
Página |7
é a metade de 10, 10 é a metade de 20, 15 é a metade de 30 e, assim, sucessivamente, ou seja, o
comprimento (c) é a metade dos dias decorridos (d). Logo, a lei da função é: c 
d
, para 𝑑 ≥ 0.
2
Já que as grandezas são diretamente proporcionais, você também poderia ter chegado a tal
fórmula usando regra de três simples, veja:
Dias decorridos
Comprimento da planta
10
____________________________
5
d
____________________________
c
10 . 𝑐 = 5 . 𝑑
𝑐=
1
Simplificando a fração, temos: 𝑐 = 2 𝑑 =
5
𝑑
10
𝑑
2
Lembre-se:
c) Como vimos, o comprimento é sempre a metade do número de dias decorridos. Por
proporcionalidade, podemos dizer que no primeiro dia o comprimento da planta era 0,5 cm, uma
vez que essa é a metade de 1. Utilizando a lei que encontramos no item anterior, podemos
confirmar esse valor, atribuindo o valor 1 à variável d, assim:
𝑐=
𝑑
2
1
d = 1  𝑐 = 2 , logo, o comprimento da planta era 0,5 cm.
d) Pretende-se saber o dia que a planta atingirá 3 m (300 cm). Sabendo que o comprimento da
planta é a metade dos números de dias, basta multiplicarmos o comprimento por dois para obtermos
o número de dias, assim o número de dias será 300 . 2 = 600. Logo, a planta chegará à altura de 3
metros
no
600°.
dia
𝑑
(lê-se:
sexcentésimo
dia).
Utilizando
𝑐 = 2 , podemos confirmar esse valor, atribuindo o valor 300 à variável c, assim:
300 =
𝑑
2
 𝑑 = 300 . 2 = 600
a
lei
Página |8
1.3.3 Função constante – função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑏, em que a = 0.
Figura 3 – Exemplos de função constante
Exemplos:

𝑓(𝑥) = 2 (𝑎 = 0; 𝑏 = 2)

𝑔(𝑥) = − 3 (𝑎 = 0; 𝑏 = − 3)
5
5
A figura 3 mostra a representação gráfica desses
exemplos.
Esse tipo de função é
interessante! Por mais que se
mude o valor de x, o valor de y
sempre acaba sendo igual a 𝑏,
𝑏 ∈ ℝ. O gráfico dessa função
é uma reta horizontal que
corta o eixo y no ponto (0, 𝑏).
Exemplo resolvido:
Na pizzaria Qpizza, o rodízio custa R$ 29, 90 por pessoa, não importando se ela consome 1 fatia,
3 fatias, 9 fatias... Fernando foi a essa pizzaria.
a) Determine quanto Fernando pagou se consumiu 8 fatias de pizza.
b) Determine quanto Fernando pagou se consumiu 13 fatias de pizza.
c) Determine a lei que representa o valor a pagar (y) em função do número de fatias de pizza (x).
Solução:
a) Na pizzaria Qpizza, o valor a pagar independe do número de fatias consumidas. Sendo assim,
Fernando pagou R$ 29,90.
b) Novamente, o valor a pagar independe do número de fatias consumidas. Sendo assim,
Fernando pagou R$ 29,90.
c) O preço a pagar (y) é independente do número de fatias consumidas (x), dessa forma, a lei é
dada por y = 29,90, para x > 0.
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1.3.4 Função polinomial do primeiro grau – função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com
𝑎 ≠ 0.
Exemplos:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 (𝑎 = 2; 𝑏 = 1)

𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥 (𝑎 = −1; 𝑏 = 3 )

𝑓(𝑥) = 7 𝑥 (𝑎 = 7 ; 𝑏 = 0)
2
4
2
4
Note que as demais funções afins, com exceção da função constante, são casos
particulares da função polinomial do 1°. grau. Por esse motivo, alguns autores,
diferentemente do que adotamos nesta apostila, usam a expressão “função
polinomial do 1°. grau” como sinônimo de “função afim”, considerando a função
constante um caso à parte.
Você deve ter estudado em Física a
equação horária dos espaços 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣. 𝑡, em
que 𝑆0 e 𝑣 são constantes, sendo 𝑣 ≠ 0. Essa
equação adota o modelo da função
polinomial do 1°. grau. No entanto, sua
representação gráfica não é uma reta, e sim
uma semirreta formada por pontos da parte
não negativa da função polinomial do 1°.
grau representada pela equação.
Na fórmula
𝑆 = 𝑆0 + 𝑣. 𝑡
temos que:
𝑆 representa o
espaço final,
𝑆0 o espaço inicial,
𝑣 a velocidade e
𝑡 o tempo.
Exemplo resolvido:
Um carro está no quilômetro 5 de uma rodovia a uma velocidade constante de 90 km/h.
Determine a posição em que ele estará após 4 horas mantendo a mesma velocidade durante todo
trajeto.
P á g i n a | 10
Solução:
O enunciado afirma que:
“um carro está no quilômetro 5 de uma rodovia”

S0 = 5 km
“a uma velocidade constante de 90 km/h”

v = 90 km/ h
“determine a posição em que ele estará”

S=?
“após 4 horas”

t = 4 horas
Nas condições dadas, é possível utilizarmos a equação 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣. 𝑡.
Substituindo os dados na equação:
𝑆 = 𝑆0 + 𝑣. 𝑡
S = 5 + 90∙4
S = 5 + 360 = 365
Portanto, após 4 horas, o carro estará no quilômetro 365 da rodovia.
2. A Representação Gráfica da Função Afim
O gráfico de uma função é a união dos pontos que representam, no plano cartesiano, todos os
pares ordenados (𝑥, 𝑦) pertencentes à função, de forma que x é um elemento do domínio e
𝑦 = 𝑓(𝑥) é a imagem de x.
Figura 4 – Ponto P (𝑥, 𝑦)
Associando-se ao par (𝑥, 𝑦) o ponto P, como
representado no plano cartesiano da figura 4, dizemos que:

P é o ponto de coordenadas x e y;

o eixo x é chamado eixo das abscissas;

o eixo y é chamado eixo das ordenadas;

o número x é chamado abscissa de P;

o número y é chamado ordenada de P;

a origem do sistema é o ponto (0, 0).
No caso da função afim, a representação gráfica será sempre
uma reta não vertical.
P á g i n a | 11
Por definição, dois pontos distintos determinam uma única reta, então, para construir o gráfico de
uma função afim, basta considerar dois pares ordenados distintos pertencentes à função e traçar a
reta determinada por eles.
Para construir o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, por exemplo, precisamos encontrar dois pares
ordenados distintos que pertençam a essa função. Devemos, então, atribuir valores a x e substituílos na lei de formação da função f para encontrar os valores de y correspondentes.
Escolhendo os números -1 e 2 para atribuirmos a x e substituindo-os na lei de formação da
função, temos:
Para 𝑥 = −1:
𝑦 = 2. (−1) − 1 = −3. Logo, um ponto a se marcar é (−1, −3).
Para 𝑥 = 2:
𝑦 = 2.2 − 1 = 3. Logo, o outro ponto é (2, 3).
Marcando os pontos (2, 3) e (−1, −3), temos (Figura 5):
Figura 5 – Pontos (2, 3) e (−1, −3)
Para obtermos o gráfico que representa a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, basta traçarmos a reta que
passa pelos dois pontos marcados anteriormente, como mostra a figura 6.
P á g i n a | 12
Figura 6 – Gráfico de 𝑓
Mesmo que os
pontos escolhidos
fossem outros, a
reta traçada seria
a mesma.
1
Vamos traçar agora o gráfico da função 𝑔(𝑥) = − 2 𝑥 + 1. Escolhendo os números −2 e 2 para
atribuirmos a x e substituindo esses números lei de formação da função g, temos:
Para 𝑥 = −2:
1
𝑦 = − . (−2) + 1 = 2
2
Logo, um dos pontos a se marcar é (−2, 2).
Para 𝑥 = 2:
1
𝑦 = − .2 + 1 = 0
2
Então, o outro ponto que devemos marcar é (2, 0).
1
Marcando os pontos (−2, 2), (2, 0) e traçando a reta que representa a função 𝑔(𝑥) = − 2 𝑥 + 1,
temos (Figura 7):
Figura 7 – Gráfico de 𝑔
P á g i n a | 13
Você deve ter percebido que os pontos que marcamos possuem um comportamento que
é determinado por suas coordenadas. Se um ponto tem, por exemplo, abscissa negativa e
ordenada positiva esse ponto pertence ao 2°. quadrante. A figura 8 resume o comportamento dos
pontos em cada quadrante, considerando x e y números positivos:
Figura 8 – Pontos e quadrantes
ATENÇÃO!
Os pontos também podem se localizar sobre os eixos e na origem do plano cartesiano.
Pontos sobre o eixo x possuem ordenadas iguais a zero. Esses podem estar à direita ou à
esquerda da origem caso, respectivamente, possuam abscissa positiva ou negativa.
Pontos sobre o eixo y possuem abscissas iguais a zero. Esses podem estar acima ou
abaixo da origem caso, respectivamente, possuam ordenadas positivas ou negativas.
O ponto que representa a origem é o (0, 0).
Exemplo resolvido 1:
Sendo h uma função afim e (0, 0), (-1, -1) dois de seus pontos:
a) esboce o gráfico de h;
b) determine a lei dessa função.
P á g i n a | 14
Solução:
a) Como esta é uma função afim, seu gráfico é uma reta. Então, a partir dos dois pontos dados,
podemos traçar o gráfico (Figura 9):
Figura 9 – Gráfico de ℎ
b) A lei de formação de uma função afim é 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Assim, é preciso determinar os
valores de a e b. Substituindo o ponto (0, 0), temos:
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
0 = 𝑎. 0 + 𝑏
b=0
Substituindo o ponto (-1, -1) e b = 0 na lei, temos:
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
−1 = 𝑎. (−1) + 0
−1 = −1𝑎
𝑎=1
Logo, a lei da função é:
𝑦 = 1. 𝑥 + 0
𝑦 = 𝑥 ou ℎ(𝑥) = 𝑥
Podemos observar que a função ℎ é uma função identidade.
P á g i n a | 15
Exemplo resolvido 2:
Dado o gráfico da função f, 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (Figura 10), determine:
Figura 10 – Gráfico de 𝑓
a) sua lei;
3
b) o valor de x, para que 𝑓(𝑥) = 2.
Solução:
a) Para determinar a lei da função é necessário encontrarmos os valores de a e b. Para tanto,
substituiremos os pontos (-1, 3) e (3, 5), pertencentes ao gráfico, na lei 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
3 = 𝑎. (−1) + 𝑏
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
5 = 𝑎. 3 + 𝑏
e
3 = −𝑎 + 𝑏
5 = 3𝑎 + 𝑏
Com essas duas equações, formamos um sistema:
−𝑎 + 𝑏 = 3
{
3𝑎 + 𝑏 = 5
Utilizando o método da substituição e isolando b na 1.ª equação, temos:
−𝑎 + 𝑏 = 3
𝑏 =3+𝑎
Substituindo 𝑏 = 3 + 𝑎 na 2ª. equação, temos:
3𝑎 + 𝑏 = 5
4𝑎 + 3 = 5
4𝑎 = 2
3𝑎 + 3 + 𝑎 = 5
4𝑎 = 5 − 3
𝑎=4
2
simplificando
1
𝑎=2
P á g i n a | 16
Substituindo o valor de a na 1.ª equação:
1
−𝑎 + 𝑏 = 3
𝑏 =3+2
1
−2 + 𝑏 = 3
𝑏=
6+1
2
7
=2
Substituindo os valores encontrados, determinamos a lei da função:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
1
7
𝑓(𝑥) = 𝑥 +
2
2
3
3
b) Para determinarmos o valor de 𝑥, para que 𝑓(𝑥) = 2, basta substituirmos 𝑓(𝑥) por 2 na função
1
7
𝑓(𝑥) = 2 𝑥 + 2. Assim:
3
2
1
7
2
2
= 𝑥+
1
3 7
𝑥= −
2
2 2
1
4
𝑥=−
2
2
1
𝑥 = −2
2
𝑥=
−2
= (−2). 2 = −4
1
2
Exemplo resolvido 3:
Sabendo que o ponto (0, -2) pertence à função afim 𝑔, cujo gráfico é representado na figura 11,
determine a lei da função.
Figura 11 – Gráfico de 𝑔
Solução:
É importante notar que o gráfico da figura 11 representa uma função constante. Sendo assim,
independentemente do valor atribuído a x o valor de y sempre será o mesmo. Se o ponto (0, -2)
pertence a esse gráfico, podemos dizer que o valor de y sempre será -2. Escrevendo a lei da função:
𝑦 = −2 ou 𝑔(𝑥) = −2.
P á g i n a | 17
1. Nos itens abaixo, identifique as funções afins e, destas, determine os valores dos parâmetros
𝑎 e 𝑏.
d) 𝑗(𝑥) = |𝑥 + 1|
a) 𝑓(𝑥) = 7𝜋
1
b) 𝑔(𝑥) = − 4 𝑥
e) 𝑙(𝑥) = −2 + √3𝑥
c) 𝑖(𝑥) = 2 − 3𝑥²
f) ℎ(𝑥) = 𝑥−1
√3
𝑥
2. Dada a função afim 𝑙, definida por 𝑙(𝑥) = 2 − 3, determine o valor de
𝑙(4)−𝑙(16)
𝑙(5)
.
3. Em cada item, determine a lei de formação da função afim, considerando as informações
dadas:
a)
b)
c) 𝑓(9) = 9 e 𝑓(0) = −9
4
4
d) g(44) = √7 e g(-31) = √7
4. Dada a função 𝑣(𝑥) = (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑞 + 𝑝), em que 𝑝 e 𝑞 são números reais, determine as
condições para que:
a) a função seja uma função identidade.
b) a função seja uma função linear.
c) a função seja uma função constante.
d) a função seja polinomial do 1°. grau.
P á g i n a | 18
5. Durante um festival de hot dog, a barraquinha do seu João decidiu fazer a seguinte
promoção: quantos hot dogs você puder consumir por R$ 12,00. Sendo assim, se alguém
consumisse 3 hot dogs pagaria R$ 12,00; se consumisse 5 hot dogs pagaria R$ 12,00 e,
mesmo que comesse apenas 1 hot dog, também pagaria R$ 12,00. Sabendo que todos os
pontos da equação que determina essa situação pertencem a uma função afim, determine a
lei de formação dessa função, e identifique a que caso particular ela pertence.
6. Represente graficamente as funções afins abaixo:
a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2
3
b) 𝑔(𝑝) = − 5 𝑝 − 3
2
c) 𝑗(𝑡) = − 5 𝑡
3
d) 𝑠(𝑣) = 7
7. Dado que o ponto (0, 5) pertence a uma função afim cujo parâmetro 𝑎 vale -2:
a) determine a lei dessa função;
b) esboce o gráfico que representa essa função.
𝑥
8. Qual das figuras abaixo mostra a representação gráfica das funções 𝑓(𝑥) = − 2 e
1
𝑔(𝑥) = − 2, simultaneamente?
a)
b)
𝑓
𝑔
𝑔
gg
g
fff
g
P á g i n a | 19
c)
d)
𝑔
𝑔
9. O preço unitário 𝑦, em real, de um produto diminui de
acordo com a quantidade 𝑥 de unidades compradas. Os
pontos (𝑥, 𝑦), para 1 ≤ 𝑥 ≤ 50, pertencem à reta
representada ao lado. Comprando–se 35 unidades, qual
será o preço unitário desse produto?
10. Dado o gráfico ao lado, determine:
a) a lei da função representada;
b) o valor de 𝑥, tal que 𝑔(𝑥) = −10;
c) 𝑔(6).
𝑔
P á g i n a | 20
11. (UFF – 2009; adaptada)
Embora não compreendam plenamente as bases físicas da vida, os cientistas são capazes de
fazer previsões surpreendentes. Freeman J. Dyson, por exemplo, concluiu que a vida eterna é
de fato possível. Afirma que, no entanto, para que tal fato se concretize o organismo inteligente
precisaria reduzir a sua temperatura interna e a sua velocidade de processamento de
informações. Considerando-se v a velocidade cognitiva (em pensamentos por segundo) e T a
temperatura do organismo (em graus Kelvin), Dyson explicitou a relação entre as variáveis
𝑥 = log10 𝑇 e 𝑦 = log10 𝑉 por meio do gráfico abaixo:
Adaptado de O destino da Vida, Scientific American Brasil, n. 19, dez. 2003.
Sabendo-se que o gráfico da figura está contido em uma reta que passa pelos pontos
5 
A   , 0  e 𝐵 = (−15, −17), determine a equação que descreve a
2 
relação entre x e y.
12. (PUC – RS; adaptada.) Um determinado tipo de óleo foi
aquecido a partir de 0º C até atingir 60º C e obteve-se o gráfico ao
lado, da temperatura T em função do tempo t.
Determine o valor de T(3).
P á g i n a | 21
1. item a  a = 0 e b = 7𝜋
item b  a =
−1
4
eb=0
item e  a =√3 e b = - 2
𝑙(4)−𝑙(16)
2.
𝑙(5)
=
−1−5
−1
2
= 12
3. a) 𝑦 = −2𝑥 − 4
b) 𝑦 = 𝑥 − 2
c) 𝑦 = 2𝑥 − 9
4
d) 𝑦 = √7
4. a) p = -1 e q = 1
b) p = - q
c) p = -2
d) p ≠ -2
5. A equação que representa essa situação é 𝑦 = 12, para x > 0. A função afim que contém os
pontos dessa equação é a função constante 𝑦 = 12.
6. a)
P á g i n a | 22
b)
c)
d)
P á g i n a | 23
7. a) y = -2x + 5
b)
8. item a
9. 70 reais
𝑥
10. a) 𝑔(𝑥) = − 2 − 3
b) 𝑥 = 14
c) 𝑔(6) = −6
11. 𝑦 =
34
35
𝑥−
17
7
12. 𝑇(3) = 9
Referência
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino
Médio. 10. ed., v.1. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática: Rio
de Janeiro, 2012.