Função do Segundo Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2
Função do 2º grau
João Victor Tenório – Engenharia Civil
Função do Segundo Grau
Chama-se função do segundo grau ou função quadrática a
função f: R R que associa, a cada número real x, o número
real ax² + bx + c, com a, b e c reais e a diferente de zero.
Exemplos:
F(x) = 2x² + 5x + 6, onde a = 2, b = 5, c = 6
F(x) = -x² + x – 1, onde a = -1, b = 1, c = -1
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Gráfico da Função Quadrática
Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico de uma função
quadrática é representado por uma curva, à qual damos o
nome de parábola.
Exemplo:
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Gráfico da Função Quadrática
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Concavidade da Parábola
A concavidade de parábola está relacionada com o coeficiente
a. De modo que:
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Gráfico de uma Função Quadrática
Posteriormente veremos que pode-se obter o gráfico de uma
equação quadrática através da obtenção das raízes, das
coordenadas do vértice, a classificação de Y do vértice e a
interseção da curva com o eixo Y.
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Raízes da Função Quadrática
Quando fazemos ax² + bx + c = 0, isto é, y = f(x) = 0, podemos
encontrar valores de x Є R, aos quais denominamos raízes ou
zeros da função. Para isto, usaremos a seguinte equação:
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A Importância do Delta (Δ)
Como já visto anteriormente o delta(Δ) é definido por:
Δ = b² - 4ac
Descobrindo-se o Δ é possível saber quantas raízes reais a
equação terá. Vejamos algumas situações:
(I) Para Δ < 0, a equação não tem raiz real;
(II) Para Δ = 0, a equação tem uma raiz real;
(III) Para Δ > 0, a equação tem duas raízes reais;
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Raízes da Função Quadrática
Exemplo 1: Determinar os zeros das funções quadráticas
abaixo:
a) y = -x² + 2x + 3
b) y = -x² + x – 1
Exemplo 2 : O quadrado da minha idade menos a idade que
eu tinha 20 anos atrás é igual a 2000. Quantos
anos eu tenho agora?
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Exercícios
Exemplo 3: Determinar os zeros das funções quadráticas
abaixo:
a) y = x² + 2x – 15
b) f(t) = t² - 9
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Soma e Produto
Podemos utilizar o método da soma e produto para resolver
uma equação do segundo grau e, assim, determinar as raízes
de uma função quadrática.
Soma das raízes
Produto das raízes
x’ + x’’ = -b/a
x’ . x’’ = c/a
Sendo ax² + bx + c = 0, dividindo-se tudo por a, obtemos:
x² + (b/a)x + (c/a) = 0. Logo:
x² - Sx + P = 0
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Soma e Produto
Técnica da soma e produto:
Considerar:
Soma: - b
Produto: ac
No final, dividir os dois valores encontrados pelo a.
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Exercícios
Exemplo: Determinar as raízes da equação 12x2 – 10x – 8 = 0.
Determine as raízes das equações abaixo através do método
soma e produto.
a)x² + x – 2 = 0
b)x² - 7x + 10 = 0
c)3x² - 7x + 4 = 0
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Exercícios
Determine o valor de k para que a equação tenha duas raízes x2 + (k – 1).x – 2
= 0, cuja soma seja igual a – 1.
A soma de suas raízes é dada pela seguinte razão:
x1+x2=–b
a
x1+x2=–(k–1)
1
Mas nós temos definido que a soma das raízes é – 1
–1=–(k–1)
1
–k+1=–1
–k=–1–1
(--1).–k=–2.(--1)
k=2
Portanto, para que a soma das raízes dessa equação seja – 1, o valor de k deve
ser 2.
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Vértice da Parábola
O vértice V é representado pelo ponto de intersecção do eixo
de simetria com a própria parábola. Assim sendo, as
coordenadas do vértice V são:
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Conjunto Imagem da Função Quadrática
O conjunto imagem da função quadrática y = ax² + bx + c é
determinado a partir da ordenada(Yv) da parábola.
Consideramos dois casos:
Se a > 0
Apresenta um ponto de
mínimo, em Yv. Assim:
Se a < 0
Apresenta um ponto de
máximo em Yv. Assim:
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Vértice da Parábola
Exemplo 5: Encontre as coordenadas do vértice para cada
função quadrática e classifique o Yv em máximo ou mínimo.
a) y = x² - 4x + 3
b) y = -x² - 10x + 11
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Gráfico da Função Quadrática
Podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática através
dos seguintes passos:
1.
2.
3.
4.
Encontrar as raízes;
Encontrar as coordenadas do vértice;
Classificar o Yv;
Encontrar a intersecção da curva com o eixo Y.
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Gráfico da Função Quadrática
Exemplo 6: Esboce o gráfico das funções abaixo.
a) y = 2x² - 3x + 1
b) y = -x² + x + 6
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Tópico Complementar
Esta seção visa abordar as equações biquadradas, posto que
estão intimamente relacionadas com as equações do segundo
grau.
Equação Biquadrada
Considere a equação:
𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 = 0, se x² = y, temos ay² + by + c = 0, onde:
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Equação Biquadrada
A resolução de uma equação biquadrada pode ser obtida da
seguinte maneira:
1. Substituir x por y² e x² por y;
2. Resolver a equação ay² + by + c = 0
3. Determinar as raízes quadradas de cada uma das raízes da
equação ay² + by + c = 0, após isso, substituir
e
.
Obs: Cada raiz positiva da equação dá origem a duas raízes
simétricas para a biquadrada. Raiz negativa não dá origem
a nenhuma raiz para a biquadrada.
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Equação Biquadrada
Composição da equação biquadrada:
Toda equação biquadrada de raízes x1, x2, x3 e x4 pode ser
composta pela seguinte fórmula:
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Equação Biquadrada
Propriedades:
1. A soma das raízes da equação biquadrada é nula:
2. A soma dos quadrados das raízes reais da equação
biquadrada é igual a:
3. O produto das raízes reais e não-nulas de uma equação
biquadrada é igual a:
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Equação Biquadrada
Exemplos: Resolva as equações biquadradas abaixo:
a) 𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36 = 0
b) 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 6 = 0
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Obrigado pela atenção!
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