Apêndice do Livro – Regras

UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS
Unidade Acadêmica de Graduação
Unisinos Educação a Distância
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Material de Apoio
Tabelas Verdade dos Operadores Lógicos
Tabelas-­‐verdade das operações lógicas binárias A B A ∨ B A ∧ B A → B A ↔ B V V V F V V V F V F V F F V V F V F F F F F V V Tabela-­‐verdade da operação lógica unária de negação: A ¬A F V V F Propriedades das Operações
Equivalências da Disjunção (∨) e da Conjunção (∧) Propriedade Disjunção (∨) Conjunção (∧) Comutativa A ∨ B ⇔ B ∨ A A ∧ B ⇔ B ∧ A Associativa (A∨B) ∨ C ⇔ A ∨ (B∨C) (A∧B) ∧ C ⇔ A ∧ (B∧C) Distributiva A ∨ (B∧C) ⇔ (A∨B) ∧ (A∨C) A ∧ (B∨C) ⇔ (A∧B) ∨ (A∧C) Elemento Neutro A ∨ F ⇔ A A ∧ V ⇔ A Complemento A ∨ ¬A ⇔ V A ∧ ¬A ⇔ F Idempotência A ∨ A ⇔ A A ∧ A ⇔ A DeMorgan: ¬(A∨B) ⇔ ¬A ∧ ¬B ¬(A∧B) ⇔ ¬A ∨ ¬B Lógica 1/4 Equivalências dos Demais Operadores Dupla Negação ¬¬A ⇔ A Equivalência da Implicação A→B ⇔ ¬A ∨ B Contraposição A→B ⇔ ¬B → ¬A Prova Condicional A→(B→C) ⇔ (A ∧ B) → C Regras de Dedução de Equivalência e Inferência
Regras Básicas de Inferência Inclusão de Operadores Exclusão de Operadores Redução ao absurdo (raa) -­‐ ¬ I Dupla negação (dn) -­‐ ¬ E │P │... │Q∧¬Q ────── ¬P ¬¬P ──── P Prova condicional (pc) -­‐ → I Modus Ponens (mp) -­‐ → E │P │... │Q ───── P→Q P P→Q ────── Q Conjunção(cj) -­‐ ∧ I Simplificação(sp) -­‐ ∧ E P Q ────── P∧Q P∧Q P∧Q ──── ──── P Q Adição(ad) -­‐ ∨ I Eliminação da disjunção -­‐ ∨ E P P ──── ──── P∨Q Q∨P P∨Q P→R Q→R ──────────── R Introdução da equivalência -­‐ ↔ I Eliminação da equivalência -­‐ ↔ E P→Q Q→P ──────── P↔Q P↔Q P↔Q ──── ──── P→Q Q→P Lógica 2/4 Regras de Inferência Derivadas Modus Tollens (mt) P → Q ¬Q ──────── ¬P Silogismo Disjuntivo (sd) P ∨ Q ¬P ─────── Q Silogismo Hipotético (sh) P → Q Q → R ───────── P → R Dilema Construtivo (dc) P∨Q P→R Q→S ──────────── R∨S Inconsistência (inc) P ¬P ──── Q Exportação (exp) (P ∧ Q) → R ──────── P→ (Q → R) Regras de Equivalência Expressão Equivale a Nome (Abreviação) da Regra Comutatividade (com) P ∨ Q P ∧ Q Q ∨ P Q ∧ P (P∨Q) ∨ R (P∧Q) ∧ R P ∨ (Q∨R) P ∧ (Q∧R) Associatividade (ass) ¬(P∨Q) ¬(P∧Q) ¬P ∧ ¬Q ¬P ∨ ¬Q De Morgan (dmor) P → Q P ¬P ∨ Q Condicional (cond) ¬(¬P) Dupla negação (dn) P → Q P ¬Q → ¬P Contraposição (cont) Auto-­‐referência (auto) P ∨ P P ∧ P P P ∧ (Q∨R) (P∧Q) ∨ (P∧R) Distributividade (dist) P ∨ (Q∧R) (P∨Q) ∧ (P∨R) Distributividade (dist) Auto-­‐referência (auto) Lógica 3/4 Regras de Inferência da Lógica de Predicados
Regras de Inferência da Lógica de Predicados Regra Particularização Universal (pu) (∀x)(P(x)) ─────── P(t) Particularização Existencial (pe) (∃x) (P(x)) ─────── P(t) Generalização Universal (gu) P(x) ─────── (∀x)(P(x)) Generalização Existencial (ge) P(t) ─────── (∃x) (P(x)) Restrições de Uso Se o novo termo t que substituirá a variável x em P(x) também for uma variável, então esta nova variável deve ser livre dentro da fórmula P(x) original. O novo termo t que substituirá a variável x em P(x), quer seja variável ou constante, não deve ter sido usado anteriormente na demonstração. A fórmula P(x) não pode ter sido deduzida de nenhuma hipótese onde x é uma variável livre. A fórmula P(x) também não pode ter sido deduzida por Particularização Existencial (pe) de uma fórmula onde x é uma variável livre. Se o termo t da fórmula original P(t) for um símbolo de uma constante do domínio, então a nova variável x que o substituirá não pode ter aparecido anteriormente na fórmula P(t). Regras de Equivalência dos Quantificadores Expressão Equivale a ¬ ∀x P(x) ¬ ∀x¬ P(x) ∀x ¬P(x) ∀x P(x) ∃x ¬ P(x) ∃x P(x) ¬∃x P(x) ¬∃x ¬P(x) Nome (Abreviação) da Regra Equivalência dos Quantificadores (equiv) Lógica 4/4