Superior de Tecnologia em Sistemas para Internet

CENTRO UNIVERSITÁRIO CATÓLICO SALESIANO AUXILIUM
PORTARIA 2.701 DE 29/07/5 – DOU 02/08/2005
CURSO: Superior de Tecnologia em Sistemas para Internet
Disciplina: Matemática
Professor: Marcos José Ardenghi
SUMÁRIO
1RAZÃO E PROPORÇÃO
1.1- Razão
1.2- Proporção
1.2.1- Propriedade fundamental das proporções
1.2.2- Propriedades das proporções
1.3- Grandezas
1.3.1- Grandezas diretamente proporcionais
1.3.2- Grandezas inversamente proporcionais
1.4- Regra de três simples
1.5- Regra de três composta
22.12.22.32.4-
PORCENTAGEM
Introdução
Conceitos básicos de Matemática Financeira
Juros simples
Juros compostos
33.13.23.3-
SISTEMAS LINEARES
Resolução de sistemas
Sistemas escalonados
Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções
44.14.24.34.4-
CONJUNTOS
Notação
Relações entre conjuntos
Operações com conjuntos
Aplicações
55.15.25.35.4-
FUNÇÕES
A idéia de função no cotidiano
Função polinomial do 1º grau ou função Afim
Função polinomial do 2º grau ou função Quadrática
Função Exponencial
6LIMITE
6.1- Noções básicas
7DERIVADAS
7.1- Noções básicas
8INTEGRAL
8.1- Noções básicas
Referências Básicas
FLEMMING, Diva Maria; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração.
São Paulo: Makron Books do Brasil, 1992..
MURAKAMI, Carlos; IEZZI, Gelson Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, funções. São
Paulo: Atual, 2004.
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática para
os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. V. 1, 5. São Paulo: Atlas, 1999.
1
REVISÃO: Assuntos básicos
Equação: denomina-se equação toda sentença matemática aberta expressa por uma
igualdade. É uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às
incógnitas (quantidade desconhecida).
Exemplos:
a) x – 5 = 3 só é verdade para x = 8.
b) x + y = 5 é verdade para muitos valores de x e y, como x =1 e y = 4; x = 0 e y = 5;
x = – 10 e y = 15.
Resolução de equações do 1º grau com uma incógnita: para resolver uma equação do 1º
grau devemos isolar no primeiro membro a incógnita e no segundo membro os termos que não
contenham a incógnita efetuando a operação inversa.
Exemplos:
a) x – 5 = 3
x=3+5
x=8
b) 2x + 3 = 5
c)
x
=2
5
d) –3x = 12
2x = 5 – 3
2x = 2
x = 5.2
x = 10
–3x = – 12 .(–1)
x−2
x −3
1
+
=
3
2
6
14
x=
5
e)
x=
3x = – 12
2
2
x=1
x = – 12
4
x=–3
2( x − 2) + 3( x − 3)
1
=
2x – 4 + 3x – 9 = 1 5x = 1 + 4 + 9
6
6
Exercícios
1) Resolva as equações do 1º grau:
a) 5(x – 2) = 4x + 6
b) – 4(4 – x ) = 2(x – 1)
c) 2x = – 6
d) – 3x + 1 = – 8
e) 2(x + 1) = 2
f) – 3(x + 2) = – 6
g) 0,1(x + 3) – 0,5x = 0,7
h) 0,4(x +3) – 0,2x = 4
i) 0,3(y –1) + 0,4(y – 2) = 7
j) 5x – 3x = 3(x – 1) + 2x
2) Resolva as seguintes equações do 1º grau:
a)
b)
c)
d)
e)
x −1 x
1
+
=
4
3
6
x −1 5
x +1
+
=
3
6
2
2x + 1
x
x −1
+
=
6
3
4
2x + 5 1
4
=
+
x −3
3
x −3
2y
5 + 2y
–
=1
5
3
3) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = 50x – 2000, em que x é a quantidade
mensal vendida de seu produto. Qual a quantidade que deve ser vendida mensalmente para
que o lucro mensal seja de R$5.000,00?
2
4) A soma de dois números inteiros consecutivos é 87. Achar esses números.
5) A diferença entre dois números é igual a 60. Achar esses números sabendo que um deles é
igual a um terço do outro.
6) Pedro e Antonio possuem juntos R$4.525,00. Antonio possui R$875,00 mais que Pedro.
Quanto possui cada um?
1- RAZÃO E PROPORÇÃO
1.1- Razão
Denominamos razão entre dois números a e b (b diferente de zero) o
quociente
a
a
ou a:b. (lê-se "a está para b" ou "a para b"). Na razão a:b ou , o número a é
b
b
denominado antecedente e o número b é denominado consequente.
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". São diversas as situações em
que utilizamos o conceito de razão.
Exemplo:
Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos
aprovados nesse concurso:
Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.
Exemplo:
são razões inversas, pois
.
Razões entre grandezas da mesma espécie
Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números
que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
Exemplo:
Calcular a razão entre a altura de duas pessoas, sabendo que a primeira possui uma altura h1=
1,20m e a segunda possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:
Razões entre grandezas de espécies diferentes
Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o
quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação
que relaciona as grandezas envolvidas.
Exemplo:
Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8
litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que
significa essa razão?
Solução:
Razão =
Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.
3
1.2- Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam
uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
a c
=
b d
ou a:b=c:d
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
b e c os meios da proporção.
a e d os extremos da proporção.
1.2.1- Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Exemplos:
1- Determine o valor de x na proporção:
a)
5 15
=
8 x
5.x = 8.15
5.x = 120
x = 24
Logo, o valor de x é 24.
b)
5 . (x – 3) = 4 . (2x+1)
5x – 15 = 8x + 4
5x – 8x = 4 + 15
–3x = 19
3x = –19
x= –
19
3
2- Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
5.x = 8.35
5x = 280
Logo, o valor de x é 56.
x = 56
1.2.2- Propriedades das proporções
1ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a
soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
a c
=
b d
⇔
a+b c+d
=
b
d
ou
a+b c+d
=
a
c
4
Exemplo:
Determine x e y na proporção
x 3
= , sabendo que x+ y = 84.
y 4
Assim:
x + y = 84 ⇒ x = 84 – y ⇒
Logo, x = 36 e y = 48.
⇒ x = 36.
x = 84 – 48
2ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim
como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
a c
=
b d
⇔
a−b c−d
=
b
d
ou
a−b c−d
=
a
c
Exemplo:
Sabendo-se que x – y = 18, determine x e y na proporção
x 5
= .
y 2
Pela 2ª propriedade temos que:
x – y = 18 ⇒ x = 18 + y ⇒ x = 18+12
Logo, x = 30 e y = 12.
⇒ x = 30.
3ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como
cada antecedente está para o seu consequente.
a c
=
b d
⇔
a+c a c
= =
b+d b d
4ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim
como cada antecedente está para o seu consequente.
a c
=
b d
⇔
a−c a c
= =
b−d b d
5ª propriedade:
Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim
como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões.
5
1.3- Grandezas
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas
podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a
capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
1.3.1- Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela a seguir:
Tempo (minutos)
Produção (Kg)
5
100
10
200
15
300
20
400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis
dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
5 min ----> 100Kg
10 min ----> 200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5 min ----> 100Kg
15 min ----> 300Kg
Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a
razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª.
1.3.2- Grandezas inversamente proporcionais
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em
cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a
tabela abaixo:
Velocidade (m/s)
Tempo (s)
5
200
8
125
10
100
16
62,5
Velocidade (m/s)
Tempo (s)
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis
dependentes. Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5 m/s ----> 200s
10 m/s ----> 100s
Quando quadruplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.
5 m/s ----> 200s
20 m/s ----> 50s
Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando
a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os
valores correspondentes da 2ª.
1.4- Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam
quatro valores de uma proporção dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
6
Exemplos:
1- Com uma área de absorção de raios solares de 1,2 m2, uma lancha com motor movido a
energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para
1,5 m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2)
1,2
1,5
Energia (Wh)
400
x
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso
em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de
480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h)
400
480
Tempo (h)
3
x
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
1.5- Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta
ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1- Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões
serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e,
em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas
Caminhões
Volume
8
20
160
5
x
125
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna) e, em
seguida, comparamos as outras grandezas com a que contém o x, colocando a seta na mesma
direção se forem diretamente proporcionais e, no sentido contrário, se forem inversamente
proporcionais..
7
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de
acordo com os sentidos das setas.
20 5 160
= .
x 8 125
⇒
x=
20.8.125
5.160
⇒
x = 25 caminhões
Logo, serão necessários 25 caminhões.
Exercícios
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para
encher 2 piscinas? R: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for
aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
R: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de
300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para
construir um muro de 225m? R: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma
velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa
carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? R: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura
em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam
produzidos em 25 minutos? R: 2025 metros.
6) Dividir 360 em partes proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6. R: 48, 72, 96, 144
7) Luis, Renata e Tiago transportaram de um lugar para outro 156 latas de tinta. Sabendo-se
que Luis transportou 3 latas de cada vez, Renata, 4, Tiago, 6, pergunta-se: quantas latas
transportou cada um? R: 36, 48 e 72
8) Cinco máquinas funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produzem 9000 parafusos.
Em quantos dias 6 dessas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzirão 4800 parafusos?
R: 10 dias
9) Três cidades vizinhas construíram uma ponte no valor de R$4.600.000,00. Sabendo-se que
a despesa deve ser repartida em partes inversamente proporcionais às distâncias de cada uma
à ponte, pergunta-se: quanto coube a cada cidade, se as distâncias são de 3 Km, 9 Km e 15
Km? R: três milhões, um milhão, seiscentos mil, respectivamente.
10) Pelo transporte de 350 Kg de mercadoria a 20 Km de distância, certa empresa cobrou
R$140,00. Quanto cobrará para transportar 9000 Kg, a 300 Km de distância, se, devido ao
longo percurso, essa empresa fizer o abatimento de 2/9? R: R$42.000,00
11) Reparta a quantia de R$945,00 em partes inversamente proporcionais aos números 6 e 8.
R: R$540,00 e R$405,00, respectivamente.
12) Uma pessoa dando 36 passos por minuto percorre em 30 minutos certa distância. Que
tempo essa pessoa levará para percorrer essa mesma distância se der 45 passos por minuto?
R:24 minutos.
13) Fiz uma viagem a uma velocidade média de 80 Km/h, em 4 dias. Em quanto tempo (dado
em dias, horas e minutos) eu faria essa viagem se minha velocidade média fosse 100 Km/h? R:
3h12min
14) Quarenta operários, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia, conseguem terminar um
serviço. Quantos operários farão o mesmo serviço em 12 dias, se eles trabalharem 8 horas por
dia? R: 10 operários.
8
15) Em 5 dias, funcionando 15 horas por dia, uma máquina produz 2000 peças. Quantas peças
ela produz em 8 dias, funcionando 12 horas por dia? R: 2560 peças.
16) Dois pintores executaram um serviço cobrando um total de R$1.600,00. O serviço deveria
ter sido dividido igualmente, porém um deles trabalhou 6 horas, machucou-se e não mais
retornou ao trabalho. O outro terminou o trabalho em 10 horas e cada um recebeu o valor
proporcional ao número de horas trabalhadas. Quanto recebeu cada pintor? R: R$600,00 e
R$1000,00, respectivamente.
2- PORCENTAGEM
2.1- Introdução
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$100 houve um
acréscimo de R$15,00.
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em
cada R$100,00 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal.
Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplos:
Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
9
Exercícios:
17) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em
gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? R: 6
18) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa
percentual de lucro obtida? R: 20%
19) Sobre uma compra de R$3.700,00 foi concedido um abatimento de R$740,00. Qual é a
taxa percentual do desconto sobre o preço de compra? R: 20%
20) Em um concurso estão inscritos 275 candidatos, dos quais apenas 176 são homens. Qual
é a taxa percentual de mulheres inscritas? R: 36%
21) Um comerciante vendeu uma certa mercadoria por R$2.775,00, correspondente a 75% do
preço de tabela. Qual é o preço de tabela dessa mercadoria? R: R$3.700,00
22) Uma certa peça de um carro, cujo preço era de R$17,50, foi vendida com um acréscimo de
20% sobre esse preço. Por quanto foi vendida essa peça? R: R$21,00
23) Um relógio avaliado em R$850,00 foi vendido com um desconto de 10% sobre esse preço.
Qual foi o preço de venda? R: R$765,00
24) Uma jóia cujo preço de custo era R$7.200,00 foi vendida por R$8.640,00. De quantos por
cento foi o lucro sobre o preço de custo? R: 20%
25) Uma certa mercadoria é vendida com o prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Sendo o
prejuízo de R$140,00, calcular o preço de custo. R: R$840,00
26) Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de
venda. Determine o lucro sobre o preço de custo. R: 100%
27) Uma certa mercadoria custa R$450,00 e é vendida com os aumentos sucessivos de 18% e
20%. Qual o último preço de venda? R: R$637,20.
28) Uma geladeira, cujo preço à vista é de R$680,00, tem um acréscimo de 5% no seu preço
se for paga em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação? R: R$238,00
29) O salário de um trabalhador era de R$840,00 e passou a ser de R$966,00. Qual foi a
porcentagem de aumento? R: 15%
30) Um televisor cujo preço é R$685,00 está sendo vendido, em uma promoção, com desconto
de 12%. Por quanto ele está sendo vendido? R: 602,80
2.2- Conceitos Básicos de Matemática Financeira
CAPITAL: é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido
como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
JUROS: representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os
juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial
emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início
de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao
capital inicial e passa a render juros também.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas:
compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as
10
aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda
fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações
de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado ou aplicado,
para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em
seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual
dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês)
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
2.3- Juros Simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o
valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal
ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os
juros. Transformando em fórmula temos:
J=C.i.n,
onde: J = juros; C = capital (ou Valor Principal); i = taxa de juros; n = número de períodos
Exemplo:
Temos uma dívida de R$1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de
juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 . 0.08 . 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Capital + Juros
Montante = Capital + (Capital . taxa de juros . número de períodos )
M = C.(1 + i.n)
Exemplo:
Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145
dias.
Solução:
M = C.( 1 + i.n )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja,
anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano
comercial possui 360 dias.
Exercícios
31) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. R: R$234,00
32) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a.,
durante 125 dias. R: R$5.000,00
33) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75
dias?
R: 116.666,67
34) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para
dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? R: 8 meses
35) Um capital de R$800,00 aplicado a juros simples com um taxa de 2% ao mês, resultou no
montante de R$880,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação? R: 5 meses.
11
2.4- Juros Compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais
útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados
ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M = C.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C . (1 + i) . (1 + i) = M.(1 + i)2
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C . (1 + i)2 . (1 + i) = M.(1 + i)3
Generalizando para n meses, obtemos a fórmula: M = C.(1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de
juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J=M–C
Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 6
meses, à taxa de 3,5% ao mês. R: 7,375,53
Exercícios:
36) Um trabalhador resolveu aplicar R$2.000,00 em uma operação de crédito no banco em que
tem conta. Orientado pelo gerente, fez um investimento por um ano. A instituição pagará juros
de 1% ao mês, sob o regime de juros compostos. A data do depósito é a chamada data-base
da operação. A partir da data-base, o trabalhador não efetuará nenhum depósito. Calcule o
saldo dessa conta após:
a) um mês R: R$2.020,00
b) dois meses R: R$2.040,20
c) seis meses R: R$2.123,04
d) um ano R: R$2.253,65
37) Em um mês cuja inflação foi de 1,5%, Carlota investiu seu capital a juros compostos de 3%
ao mês. Responda e justifique:
a) podemos afirmar que o poder de compra de Carlota aumentou 3%?
b) como podemos medir o aumento do poder de compra de Carlota?
38) Determine o montante a ser pago por José ao contrair um empréstimo de R$10.000,00,
durante três meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. R: R$13.310,00
39) Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores pagando uma entrada de R$200,00 mais uma
parcela de R$450,00 dois meses após a compra. Sabendo-se que o preço à vista do aparelho
é de R$600,00, qual foi a taxa mensal de juros simples do financiamento? R: 6,25% ao mês
40) Um capital de R$1.500,00 foi aplicado numa caderneta de poupança, que rende juro
composto de 1,2% ao mês. Qual o saldo (montante) dessa caderneta de poupança após 6
meses de aplicação, sabendo-se que durante esse período, não houve nenhuma outra
movimentação na conta?
R: R$1.611,29
41) Noemi tem duas opções de pagamento na compra de um notebook de boa qualidade:
a) 4 prestações mensais de R$1.500,00;
b) 9 prestações mensais de R$700,00.
Nos dois casos, a primeira prestação é paga no momento da compra. Sabendo que Noemi
consegue fazer seu dinheiro render 3% ao mês, qual a melhor opção para ela?
42) Marta foi a uma loja comprar um computador cujo preço à vista era R$1.950,00. Como todo
o seu dinheiro estava aplicado numa caderneta de poupança, o dono da loja faz a seguinte
proposta: ela levaria hoje o computador e pagaria somente daqui a 3 meses, com um pequeno
acréscimo de R$180,00.
a) qual a taxa de juro mensal que a loja está cobrando? R: 2,98% ao mês
12
b) considerando que a poupança está pagando juros de 0,7% ao mês, qual é a melhor
alternativa para Marta: pagar o computador daqui a três meses, com acréscimo, ou, retirar
R$1.950,00 da poupança e pagar o preço à vista? R: pagar à vista
43) Na hora de pagar uma compra no valor de R$400,00, Rogério descobriu que a loja oferecia
duas opções de pagamento:
a) comprar a vista com 4% de desconto;
b) comprar em quatro vezes sem entrada (0 + 4).
Qual é a melhor opção para Rogério, do ponto de vista financeiro, considerando que ele pode
conseguir juros de 2,5% ao mês se deixar o dinheiro no banco?
3. SISTEMAS LINEARES
Considere o seguinte problema:
Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos.
Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?
Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:
x + y = 25
(total de arremessos certo)
2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)
Essas equações contêm um sistema de equações.
Costuma-se indicar o sistema usando chave.
O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado
solução do sistema.
3.1- Resolução de Sistemas
A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar
um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.
Estudaremos a seguir alguns métodos:
Método de substituição
Solução: determinamos o valor de x na 1ª equação.
x=4–y
Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 – y) – 3y = 3
Resolvemos a equação formada.
– 5y = – 5 => Multiplicamos por – 1
5y = 5
⇒ y=1
Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.
x +1= 4
x= 4–1
x=3
A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}
Método da adição
Observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.
13
Resolva o sistema abaixo:
Solução
Adicionamos membro a membro as equações:
2x = 16
x=8
Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:
8 + y = 10
y = 10 – 8
y=2
A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
V = {(8, 2)}
Exercícios
44) Resolva os sistemas abaixo:
 x + y = −1
− x + y = 3
a) 
R: x = –2 e y = 1
 x − 3 y = −14
2 x + y = 7
b) 
R: x = 1 e y = 5
45) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas; outras por
apenas 2, num total de 38 fregueses. Qual o número de mesas ocupadas por apenas 2
pessoas? R: 5 mesas
46) Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um videocassete e um aparelho de
som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o videocassete custam juntos R$1200,00: o
videocassete e o aparelho de som custam juntos R$1100,00; o televisor e o aparelho de som
custam juntos R$1500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos
anunciados? R: R$1.900,00
47) Quantos coelhos e galinhas há num viveiro se são 9 cabeças e 24 pernas? R: 3 coelhos e
6 galinhas.
48) Um copo cheio de água pesa 530 gramas. Após ser retirada metade da água, o peso passa
a ser de 355 gramas. Determine quanto pesa o copo. R: 180 gramas
49) Se um comerciante misturar 2 Kg de café do tipo I com 3 Kg de café do tipo II, obterá um
tipo de café cujo preço é R$4,80 0 quilograma. Mas se misturar 3 Kg de café do tipo I com 2 Kg
de café do tipo II, a nova mistura custará R$5,20 o Kg. Determine os preços do Kg de café de
cada mistura. R: R$1,20 e R$0,80, respectivamente.
3.2- Sistemas escalonados
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada
equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não
nulo aumenta de equação para equação.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de
zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª
incógnita das demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:
14
I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m = n)
Exemplo 1:
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as
propriedades dos sistemas equivalentes:
Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de
x seja igual a 1:
Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º
equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º
equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º
equação:
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
–2z = –6
z=3
Substituindo z = 3 em (II):
–7y – 3(3) = –2
–7y – 9 = –2
y = –1
Substituindo z = 3 e y = –1 em (I):
x + 2(–1) + 3 = 3
x=2
Então, x = 2, y = –1 e z = 3
3.3- Classificação de um sistema quanto ao número de soluções
Resolvendo o sistema, encontramos uma única solução: o par ordenado (3, 5). Assim, dizemos
que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
No caso do sistema, verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5,
3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem
solução) e indeterminado (infinitas soluções).
15
Para, verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto,
o sistema é impossível (não tem solução).
Resumindo, um sistema linear pode ser:
a) possível e determinado (solução única);
b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
c) impossível (não tem solução).
Exercícios
50) Resolva os sistemas lineares abaixo:
2 x − y + z = 2

a) 2 y − z = 3
z = 5

R: (1/2, 4, 5)
x + 2 y = 5
2 x − 6 y = 0
b) 
R: (3, 1)
x + y + z = 7

51) Resolva o sistema linear usando escalonamento 3 x − 4 y − z = 8
R: (3, -1, 5)
− 4 x + 8 y + 3z = −5

x + y − 2z = 3

52) Escalone e resolva o sistema 3 x − y + z = 5
2 x + 3 y − z = 7

53)
Resolva
o
sistema
x + 3y – 2z = – 1
4y + 5z = 19
2z = 6
R: (2, 1, 0)
R: (2, 1, 3)
54) Um ourives cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de ouro, com 3 g cada; de prata, com
5 g cada; e de bronze com 7 g cada, ao preço unitário de R$ 30,00, R$ 10,00 e R$ 5,00,
respectivamente. Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas, com massa total de 87 g,
determine o número de medalhas de ouro confeccionadas. R: 2 ouros, 8 bronzes, 5 pratas
55) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200
pessoas, entre sócios e não-sócios. No total o valor arrecadado foi R$1.400,00 e todas as
pessoas pagaram ingresso. O não-sócio pagou R$10,00 e o sócio pagou metade desse valor,
determine o número de sócios e não-sócios que estavam presentes. R: 120 sócios e 80 não
sócios
4- CONJUNTOS
4.1- Notação
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo:
- conjunto dos estados da região Sudeste: S = {São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais,
Espírito Santo}
- conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um
determinado conjunto A. Quando for dizemos que a pertence e escrevemos a ∈ A. Caso
contrário, dizemos que a não pertence a A e escrevemos a ∉ A.
Nos exemplos acima temos: Minas Gerais ∈ S e Paraná ∉ S.
Propriedades, condições e conjuntos
Consideremos a propriedade p:
16
p: x é um número natural ímpar.
Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto I = {1, 3, 5, 7, 9, ...}
Assim, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou que x ∈ I.
Consideremos agora a condição c:
c: x é um número inteiro que satisfaz a condição x 2 – 4 = 0.
Essa condição pode ser expressa pelo conjunto A = {– 2, 2}.
Nesse casão, também é indiferente dizer que x possui a propriedade c ou que x ∈ A.
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo: Se
A = {conjuntos dos números pares} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}, então A = B.
Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A ≠ B.
Conjunto vazio, unitário e universo
Um conjunto interessante é o conjunto vazio, cuja notação é φ . Ele também pode ser
representado por { }.
Outro conjunto interessante é o conjunto unitário, formado por um único elemento. Por
exemplo:
{números naturais pares e primos} = {2}, pois o único número natural par e primo é o 2.
Um conjunto importante é o conjunto universo, cuja notação é U. É o conjunto formado
de todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto. Fixado o
universo U, todos os elementos pertencem a U e todos os conjuntos são partes de U.
Subconjuntos e a relação de inclusão
Consideremos dois conjuntos, A e B. Se todos os elementos de A forem também
elementos de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda,
que A é parte de B. Indicamos esse fato por AB ⊂ B.
A
U
Se A não for subconjunto de B, escrevemos A ⊄ B.
Exemplo:
Considerando P o conjunto dos números naturais pares e N o conjunto dos números
naturais, temos: P = {0, 2, 4, 6, 8 10, ...} e N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Neste caso P ⊂ N, pois todos os elementos de P pertencem a N.
4.2- Relações entre conjuntos
Relação de inclusão
A relação A ⊂ B chama-se relação de inclusão. São casos particulares de inclusão:
a) A ⊂ A, pois é claro que qualquer elemento de A pertence a A.
b) φ ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A, pois, se admitíssemos que φ ⊄ A, teríamos um
elemento x tal que x ∈ φ e x ∉ φ . Mas x ∈ φ é impossível. Logo, φ ⊂ A.
Complementar de um conjunto:
Dado o universo U = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e o conjunto A = {1, 3, 5, 7}, dizemos que
o complementar de A em relação a U é {0, 2, 4, 6, 8, 9}, ou seja, é o conjunto formado pelos
elementos de U que não pertencem a A.
De um modo geral, dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se
complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não
pertencem a A; indica-se CUA ou A C ou A .
Logo, A C = { x | x ∈ U e x ∉ A}
Propriedades:
17
1ª) (A C ) C = A para todo A ⊂ U (o complementar do complementar de um conjunto A é o
próprio conjunto A).
2ª) Se A ⊂ B então BC ⊂ AC (se um conjunto está contido em outro, seu complementar
contém o complementar desse outro).
Exercícios
56) Escreva o conjunto expresso pela propriedade:
a) x é um número natural par;
b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do que 31;
c) x é um quadrilátero que possui quatro ângulos retos
57) Escreva uma propriedade que define o conjunto:
a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
b) {0, 2, 4, 6}.
58) Escreva uma condição que define o conjunto:
a) {-3, 3};
b) {5}
59) Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário considerando o universo dos números
naturais:
a) A = { x | x é menor do que 1}
b) B = { x | x é natural maior que 10 e menor do que
11}
c) C = { x | x é par maior do que 3 e menor do que 5}
60) Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, },
classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) A ⊂ B
e) C ⊄ A
i) B ⊄ A
b) C ⊂ A
f) A ⊂ D
j) D ⊃ A
c) B ⊂ D
g) B ⊂ C
k) φ ⊂ A
d) D ⊂ B
h) B ⊂ B
l) C ⊃ D
61) Considere que:
A é o conjunto dos naturais ímpares menores do que 10; B é o conjunto dos dez primeiros
números naturais; C é o conjunto dos primeiros números primos menores do que 9;
Use os símbolos ⊂ ou ⊄ e relacione esse conjuntos na ordem dada:
a) A e B
b) C e A
c) C e B
d) A e C.
4.3- Operações com conjuntos
Diferença
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 6, 8, 9} e B = {1, 4, 9, 90}, podemos escrever o
conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B. Assim C
= {0, 2, 3, 6, 8}.
O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A – B (lê-se: A menos
B).
De modo geral, escrevemos:
A – B = { x | x ∈ A e x ∉ B}
Observação: Se B ⊂ A, a diferença A – B é também chamada de complementar de B em
relação a A e é indicado por C BA .
Por exemplo, se A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {4, 8}, então A – B = {0, 2, 6} = C BA .
Intersecção
Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, u, b}, podemos escrever que o conjunto
C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos
comuns a A e B. Assim, C = {a, e, u}.
O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por A I B (lê-se: A
intersecção B, ou, simplesmente, A inter B).
De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a intersecção A I B é o conjunto formado
pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B:
A I B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
18
Por exemplo, se A = {2, 4, 6} e B = {2, 3, 4, 5}, então A I B = {2, 4}.
Observações:
1ª) x ∈ A I B quando as duas afirmações, x ∈ A e x ∈ B, são simultaneamente verdadeiras.
2ª) Se A I B = φ , então os conjuntos A e B são chamados disjuntos.
Reunião ou união
Dados os conjuntos A = {0, 10, 20, 30, 50} e B = {0, 30, 40, 50, 60}, podemos escrever o
conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. Assim,
C = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60} é chamado reunião ou união de A e B e é indicado por A U B (lêse: A reunião B ou A união B).
A U B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Observação: Este ”ou” da reunião não é o “ou” de exclusão da linguagem usual “vamos ao
cinema ou ao teatro”. Ele significa: se x∈ A U B, então x ∈ A ou x ∈ B ou x pertence a ambos,
isto é, x ∈ A U B quando pelo menos uma das afirmações, x ∈ A ou x ∈ B, é verdadeira.
Número de elementos da união
Consideramos A o conjunto dos números ímpares de 0 a 10, e B o conjunto dos
números primos de 0 a 10. Então, se n(A) representa o número de elementos de A, temos:
A = {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A) = 5
B = {2, 3, 5, 7} ⇒ n(B) = 4
A I B = {3, 5, 7} ≠ B ⇒ n(A I B) = 3
A U B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A U B) = 6
Observe que n(A U B) ≠ n(A) + n(B), pois há três elementos comuns a ambos os
conjuntos [n(A I B) = 3]. Assim:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A I B)
6
= 5 + 4 –
3
É possível provar que, de modo geral, quando A e B são conjuntos finitos, tem-se:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A I B), quando A I B ≠ φ .
No caso particular de A I B = φ , temos:
n(A U B) = n(A) + n(B), pois n(A I B) = 0.
Exercícios
62) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g} e B = {b, d, g, h, i}, determine:
a) A – B
b) B – A
63) Dados os conjuntos A = {x | x é natural ímpar menor do que 10}, B = {x | x é par entre 3 e
11} e
C = {x | x é um número natural menor do que 5}, determine:
a) A U B
b) A U C
c) A I C
d) A I B
e) (A U B) I C
f) (A I C) U B
64) Dados os conjuntos A = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 5, 6, 9} e C {0, 3, 6, 9, 10}, determine:
a) A U B
b) A I B
c) (A I C) U B
d) (A U B) I B
65) Dados os conjuntos A = {3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7} e H = {4, 6}, determine:
a) C HA
b) (A I B) U H
c) (A – B) U (B – A)
d) (B U H) – A
66) Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique:
a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, então A U B tem 7 elementos.
b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, então A I B tem 2 elementos.
c) Se A I B = φ , A tem 5 elementos e B tem 4 elementos, então A U B tem 9 elementos.
19
4.4- Aplicações
A seguir veremos aplicações das operações vistas anteriormente.
Exemplos:
1) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem
sim ou não: Gosta de música? Gosta de esportes? Responderam sim à primeira pergunta 90
jovens; 70 responderam sim à segunda; 25 responderam sim a ambas; e 40 responderam não
a ambas. Quantos jovens foram entrevistados?
Solução:
A: conjunto dos que gostam de música ⇒ n(A) = 90
B: conjunto dos que gostam de esportes ⇒ n(B) = 70
A I B: conjunto dos que gostam de ambos ⇒ n(A I B) = 25
A – (A I B): conjunto dos que só gostam de música ⇒ 90 – 25 = 65
B – (A I B): conjunto dos que só gostam de esportes ⇒ 70 – 25 = 45
Portanto, o número de entrevistados é:
65 + 25 +45 +40 = 175 ou n(A U B) + 40 = n(A) + n(B) – n(A I B) + 40 = 90 + 70 – 25 + 40 =
175
2) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre
futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14
de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e d vôlei; 8 de basquete e de vôlei e
5 gostam das três modalidades.
a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?
b) Quantas gostam somente de futebol?
c) Quantas gostam só de basquete?
d) Quantas gostam apenas de vôlei?
e) E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?
f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?
Solução:
Vamos considerar F o conjunto dos que gostam de futebol, B dos que gostam de basquete, e V
dos que gostam de vôlei, e montar o diagrama com a distribuição das quantidades. Devemos
começar sempre com a intersecção dos três, depois com a intersecção de dois e, finalmente,
com os que gostam só de um esporte, sempre considerando os já contados.
a) 50 –(5 + 5 +3 + 4 +5 +2 +9) = 17
Dezessete pessoas não gostam de nenhum desses esportes.
b) Nove pessoas só gostam de futebol.
c) Cinco pessoas só gostam de basquete.
d) Duas pessoas só gostam de vôlei.
e) Vinte e seis pessoas não gostam nem de basquete nem de vôlei (9 que só gostam de futebol
e 17 que não gostam de nenhum dos esportes).
f) 9 + 5 +10 = 24
Vinte e quatro pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos.
Observação: No caso de três conjuntos, A, B, C, pode-se provar que a fórmula que indica o
número de elementos da união A U B U C é:
n(A U B U c) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A I B) – n(A I c) – n(B I C) + n(A I B I C)
Assim:
n(F U B U V) = 23 + 18 + 14 – 10 – 9 -8 + 5 = 33
Exercícios
67) Se A = {4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e C = {5, 6, 8}, calcule:
a) C BA
b) B – C
c) A ∩ B
d) A ∪ B ∪ C
68) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Português, 210 estudam Espanhol e 90
estudam as duas matérias. Pergunta-se:
a) quantos alunos estudam apenas Português?
b) quantos alunos estudam apenas Espanhol?
c) quantos alunos estudam Português ou Espanhol?
d) quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?
20
69) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o
jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas
foram consultadas?
70) Analisando-se as carteiras de vacinação das 82 crianças de uma creche, verificou-se que
60 receberam vacina Sabin, 40 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas.
Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas?
71) Num grupo de 198 esportistas, 80 jogam vôlei, 40 jogam vôlei e basquete, 44 jogam
basquete e futebol, 36 jogam vôlei e futebol e 22 jogam as três modalidades. Se o número de
pessoas que praticam basquete é igual ao número de pessoas que praticam futebol, determine
o número de esportistas que jogam basquete ou futebol e não jogam vôlei.
72) Numa pesquisa sobre uma margarina, 110 entrevistados acharam que a margarina não era
cremosa e 65 acharam que a margarina era muito salgada. Sabendo que foram entrevistados
150 pessoas e que nenhuma pessoa achou simultaneamente a margarina cremosa e pouco
salgada, calcule o número de pessoas que acharam que a margarina não é cremosa e é muito
salgada.
73) Foram entrevistadas cinquenta donas de casa sobre suas preferências em relação a duas
marcas A e B de sabão em pó. Os resultados da pesquisa foram precisamente:
• 21 pessoas responderam que usam a marca A;
• dez pessoas responderam que usam a marca A e a marca B;
• cinco pessoas responderam que não usam nenhuma das duas marcas.
De acordo com esses dados, quantas pessoas usam somente a marca B?
74) O departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística, analisando o
currículo de 47 candidatos, concluiu que apenas três dos candidatos nunca trabalharam em
montagem ou pintura; e que precisamente 32 candidatos já trabalharam em montagem e 29 já
trabalharam em pintura. Quantos desses candidatos já trabalharam nos dois setores?
75) Quarenta e um alunos de um colégio opinaram numa pesquisa em que eram solicitados a
responder se eram leitores de jornal ou revista. Concluiu-se exatamente que:
• 24 alunos lêem jornal; 30 alunos lêem revista; 5 alunos não lêem jornal nem revista. Quantos
alunos lêem jornal e revista?
5- FUNÇÕES
5.1- A idéia de função no cotidiano: São muitas as situações do cotidiano em que
relacionamos grandezas. Vejamos algumas.
a) Considere que em uma padaria o preço do pão francês é R$0,25. Podemos calcular o valor
a ser pago em uma compra relacionando duas grandezas: a quantidade de pães comprada
com o preço correspondente a essa quantidade. Veja a tabela:
quantidade de pães
1
2
3
5
10
n
preço (R$)
0,25 0,50 0,75 1,25 2,50
Para obter o preço a pagar multiplicamos a quantidade de pães por R$0,25. Assim, dizemos
que o preço é função da quantidade de pães.
De modo geral:
Dada as variáveis x e y, se a cada valor atribuído a x associa-se um único y, dizemos que y é função de x.
A definição matemática de função
Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios, dizemos que f é uma função de A em B (ou que y é uma
função de x) se e somente se, para cada elemento x de A, existe em correspondência um único elemento y de
21
B. Notação: f: A → B
É importante observar que:
- A notação f: A → B (lê-se “função f de A em B”) indica que a função f leva A para B, ou
que f é uma aplicação de A em B, ou ainda, que f é uma transformação de A em B.
- Se y está definido em função de x, chamamos de x variável independente e y de variável
dependente.
- Escreve-se f(x) ou simplesmente y para indicar o valor que a função f assume em x.
.x
. y=f(x)
A
B
A função f transforma x ∈ A em y ∈ B.
Exercícios
76) Tarifa: Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da seguinte forma: R$5,00 a bandeirada
mais R$1,20 por quilômetro rodado.
a) pode-se estabelecer uma função entre essas grandezas? Em caso positivo, quais seriam as
variáveis (dependente e independente) dessa função?
b) qual lei matemática definiria essa função?
77) distância: com o auxílio de um cronômetro, marcando-se o tempo em hora, verificam-se as
distâncias percorridas por um móvel. Essas distâncias, percorridas em determinados tempos,
foram registradas na tabela a seguir:
tempo (h)
Distância (km)
0,2
10
0,4
20
0,8
40
1,6
80
2
100
X
50x
a) indicar as variáveis (dependente e independente) relacionadas nessa situação.
b) expressar a lei matemática que relaciona a distância percorrida com o tempo.
c) calcular a distância quando o tempo é igual a 2,8 h.
d) calcular o tempo quando a distância é 330 km.
5.2- Função polinomial do 1º grau ou Afim
Uma função polinomial f: ℜ → ℜ chama-se função afim quando existem números
reais a e b, tal que f (x) = ax + b, para todo x∈ ℜ .
Uma função f: ℜ → ℜ chama-se função constante se é definida por f (x) = b, com
b ∈ ℜ , para todo x do domínio.
Exercício Resolvido: Verificou-se que a temperatura máxima atingida em um dia do verão
inglês foi de 86º F. Que temperatura era essa na escala Celsius?
Esse problema pede que trabalhemos com duas escalas termométricas.
Como podemos observar, 0º C corresponde a 32º F e 100º C
correspondem a 212º F. Sejam TC, a temperatura na escala Celsius
e TF a temperatura na escala Fahrenheit. Vamos construir uma
proporção relacionando as duas escalas:
Tc − 0
TF − 32
100(TF − 32)
=
⇒
TC =
⇒
100 − 0
212 − 32
180
5(TF − 32)
5
160
TC =
⇒ Tc = TF −
(lei de formação da função)
9
9
9
Para TF = 86, temos Tc = 30. Portanto, 86º F correspondem a 30º C.
Análise do gráfico:
Já vimos que zeros de uma função f são os mesmos números reais x para os quais f(x) = 0.
Dessa maneira, o zero da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b é a raiz da equação do 1º
grau
ax + b = 0.
22
Para calcular o zero, fazemos: f(x) = 0
No gráfico, o zero de uma função polinomial do 1º grau é abscissa do ponto em que a reta
intercepta o eixo x.
Exemplo:
Vamos determinar o zero da função f(x) = x – 4/3 e o ponto onde a reta intercepta o eixo x.
Para isso vamos resolver a equação: x – 4/3 = 0 ⇒ x = 4/3 (zero da função)
Logo o gráfico da função intercepta o eixo x no ponto: (4/3, 0).
Crescimento e decrescimento de uma função:
Uma função polinomial do 1º grau pode ser crescente ou decrescente, dependendo do valor do
coeficiente angular da reta correspondente.
Função crescente ( a > 0)
Função decrescente (a < 0)
Exercícios
78) Em certa cidade, a assinatura residencial de uma linha telefônica custa R$34,50, o que
inclui a cobrança dos 100 primeiros pulsos utilizados. Além disso, o consumidor paga
R$ 0,08 por cada pulso que exceder os 100 primeiros.
a) Quanto o consumidor pagaria pela sua conta, utilizando 82 pulsos em um mês? E se
utilizasse 300 pulsos?
b) Um consumidor pagou R$ 53,00 pela sua conta telefônica. Quantos pulsos esse consumidor
utilizou?
c) Escreva a lei de formação da função que representa essa situação.
d) Se em uma residência há três linhas telefônicas, qual é o valor mínimo gasto com telefone,
em um mês?
79) O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma função linear de
x, com x ≥ 0, cujo gráfico está representado abaixo:
C(x)
520
400
0
8
x (litros)
Nessas condições, o custo C de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros?
80) Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos que um avião a hélice para ir de São
Paulo até Boa Vista. O avião a jato voa numa velocidade média de 660 Km/h, enquanto o avião
a hélice voa em média a 275 Km/h. Qual é a distância entre São Paulo e Boa Vista?
23
81) Em um mesmo plano cartesiano, localize os pontos representados pelos pares ordenados.
a) A (1, 1)
b) B (–3, 5)
c) C (–2, –7)
d) D (5/2, 7/4)
e) E (0, 0)
f) F (4, –5)
g) G (8, –5)
h) H (3/2, –5/4)
82) Construa os gráficos das funções polinomiais do 1º grau abaixo, indicando os pontos em
que a reta intercepta os eixos x e y.
a) f(x) = x + 1
b) g(x) = – 2x
83) Classifique como crescente ou decrescente as funções a seguir:
a) f(x) = – 5x + 2
b) h(x) = – 3 + x/2
c) g(x) = x – ¾
84) Na época do Natal, a loja A oferece aos funcionários temporários um salário fixo de
R$240,00, mais uma comissão de 2% sobre o total vendido; já a loja B não oferece salário fixo,
mais paga 5% de comissão sobre o total vendido.
a) Para um total de vendas de R$2.000,00, qual é o salário recebido na loja A? E na loja B?
b) Escreva a lei de formação das funções correspondentes ao salário recebido em cada uma
das lojas pelo total de vendas.
c) A partir de que valor de vendas é mais vantajoso trabalhar na loja B?
5.3- Função polinomial do 2º grau ou função Quadrática
Uma função f: ℜ → ℜ é chamada de função polinomial do 2º grau ou função quadrática
quando existem números reais a, b e c, com a ≠ 0, tal que f(x) = ax2 + bx + c, para todo x ∈ ℜ .
Os zeros da função também são valores importantes para a parábola.
Já vimos que os zeros de uma função f são os números reais x para os quais temos f(x) = 0, ou
seja, os zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são as raízes reais da equação do 2º
grau ax2 + bx + c = 0.
Para determinar essas raízes, podemos utilizar a fórmula que você já conhece:
x=
−b+ ∆
, em que ∆ = b2 – 4ac
2a
No gráfico, os zeros de uma função quadrática são as abscissas dos pontos em que a parábola
intercepta o eixo x.
Exercícios
85) Determine os zeros reais da função f (x) = x4 – 3x2 – 4
86) Determine os valores de m para que a função quadrática f (x) = (m – 1)x2 + (2m + 3)x+m
tenha dois zeros reais e distintos.
87) Na função f(x) = x2 – 2x + 1, determine:
a) f(0)
b) f(2)
c) f(–3)
d) f( 2 )
88) Sendo f(x) = 2x2 – 7x + 3 uma função de R em R, determine x de modo que se tenha:
a) f(x) = 0
b) f(x) = 12
89) Esboce os gráficos das funções abaixo e dê o conjunto imagem:
a) y = x2 – 2x + 4
b) y = – x2 + 4x + 12
90) Os zeros da função f(x) = x2 + bx + c são 4 e – 8. Calcule os valores de b e c.
91) A parábola de equação y = –2x2 + bx + c, passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de
coordenadas (3, v). Determine v.
92) Dentre todos os números x e y de soma 6, determine aquele cuja soma dos quadrados é
mínima.
24
93) Determine o retângulo de área máxima localizado no 1º Quadrante, com dois lados nos
eixos cartesianos e um vértice na reta y = – 4x + 5.
94) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os
outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir área máxima. Qual é o
quociente de um lado pelo outro?
95) Determinar a lei da função quadrática a partir do seguinte gráfico:
2
1
−4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
−2
−3
−4
−5
−6
−7
5.4. Função Exponencial
Observe a situação a seguir.
Uma população de bactérias dobra seu número a cada 20 minutos. Se o processo se inicia
com uma única bactéria, quantas existirão após 2 horas e 40 minutos?
Após um período de 20 minutos, teremos 2 = 21 bactérias.
Após dois períodos de 20 minutos, ou seja, após 40 minutos, teremos 4 = 22 bactérias.
Após 2 horas e 40 minutos, ou seja, após 8 períodos de 20 minutos, teremos 256 = 28
bactérias.
Da mesma maneira, Após x períodos de 20 minutos, o número de n bactérias será dado por n
= 2x. Esse é um exemplo de função exponencial.
Uma função f: ℜ → ℜ *+ é chamada de função exponencial quando existe um número real a,
com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax , para todo x ∈ ℜ .
Se a > 1, dizemos que f é crescente. Se 0 < a < 1, dizemos que f é decrescente.
1
Exemplos: a) g(x) =  
5
x
b) h(x) = (0,4)x
c) y =
( 3)
x
Gráfico da função exponencial
Vamos construir os gráficos de algumas funções exponenciais.
Exemplos
x
a) (f(x) = 2
x
–
2
–1
0
1
2
3
f(x)
1
4
1
2
1
2
4
8
a) Nesse caso, a base a é 2(a>1),
então a função é crescente.
1
b) g(x) =  
2
x
–3
–2
–1
0
1
2
x
g(x)
8
4
2
1
1
2
1
4
b) Nesse caso, a base a é
1
(0 < a < 1),
2
então a função é decrescente.
25
D(f) = ℜ e Im(f) = ℜ *+
D(g) = ℜ e Im(g) = ℜ *+
Observe que os gráficos das funções exponenciais passam pelo ponto (0, 1) e só ocupam o 1º
e 2º quadrantes.
Há ainda funções que podem ser obtidas a partir da função exponencial
Exemplos: a) f(x) = 2x + 1
b) g(x) = 5.3x
c) h(x) = 3x – 2
Exercícios propostos
96 – Construa o gráfico das funções exponenciais a seguir:
1
b) g(x) =  
3
x
a) f(x) = 5
x
97 – Construa o gráfico e determine o conjunto imagem das funções:
x
1
b) g(x) =   + 1
2
x+1
a) f(x) = 2
98 – Observe o gráfico da função y = ax que representa a radioatividade y de um determinado
minério em função do tempo x e responda às perguntas.
y
x
a) a radioatividade está aumentando ou diminuindo? Por quê?
b) esse minério deixará de ser radioativo em algum momento? Por quê?
c) quais são os possíveis valores de a?
99 – A função n(t) = 1.000.20,2t indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em
que t é o número de horas decorridas. Quanto tempo após o início do experimento haverá
64.000 bactérias?
100 – Um certo montante pode ser calculado pela fórmula M = C . (1 + i)t, em que C é o capital,
i é a taxa corrente e t é o tempo. Com um capital de R$ 20.000,00, a uma taxa anual de 12%
(i= 0,12), qual será o montante após 3 anos?
101 – Um equipamento retira ar de um tanque segurando a lei V(t) = V0 . (0,9)t, em que V(t) é o
volume de ar do tanque após t minutos e V0 é o volume inicial de ar contido no tanque.
Determine o volume de ar que restará num tanque de 10m3 após 5 minutos ligado a esse
equipamento.
102 – Meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que uma massa se
reduza à metade. Daqui a quantos anos 32 gramas de uma substância, cuja meia-vida é de 6,5
anos, se reduz a 2–29 gramas?
6 – LIMITE
6.1- Noções Básicas
Situação 1: entender as notações lim g(x).
x→ a
Consideremos, por exemplo, lim x2. Queremos, em primeiro lugar, dizer que x 2, isto
x→2
é x assume valores cada vez mais próximos de 2, mas não é 2. Em segundo lugar, para cada
x, o correspondente valor de x2, é um número que não é 4, pois x não é 2, e tende a algum
26
valor que denominamos "limite de g(x) quando x tende a 2".
x2 − 9
Exemplo 1: lim
. Neste caso a expressão nos diz que x não é 3, mas se aproxima de 3
x →3 x − 3
x2 − 9
quanto quisermos. Também observamos que g(x) =
não está definida em x = 3.
x−3
Entretanto, queremos saber para qual valor, se é que existe algum, para o qual a função
tende, conforme x tende a 3. Observe o gráfico e tire suas conclusões.
y
y = (x^2-9)/(x-3)
8
7
6
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
Situação 2: atribuir significados a L = lim g(x).
x→ a
Num jogo de lançamento de dardos, você tem um tabuleiro constituído de uma série de
circunferências concêntricas:
Para obter pontuação máxima, é preciso acertar no centro. Entretanto, se você permitir
certa margem de erro, poderá ao lançar o dardo, atingir algum ponto do tabuleiro, mesmo fora
do centro, e obter alguma pontuação.
27
Suponhamos então que o resultado do lançamento dependa do ângulo entre a
horizontal - que liga o ponto de lançamento ao centro do tabuleiro - e uma reta imaginária que
liga o ponto de lançamento ao ponto atingido. Sabendo qual sua margem de erro (ε) para obter
alguma pontuação, você tem uma variação delimitada (δ) para o referido ângulo.
Vamos precisar estabelecer uma certa formalização a fim de tratar das questões de
limites com algum rigor. Com efeito, os conceitos de derivada e de integral são construídos
como um determinado limite e, para desenvolver completamente esses conceitos fundamentais
no Cálculo, precisamos da definição rigorosa de limite.
Observamos que, ao dizer que L = lim g(x), estamos lidando com aproximações pois
x→ a
estamos dizendo que, conforme x se aproxima de a, o valor de g(x) se aproxima de L.
Por exemplo, ao dizer que lim x2 = 4 , estamos dizendo que conforme x se aproxima de 2, o
x→2
2
valor x se aproxima de 4.
A questão é: como se relacionam essas aproximações?
Como no exemplo do lançamento do dardo, precisamos ter controle sobre o erro que
pode ser cometido pelo valor da variável independente x quando pretendemos que o resultado
g(x) esteja próximo de L.
Isso significa que a situação pode ser descrita da seguinte maneira: sabendo de quanto
nos permitimos errar no resultado da variável dependente, perto do limite L, queremos saber de
quanto podemos errar na variável independente x, a fim de cairmos na margem de erro
permitida inicialmente.
Ou seja: dizemos que lim g(x) = L, quando, estabelecido o erro permitido na variável
x→ a
dependente, conseguimos encontrar qual o erro que podemos cometer na variável
independente, a fim de que com esse erro, o valor de y = g(x) fique dentro da margem de erro
pré-estabelecida.
Vamos construir uma tabela para deixar clara a idéia envolvida, no caso de lim x2 = 4
x→2
Erro permitido no
cálculo do limite: ε
0,1
0,01
0,001
0,0001
intervalo onde g(x) pode Intervalo onde x tem que Erro permitido na
estar
estar (x 2)
variável x: δ
3,9 < g(x) < 4,1
1,98 < x < 2,02
0,02
3,99 < g(x) < 4,01
1,998 < x < 2,002
0,002
3,999 <g(x) < 4,001
1,9998 < x < 2,0002
0,0002
3,9999 <g(x) < 4,0001
1,99998 < x < 2,00002
0,00002
É claro que poderíamos continuar a tabela indefinidamente...
Entretanto, o que deve estar claro é que, para cada valor de x no intervalo encontrado,
o valor da função g(x) nesse ponto estará dentro da limitação escolhida, ou permitida,
inicialmente. Assim, ao cometermos um erro na variável x, menor do que o tamanho
encontrado, estaremos, certamente, cometendo um erro, quando calcularmos o valor da função
nesse ponto escolhido, menor do que o permitido, em relação ao valor do limite.
De modo geral, dizer que lim g(x) = L é equivalente a dizer que: para todo erro de
x→ a
tamanho ε > 0, existe um erro de tamanho δ > 0, tal que, se o valor da variável independente x,
diferente de a, está próximo de a, a menos de δ, o valor da variável dependente y = g(x) estará
próximo de L, a menos de ε .
Equivalentemente, podemos escrever em linguagem simbólica:
Exemplos:
1) lim (x2 - 5x + 3)
x→4
2) lim
x → −2
2x − 3
x−4
28
 5x − 1

− 8x 
2
 x +3

3) lim 
x →1
Calcular limites desse tipo não gera problema algum, pois a função dada está definida no ponto
para o qual a variável x está tendendo. Nesse caso, usamos o teorema sobre as propriedades
dos limites, que nos permite calcular o limite da soma, produto ou quociente de funções, desde
que algumas hipóteses estejam satisfeitas.
1
, pois lim+ = + ∞ e lim− = - ∞ . Veja o gráfico.
x →0
x →0
x
4) Não existe lim
x →0
6
y
5
y = 1/x
4
3
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x
1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
−3
−4
x
 1
Sabemos que lim 1 +  = e. Veja o gráfico:
x →∞
 x
y = (1+1/x)^x
y = 2.718281828
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−16−15−14−13−12−11−10−9−8 −7 −6 −5−4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 141516 17
Teorema: Propriedades dos limites
Suponhamos que duas funções f e g tenham limites em um ponto a. Então temos:
a) a função f+g tem limite em a e
;
b) a função f.g tem limite em a e
c) se
, então a função
;
f
tem limite em a e
g
.
29
Teorema do Confronto: Sejam f, g e h três funções tais que
. Se
, então existe
, para todo
e é também igual a L.
Conseqüência do Teorema do Confronto: Sejam f e g duas funções tais que
é limitada. Então existe
e
Teorema: Se f é uma função contínua em x=b e
eg
.
, então
.
Limites laterais
estamos pensando que
, isto é, x se aproxima de a, por
Quando examinamos
valores maiores ou menores que a.
Entretanto, podemos fazer x se aproximar de a apenas por valores maiores do que a. Nesse
caso, dizemos que x tende a a pela direita e indicamos
.
De modo análogo, podemos fazer x se aproximar de a apenas por valores menores do que a.
Nesse caso, dizemos que x tende a a pela esquerda e indicamos
.
se e somente se ambos os limites laterais são iguais.
Existe
Observamos que
, enquanto que
. Dessa forma, não existe
.
O conceito de
pode ser estendido para as situações em que no lugar de a
temos , ou quando no lugar de L temos .
Exemplos: a)
b)
e
.
e
c)
d)
e)
f)
Em diversos exemplos sobre o cálculo de limites nos defrontamos com situações desse
tipo e "escapamos" delas através de manipulações algébricas. Não podemos esquecer que o
30
limite do quociente é o quociente dos limites somente quando os limites do numerador e do
denominador existem, sendo o do denominador diferente de zero.
Uma expressão da forma
0
é denominada, muitas vezes, uma "indeterminação".
0
Essa denominação advém do fato que se um limite é dessa forma, a priori, não sabemos qual
é o resultado... Pode ser qualquer um...
Vejamos:
que não existe, pois
e
e, assim por diante... Podemos construir exemplos simples, dando qualquer resultado!
Existem outras formas igualmente "indeterminadas":
;
a)
b)
;
c)
;
;
d)
e) 00;
f)
.
Um fato digno de nota é que uma expressão do tipo
não constitui indeterminação.
Exercícios
103) Calcule os limites abaixo:
a)
lim
(2x – 5)
1− x
3
x +x−2
b) lim
x →1
x →3
2
c) lim
x → −2
x2 − 4
x+2
d)
x + x−6
x → −3
x+3
lim
104) Use o gráfico para determinar o limite (se existir) nos pontos dados:
a)
b)
4
4
3
3
2
2
1
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
−6
−5
−4
−3
x → −1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
1
2
3
4
5
6
−4
−4
lim f ( x) =
−2
−5
lim f ( x) =
x→ 2
lim f ( x) =
x→0
lim f ( x) =
x → +∞
7- DERIVADA
7.1- Noções básicas
A questão da tangente a uma curva
31
De modo geral, examinando uma curva e a reta tangente num ponto T dessa curva,
observamos que pontos da reta tangente, próximos a T, estão bem perto de pontos da curva,
também próximos a T.
Essas idéias ficarão mais claras quando conseguirmos resolver o seguinte problema:
considerando uma curva que é o gráfico de uma função, encontrar a reta tangente a essa curva
num ponto estabelecido.
Consideremos y = f(x) = x2. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no
ponto (1,1) é 2.
Consideremos agora y = f(x) = x3. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f
no ponto (−1,−1) é 3.
Vamos considerar a situação geral, para chegar a uma conclusão também geral.
A taxa de variação média de uma função num intervalo [x0,x0+∆x] contido em seu
domínio, é o quociente
. Geometricamente, o significado desse quociente, como podemos
ver na figura, é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x0+∆x,
f(x0+∆x)). Uma vez que esses dois pontos pertencem ao gráfico da função, dizemos que essa
reta é secante ao gráfico. Observemos que o coeficiente angular da reta é a tangente
32
trigonométrica do ângulo - medido no sentido anti-horário - que a reta forma com o eixo
horizontal.
Quando fazemos ∆x→0, a reta secante genérica tende à posição limite de reta tangente
ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) e o quociente
tende ao coeficiente angular da reta em sua
posição limite.
Dessa maneira, dizemos que, se existe e é finito o limite,
ele é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto de abscissa x0, isto é,
(x0, f(x0)) é o ponto de tangência.
Chamando θ o ângulo que a reta tangente forma com o eixo horizontal, medido no
sentido anti-horário, temos:
33
Finalmente, como a equação da reta que passa por um ponto (x0, y0) e tem coeficiente
angular m é dada por,
podemos, através da taxa de variação instantânea da função num ponto de seu domínio, obter
a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)), que é, portanto:
Razão de variação média - ou taxa de variação média
Sabemos que as grandezas variam. Em nosso dia a dia, pensamos muitas vezes na
variação de grandezas, como, por exemplo, o tempo gasto para chegar à Universidade, o
quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia
específico, e assim por diante.
De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou
seja, y=f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma
variação de y, desde que y não seja uma função constante.
Se y=f(x)=x2, e, a partir de x0, supomos uma variação ∆x - ou seja, x varia de x0 até
x0+∆
∆x - podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos ∆y.
é denominado razão média das variações ou taxa de variação média
O quociente
e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação ∆x considerada.
Razão de Variação instantânea - taxa de variação instantânea
As informações dadas pela taxa de variação média são relativamente pobres quando
estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.
A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em
intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma
vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o
que é taxa de variação em cada ponto.
A questão é: como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num
determinado instante?
Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada por s(t)=t2+5 e
que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t = 2. Como podemos achar essa
velocidade?
Imaginemos que um vaso de flores caiu da janela de um prédio, isto é, temos um corpo
em queda livre, cujo movimento iniciou-se de uma altura h. Da Física, sabemos que a equação
horária do movimento de um corpo em queda livre, com velocidade inicial nula, é dada por s(t)
=
1 2
gt = 4,9t2. Considerando a aceleração da gravidade g = 9,8m/s2. Intuitivamente,
2
percebemos que a velocidade, em cada instante, aumenta. Como podemos calcular a
velocidade instantânea, por exemplo, 1s após o início da queda? E após 2s?
Observações:
i) a taxa de variação pontual de f no ponto x0 é denominada simplesmente taxa de variação de
f no ponto x0. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é
denominada instantânea.
Quando se trata de taxa de variação média de uma função f num determinado intervalo, a
palavra "média" é imprescindível.
ii) dada y = f(x) para calcularmos a taxa de variação pontual de f no ponto x0, se consideramos
o acréscimo ∆x > 0, fazemos ∆x se aproximar de 0 por valores positivos e escrevemos
Se consideramos ∆x < 0, fazemos se aproximar de 0 por valores negativos e
escrevemos
Quando, ao calcularmos o limite, escrevemos simplesmente
estamos fazendo ∆x se aproximar de 0 tanto por valores positivos como negativos.
,
34
A taxa de variação pontual ou instantânea de uma função possui uma interpretação geométrica
importante que será útil em nosso estudo das funções.
Consideremos y= f(x) = x2. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1)
é 2.
Consideremos agora y= f(x) = x3. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no
ponto (−1,−1) é 3.
Exercícios
105) Encontre a equação da reta tangente à curva y = 1 – 2x – 3x2 no ponto P (– 2, – 7).
106) Derive as funções abaixo (use as regras de derivação):
a) f(x) = 12x5 – 4x4 + 10x3 + x2 – 6x + 5
b) f(x) = x4 – 6x2 + 4
107) Uma empresa verificou que a receita total ( em reais ) com a venda de um produto pode
ser modelada pela função R = – x3 + 450x2 + 52500x, onde x é o número de unidades
produzidas (e vendidas). Que nível de produção maximiza a receita?
8- CÁLCULO INTEGRAL
8.1- Noções básicas
Sabemos calcular a área de algumas figuras planas como, por exemplo, retângulos,
triângulos, círculos e assim por diante. Dependendo da figura, esse problema está resolvido.
Imaginemos porém que o problema é o do cálculo da área do tampo de uma mesa que tem o
seguinte formato:
35
Ou então, suponhamos que queremos revestir uma prancha de surf e, portanto,
queremos calcular a área da parte superior para conhecer a quantidade de material a ser
usado no revestimento.
Regiões desse tipo nos levam a perceber que as ferramentas de que dispomos para o
cálculo de áreas não são suficientes.
Em primeiro lugar, vamos examinar figuras planas simples que são obtidas a partir do
gráfico de alguma função conhecida.
Exemplo 1: A área de um triângulo, como o da figura abaixo, que pode ser obtido a partir do
gráfico de
Exemplo 2: A área da região que se encontra entre a parábola y=x2 e o eixo x, para x variando
no intervalo [-2, 2].
Soma de Riemann
Seja inicialmente f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que
para todo
.
36
Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x
variando em [a, b].
Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a, b], constituída pelo conjunto de
pontos
.
Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma
,
sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é,
. No caso de tomarmos as n divisões de
[a, b], todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub-intervalos terá comprimento
, para
.
Pode-se construir a definição sem tomar os sub-intervalos do mesmo tamanho, estabelecendo
uma situação geral.
Denotamos o comprimento de cada um deles por ∆x=xi-xi-1, para
.
Em cada um dos sub-intervalos
, podemos considerar o ponto mi que fornece o
valor mínimo da função, obtendo um valor aproximado por falta para a área da região, que é
dado por:
que é a soma inferior relativa à partição P e à função f.
Por outro lado, podemos considerar, em cada um dos sub-intervalos
, o ponto
Mi que fornece o valor máximo da função, obtendo um valor aproximado por excesso para a
área da região, que é dado por:
que é a soma superior relativa à partição P e à função f.
Evidentemente, poderíamos considerar qualquer ponto xi* em cada um dos subintervalos
, diferente de mi e de Mi, obtendo um valor aproximado para a área da
região, que é dado por:
Evidentemente,
Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é,
fazemos
, obtemos:
para qualquer escolha dos pontos xi* em cada um dos subintervalos
, para
.
37
Qualquer uma das somas
é denominada soma de Riemann para a
função f, relativa à partição P e aos números xi, para
; observe que a escolha da
partição determina o tamanho de
é indicada por
, para
. Por isso mesmo, uma soma de Riemann
,
dependendo de P e f.
Temos então:
Definição:
Assim, a integral definida da função f, sendo
no intervalo [a, b], é igual ao limite da
soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses retângulos tende a infinito. Nesse
caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal e o gráfico
da função f, para x percorrendo o intervalo
.
Definição de Integral Definida. Propriedades
A partir do conceito de área, foi possível colocar e resolver o seguinte problema:
Se f é uma função contínua em [a,b] e tal que
, para todo
, então a área
da região compreendida entre o eixo x e o gráfico de f, para x variando em [a,b], é dada
por:
.
]
Entretanto, a definição de integral definida de uma função contínua num intervalo pode ser
naturalmente estendida, sem a condição a respeito do sinal da função no intervalo dado.
Assim,
, desde que tal limite exista.
Voltamos a frisar que esse resultado somente representa a área da região compreendida entre
o eixo x e o gráfico de f, em determinado intervalo, quando
nesse intervalo.
Se
no intervalo [a, b] então
é o valor do negativo da área
da região compreendida entre o eixo x e o gráfico de f, e as retas
e
.
A integral definida verifica algumas propriedades:
P1) Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b], então a função f+g é integrável em [a,b]
e
.
P2) Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a, b], então a função k.f é
integrável em [a, b] e
.
P3) Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e
em [a, b] então
.
38
P4) Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a, b],
então
.
Exercícios
108) Calcule as integrais abaixo:
a)
∫ (3x
2
− 2 x + 1)dx
b)
 1
∫  x
3
3
+ 3 x 2 − dx
x
109) Calcule as seguintes integrais definidas:
a)
∫ (x
8
6
2
)
− 6 x dx
b)
3
∫e
0
x
dx
Referências
FLEMMING, Diva Maria; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração.
São Paulo: Makron Books do Brasil, 1992..
IEZZI, G. et al. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos, funções. São Paulo: Atual, 2004.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática para os cursos de Economia,
Administração e Ciências Contábeis. V. 1, 5. São Paulo: Atlas, 1999.
39