Lista de exercícios: Unidade 3 – Transformações Lineares 1

Lista de exercícios: Unidade 3 – Transformações Lineares
1) Consideremos a transformação linear : ² ⟶ ² definida por ( , ) = (3 − 2 , + 4 ).
Utilizar os vetores = (1, 2) e = (3, −1) para mostrar que (3 + 4 ) = 3 ( ) + 4 ( ).
2) Dada a transformação linear :
de e :
a) ( + )
b) (3 )
c) (4 − 5 )
⟶
3) Dentre as transformações : ² ⟶
a) ( , ) = ( − 3 , 2 + 5 )
b) ( , ) = ( , )
c) ( , ) = ( ², ²)
d) ( , ) = ( + 1, )
e) ( , ) = ( − , 0)
, tal que ( ) = 3 e ( ) =
− , calcular em função
² definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
f) ( , ) = (| |, 2 )
g) ( , ) = (
, )
h) ( , ) = ( , − )
i) ( , ) = (3 , −2 )
4) Seja = ². Fazer um gráfico de um vetor genérico = ( , ) do domínio e de sua
imagem ( ) sob a transformação linear : ² ⟶ ² dada por:
a) ( , ) = (2 , 0)
d) ( , ) = (3 , −2 )
b) ( , ) = (2 , )
e) ( , ) = −2( , )
c) ( , ) = (−2 , 2 )
f) ( , ) = ( , − )
5) Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a) : ² ⟶ ³; ( , ) = ( − , 3 , −2 )
b) : ³ ⟶ ³; ( , , ) = ( + , − , 0)
c) : ² ⟶ ²; ( , ) = ( ² + ², )
d) : ⟶ ², ( ) = ( , 2)
e) : ³ ⟶ , ( , , ) = −3 + 2 −
f) : ² ⟶ ², ( , ) = (| |, )
g) : ² ⟶ , ( , ) =
h) : ² ⟶ , ( , ) =
i) : ² ⟶ 4 , ( , ) = ( , , , )
2
3
j) : ² ⟶ !(2,2), ( , ) = "
#
−
+2
% &
k) : !(2,2) ⟶ ², $
) = (% − ', & + ')
' (
% &
% &
l) : !(2,2) ⟶ , $
) = ( *+
+
' (
' (
m) : , ⟶ ( , , )⟶ $ 2 1 3 ) . /
−1 0 −2
6) Seja a aplicação : - ⟶ , dada por T( , ) = ( + 0 , + 0, )
Verificar em que caso(s) T é linear:
0 = ? 0 = 1? 0 = 0?
7) a) Determinar a transformação linear : ² ⟶
(0,1) = (1, 1, 0).
b) Encontrar Є ² tal que ( ) = (−2, 1, −3).
8) a) Determinar a transformação linear :
(0, 1, 1) = (2, 2) e (0, 0, 1) = (3, 3).
b) achar (1, 0, 0) e (0, 1, 0).
³⟶
³ tal que (−1, 1) = (3, 2, 1) e
² tal que (1, −1,0) = (1, 1),
9) Seja : ³ ⟶ ² uma transformação linear definida por (1, 1, 1) = (1, 2), (1, 1, 0) =
(2, 3) e (1, 0, 0) = (3, 4).
a) Determinar ( , , )
b) Determinar Є ³ tal que ( ) = (−3, −2)
c) Determinar Є ³ tal que ( ) = (0,0).
10) Seja o operador linear no ³ tal que (1, 0, 0) = (0, 2, 0), (0 ,1, 0) = (0, 0, −2) e
(0, 0, 1) = (−1, 0, 3). Determinar ( , , ) e o vetor Є ³ tal que ( ) = (5, 4, −9).
11) Determinar a transformação linear : 3- ⟶ 3- tal que (1) =
( ) = 1 − ² e ( ²) = + 2 ².
,
12) Seja o operador linear
: - ⟶ - , ( , ) = (2 + , 4 + 2 ).
Quais dos seguintes vetores pertencem a 4( )?
a) (1, −2)
b) (2, −3)
c) (−3, 6)
13) Para o mesmo operador linear do exercício anterior, verificar quais dos vetores pertencem
a 6( ).
b) (
a) (2, 4)
78
-
, −1) c) (−1,3).
Nos problemas 14 a 21 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?
Justificar.
14) :
²⟶
², ( , ) = (3 − , −3 + )
16) :
²⟶
², ( , ) = ( − 2 , + )
15) :
17) :
18) :
19) :
²⟶
³⟶
³⟶
³⟶
20) : 38 ⟶
³, ( , ) = ( + , , 2 )
², ( , , ) = ( + 2 − , 2 −
³, ( , , ) = ( −
+ )
− 2 ,− + 2 + , − 3 )
³, ( , , ) = ( − 3 , − , − )
³, (%* + &) = (%, 2%, % − &)
21) : !(2,2) ⟶
-
, $9
%
'
&
:) = (% − &, % + &)
(
22) Seja a transformação linear :
(1, −2) = (0, −1, 0).
a) Determinar ( , ).
b) Determinar 4( ) e 6( )
c) T é injetora? E sobrejetora?
²⟶
³ tal que (−2, 3) = (−1, 0, 1) e
23) Seja : ; ⟶
³ a transformação linear tal que ( 8 ) = (1, −2, 1),
( - ) = (−1, 0, −1), ( , ) = (0, −1, 2) e ( ; ) = (1, −3, 1), sendo { 8 ,
canônica do ;.
a) Determinar o núcleo e a imagem de .
b) Determinar bases para o núcleo e para a imagem.
c) Verificar o Teorema da Dimensão.
24)Encontrar um operador linear :
(1, 2, −1) e (1, −1, 0).
³⟶
25) Encontrar uma transformação linear :
26) Encontrar uma transformação linear :
e (2, 0, 1, −1).
-, ,, ;}
a base
³ cujo núcleo é gerado por
³⟶
³⟶
² tal que 4( ) = [(1,0, −1)].
;
cuja imagem é gerada por (1, 3, −1, 2)
27) Consideremos a transformação linear : ³ ⟶ ² definida por ( , , ) = (2 +
, + 2 ) e as bases @ = {(1, 0, 0), (2, −1, 0), (0, 1, 1)} do ³ e
A = {(−1, 1), (0, 1)} do ². Determinar a matriz [ ]BC .
−
28) Seja a transformação linear : ² ⟶ ³, ( , ) = (2 − , + 3 , −2 ) e as bases
@ = {(−1, 1), (2, 1)} e A = {(0, 0, 1), (0, 1, −1), (1, 1,0)}. Determinar [ ]BC . Qual a matriz
[ ]DC . , onde F é a base canônica do ³?
29) Sabendo que a matriz de uma transformação linear : ² ⟶
{(−1, 1), (1, 0)} do ² e A = {(1, 1, −1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} e do
3 1
[ ]BC . = G2 5 H
1 −1
encontrar a expressão de ( , ) e a matriz [ ].
³ nas bases @ =
³ é:
1 −2
30) Seja [ ] = G 2
0 H a matriz canônica de uma transformação linear :
−1 3
Se ( ) = (2, 4, −2), calcular .
31) Seja :
²⟶
²⟶
³.
³ uma transformação linear com matriz:
1 −1
[ ]BB´ = G 0
1H
−2 3
para A = { 8 , - }, base canônica do ², e A’ = {(1, 0, 1) , (−2, 0, 1), (0, 1, 0)}, base do
Qual a imagem do vetor (2, −3) pela ?
³.
32) Seja :
³⟶
1 0
B
[ ]BLK = $
−1 1
² tal que
−1
)
1
Sendo A8 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e A- = {(−1, 0), (0, −1)} bases do
respectivamente.
Encontrar a expressão de ( , , ).
³ e do
²,
Determinar 6( ) e uma base para esse subespaço.
Determinar 4( ) e uma base para esse subespaço.
é injetora?
é sobrejetora? Justificar.
33) Consideremos o operador linear
: ²⟶
²
( , )⟶ ( +2 , − )
e as bases @ = {(−1, 1), (1, 0)}, A = {(2, −1), (−1, 1)} e F canônica.
Determinar [ ]C , [ ]B , [ ]D .
34) A matriz de :
2
1
$
)
−1 −3
²⟶
² relativa à base A = { 8 ,
Determinar ( 8 )B e ( - )B .
Determinar ( 8 ) e ( - )
Calcular ( , ).
35) Mostrar que a matriz do operador linear identidade
M
: M⟶
⟶
em uma base qualquer, é a matriz identidade
36) Seja :
²⟶
1 3
[ ]=$
)
−1 5
² definida por:
Determinar os vetores ,
a) ( ) = .
b) ( ) = 2 .
c) (N) = (4,4).
e N tais que:
.
- },
sendo
8
= (1,1) e
-
= (3,2), é:
37) Seja
o operador linear dado pela matriz:
1 2 −1
G2 0
1H
1 −2 2
a) Calcular 4( ) e (P6 4( ).
b) Calcular 6( ) e (P6 6( ).
38) Seja o espaço vetorial
: ⟶ ³,
%
$9
'
= !(2,2) e a transformação linear
&
:) = (% + &, ' − (, 2%)
(
Mostrar que
é linear.
Determinar [ ]BC sendo @ e A as bases canônicas de !(2,2) e
Calcular
Є
³, respectivamente.
tal que ( ) = (3, −2,4).
Determinar 4( ).
39) Sejam Q: ² ⟶ !(2,2) uma transformação linear e R e S as bases canônicas de
!(2,2), respectivamente. Sabendo que:
1
0
2
1
[Q]UT = V
W
3 −2
−1 2
,
Determinar:
Q(1,0)
Q(0,1)
Q(2,3)
Q( , )
(%, &) tal que:
1 −2
Q(%, &) = $
)
3 4
40) Sejam as transformações lineares
² ⟶ ³, 1( , ) = ( − , 2 + , −2 )
8:
e
² ⟶ ³, 2( , ) = (2 − , − 3 , ).
-:
Determinar as seguintes transformações lineares de
a) 8 − b) 3 8 − 2 -
² em
³:
²e
41) Consideremos as transformações lineares X e de ³ em
(2 − , 3 − 2 + ) e ( , , ) = ( + − , − 2 ).
a) Determinar o núcleo da transformação linear X + .
² definidas por X( , , ) =
b) Encontrar a matriz canônica de 3X − 4 .
42) Sejam X e operadores lineares de ² definidos por
X( , ) = ( − 2 , ) e ( , ) = (2 , − ). Determinar:
a) X +
b)
d) X Y
−X
e)
c) 2X + 4
YX
f) X Y X
43) Seja a transformação linear:
X:
³⟶
;
, X( , , ) = ( + , , − , + )
Calcular (X Y )( , ) se
: ²⟶ ³
( , ) ⟶ (2 + , − , − 3 )
Determinar a matriz canônica de X Y
pela matriz canônica de .
e mostrar que ela é produto da matriz canônica de S
44) As transformações X: ² ⟶ ³ e : ³ ⟶ ² são tais que
X( , ) = ( , − , 2 + 2 ) e ( , , ) = ( , ).
a) Sendo A = {(1,0, −1), (1,1,1), (1,0,0)} uma base do
³, determinar a matriz [X Y ]B .
b) Determinar [ Y X]B´ e [ Y X]B´´ , sendo A’ = {(1,1), (0, −1)} e A’’ a base canônica.
45) Sendo X e operadores lineares do ³ definidos por
X( , , ) = ( , 2 , − ) e ( , , ) = ( − , , ), determinar:
a) [X Y ]
b) [ Y X]
46) Os pontos @(2, −1) e A(−1,4) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os
outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
47) Os pontos @(−1, −1), A(4,1) e F(%, &) são vértices de um triângulo retângulo isósceles,
reto em A. Determinar o vértice F fazendo uso da matriz-rotação.
48) Em um triângulo @AF, os ângulos A e F medem 75o cada. Sendo @(1,1) e A(−1,5),
determinar o vértice F.
49) Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de
a seqüência de transformação dadas:
² em
² que representa
a) Reflexão em torno do eixo dos , seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção
horizontal.
b) Rotação de 30º no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e inversão dos
sentidos.
c) Rotação de 60º, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos .
d) Rotação de um ângulo ɵ, seguida de uma reflexão na origem.
e) Reflexão em torno da reta = − , seguida de uma dilatação de fator 2 na direção Ox e,
finalmente, um cisalhamento de fator 3 na direção vertical.
50) O vetor
= (3,2) experimenta seqüencialmente:
1) Uma reflexão em torno da reta
= ;
2) Um cisalhamento horizontal de fator 2;
8
3) Uma contração na direção Oy de fator ;
,
4) Uma rotação de 90º no sentido anti-horário.
a) Calcular o vetor resultante dessa sequência de operações.
b) Encontrar a expressão da transformação linear :
composta das quatro operações.
²⟶
c) Determinar a matriz canônica da composta das operações.
51) Determinar o ângulo α formado pelos vetores
eixo dos z de um ângulo ɵ, nos seguintes casos:
a)
b)
c)
=(- ,
√- √, 1) e
-
= (-
ɵ= 180º
√, √- √, , )e
√- ; -
= (-
√, √- √, , )e
√- ; -
ɵ=180º
ɵ=60º
² que representa a
e ( ) quando o espaço gira em torno do
Respostas de Problemas Propostos
2. a) 4u – v
b) 3u – 3v
c) 7u + 5v
3. São lineares: a), b), e), i)
4. a)
b)
c),d),e) e f) a cargo do leitor.
5. São lineares: a), b), e), g), i), j), k), m).
6. c) é linear
7. a) T(x,y) = (-2x + y, -x + y, -x)
b) v = (3,4)
8. a) T(x,y,z) = (-y + 3z, -y + 3z)
b) T(1,0,0) = (0,0) e T(0,1,0) = (-1,-1)
9. a) T(x,y,z) = (3x-y-z, 4x-y-z)
b) v = (1, 6-z, z)
c) v = (0, -z, z)
10. T(x, y, z) = (-z, 2x, -2y + 3z)
v = (2, -3, -5)
11. T(a + bx + cx²) = b + (a + c)x + (-b + 2c)x²
12. a), c)
13. a), b)
14. a) N(T) = {(x,3x)/x € IR}; dim N(T) = 1
T não é injetora, porque N(T) ≠ {(0,0)}.
b) Im(T) = {(-y,y)/y € IR}; dim Im(T) = 1
T não é sobrejetora, porque Im(T)≠IR².
15. a) N(T) = {(0,0)}; dim N(T) = 0
T é injetora, porque N(T) = {0}
b) Im(T) = {(x,y,z) € IR/ 2x -2y –z =0}
dim Im(T) = 2. T não é sobrejetora, porque Im(T)≠IR³.
16. a) N(T) = {(0,0)}; dim N(T) = 0
T é injetora.
b) Im(T) = IR²; dim Im(T) = 2; T é sobrejetora.
17. a) N(T) = {(x, -3x, -5x)/x € IR}
b) Im(T) = IR²
18. a) N(T) = {(3z,z,z)/z € IR}
b) Im(T) = {(x, y, z) € IR³/ 2x + y – z = 0}
19. a) N(T) = {(3x, x, 3x)/x € IR}
b) Im(T) = {(x, y, z) € IR³/ y = -z}
20. a) N(T) = {0}
b) Im(T) = {(a, 2a, c) /a, c € IR}
0
21. a)N(T) = {9
'
b) Im(T) = IR²
0
: / ', ( €
(
}
22. a) T(x,y) = (2x + y, 3x + 2y, -2x –y)
b) N(T) = {(0,0)}
Im(T) = {(x,y,-x)/x, y € IR}
c) T é injetora, mas não sobrejetora.
23. a) N(T) = {(3y, y, 0, -2y)/y € IR}
Im(T) = IR³
b) e c) a cargo do leitor.
24. Um deles é T(x, y, z)= (0, 0, x+y+3z).
25. Uma delas é T(x, y, z) = (x + z, y).
26. Uma delas é T(x, y, z) = (x + 2y, 3x, -x +y, 2x - y).
−2 −3 0
27. 9
:
3
3 2
3 0
−3 3
28. ] 5 2^ e ] 2
5^
−3 3
−2 −2
29. T(x, y) = (8x + 18y, 6x + 11y, -2x -4y)
8 18
[ ] = ] 6 11 ^
−2 −4
30. v = (2, 0)
31. (11, -13, 2)
32. a) T(x, y, z) = (-2y + z, -x + y)
b) Im(T) = IR²; (base a cargo do leitor)
c) N(T) = {(x, x, 2x)/x € IR}; (base a cargo do leitor)
d) T não é injetora. T é sobrejetora.
−2 1 [ ]A
3 −1
1
33. [ ]@ = 9
=9
:,
: e [ ]F = [ ] = 9
−1 2
6 −3
1
34. a) T( 8 )b = (2, -1), T( - )b = (1, -3)
b) T( 8 ) = (-1, 0), T( - ) = (-8, -5)
c) T(x, y) = (-6x + 5y, -5x + 5y)
36. a) (0,0)
b) y(3,1)
c) (1,1)
2
:
−1
37. a) N(T) = {z(2, -3, -4)/z € IR}, dim N(T) = 1
b) Im(T) = {(x, y, z) € IR³/x – y + z = 0}, dim Im(T) = 2
1 1
38. b) [ ]BC = ]0 0
2 0
2
1
=`
a;( ∈
(( − 2) (
c)
0
d) 4( ) = c9
(
1
39. a) 9
3
b) 9
0 1
:
−2 2
2
c) 9
0
d) `
0 0
1 −1^
0 0
7
:
4
3 −2
2
:
−1
0
:;( ∈
(
d
2 +
a
− +2
e) não existe (a, b).
40. a) T¹(x, y) = (-x, x + 4y, -2x –y)
b) T²(x, y) = (-x –y, 4x + 9y, -6x -2y)
41. a) {(x, 0, 3x)/x € IR}
2
b) 9
9
−7
4
:
−10 11
42. a) (S + T)(x,y) = (3x – 2y, 0)
b) (T – S)(x, y) = (x + 2y, -2y)
c) (2S + 4T)(x, y) = (10x – 4y, -2y)
d) (S º T)(x, y) = (2x + 2y, -y)
e) (T º S)(x, y) = (2x – 4y, -y)
f) (S º S)(x, y) = (x – 4y, y)
43. a) (S º T)(x, y) = (3x, x – 3y, x + 2y, 2x – 4y)
b) a cargo do leitor
−1 −4 −1
44. a) ] 1
0
1^
0
5
0
1
b) 9
1
−1
0
:e9
−2
1
1
45. a) ]0
1
1
:
−1
0 −1
2
0^
−1 −1
0 1 0
b) ]0 2 0^
1 −1 0
46. Duas soluções: (4,7) e (7,2) ou (-6,1) e (-3, -4)
47. C(-3,4) ou C(1,-6)
48. C(-1- √3, 2√3) ou C(3 - √3, 2 + 2√3)
−1 5
49. a) 9
:
0 1
−1
−
b) ` √3
a
1
− √3
−
c) f 8
√,
-
√,
g
8
-
−'Y h
d) 9
−
h
e) 9
h
:
−'Y h
0 −2
:
−1 −6
50. a) (-1,8)
b) ( , ) = (− , , 2 + )
8
−
0
c) [ ] = i ,
j
2 1
8
51. a) R = 90º
b) R = 90º
c) R ≅ 41º24′