Fund._C___Analise_Combinatoriacont.__2009.2

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UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
CURSO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA C
PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO
DATA: ___/___/____
ALUNO: __________________________________________________________
ANÁLISE COMBINATÓRIA:
(continuação)
O princípio fundamental da contagem fornece-nos o instrumento básico para a Análise Combinatória,
entretanto, sua aplicação direta na resolução de problemas pode, em alguns casos, tornar-se muito
trabalhosa. Vamos então definir modos de agrupamentos e, deduzir fórmulas que permitam a contagem dos
mesmos.
Os problemas de contagem, vistos anteriormente, podem ser divididos basicamente em dois tipos de
agrupamentos: um que leva em conta a ordem dos elementos (arranjo) e um agrupamento em que a ordem é
irrelevante (combinação).
 ARRANJOS:
Seja A um conjunto com n elementos, isto é,
A  a1 , a 2 , a3 ,.., a n  . Chamamos de arranjo de n
elementos tomados p a p (1  p  n) a qualquer seqüência de tamanho p formada com elementos de A,
todosdistintos.
Ex.: Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4}.
Os arranjos dos 4 elementos de A, tomados dois a dois, são os pares ordenados (x,y) formados com
elementos distintos de A.
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de pares ordenados é 4 x 3 = 12. Os pares são:
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3).
FÓRMULA DO NÚMERO DE ARRANJOS:
Seja o conjunto A  a1 , a 2 , a 3 ,.., a n  e indiquemos por A n, p , o número de arranjos de n elementos
tomados p a p.
Cada arranjo é uma seqüência de p elementos, onde cada elemento pertence ao conjunto A e são todos
distintos.
( _ , _ , _ , _ , ... , _ )  seqüência de p elementos.
Observe que: An, p  n  n  1  n  2  ... n   p  1. Logo:
A n, p  n  n  1  n  2  ...  n   p  1. 
 A n, p 
n  n  1  n  2  ...  n  p  1  n  p   n  p  1  ...  1

n  p   n  p  1  ...  1
n!
n  p !
1
Exemplos:
1) Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos são os resultados possíveis para os três
primeiros colocados?
Solução:
A 20,3 
20 !
20 ! 20  19  18  17 !


 20  19  18  6840
20  3 ! 17 !
17 !
2) Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve
assinalar a estação de partida e a de chegada respectivamente?
Solução:
A 16,2 
16 !
16 ! 16  15  14 !


 16  15  240
16  2 ! 14 !
14 !
 ARRANJOS COM REPETIÇÃO:
A um conjunto com n elementos, isto é, A  a1 , a 2 , a3 ,.., a n  . Chamamos de arranjo com repetição de n
elementos tomados p a p (1  p  n), a qualquer seqüência de tamanho p formada com elementos de A, não
necessariamente distintos.
Ex.: Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4}.
Os arranjos dos 4 elementos de A, tomados dois a dois, são os pares ordenados (x,y) formados com
elementos de A.
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de pares ordenados é 4 x 4 = 16. Os pares são:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4).
FÓRMULA DO NÚMERO DE ARRANJOS COM REPETIÇÃO:
Seja o conjunto A  a1, a2 , a3 ,.., an  e indiquemos por AR n, p , o número de arranjos de n elementos
tomados p a p.
Cada arranjo com repetição é uma seqüência de p elementos, onde cada elemento pertence ao
conjunto A.
( _ , _ , _ , _ , ... , _ )  seqüência de p elementos.
n

n ...
n.
Observe que: AR n, p  n
p vezes
Logo: ARn, p  n p .
Exemplos:
1) Uma moeda é lançada 5 vezes. Quantas são as seqüências possíveis de caras e coroas?
Solução:
AR 2,5  25  32
2
2) Uma urna contém uma bola vermelha, uma branca e uma azul. Uma bola é extraída, observada sua cor e
reposta na urna. Em seguida outra bola é extraída e observa sua cor. Quantas são as possíveis
seqüências de cores observadas?
AR 3,2  3 2  9
 PERMUTAÇÕES:
Seja A um conjunto com n elementos, isto é, A  a1 , a 2 , a3 ,.., a n  . Chamamos de permutação dos n
elementos dados toda sucessão de n termos formada com os n elementos, todos distintos.
Observe que podemos definir permutação como sendo um arranjo de n elementos tomados n a n.
Ex.: Seja o conjunto A = {1, 2, 3}.
As permutações dos elementos de A, são seqüências (x, y, z) formados com elementos distintos de A
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de seqüências é 3 x 2 x 1 = 6. As seqüências são:
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
FÓRMULA DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES:
Seja o conjunto A  a1 , a 2 , a 3 ,.., a n  e indiquemos por Pn , o número de permutações dos n elementos,
todos distintos.
Cada permutação é uma seqüência com n elementos.
( _ , _ , _ , _ , ... , _ )  seqüência de n elementos.
Observe que:
Pn  n  n  1  n  2  ...  1.
Logo:
Pn  n !
Exemplos:
1) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5?
Solução:
P5  5 !  120
2) Quantos anagramas podemos formar com a palavra “AVE” ?
Solução:
Os anagramas são as “palavras” formadas com as mesmas letras da palavra dada. Tais “palavras” podem
não ter significado na linguagem comum.
P3  3 !  6 ( AVE, AEV, VAE, VEA, EVA, EAV )
3
 COMBINAÇÕES:
Seja A um conjunto com n elementos, isto é, A  a1 , a 2 , a 3 ,.., a n . Chamamos de combinação dos n
elementos, tomados p a p, aos subconjuntos de A constituídos de p elementos.
Ex.: a) Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4}.
As combinações dos 4 elementos de A, tomados dois a dois, são os subconjuntos: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},
{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}  6 combinações.
Os arranjos dos 4 elementos, formados dois a dois, são as seqüências: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3),
(2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3).  12 arranjos.
Observe que:
A 4,2
C 4, 2
2
Ex.: b) Seja o conjunto {1, 2, 3, 4}.
As combinações dos 4 elementos, tomados três a três, são os subconjuntos {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4},
{2, 3, 4}  4 combinações.
Os arranjos dos 4 elementos, tomados três a três, são as seqüências: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 2),
(1, 3, 4), (1, 4, 2), (1, 4, 3), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 3, 1), (2, 3, 4), (2, 4, 1), (2, 4, 3), (3, 1, 2), (3, 1, 4), (3, 2, 1),
(3, 2, 4), (3, 4, 1), (3, 4, 2), (4, 1, 2), (4, 1, 3), (4, 2, 1), (4, 2, 3), (4, 3, 1), (4, 3, 2)  24 arranjos.
Observe que:
A 4,3
C 4,3
 6  3!
FÓRMULA DO NÚMERO DE COMBINAÇÕES:
Sabemos que com p elementos distintos: a1 , a 2 , a3 ,.., a p podemos obter p! permutações. Isto significa
que a partir de uma combinação podemos obter p! arranjos de n elementos tomados p a p.
Então:
A n, p
C n, p
 p !  C n, p 
A n, p
p!

n!
p ! n  p !
Exemplos:
1) Quantas são as combinações de 6 elementos tomados 2 a 2?
Solução:
C 6,2 
6!
6!
65 4!


 15
2 !6  2 ! 2 !4 !
2 4!
2) Numa reunião que estão presentes 18 pessoas, 4 serão escolhidas para uma comissão que vai estudar um
determinado projeto. De quantas modos diferentes poderá ser formada a comissão?
Solução:
C18,4 
18 !
18 ! 18  17  16  15  14 !


 3060
4 ! 18  4  ! 14 !
4  3  2  14 !
4
EXERCÍCIOS:
1) Calcular o valor de n na equação A n,2  20 :
2) Calcular o valor de n na equação C n,2  n  2 :
3) Em um campeonato de futebol, participam 16 times. Quantos são os resultados possíveis para os três
primeiros lugares?
4) Uma urna A contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Uma urna B contém três bolas numeradas de 1 a 3. Qual
o número de seqüências numéricas que podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna A e,
em seguida, 2 bolas da urna B?
5) Quantos números de 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8 e 9, contém o 2 e não contém o 6?
6) Em uma reunião social, cada pessoa cumprimenta todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão.
Quantas pessoas havia na reunião?
7) Com relação a palavra “TEORIA”, responda:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas começam pela letra T?
c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A?
d) Quantos anagramas começam por vogal?
e) Quantos anagramas têm as vogais sempre juntas?
8) Formados e colocados em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os
algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, que posição ocupa o número 68.412?
9) Dez pessoas, entre elas Hellena e Maryane, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito
se Hellena e Maryane devem ficar sempre juntas?
10) De um grupo de 7 pessoas, quantas comissões de no mínimo 3 e no máximo 5 pessoas podem ser
formadas?
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