9. TRIGONOMETRIA 9.1. MEDIDAS DE ÂNGULOS O grau é uma medida de ângulo. Um grau, notado por 1o , equivale a 1/180 de um ângulo raso ou 1/360 de um ângulo correspondente a uma volta completa em torno de um eixo. Outra medida de ângulo é o radiano. Um radiano, denotado por 1 rad, equivalente ao ângulo central quando o comprimento de arco equivale ao raio da circunferência em questão (veja figura abaixo). (fonte da imagem: http://www.sofisica.com.br/conteudos/dicionario/figuras/radiano.jpg) Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é uma constante numérica equivalente a 3,14159...). 9.2. TRIÂNGULOS RETÂNGULOS E O TEOREMA DE PITÁGORAS Um triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto, isto é, possui 90 graus. Os lados menores de um triângulo retângulo são chamados catetos, e o lado menor é chamado hipotenusa (ver figura logo abaixo). A relação entre catetos e hipotenusa é dada pelo Teorema de Pitágoras: o quadrado do valor da hipotenusa equivale à soma dos quadrados dos valores dos catetos. Isto é, se a é o valor da hipotenusa e b e c são os valores dos catetos de um triângulo retângulo, então a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras) Nota: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 graus. Exercício resolvido: Se um cateto de um triângulo retângulo tem comprimento 7 e a hipotenusa tem comprimento 11, qual é o valor do outro cateto? Resolução: Se x é o cateto desconhecido, temos, pelo Teorema de Pitágoras: 112 = 72 + x2 Segue que x2 = 112 – 72 = 121 – 49 = 72 Logo, x = 72 = 6 2 ≈ 8,5 9.3. MEDIDAS TRIGONOMÉTRICAS As principais medidas trigonométricas associadas um ângulo são definidas a partir do triângulo retângulo, como na figura abaixo. (fonte da imagem: http://cabelovivaolinux.files.wordpress.com/2009/08/fig_tri-6.jpg?w=284&h=353 ) Exercício resolvido: Um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento 8 possui um ângulo interno de 30o. Sabendo que sen 30o = ½, determine: a) o valor dos catetos dos triângulos b) o valor de cos 30o e tg 30o. Resolução: a) Se chamarmos b o cateto oposto ao ângulo de 30o, pela definição de seno temos que sen 30o = (cateto oposto a 30o) / (hipotenusa) = b / 8 Como sen 30o = ½, logo b/8 = ½. Segue que b = 8/2 = 4. Se chamarmos c o cateto adjacente a 30o, pelo Teorema de Pitágoras temos 82 = 42 + c2 Logo c2 = 82 – 42 = 64 – 16 = 48. Segue que c = 48 = 2 12 . Nota: 48 = 4.12 = 4 12 = 2 12 b) Por definição, temos cos 30o = (cateto adjacente a 30o) / (hipotenusa) = c / 8 = 2 12 = 8 tg 30o = (cateto oposto a 30o) / (cateto adjacente a 30) = b / c = Nota: 4 2 2 12 2 12 12 = = . = = 12 6 2 12 12 12 12 9.4. LEI DOS SENOS Considere o triângulo genérico da figura abaixo: 12 e 4 4 = 2 12 12 6 (fonte da imagem: http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/img2068.png) Nesta figura, a, b e c são lados, e A, B e C são os ângulos opostos, respectivamente. Para qualquer triângulo, valem as relações a b c = = , sen A sen B sen C conhecidas como Lei dos Senos. Decorre da lei que, para determinar as dimensões de um triângulo é necessário conhecer dois lados e um ângulo interno ou um lado e dois ângulos internos. Exercício resolvido: Dois dos lados de um triângulo têm valor 3 e 1 e o ângulo oposto a este último é de 60 graus. Quais são os valores do lado e dos ângulos desconhecidos? Resolva empregando a Lei dos Senos. Resolução: Vamos adotar a = 1 e b = 3 . Segue do enunciado que o ângulo oposto a b é B = 60o. Pela lei dos senos, temos a b = sen A sen B Sabendo que sen 600 = 3/2 , isolamos sen A e obtemos sen A = a 1 1 3 1 sen B = sen 60 o = = b 3 3 2 2 Ocorre que o ângulo cujo seno dá 1/2 é 30 graus. Logo, temos A = 30o. Como a soma dos ângulos internos de um triângulos qualquer é sempre 180o, isto é, A + B + C = 180o, então temos que C = 180o – A – B = 180o – 30o – 60o = 90o Aplicando novamente a lei dos senos, determinamos o lado incógnito: a c = ; sen A sen C sabendo que sen 900 = 1 , decorre que c= a a 1 sen C = sen90 o = 1= 2 o sen A 1/2 sen 30 Logo, o lado desconhecido vale 2 e os ângulos desconhecidos são A = 30o e C = 90o. Note que se trata de um triângulo retângulo já que um dos ângulos internos é reto (de fato, 2 2 = 1 2 32 ). 9.5. LEI DOS COSSENOS Considerando o mesmo triângulo genérico da figura acima, também valem as relações a 2 = b2 c 2−2 b c cos A 2 2 2 b = a c −2 a c cos B c 2 = a 2b 2−2 a b cos C , conhecidas como Lei dos Cossenos. Note que o ângulo que serve de argumento ao cosseno é sempre aquele oposto ao lado do triângulo que está à esquerda da igualdade. Exercício resolvido: Considere o mesmo triângulo do exercício resolvido anterior. Determine o lado e os ângulos desconhecidos empregando a Lei dos Cossenos. Resolução: Aplicando a Lei dos Cossenos nos lados e ângulo disponíveis temos b 2 = a2 c 2−2 a c cos B , isto é, 2 3 = 12c 2−2 1 c cos 60o ; como cos 60 0 = 1 /2 temos 3 = 1c 2−2 c 1/2 , que simplificado nos dá c 2−c−2 = 0 Isto é uma equação de 2o. grau, que pode ser resolvida pela conhecida fórmula de Baskara. Desprezando a solução negativa para c nesta equação, determinamos c = 2. Para obter um dos ângulos desconhecidos, por exemplo C, empregamos 2 2 2 c = a b −2 a b cos C ; substituindo os valores a, b e c agora conhecidos, temos 2 2 2 = 1 2 3 −2 3cos C ; simplificando temos 2 3 cos C = 0 , isto é, cos C = 0, o que ocorre somente para C = 90 o. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180o, determina-se o ângulo A facilmente. Imagens: acesso em agosto de 2010 (primeira e segunda) e maio de 2011 (terceira).