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UNIDADE 1 – NOÇÕES SOBRE VETORES
aceleração, força, torque, etc. As grandezas vetoriais são
representadas por vetores.
1.1. DIREÇÃO E SENTIDO
Considere um conjunto de retas paralelas a uma dada
reta R (figura 1).
Tanto as grandezas escalares quanto as grandezas
vetoriais exigirão, para complementar sua caracterização,
uma unidade que as relacionará ao conceito físico
envolvido.
1.3. VETOR
Na figura 3, temos segmentos orientados os quais
possuem a mesma extensão geométrica (comprimento),
a mesma direção e o mesmo sentido, indicado pela seta.
Para a reta R e o conjunto de retas paralelas a esta,
associamos um referencial através de um sistema de
coordenadas cartesianas definidas pelos eixos x e y.
Direção é a orientação de uma trajetória em relação a
uma referência adotada. Na figura 1, a reta R possui uma
direção de θº em relação à abscissa x, a qual foi o
referencial escolhido. Para as demais retas, poderíamos
definir suas direções como paralelas à reta R, ou
também, em uma direção θº em relação à abscissa x.
Porém, a noção de direção não é completa, pois um
objeto pode estar se movendo na direção da reta R, sem
sabermos exatamente para qual lado o mesmo está se
dirigindo. Assim, o conceito de direção nos dá a
possibilidade de dois sentidos.
Sentido é a orientação de uma trajetória dentro de uma
direção conhecida e em relação ao mesmo referencial
adotado. Assim, um objeto movendo-se na direção da
reta R pode ter um sentido de sudoeste para nordeste,
por exemplo, ou vice-versa.
Na figura 2, um objeto se dirige de uma posição A para
outra B conforme a trajetória descrita. Ainda que esta
trajetória tenha sido em curvas, podemos dizer que o
objeto teve um deslocamento na direção horizontal com
sentido de A para B.
1.2. GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
Grandeza Escalar é uma grandeza física representada
por um número real, positivo ou negativo. Como
exemplos, temos tensão, corrente, tempo, massa,
volume, temperatura, pressão, etc.
Grandeza Vetorial é uma grandeza física definida
através de um módulo, uma direção e um sentido. Como
exemplos, temos densidade de corrente, velocidade,
Vetor é o ente matemático caracterizado pelo que há de
comum ao conjunto dos segmentos orientados acima
descrito: o mesmo comprimento, a mesma direção e o
mesmo sentido.
Na figura 3 acima, A, C, E e G representam a origem dos
vetores e B, D, F e H suas extremidades.
Notamos que os segmentos orientados são iguais em
suas extensões geométricas, ou seja:
AB = CD = EF = GH
A esta extensão geométrica, da origem à extremidade,
chamamos de módulo do vetor.
Graficamente, um vetor é representado em escala por um
segmento de reta, cujo comprimento representa o seu
módulo, com uma seta em sua extremidade indicando o
sentido do movimento.
r
r
Notação: vetor: V ou V ( A, B ) ou V
r
módulo do vetor: V ou V
Dois vetores são iguais quando têm o mesmo módulo,
mesma direção e mesmo sentido. Qualquer diferença em
uma destas três características torna diferentes estes
dois vetores.
1.4. OPERAÇÕES COM VETORES
1.4.1. Adição Vetorial
r
r
Considere os vetores V1 ( A, B ) e V2 ( C , D ) da figura 4.
r
O vetor soma VS tem sua origem em A, que é a mesma
r
origem do vetor V1 , e extremidade em D, que é a mesma
r
extremidade do vetor V2 . Graficamente, transporta-se um
dos vetores de forma que a origem de um coincida com a
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extremidade do
consecutivos.
outro.
Os
vetores
devem
ser
r
r
r
Portanto, para subtrair V1 de V2 , deve-se adicionar V2
r
r
ao vetor oposto de V1 , que é igual a − V1 .
Graficamente, obtém-se o vetor diferença ligando-se as
extremidades
dos
segmentos
orientados
que
r
r
r
r
representam V1 e V2 , no sentido de V1 para V2 ,
conforme mostra a figura 7.
r
r
r
Portanto, a soma vetorial será VS = V1 + V2 , onde sua
r
representação mais completa é VS ( A, D ) , onde A e D
são sua origem e extremidade, respectivamente.
Note que esta não é uma soma algébrica. Portanto não
basta simplesmente somar os módulos para encontrar o
resultado.
A figura 5 mostra três exemplos de soma gráfica de
vetores.
1.4.4. Produto de um Número Real por um Vetor
Ao multiplicarmos um número real k ⇒ k ∈ R por um
r
vetor V , obteremos um vetor
seguintes características:
r
r
U = k ⋅V
1.4.2. Vetor Oposto
r
r
módulo: U = k ⋅ V - produto dos módulos
r
r
Chama-se vetor oposto de um vetor V ao vetor − V que
direção: a mesma de V
possui o mesmo módulo, a mesma direção, porém,
sentido contrário.
com as
r
r
sentido: a mesma de V se k > 0
r
o contrário de V se k < 0
r
Se k = 0, resulta que U = 0 (vetor nulo)
1.4.3. Subtração Vetorial
r
A subtração vetorial é a diferença entre dois vetores V2
r
r
e V1 , nesta ordem, tal que o vetor diferença VD seja:
r
r
r
r
r
VD = V2 + ( −V1 ) = V2 − V1
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1.4.5. Projeções de um Vetor
r
Consideremos um vetor V no plano orientado por um
sistema cartesiano x-y, conforme mostra a figura 9, tendo
sua origem em 0 e sua extremidade em A.
Podemos considerar a projeção de um vetor sobre um
eixo como sendo sua “sombra” sobre este eixo. O vetor
r
V possui um ângulo θ com a abscissa x. Podemos
projetá-lo segundo os eixos coordenados x e y, obtendo
r
r
r
V X e VY . Transpondo VY para a direita tal que sua
r
origem coincida com a extremidade de V X , obtemos um
r
r
r
triângulo retângulo de hipotenusa V e catetos V X e VY .
Da trigonometria, sabemos que:
1) o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos (teorema de Pitágoras) ;
2) o seno de um ângulo é igual ao quociente do cateto
oposto a este ângulo pela hipotenusa;
3) o cosseno de um ângulo é igual ao quociente do
cateto adjacente a este ângulo pela hipotenusa;
4) a tangente de um ângulo é igual ao quociente entre
os catetos oposto e adjacente ao ângulo.
Dessa forma, temos que os módulos das projeções do
r
vetor V poderão ser obtidas por quaisquer das equações
abaixo:
V
senθ = Y
V 2 = V X2 + VY2
V
VX
V
cos θ =
tan θ = Y
V
VX
1.5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - VETORES
r
r
1) São dados os vetores x e y de módulos x = 3 e
r
y = 4. Determine graficamente o vetor soma S e
calcule o seu módulo.
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Podemos aplicar a regra dos vetores consecutivos (a)
ou a regra dos paralelogramos (b) para obter
r
graficamente o vetor soma S .
Como a representação gráfica está em escala 1:2,
r
basta medir o comprimento do vetor soma S e
multiplicar por 2, obtendo módulo = 5.
r
Para calcular o módulo do vetor soma S , podemos
usar o teorema de Pitágoras, uma vez que temos um
triângulo retângulo formado pelos vetores.
S 2 = x 2 + y 2 ⇒ S 2 = 3 2 + 4 2 ⇒ S = 25
S=5
Resposta: S = 5
r
r
2) Dados os vetores a e b cujos módulos valem,
respectivamente, 6 e 8. Determine graficamente o
r r r
vetor diferença D = a − b e calcule o seu módulo.
escala 1:2
Solução
r r r
r r
r
A operação D = a − b é equivalente a D = a + ( −b ) .
r
Então, ao vetor a devemos somar o vetor oposto de
r
r
b , isto é, − b .
Da mesma forma que no exercício anterior, podemos
usar a regra dos vetores consecutivos (a) ou a regra
dos paralelogramos (b) para obter graficamente o
r
vetor diferença D .
escala 1:2
Solução
Como a representação gráfica está em escala 1:2,
r
basta medir o comprimento do vetor diferença D e
multiplicar por 2, obtendo módulo = 10.
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r
Para calcular o módulo do vetor diferença D ,
podemos usar o teorema de Pitágoras, uma vez que
temos um triângulo retângulo formado pelos vetores.
D 2 = a 2 + b 2 ⇒ D 2 = 6 2 + 8 2 ⇒ D = 100
D = 10
Resposta: D = 10
r r r
3) No gráfico estão representados os vetores a , b , i e
r
r
r
j . Determine as expressões de a e b em função de
r
r
i e j .
Das relações trigonométricas, tiramos:
VY
⇒ V y = V ⋅ sen 30º ⇒ V y = 200 ⋅ 0 ,5
V
V y = 100 m / s
senθ =
VX
⇒ V X = V ⋅ cos 30º ⇒ V X = 200 ⋅ 0 ,866
V
= 173 ,2 m / s
cos θ =
VX
Resposta: Vx = 173,2 m/s e Vy = 100 m/s
UNIDADE 2 – PRINCÍPIOS DA CINEMÁTICA
Solução
r
O vetor a tem a mesma direção e o mesmo sentido
r
do vetor i e módulo três vezes maior.
r
r
Portanto: a = 3 ⋅ i
r
O vetor b tem a mesma direção e sentido oposto ao
r
vetor j e módulo duas vezes maior.
r
r
Portanto: b = −2 ⋅ j
r
r
r
r
Resposta: a = 3 ⋅ i e b = −2 ⋅ j
4) Um avião sobe com velocidade de 200 m/s e com 30º
de inclinação em relação a horizontal, conforme a
figura. Determine as componentes da velocidade na
horizontal (eixo x) e na vertical (eixo y). São dados:
sen30º = 0,500 e cos30º = 0,866.
A Cinemática é a parte da Mecânica que descreve os
movimentos, determinando a posição, a velocidade e a
aceleração de um corpo em cada instante, sem levar em
consideração as suas causas.
2.1. PARTÍCULA E CORPO EXTENSO
Em física, um corpo é considerado partícula, ou ponto
material, quando suas dimensões são desprezíveis de tal
forma que não influem na análise de determinada
situação. Por exemplo, um carro se movimentando na
BR-116. Neste caso, podemos considerá-lo como sendo
uma partícula, já que suas dimensões quando
comparadas com a extensão da rodovia são totalmente
desprezíveis. Já um corpo extenso é aquele em que
suas dimensões influem de forma significativa em uma
análise. O mesmo carro dentro de uma garagem ocupará
praticamente toda a área disponível e isto deve ser
considerado na análise de seu movimento.
2.2. REFERENCIAL
O conceito de referencial é muito importante no que diz
respeito às trajetórias de um movimento. Imagine duas
pessoas observando um mesmo fenômeno, mas cada
uma delas percebendo uma trajetória diferente. Este é o
caso de um avião, mostrado na figura 1, soltando uma
bomba em campo aberto. Repare que para um
observador fora do avião, a bomba cairá descrevendo
uma trajetória curva (parábola). Já o piloto assiste a
bomba caindo sempre abaixo de seu avião e, portanto,
tem a impressão de uma trajetória reta descendente.
Solução
Na figura abaixo temos representados os módulos da
velocidade do avião e de suas componentes nos eixos
x e y.
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2.3. POSIÇÃO E DESLOCAMENTO
Um ônibus parado na rodovia, ao lado de uma placa
indicando km 50, não significa que este tenha percorrido
50 km e sim, que ele está localizado a 50 km do marco
zero desta rodovia.
Notamos, aqui, que o conceito de posição está
intimamente relacionado com o conceito de referencial.
Um corpo é dito em movimento em relação a um
referencial quando sua posição varia em relação a este.
Variando o local onde se encontra, o corpo descreve uma
curva no espaço que é denominada trajetória.
Orientando-se a trajetória e escolhendo-se um ponto que
sirva como origem para marcarmos distâncias, podemos
definir a posição do corpo na trajetória pela distância à
origem, acompanhada por um sinal que se relaciona com
o sentido escolhido.
A unidade de deslocamento no Sistema Internacional de
Unidades (SI) é o metro (m), sendo permitido o uso de
seus múltiplos e submúltiplos quando necessário.
2.4. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
Velocidade é uma grandeza física que define o quão
rápido um corpo se movimenta. É dada pelo quociente do
espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo.
Aceleração é uma grandeza física que define o quanto
varia a velocidade de um móvel no decurso do tempo. É
dada pelo quociente da variação de velocidade pelo
tempo gasto nesta variação.
2.4.1. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
É a razão entre o deslocamento escalar de um móvel e o
tempo total gasto neste deslocamento. Ver figura 4.
Vm =
∆S S 2 − S1
=
∆t
t 2 − t1
Uma análise na figura 2 revela que o referencial
escolhido na trajetória está em 0. Desta forma, o corpo
encontra-se na posição SA = -14 m e, em um segundo
momento, na posição SB = +10 m, em relação aquele
referencial.
Note que o sinal da posição não depende do sentido do
movimento do corpo. Ele está relacionado à posição que
o corpo ocupa na trajetória em relação ao referencial
adotado.
Quando o ponto material muda de posição, ele sofre um
deslocamento escalar, definido como a diferença entre as
posições final e inicial no intervalo de tempo considerado
para a variação da posição. Na figura 2, o móvel vai de A
para B perfazendo um deslocamento escalar, ou espaço,
dado por:
∆S = S B − S A ⇒ ∆S = −14 − ( +10 ) ⇒ ∆S = −24 m
Se ele fosse de B para A, seu deslocamento escalar, ou
espaço, seria de +24 m. Repare que ∆S tem um sinal
que o relaciona com o sentido do movimento do corpo, se
considerarmos apenas os pontos inicial e final.
O referencial 0 também é chamado de “origem dos
espaços”.
Fisicamente, a velocidade média é um vetor. Na figura 3,
r
temos o vetor deslocamento S . A velocidade vetorial
média é dada por:
r
r
S
Vm =
∆t
r
sendo que o vetor velocidade média Vm tem a mesma
r
direção e sentido do vetor deslocamento S .
2.4.2. VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA
É a velocidade escalar média considerando um intervalo
de tempo extremamente pequeno, tendendo a zero.
V = lim
∆t → 0
Fisicamente, o deslocamento é um vetor. Na figura 3
temos que o deslocamento vetorial do corpo é dado por
um vetor com origem em A e extremidade em B, cujo
módulo A-B é menor que o deslocamento escalar
realizado e a direção e sentido são como indicados.
∆S
∆t
r
sendo que o vetor velocidade média Vm tem a mesma
r
direção e sentido do vetor deslocamento S .
Fisicamente, a velocidade instantânea é um vetor. Na
figura 4, o móvel ocupa diversas posições ao longo da
trajetória, tendo uma velocidade instantânea em cada
uma destas posições. A velocidade vetorial instantânea
é um vetor tangente à trajetória na posição em que se
encontra o móvel e tem as seguintes características:
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módulo: igual ao da velocidade escalar instantânea no
tempo considerado.
direção: tangente à trajetória na posição.
sentido: do movimento.
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
Precisamos determinar os intervalos de tempo que o
ônibus gasta para percorrer cada um dos trechos.
É também chamada de velocidade tangencial.
trecho a: Santos-Curitiba
∆S a
∆S a
480
Va =
⇒ ∆t a =
⇒ ∆t a =
⇒ ∆t a = 8 h
∆t a
Va
60
trecho b: Curitiba-Florianópolis
∆S b
∆S b
300
Vb =
⇒ ∆t b =
⇒ ∆t b =
⇒ ∆t b = 4 h
Vb
∆t b
75
A unidade de tempo no Sistema Internacional de
Unidades (SI) é o segundo (s), sendo permitido o uso de
seus múltiplos e submúltiplos quando necessário.
A unidade de velocidade no Sistema Internacional de
Unidades (SI) é o metro por segundo (m/s), sendo
permitido o uso de seus múltiplos e submúltiplos quando
necessário.
Vamos calcular o deslocamento efetuado entre Santos
e Florianópolis e qual o tempo total gasto para
percorrê-lo.
∆S = ∆S a + ∆S b ⇒ ∆S = 480 + 300 ⇒ ∆S = 780 km
2.4.3. ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA
É a razão entre a variação da velocidade escalar de um
móvel e o tempo total necessário para se obter esta
variação.
∆V V2 − V1
=
am =
∆t
t 2 − t1
Fisicamente, a aceleração média é um vetor com a
mesma direção do vetor velocidade e sentido
dependendo se o movimento é acelerado ou retardado,
como veremos adiante. A aceleração vetorial média é
dada por:
r
r
V
am =
∆t
2.4.4. ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA
∆t = ∆t a + ∆t b ⇒ ∆t = 8 + 4 ⇒ ∆S = 12 h
Assim, a velocidade escalar média do ônibus entre
Santos e Florianópolis vale:
780
∆S
Vm =
⇒ Vm =
12
∆t
Vm = 65 km / h
Resposta: Vm = 65 km/h
2) Em um anúncio de certo tipo de automóvel, afirma-se
que o veículo, partindo do repouso, atinge a
velocidade de 108 km/h em 8 s. Qual é a aceleração
escalar média desse automóvel?
É a aceleração escalar média considerando um intervalo
de tempo extremamente pequeno, tendendo a zero.
Solução
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
Vemos que a velocidade e o tempo não estão na
mesma base. Passemos a velocidade para m/s.
∆V
a = lim
∆t →0 ∆t
Fisicamente, e da mesma forma que a aceleração média,
a aceleração instantânea é um vetor com a mesma
direção do vetor velocidade e sentido dependendo se o
movimento é acelerado ou retardado, como veremos
adiante.
km 108 m
=
= 30 m / s
h
3 ,6 s
∆V V2 − V1
=
Sabemos que a m =
. Tomando V1 = 0 e
∆t
t 2 − t1
t1 = 0, temos que V2 = 108 km/h e t2 = 8 s.
108
É também conhecida como aceleração tangencial.
A unidade de aceleração no Sistema Internacional de
Unidades (SI) é o metro por segundo ao quadrado
(m/s²), sendo permitido o uso de seus múltiplos e
submúltiplos quando necessário.
am =
Isto nos diz que o carro aumenta sua velocidade de
3,75 m/s a cada segundo.
2.4.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VELOCIDADE E
ACELERAÇÃO
1) Um ônibus percorre a distância de 480 km entre
Santos e Curitiba, com velocidade escalar média de
60 km/h. De Curitiba a Florianópolis, distantes 300 km,
o ônibus desenvolve a velocidade escalar média de 75
km/h. Qual é a velocidade escalar média do ônibus
entre Santos e Florianópolis?
Solução
∆V V2 − V1 30 − 0
=
= 3 ,75 m / s 2
=
t 2 − t1
8
∆t
Resposta: am = 3,75 m/s²
2.5. TIPOS DE MOVIMENTO
Na Cinemática, os tipos de movimento são:
¾
¾
¾
¾
Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
Movimento Circular Uniforme (MCU)
Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV)
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¾ Movimento Vertical no Vácuo (queda livre)
¾ Lançamento Horizontal no Vácuo
¾ Lançamento Oblíquo no Vácuo
Passemos, agora, a estudar estes movimentos.
2.5.1. MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
O movimento de uma partícula é uniforme quando ela
percorre, ao longo de sua trajetória, espaços iguais em
intervalos de tempos iguais. Assim, movimento uniforme
é o que se processa com velocidade escalar constante e
não nula.
A cada trajetória associamos um sentido positivo de
percurso. Na figura 5, o movimento que se efetua neste
sentido é chamado progressivo e se caracteriza por ter
sua velocidade positiva (V > 0). O movimento que se
efetua em sentido contrário é chamado regressivo ou
retrógrado. Neste caso a velocidade é considerada
negativa (V < 0). Portanto, o sinal (+) ou (-) associado à
velocidade indica se o movimento é progressivo ou
retrógrado.
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crescem algebricamente com o tempo. O gráfico
representativo é o de uma reta inclinada para cima.
b) se a velocidade é negativa, ou seja, o móvel caminha
no sentido contrário ao da trajetória, as posições
decrescem algebricamente no decorrer do tempo. O
gráfico representativo será o de uma reta inclinada para
baixo.
c) o valor da ordenada em que a reta corta o eixo S
representa o valor de S0.
d) quando o corpo estiver em repouso, isto é, quando
V = 0, a posição do móvel não se altera e a reta passa a
ser paralela ao eixo t.
e) a tangente do ângulo θ é numericamente igual à
velocidade.
S − S1
∆S
tan θ = 2
=
=V
t 2 − t1
∆t
Ao analisarmos o gráfico V x t (figura 7), podemos
deduzir que a área formada pelos pontos a-b-t2-t1, sob a
reta, é igual à ∆S.
Se a velocidade escalar é constante, temos que a
aceleração no MRU é nula.
2.5.1.1. FUNÇÃO HORÁRIA DO MRU
O movimento uniforme pode ser escrito matematicamente
por uma equação que relaciona o espaço percorrido pelo
móvel com o instante de tempo.
S = S0 + V ⋅ t
(B + b)
⋅h
2
Tiramos do gráfico que B = V2, b = V1 e h = t2 – t1
A área de um trapézio é dada por A =
Substituindo: A =
2.5.1.2. GRÁFICOS DO MRU
A função horária das posições de um movimento retilíneo
uniforme é uma equação da reta (1º grau) dada em
função do tempo.
Ao analisarmos o gráfico S x t (figura 6), podemos
deduzir algumas propriedades do MRU.
(V2 + V1 )
⋅ ∆t ⇒ A = Vm ⋅ ∆t ⇒ A = ∆S
2
2.5.1.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - MRU
3) Um móvel passa pela posição +50m no instante inicial
e caminha contra a orientação da trajetória. Sua
velocidade escalar é constante e igual a 25 m/s em
valor absoluto. Determine:
a) a sua função horária;
b) o instante em que o móvel passa pela origem das
posições.
Solução
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
Pelo enunciado do problema, temos que S0 = +50 m e
V = -25 m/s, uma vez que o móvel caminha contra a
orientação positiva da trajetória (movimento
retrógrado).
a) quando a velocidade é positiva, ou seja, o móvel
caminha no sentido positivo da trajetória, as posições
A função horária do MRU é S = S 0 + V ⋅ t
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Assim, a função horária do móvel será S = 50 − 25 ⋅ t
d) a posição do encontro.
A origem das posições se dá em S = 0 pois o
movimento é retrógrado. Assim, o instante que o
móvel passa pela origem da trajetória será:
Solução
0 = 50 − 25 ⋅ t ⇒ 25 ⋅ t = 50 ⇒ t = 2 s
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
Resposta: S = 50 − 25 ⋅ t e t = 2 s
a) as próprias funções horárias nos fornecem a
posição inicial e a velocidade de cada móvel.
4) Uma composição ferroviária com 19 vagões e uma
locomotiva desloca-se a uma velocidade constante de
20 m/s. Sendo o comprimento de cada composição
igual a 10 m. Qual o tempo que o trem gasta para
ultrapassar:
a) Um sinaleiro?
b) uma ponte de 100 m de comprimento?
Solução
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
móvel A: S0A = 60 m e VA = -10 m/s
móvel B: S0B = 15 m e VB = +5 m/s
b) o móvel A tem movimento retrógrado, pois sua
velocidade é negativa. O móvel B tem movimento
progressivo, pois sua velocidade é positiva.
c) os móveis A e B irão se encontrar quando suas
posições forem iguais (SA = SB). Assim, igualando as
funções horárias:
60 − 10 ⋅ t = 15 + 5 ⋅ t ⇒ t = 3 s
Observe que o trem tem ao todo 20 composições (19
vagões + 1 locomotiva). Se cada composição tem
10 m, o trem um comprimento total de 200 m.
d) para obtermos a posição do encontro, basta
substituirmos o valor de t encontrado em qualquer
uma das funções horárias.
Imagine um ponto material localizado na parte mais
frontal do trem. Vamos determinar a função horária
que descreve o movimento deste ponto material.
S A = 60 − 10 ⋅ t ⇒ S A = 60 − 10 ⋅ 3 ⇒ S A = 30 m
A função horária do MRU é S = S 0 + V ⋅ t
Se colocarmos nossa origem dos espaços (referência)
no sinaleiro e no início do túnel, podemos estabelecer
que S0 = 0. Vamos admitir a trajetória positiva
segundo o movimento do trem (movimento
progressivo).
Assim, a função horária do ponto material será:
S = 0 + 20 ⋅ t ⇒ S = 20 ⋅ t
a) o trem ultrapassará completamente o sinaleiro
percorrendo um espaço S = 200 m. Logo, o trem leva,
para ultrapassar o sinaleiro, um tempo de:
S = 20 ⋅ t ⇒ 200 = 20 ⋅ t ⇒ t = 10 s
b) o trem ultrapassará completamente a ponte
percorrendo um espaço S = 200 m + 100 m = 300 m.
Logo, o trem leva, para ultrapassar a ponte, um tempo
de:
S = 20 ⋅ t ⇒ 300 = 20 ⋅ t ⇒ t = 15 s
Resposta: a) t = 10 s b) t = 15 s
5) Dois móveis A e B descrevem movimentos sobre a
mesma trajetória e as funções horárias dos
movimentos são SA = 60 – 10.t e SB = 15 + 5 t
(unidades do SI). Determine:
a) a posição inicial e a velocidade de cada móvel;
b) o sentido dos movimentos (movimento progressivo
ou retrógrado);
c) o instante do encontro;
Resposta:
a) S0A = 60 m e S0B = 15 m
VA = -10 m/s e VB = +5 m/s
b) A é retrógrado e B é progressivo
c) t = 3 s
d) SA = SB = 30 m
2.5.2. MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE
VARIADO (MRUV)
No MRUV, o móvel descreve uma trajetória com
velocidade variável e aceleração constante e não nula.
2.5.2.1. CLASSIFICAÇÃO DO MRUV
A classificação do movimento com variação de
velocidade escalar é feita comparando-se os sinais da
velocidade e da aceleração em certo momento, deste
modo:
ACELERADO ⇒ mesmo sinal
se V > 0, então a > 0 / se v < 0, então a < 0
RETARDADO ⇒ sinais opostos
se V > 0, então a < 0 / se V < 0, então a > 0
Conclui-se que nos movimentos acelerados, o módulo da
velocidade aumenta, enquanto que nos movimentos
retardados, diminui.
2.5.2.2. FUNÇÕES HORÁRIAS DO MRUV
Temos duas funções horárias para o MRUV, as quais são
de fácil dedução.
função horária das velocidades: V = V0 + a ⋅ t
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função horária das posições: S = S0 + V0 ⋅ t +
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⋅a⋅t2
2
2.5.2.3. EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Temos até agora duas funções que nos permitem saber a
posição do móvel e a sua velocidade em relação ao
tempo. Torna-se útil encontrar uma equação que
possibilite conhecer a velocidade de um móvel sem saber
o tempo. A equação de Torricelli relaciona a velocidade
com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida eliminando
o tempo entre as funções horárias da posição e da
velocidade.
V 2 = V02 + 2 ⋅ a ⋅ ∆S
2.5.2.4. GRÁFICOS DO MRUV
Por fim, precisamos analisar o gráfico S x t (figura 10).
Este gráfico, por ser construído a partir da função horária
quadrática das posições, será uma parábola com as
seguintes características:
Ao analisarmos o gráfico V x t (figura 8), podemos
deduzir algumas propriedades do MRUV.
a) quando a aceleração é positiva, as velocidades
crescem algebricamente com o tempo. O gráfico
representativo é o de uma reta inclinada para cima e o
movimento é dito acelerado
b) quando a aceleração é negativa, as velocidades
decrescem algebricamente com o tempo. O gráfico
representativo é o de uma reta inclinada para baixo e o
movimento é dito retardado.
c) o valor da ordenada em que a reta corta o eixo V
representa o valor de V0.
d) quando não houver aceleração sobre o móvel, isto é,
quando a = 0, a velocidade do móvel não se altera e a
reta passa a ser paralela ao eixo t.
e) a tangente do ângulo θ é numericamente igual à
aceleração.
V − V1
∆V
tan θ = 2
=
=a
t 2 − t1
∆t
Passemos agora para a análise do gráfico a x t (figura 9).
A área sob o gráfico é dada por A = b ⋅ h (área de um
retângulo). Porém, sabemos que b = ∆t e h = a.
Portanto, A = a ⋅ ∆t ⇒ A = ∆V
No ponto de inflexão das curvas, a velocidade será zero e
haverá a inversão do movimento.
No caso de a > 0 : na metade esquerda da parábola,
teremos um movimento retrógrado acelerado, mudando
para progressivo acelerado na metade direita.
No caso de a < 0 : na metade esquerda da parábola,
teremos um movimento progressivo retardado, mudando
para retrógrado retardado na metade direita.
2.5.2.5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - MRUV
6) Um móvel tem velocidade de 20 m/s quando a ele é
aplicada uma aceleração constante e igual a -2 m/s2 .
Determine:
a) o instante em que o móvel para;
b) classifique o movimento antes da parada e depois
da parada sabendo-se que o móvel continuou com
aceleração igual.
Solução
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
a) temos que V = V0 + a ⋅ t . Do enunciado temos que
V = 0, V0 = 20 m/s e a = -2 m/s. Substituindo, vem:
0 = 20 − 2 ⋅ t ⇒ 2 ⋅ t = 20 ⇒ t = 2 s
b) Antes da parada, o móvel move-se no sentido da
trajetória com aceleração negativa e, portanto, o
movimento é progressivo retardado.
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Após a parada, ocorre a inversão do movimento com a
mesma aceleração e velocidade contrária a trajetória.
Temos, portanto, um movimento retrógrado acelerado.
Resposta:
a) t = 2 s
b) antes da parada: progressivo retardado
após a parada: retrógrado acelerado
7) Um móvel desloca-se sobre uma reta segundo a
2
função horária S = -15 - 2t + t (unidades no SI).
Pede-se:
a) o tipo de movimento;
b) a posição inicial;
c) a velocidade inicial;
d) a aceleração;
e) a função V = f(t);
f) o instante em que o móvel passa pela origem das
posições.
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Solução
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
Como não sabemos em que tempo se deu o
fenômeno, tampouco temos dados suficientes para
encontrá-lo, usaremos a equação de Torricelli.
V 2 = V02 + 2 ⋅ a ⋅ ∆S
Temos que V0 = 0; V = 144 km/h; S0 = 0 e S = 50 m
Precisamos converter as unidades para a mesma
base.
144
km 144 m
=
= 40 m / s
h
3 ,6 s
Solução
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
Substituindo na equação de Torricelli, vem:
40 2 = 0 + 2 ⋅ a ⋅ ( 50 − 0 ) ⇒ 100 ⋅ a = 1600
a = 16 m / s 2
a) para sabermos o tipo de movimento, precisamos
saber o sinal da velocidade e da aceleração. Da
função horária, tiramos que V0 < 0 e a > 0.
Portanto, temos um MRUV retrógrado acelerado.
2.5.3. MOVIMENTOS CIRCULARES
b) da função horária, tiramos que S0 = -15 m
2.5.3.1. GRANDEZAS ANGULARES
c) da função horária, tiramos que V0 = -2 m/s
Quando os móveis descrevem trajetórias circulares,
podemos determinar suas posições por meio de um
ângulo central φ em lugar do espaço S medido na própria
trajetória (figura 11). Este ângulo φ é chamado de
espaço angular.
d) da função horária, tiramos que:
1
⋅ a = +1 ⇒ a = +2 m / s 2
2
e) a função horária V x t é V = V0 + a ⋅ t . Assim:
Resposta: a = 16 m/s²
V = −2 + 2 ⋅ t
f) da função horária S = S 0 + V0 ⋅ t +
1
⋅ a ⋅ t 2 tiramos:
2
S = −15 − 2 ⋅ t + t 2
A origem das posições será em S = 0. Portanto:
0 = −15 − 2 ⋅ t + t 2 ⇒ t 2 − 2 ⋅ t − 15 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos as
raízes:
t1 = 5 s e t 2 = −3 s
Descartamos t 2 = −3 s , pois fisicamente não existe
tempo negativo. Assim, o instante me que o móvel
passa pela origem das posições é t1 = 5 s .
Resposta:
a) MRUV retrógrado acelerado
b) S0 = -15 m
c) V0 = -2 m/
d) a = +2 m / s 2
e)
f)
V = −2 + 2 ⋅ t
t1 = 5 s
8) Um carro parte do repouso e ao final de 50m ele
atinge uma velocidade de 144 km/h. Determine a
aceleração desse carro.
O espaço angular φ se relaciona com o espaço linear S
pela expressão:
S = ϕ ⋅R
sendo R o raio da trajetória circular.
Por analogia com os movimentos lineares, podemos
encontrar a velocidade angular ω e a aceleração
angular γ.
velocidade angular média: ϖ m =
∆ϕ
∆t
velocidade angular instantânea: ϖ = lim
∆t →0
∆ϕ
∆t
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aceleração angular média: γ m =
∆ϖ
∆t
aceleração angular instantânea: γ = lim
∆t →0
A unidade de período no Sistema Internacional de
Unidades (SI) é o segundo (s), com seus múltiplos e
submúltiplos.
∆ϖ
∆t
A velocidade angular ω se relaciona com a velocidade
linear V pela expressão:
V = ω ⋅R
A aceleração angular γ se relaciona com a aceleração
linear pela expressão:
a = γ ⋅R
A unidade de espaço angular no Sistema Internacional
de Unidades (SI) é o radiano (rad).
A unidade de velocidade angular no Sistema
Internacional de Unidades (SI) é o radiano por segundo
(rad/s).
A unidade de aceleração angular no Sistema
Internacional de Unidades (SI) é o radiano por segundo
ao quadrado (rad/s²).
A unidade de freqüência no Sistema Internacional de
Unidades (SI) é o Hertz (Hz).
1 Hz = 1 ciclo/s
2.5.3.3. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
No movimento uniforme, o móvel percorre distâncias
iguais em intervalos de tempo iguais. No caso particular
do MCU, como a trajetória é circular, decorre que o
intervalo de tempo de cada volta completa é sempre o
mesmo. Portanto, o MCU é um movimento periódico. Seu
período T é o intervalo de tempo de uma volta completa.
O número total de voltas realizadas na unidade de tempo
é a freqüência.
Por analogia com o MRU, temos que: ϕ = ϕ 0 + ϖ ⋅ t
Para uma volta completa, temos que ω = 2π = 360º
Assim: 2 ⋅ π = 0 + ϖ ⋅ T ⇒ ϖ =
Para conversão de graus em radianos, usar 180º = π rad.
2.5.3.2. PERÍODO E FREQUÊNCIA
Dizemos que um fenômeno é periódico quando ele se
repete, identicamente, em intervalos de tempo sucessivos
e iguais.
Período (T) é o menor intervalo de tempo de repetição do
fenômeno.
Como exemplos, temos:
¾ o pêndulo da figura 12 sai de A para B e retorna para
A, perfazendo um período,
¾ o ponteiro das horas de um relógio passa pela
mesma posição de 12 em 12 horas,
¾ o movimento de rotação da Terra em torno do seu
eixo se completa a cada 24 horas,
¾ o fenômeno das marés se repete de 12 em 12 horas.
2 ⋅π
ou ϖ = 2 ⋅ π ⋅ F
T
Estudemos a aceleração vetorial e suas componentes.
Uma das componentes, já vista, é a aceleração
tangencial. Porém, devido à mudança de direção da
velocidade na trajetória, surge uma componente
chamada de aceleração centrípeta, cuja direção é radial
com sentido para o centro da curva, conforme mostra a
figura 13.
r r
r
Desta forma, o vetor aceleração será a = a t + a cp , com
direção variável ao longo da trajetória e sentido do
movimento.
a aceleração centrípeta possui módulo expresso em
função da velocidade tangencial V ou da velocidade
angular ω.
Freqüência (F) é o número de vezes em que o fenômeno
se repete na unidade de tempo.
Período e freqüência se relacionam por: F =
1
T
r
V2
acp =
=ϖ 2 ⋅R
R
No caso do MCU, como a velocidade tangencial é
constante, sua aceleração tangencial é zero. Portanto,
sua aceleração vetorial é a aceleração centrípeta.
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r r
r
r
r
r r
Logo, a = a t + a cp ⇒ a = 0 + a cp ⇒ a = a cp
A freqüência será F =
2.5.3.4. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
VARIADO (MCUV)
b) A velocidade angular é dada por:
O MCUV não é um movimento periódico, pois o módulo
de sua velocidade varia e, portanto, o tempo de cada
volta na circunferência é variável.
ϖ =
Possui aceleração centrípeta e aceleração tangencial,
sendo a aceleração total a soma vetorial destas (figura
13).
Por analogia com o MRUV, temos:
ϕ = ϕ0 + ϖ 0 ⋅ t +
ϖ =ϖ0 +γ ⋅t
1
⋅γ ⋅t2
2
A velocidade linear é:
V =ϖ ⋅R ⇒V =
π
5
⋅ 15 ⇒ V = 3 ⋅ π cm / s
d) A aceleração centrípeta tem módulo dado por:
Resposta:
a) T = 10 s e F = 0,1 Hz
A aceleração angular γ é constante e não nula.
2.5.3.5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – MOVIMENTO
CIRCULAR (MC)
Um motor executa 600 rotações por minuto (rpm).
Determine sua freqüência em Hertz e seu período
em segundos.
Solução
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
A freqüência do motor é de 600 rpm, isto é:
F = 600 rpm = 600
rot
rot
rot
= 600
= 10
s
60 s
min
F = 10 Hz
O período é T =
π
2 ⋅π
2 ⋅π
⇒ϖ =
⇒ ϖ = rad / s
T
10
5
r
r
V2
( 3 ⋅ π )2
a cp =
=
⇒ acp = 0 ,6 ⋅ π 2 cm / s 2
R
15
ϖ 2 = ϖ 02 + 2 ⋅ γ ⋅ ∆ϕ
9)
c)
1
1
=
⇒ F = 0 ,1 Hz
T 10
1
1
=
⇒ T = 0 ,1 s
F 10
Resposta; F = 10 Hz e T = 0,1 s
10) Um ponto material descreve uma circunferência
horizontal com velocidade constante em módulo. O
raio da circunferência é 15 cm e o móvel completa
uma volta a cada 10 s. Calcule:
a) o período e a freqüência;
b) a velocidade angular;
c) a velocidade escalar.
d) o módulo da aceleração centrípeta.
Solução
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
a) O período T é 10 s, que corresponde ao tempo
necessário para o ponto material completar uma
volta.
b)
π
c)
rad / s
5
3 ⋅ π cm / s
d)
0 ,6 ⋅ π 2 cm / s 2
11) Um ponto realiza MCUV numa circunferência de raio
igual a 10 cm. No instante t = 0 a velocidade angular
é 10 rad/s e 5 s depois é 30 rad/s. Determine
aproximadamente o número de revoluções (voltas)
que o móvel realiza nestes 5 s. Considere π = 3,14.
Solução
Primeiro, devemos verificar se as unidades são
compatíveis. Caso não sejam, devemos transformálas em uma mesma base.
De ϖ = ϖ 0 + γ ⋅ t , sendo ω0
ω = 30 rad/s quando t = 5 s, vem:
=
10
rad/s
e
30 = 10 + γ ⋅ 5 ⇒ 5 ⋅ γ = 20 ⇒ γ = 4 rad / s 2
1
⋅ γ ⋅ t 2 , sendo φ0 = 0
2
(adotado), ω0 = 10 rad/s, γ = 4 rad/s² e t = 5 s,
resulta:
De
ϕ = ϕ0 + ϖ 0 ⋅ t +
ϕ = 0 + 10 ⋅ 5 +
1
⋅ 4 ⋅ ( 5 ) 2 ⇒ ϕ = 100 rad
2
O número de voltas em 100 rad é obtido por uma
regra de três simples:
1 volta ---------- 2.π rad
n voltas -------- 100 rad
100
50
n=
=
≈ 15 ,9 ⇒ n ≈ 16 voltas
2 ⋅π
π
Resposta: n ≈ 16 voltas
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