Enumerabilidade em Subconjuntos de R

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Relatório de Pesquisa
Enumerabilidade em Subconjuntos de R
Laís Ribeiro Lima
Bolsista pelo Programa de Iniciação Cientí…ca
Projeto "Integrando a Amazônia"/UNIR/SBM
Thiago Ginez Velanga Moreira
Orientador
Porto Velho, Dezembro de 2013
IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO
1. TÍTULO DO PROJETO
Iniciação aos Fundamentos da Análise Matemática
2. LOCAL DE EXECUÇÃO
Departamento de Matemática - NCET - UNIR - Campus de Porto Velho
3. ÁREA DE PESQUISA
Análise
4. COORDENADOR
Prof. Dr. Tomas Daniel Menendez Rodriguez
5. ORIENTADOR
Prof. Msc. Thiago Ginez Velanga Moreira
6. ORIENTANDA
Laís Ribeiro Lima
7. PERÍODO DE REALIZAÇÃO
Fevereiro a Dezembro de 2013
Thiago Ginez Velanga Moreira
Orientador
Laís Ribeiro Lima
Aluna
ii
Sumário
1 Detalhamento do Relatório
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . .
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . .
1.3 Metodologia . . . . . . . . . . .
1.3.1 Conteúdo Desenvolvido
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1
1
2
2
2
2 De…nições Básicas
2.1 Conjuntos e funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 O Princípio da Boa Ordenação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
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3 Conjuntos …nitos e in…nitos enumeráveis
3.1 Conjuntos …nitos . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Conjuntos in…nitos . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Conjuntos in…nitos enumeráveis . . . . . . . .
3.3.1 A enumerabilidade de Z . . . . . . . .
3.3.2 Enumerabilidade num conjunto in…nito
3.3.3 Enumerabilidade em N . . . . . . . . .
3.3.4 A enumerabilidade de Q . . . . . . . .
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X
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4 Corpos Ordenados
4.1 De…nições e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Corpo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Corpo completo arquimediano . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 O Axioma Fundamental da Análise Matemática
4.4.2 R não é enumerável . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Intervalos de números reais não são enumeráveis
4.4.4 (R Q) não é enumerável . . . . . . . . . . . .
iii
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22
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27
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28
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32
Capítulo 1
Detalhamento do Relatório
1.1
Introdução
O projeto "Integrando a Amazônia"é uma proposta da Sociedade Brasileira de
Matemática para desenvolver e consolidar as atividades de pesquisa e pós-graduação
em Matemática (SBM) na região norte. Propõe-se uma estrutura de cooperação
acadêmica entre as universidades federais desta região e os programas de pós-graduação
de excelência na área (notas 6 e 7), coordenada pela SBM. Espera-se, com isto, que
seja elevado o nível dos conhecimentos de matemática dos alunos desta região, a …m de
incrementar a qualidade dos professores nas escolas do estado.e o número de mestres e
doutores na área.
A aluna Laís Ribeiro Lima, do curso de Licenciatura em Matemática da Fundação
Universidade Federal de Rondônia –UNIR, foi submetida a um exame de ingresso o qual
a selecionou para formar parte do programa de iniciação cientí…ca criado pelo projeto
“Integrando a Amazônia”. Ao longo de suas atividades gerais, a aluna foi iniciada na
realização de pesquisas que fazem uso dos elementos e técnicas de demonstrações da
Análise Matemática visando, com isso, progressivo e futuro aprofundamento nessa área
de conhecimento e suas aplicações.
Este trabalho descreve e resume as atividades exercidas pela bolsista neste programa
de iniciação cientí…ca no período de fevereiro a dezembro de 2013. Serão exibidos
aqui uma exposição introdutória do plano de trabalho executado, seus objetivos, a
metodologia e, …nalmente, o conteúdo pesquisado e desenvolvido.
1
1.2
Objetivos
O objetivo geral deste trabalho é norteado por duas importantes perspectivas, a
saber: incrementar os conhecimentos da bolsista em conteúdos da Análise Matemática
visando introduzí-la em pesquisas petinentes a este ramo da matemática pura e,
…nalmente, reforçar sua preparação em conteúdos relevantes para o ingresso em cursos
de mestrado em matemática.
Podemos dizer que o objetivo especí…co deste trabalho passa por duas etapas. A
primeira é compreender e obter um relativo domínio sobre os conceitos gerais e fatos
básicos a respeito de conjuntos e funções. A segunda é aplicar tais conceitos para fazer
um estudo sobre a enumerabilidade em Subconjuntos de R.
1.3
Metodologia
A orientanda participou de um curso de extensão, com duração de 100 horas/aula,
denominado Introdução à Análise Matemática. Neste curso, foi desenvolvido, com
detalhes, todo o conteúdo referente à teoria geral dos conjuntos e das funções,
culminando num estudo relativamente aprofundado sobre o corpo ordenado dos números
reais. Concomitantemente e, com freqüência de uma vez a cada mês, foram realizados
encontros especí…cos, em forma de seminário, nos quais foram resolvidos exercícios e
problemas em geral relacionados ao curso.
Paralelamente, sob orientação especí…ca de seu orientador, a bolsista realizou
um estudo dirigido sobre Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis, o
qual forneceu embasamento teórico su…ciente para a construção da Enumerabilidade
dos conjuntos: N dos números naturais, Z dos números inteiros e Q dos Números
Racionais, e a não-enumerabilidade dos reais e irracionais. Tal construção, encontra-se
desenvolvida e escrita neste relatório
1.3.1
Conteúdo Desenvolvido
De acordo com o cronograma elaborado no plano de trabalho deste projeto de
iniciação cientí…ca, a aluna trabalhou os seguintes tópicos abaixo listados:
1. Conjuntos e Funções
(a) Conjuntos
(b) Operações entre conjuntos
(c) Funções
(d) Composição de funções
2
2. Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis
(a) Números naturais
(b) Princípio da boa ordenação
(c) Conjuntos …nitos e in…nitos
(d) Conjuntos enumeráveis
(e) Conjuntos não-enumeráveis
3. Numeros Reais
(a) Corpos
(b) Corpos ordenados
(c) Números reais
3
Capítulo 2
De…nições Básicas
Neste capítulo, provaremos alguns fatos básicos a respeito de conjuntos e funções
que se farão necessários para a compreensão de nosso resultado principal. Alguns
resultados encontram-se apenas enunciados, sem demonstração. Assim o …zemos pois
optamos pelo critério da objetividade do trabalho, no qual tais resultados têm aplicações
mais relevantes do que sua própria demonstração.
2.1
Conjuntos e funções
Passaremos agora a adotar os conceitos de função injetora, sobrejetora e
composição de funções com o objetivo de enunciar e provar os resultados desta seção.
Começaremos com a seguinte
Proposição 2.1.1 Sejam f : A ! B e g : B ! C funções bijetoras. Então, a composta
g f : A ! C é também uma bijeção.
Demonstração: Sejam dados x; y 2 A quaisquer. Temos que
(g f )(x) = (g f )(y)
) g(f (x)) = g(f (y)),
como g é injetora, esta última igualdade implica
f (x) = f (y):
Utilizando agora o fato de f ser injetora, concluímos que
x = y.
Fica mostrado, com isto, que a composta g f é injetora. Para mostrar que g f
é sobrejetora, seja dado z 2 C arbitrário. Vamos mostrar que existe x 2 A tal que
z = (g f ) (x). De fato, g é sobrejetora, então, existe y 2 C tal que
z = g(y).
4
(2.1)
Utilizando agora o fato de f ser sobrejetora, obtemos x 2 A tal que
y = f (x) .
(2.2)
Segue de (2:1) e (2:2) que
z = (g f ) (x) ,
mostrando que g f é sobrejetora. Concluimos daí que a composta g f é bijeção.
Observação 2.1.2 O resultado que acabamos de mostrar é de aplicação rotineira e
muitas vezes é utilizado sem ao menos ser citado. É importante notar que, a …m de
que a composta g f seja injetora, basta que a imagem f (A) esteja contida no domínio
da g:
Daqui em diante, faremos constante uso do conceito de função inversível Antes
disso, de…niremos inversa à esquerda e à direita de uma dada função f .
De…nição 2.1.3 Dadas as funções f : A ! B e g : B ! A, diremos que g é uma
inversa à esquerda para f quando
g f = idA : A ! A
De…nição 2.1.4 Dadas as funções f : A ! B e g : B ! A, diremos que g é uma
inversa à direita para f quando
f
g = idB : B ! B
Os dois seguintes teoremas caracterizam funções injetivas e sobrejetivas.
Teorema 2.1.5 Uma função f : A ! B possui inversa à esquerda se, e somente se, é
injetiva.
Teorema 2.1.6 Uma função f : A ! B possui inversa à direita se, e somente se, é
sobrejetiva.
Finalmente, daremos agora o conceito de função inversa.
De…nição 2.1.7 Uma função g : B ! A chame-se inversa da função f : A ! B
quando
g f = idA e f g = idB ,
isto é, quando g é inversa à esquerda e à direita para f:
Composição de funções é uma operação associativa, isto é consequência imediata
da própria de…nição desta operação. Utilizaremos este fato para mostrar que se uma
função f : A ! B possui uma inversa, ela é única.
5
Proposição 2.1.8 Seja f : A ! B uma função inversível. Então, a função inversa de
f é única.
Demonstração: Suponhamos que g : B ! A e h : B ! A sejam duas inversas de f:
Então, utilizando a De…nição 2.1.7, obtemos que
h = h idB = h (f
g) = (h f ) g = idA g = g,
e, portanto, a inversa é única.
Observação 2.1.9 Esta última demonstração contém um fato extra, o qual podemos
enunciá-lo da seguinte forma: "Se f possui uma inversa á esquerda, h, e uma inversa
à direita, g, então
h=g
e f tem uma inversa.
Observação 2.1.10 Escreveremos f
f :A!B
1
: B ! A para indicar a inversa da bijeção
Uma função inversível passa a ser agora caracterizada pelo seguinte fato:
Proposição 2.1.11 Uma função f : A ! B possui inversa se, e somente se, f é uma
bijeção.
Demonstração: Se f possui uma inversa, seja g sua inversa. Então, pela De…nição
2.1.7, g é uma inversa à esquerda e à direita para f . Segue dos Teoremas 2.1.5 e 2.1.6 que
f é bijeção. Reciprocamente, se f é bijeção, então os teoremas 2.1.5 e 2.1.6 garantem
a existência de uma inversa à esquerda, h, e de uma inversa à direita, g, para f: Pela
Observação 2.1.9,
h = g = f 1.
Portanto, f possui inversa.
2.2
O Princípio da Boa Ordenação
Seja X um conjunto de números naturais. Dizemos que um número p 2 X é o
menor elemento de X (ou elemento mínimo de X) quando se tem
p
n para todo n 2 X:
Muitas vezes, escreveremos
p = min X
para signi…car que p 2 X é o menor elemento de X:
Vamos mostrar que o menor elemento de um conjunto, quando existe, é unico.
6
De fato, dado X
N, suponhamos que p 2 X e q 2 X sejam ambos os menores
elementos de X. Como p = min X e q 2 X, segue que
p
q.
q
p,
Analogamente, obtemos que
donde vem que
q
p
q;
e, portanto, p = q. Assim, o menor elemento de um conjunto X N é unico.
Um resultado de grande importância é o fato de que todo conjunto não-vazio de
números naturais possui um menor elemento. Este fato é conhecido como o Princípio
da Boa Ordenação.
Teorema 2.2.1 (Princípio da Boa Ordenação (PBO)) g Todo subconjunto nãovazio A N possui um elemento mínimo.
Observação 2.2.2 A demonstração deste teorema faz uso dos chamados Axiomas
de Peano, os quais são de extrema importância para a construção do conjunto N
dos números naturais. Por brevidade e objetividade, optamos por evitar as regressões
necessárias e enunciá-lo sem sua demonstração. O leitor poderá encontrá-la em [7, p.
39]
O Princípio da Boa Ordenação pode ser aplicado ao conjunto Z desde que seja
satisfeita uma determinada condição. Enunciaremos e provaremos tal resultado a seguir.
Proposição 2.2.3 Se um conjunto não-vazio X
X possui um elemento mínimo.
Z for limitado inferiormente, então
Demonstração: A hipótese garante a existência de um número a 2 Z tal que
a
x; 8x 2 X.
Se existir x 2 X tal que a = x, então o resultado está provado com a = min X: Basta
então apresentar uma prova para o caso
a < x; 8x 2 X.
Neste caso, como X Z é não-vazio, o conjunto A = fx a; x 2 Xg é um subconjunto
não-vazio A N. Pelo Princípio da Boa Ordenação, existe n0 2 A tal que
n0
n; 8n 2 A.
7
Seja x0 2 X tal que n0 = x0 a. Assim, dado x 2 X qualquer, o número x
Pela minimalidade de n0 , vem que
x0
a = n0
x
) x0
a 2 A.
a
x; 8x 2 X,
mostrando que x0 = min X, como queríamos demonstrar.
Como o leitor pôde perceber, esta versão do PBO para Z é uma consequência
quase imediata do próprio Teorema 2.2.1: Ao longo do texto desta monogra…a, as duas
versões serão amplamente utilizadas e estarão presentes em demonstrações de resultados
centrais como, por exemplo, na demonstração de que os reais R não é enumerável.
8
Capítulo 3
Conjuntos …nitos e in…nitos
enumeráveis
Em 1915 o matemático G. Cantor publicou um artigo (veja [2]) de importância
fundamental à posteridade no qual identi…ca e analisa os diversos tipos de in…nito. Para
nossos propósitos, quanto ao número de elementos, faremos uma apresentação sucinta
dos conjuntos …nitos e dos conjuntos in…nitos enumeráveis.
3.1
Conjuntos …nitos
Nesta seção, indicaremos pelo símbolo In o conjunto
In = fp 2 N; 1
p
ng .
De…nição 3.1.1 Um conjunto X chama-se …nito quando é vazio ou quando existe,
para algum n 2 N, uma bijeção
' : In ! X
No primeiro caso, diremos que X tem zero elementos. No segundo caso, diremos que
n 2 N é o número de elementos de X, ou seja, que X possui n elementos.
Teorema 3.1.2 Se X é um conjunto …nito então todo subconjunto Y
X é …nito. O
número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X:
Demonstração: Vamos mostrar para X = In . A demonstração se faz por indução.
Se n = 1, então, os únicos subconjuntos de I1 são ? e I1 . Estes são …nitos e o número de
seus elementos é 1. Portanto, o Teorema está demonstrado para n = 1. Suponhamos
que o mesmo esteja demonstrado para um certo número m 2 N. Mostraremos que o
teorema continua válido para m + 1. Seja dado
Y
Im+1
9
(3.1)
um subconjunto arbitrário de Im+1 . Devemos mostrar que Y é …nito e seu número de
elementos é
m + 1. Existem apenas duas possibilidades para m + 1. Devemos ter
(m + 1) 2
= Y ou (m + 1) 2 Y . Vamos analisar os dois casos separadamente. Caso 1:
(m + 1) 2
= Y . Neste caso, segue de (3:1) que
Y
fm + 1g = Im .
Im+1
Pela hipótese de indução, Y é …nito e seu número de elementos é
m, portanto,
m + 1. Caso 2: (m + 1) 2 Y . Neste caso, temos também por (3.1) que
Y
Pela hipótese de indução, Y
fm + 1g
Im .
fm + 1g é …nito e seu número de elementos é
p
m:
(3.2)
Então, para este p 2 N, existe uma bijeção
: Ip ! Y
fm + 1g
De…na, agora, a seguinte função
' : Ip+1 ! Y
dada por
' (x) =
(x) ; se x 6= p + 1
.
m + 1; se x = p + 1
' é uma bijeção. Portanto, Y é …nito e seu número de elementos é, por (3.2),
p+1
m + 1. Em qualquer caso, …cou mostrado que o conjunto Y é …nito e seu
_ Portanto, o Teorema é verdadeiro para todo
número de elementos não excede m + 1.
n 2 N, e o resultado segue.
Corolário 3.1.3 Seja f : X ! Y uma função injetiva. Se Y for …nito então X
também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y .
Demonstração: Ao invés de uma demonstração formal, faremos um breve comentário
sobre a prova. Uma função f injetiva estabelece uma correspondência um a um entre os
elementos de X e Y . Assim, supondo Y …nito, o domínio X deverá ser …nito também,
pois, caso fosse in…nito, seria possível encontrar x 2 X que não estivesse relacionado
com elemento algum y 2 Y . Um absurdo, pois f é função:
Corolário 3.1.4 Seja g : X ! Y uma função sobrejetiva. Se X for …nito então Y
também será. Além disso, o número de elementos de Y não excede o de X.
Demonstração: Pelo Teorema 2.1.6, existe uma função f : Y ! X tal que
g f = idY .
Isto nos diz que g é uma inversa à esquerda de f . Pelo Teorema 2.1.5, f é uma função
injetiva. Como seu contradomínio X é …nito, segue do corolário anterior que Y é …nito
e seu número de elementos não excede o de X:
10
3.2
Conjuntos in…nitos
De…nição 3.2.1 Um conjunto X chama-se in…nito quando não é …nito. Isto se
expressa com as seguintes palavras: "X é in…nito quando não é vazio e, além disso,
não existe uma bijeção
' : In ! X
para todo n 2 N".
Exemplo 3.2.2 Vamos mostrar que o conjunto N dos números naturais é in…nito. De
fato, sejam dados n 2 N e uma função
' : In ! N
quaisquer: Pondo
p = '(1) + ::: + '(n),
e observando que p 2 N, obtemos que
p > '(x); 8x 2 In :
Portanto, p 2
= '(In ). Logo, nenhuma função ' : In ! N é sobrejetiva. Concluímos que
N é in…nito.
Observação 3.2.3 Os corolários 3.1.3 e 3.1.4, escritos na sua forma contra-positiva,
fornecem-nos resultados equivalentes sobre conjuntos in…nitos. Por exemplo, o
Corolário 3.1.4 tem a seguinte versão equivalente:
Corolário 3.2.4 Seja g : X ! Y uma função sobrejetiva. Se Y é in…nito, então, X
é in…nito.
De…nição 3.2.5 Um conjunto X
que
N chama-se limitado quando existe um p 2 N tal
n
p
para todo n 2 X.
Um conjunto X N chama-se ilimitado quando não é limitado. Isto é, para todo
p 2 N, existe algum xp 2 X tal que
xp > p.
Os subconjuntos ilimitados X N são, exatamente, os subconjuntos in…nitos de N.
Este é o conteúdo do próximo teorema.
Teorema 3.2.6 Seja X
N não-vazio. As seguintes a…rmações são equivalentes:
(a) X é …nito;
11
(b) X é limitado;
(c) X possui um maior elemento.
Demonstração: Prova de (a) =) (b). Se X é …nito, podemos escrever
X = fx1 ; :::; xn g:
Pondo
p = x1 + ::: + xn ,
temos que p é um número natural tal que
x
p;
para todo x 2 X. Logo X é limitado. Prova de (b) =) (c): Supondo X
segue-se que o conjunto
A = fp 2 N; p
N limitado,
n; para todo n 2 Xg
é não-vazio. Pelo Princípio da Boa Ordenação (Teorema 2.2.1), o conjunto A possui
um menor elemento p0 2 A. Vamos mostrar que p0 2 X: De fato, suponha por absurdo
que fosse p0 2
= X. Como p0 2 A, teríamos
p0 > n; 8n 2 X:
(3.3)
Como X 6= ?, a desigualdade acima obrigaria
p0 > 1:
Então, existe p1 2 N tal que
p0 = p1 + 1:
) p1 < p 0
(3.4)
A…rmamos que
p1
n; 8n 2 X:
(3.5)
Isto ocorre pois, se existisse algum n 2 X com p1 < n, teríamos
p0 = p1 + 1
n.
Como estamos supondo que p0 2
= X, devemos ter p0 < n, o que contradiz (3.3). Logo,
a a…rmação (3.5) é verdadeira. Segue daí que
p1 2 A.
12
De (3.4) e do fato de p0 = min A, resulta que
p1 2
= A,
o que é um absurdo. Portanto deve ser p0 2 X. Como p0
n para todo n 2 X,
concluimos que p0 é o maior elemento de X: Prova de (c) =) (a):Se X possui um
maior elemento, seja p o maior elemento de X N, então,
1
p; 8x 2 X.
x
Então,
X
Ip :
Como Ip é …nito, segue do Teorema 3.1.2 que X também é …nito.
3.3
Conjuntos in…nitos enumeráveis
De…nição 3.3.1 Um conjunto X diz-se enumerável quando é …nito ou quando existe
uma bijeção
f : N ! X:
No segundo caso, dizemos que X é in…nito enumerável:
De…nindo
x1 = f (1); x2 = f (2); :::; xn = f (n); :::,
podemos descrever X como sendo
X = fx1 ; x2; :::; xn ; :::g.
Cada bijeção f : N ! X chama-se uma enumeração (dos elementos) de X:
3.3.1
A enumerabilidade de Z
Exemplo 3.3.2 O conjunto Z dos números inteiros é enumerável.
Para mostrar isto, de…na
h:Z!N
da seguinte forma:
h (n) =
2n;
se n > 0
:
2n + 1 se n 0
(i) Vamos mostrar que h é sobrejetiva.
De fato, seja dado n 2 N. Se n é par, existe k 2 N
n = 2k.
13
Z; k 6= 0; tal que
Pela de…nição de h obtemos que
n = h (k) ;
e h é sobrejetiva. Analogamente, se n é impar, existe k 2 N [ f0g tal que
n = 2k + 1:
Então,
k 2 Z tal que
k
0. Segue da de…nição de h que
n = 2k + 1 =
2 ( k) + 1 = h ( k) ;
donde vem que h é sobrejetiva. Em todo caso, …ca demonstrado a sobrejetividade
de h.
(ii) Vamos mostrar que h é injetiva.
Sejam dados x; y 2 Z quaisquer.
possíveis.
Caso 1. x
0ey
Vamos considerar os três seguintes casos
0
Caso 2. 0 < x e 0 < y
Caso 3. x
0 < y (ou y < 0
x)
Nos casos (1) e (2), a injetividade de h segue como consequência imediata da Lei
do Corte em N. No terceiro caso temos que h (x) é ímpar e h (y) é par, portanto,
h (x) 6= h (y)
onde x 6= y. Segue que h é injetiva. Em qualquer caso, a função h é injetiva. Os
itens (i) e (ii) provam que h é uma bijeção. Portanto,
h
1
:N!Z
é uma bijeção, donde concluímos que Z é in…nito enumerável:
3.3.2
Enumerabilidade num conjunto in…nito X
Neste tópico, estudamos a enumerabilidade em conjuntos completamente
arbitrários. O resultado seguinte mostra-nos como é possível construir um conjunto
enumerável a partir de um conjunto in…nito X qualquer.
Teorema 3.3.3 Todo conjunto in…nito X contém um subconjunto in…nito enumerável.
14
Demonstração: Primeiramente, vamos construir uma função
f :N!X
que seja injetiva. Para de…nir uma tal f , usaremos indução. Como X é in…nito, então
X é não-vazio. Escolhemos, portanto, xx 2 X e de…nimos f (1) = xx : Suponhamos, por
indução, que f esteja de…nida para f1; :::; ng: Vamos mostrar que f está de…nida para
n + 1: Considere o conjunto
ff (1); :::; f (n)g.
An = X
Por hipótese de indução, a função
f : In ! X
está bem de…nida. A…rmamos que f não é sobrejetiva. De fato, se fosse f sobrejetiva,
como In é …nito, então X seria …nito pelo Corolário 3.1.4, o que é um absurdo. Logo f
não é sobrejetiva. Segue daí que
ff (1); :::; f (n)g =
6 ;:
An = X
Escollhemos, portanto, xAn 2 An e de…nimos f (n + 1) = xAn : Isto conclui a de…nição
de f .
Mostraremos agora que f é injetiva.
Sejam dados m; n 2N com m 6= n (digamos m < n). Então,
f (m) 2 ff (1); :::; f (n
1)g,
enquanto que
f (n) = xAn
1
2 An
1
=X
ff (1); :::f (n
1)g
Logo f (m) 6= f (n), donde concluímos que f é injetiva. Considere agora a função
f : N ! f (N)
dada por
f (n) = f (n) ; 8n 2 N.
Obtemos daí que f é uma bijeção. Portanto, o subconjunto f (N)
enumerável.
X é in…nito
Corolário 3.3.4 Um conjunto X é in…nito se, e somente se, existe uma bijeção
f : X ! Y;
de X sobre uma parte própria Y
X.
15
Demonstração: Suponha que X seja in…nito. Pelo Teorema 3.3.3, X contém um
subconjunto in…nito enumerável
A = fa1 ; a2 ; :::; an ; :::g:
É importante lembrar aqui que, para cada n 2 N, o elemento an 2 A é dado por
an = a (n) ,
onde a é a bijeção
a : N !A
que torna o conjunto A enumerável. De…na
A) [ fa2 ; a4 ; :::; a2n ; :::g:
Y = (X
Note que a1 2 X mas a1 2
= Y . Isto mostra que Y é uma parte própria de X. Considere
agora a função
f :X!Y
dado por
x; se x 2 X A
a2n se x = an 2 A
f (x) =
Vamos mostrar que f é uma bijeção de X em Y .
(i) Prova de que f é sobrejetiva.
Seja dado y 2 Y arbitrário. Se for y 2 X A então, y 2 X e, pela própria de…nição
de f ,
y = f (y):
Se for y 2 fa2 ; a4 ; :::; a2n ; :::g então, existe um n 2 N tal que
y = a2n .
Como x = an 2 A, segue novamente da de…nição de f que
y = a2n = f (x) .
Em todo caso, temos f sobrejetiva:
(ii) Prova de que f é injetiva.
Sejam dados x1 ; x2 2 X quaisquer, e suponha que
f (x1 ) = f (x2 ) .
Existem apenas três possibilidades:
16
Caso 1. x1 ; x2 2 X
A;
Caso 2. x1 ; x2 2 A;
Caso 3. x1 2 (X
A) e x2 2 A:
O primeiro e terceiro caso são fáceis de demonstrar. O Caso (2).se prova assim:
existem n1 ; n2 2 N tais que x1 = n1 e x2 = n2 . Logo,
f (x1 ) = f (x2 ) =)
f (an1 ) = f (an2 )
=)
a2n1 = a2n2
(Pela de…nição de f )
=)
a(2n1 ) = a(2n2 )
(Pela de…nição de a)
=)
2n1 = 2n2
(Pois a é injetiva) ,
=)
n1 = n2
=) x1 = an1 = a(n1 ) = a(n2 ) = an2 = x2
(Pois a é função)
donde concluímos que f é injetora. Os itens (i) e (ii) mostram que f é a bijeção
procurada.
3.3.3
Enumerabilidade em N
Teorema 3.3.5 Todo subconjunto X
N é enumerável.
Demonstração: Se X for …nito ele é enumerável, por de…nição. Se X for in…nito,
mostraremos que existe uma bijeção f : N ! X. Uma tal função será de…nida
indutivamente, da seguinte maneira:
f (1) = min X
e, f (n + 1) = min X
ff (1); :::; f (n)g.
Note que f (1) existe (e é único) e a regra
f (n + 1) = min X
ff (1); :::; f (n)g,
nos permite obter f (n) desde que conheçamos os valores de f (m), para todo m < n.
Portanto, …ca de…nida a função f : N ! X dada por
f (n) = min X
ff (1); :::; f (n
1)g.
Mostraremos que f é injetiva. De fato, para cada n 2 N, de…na o conjunto
Bn := X
ff (1); :::; f (n)g.
Então,
Bn
Bn 1 ,8n 2 N.
17
Portanto,
f (n) = min Bn
1
min Bn = f (n + 1)
e, como f (n + 1) 2 Bn , segue que
f (n + 1) 6= f (n) .
Estas duas últimas desigualdades mostram que
f (n) < f (n + 1) ; 8n 2 N,
donde concluímos que f é estritamente crescente e, portanto, injetiva. Para mostrar
que f é sobrejetiva, note que, para cada n 2 N, tem-se
f (n) < x; 8x 2 Bn .
De fato, dados n 2 N e x 2 Bn , como Bn
Bn 1 , temos que x 2 Bn 1 . Segue daí que
f (n) = min Bn
e, como x 2 Bn = X
1
x
ff (1); :::; f (n)g, temos que
x 6= f (n) .
Estas duas últimas desigualdades mostram que
f (n) < x; 8x 2 Bn e 8n 2 N:
Agora, suponha que exista x 2 X
(3.6)
f (N). Então,
x 2 Bn ; 8n 2 N.
Segue do que acabamos de provar em (3.6), que
f (n) < x; 8n 2 N.
Isto mostra que o conjunto in…nito f (N) N é limitado, um absurdo contra o Teorema
3.2.6. Logo, X f (N) = ; e, portanto, X = f (N). Concluímos daí que f é uma
bijeção, e o resultado segue.
Corolário 3.3.6 Se X é enumerável, então todo subconjunto Y
X é enumerável.
Demonstração: Suponha X enumerável. Então, existe uma bijeção
f : X ! N.
Esta, por sua vez, fornece-nos a restrição
f jY : Y ! f (Y )
18
de f ao subconjunto Y
X, que é também uma bijeção. Como f (Y ) N, segue do
Teorema 3.3.5 que f (Y ) é enumerável. Se f (Y ) for …nito, como f jY é injetora, o
Corolário 3.1.3 garante que Y seja …nito e, portanto, enumerável. Caso seja f 1 (Y )
in…nito, existe uma bijeção
g : N !f (Y ) .
Portanto,
(f jY )
1
g:N!Y
é bijeção, donde vem que Y é enumerável, como queríamos demonstrar.
Corolário 3.3.7 Se f : X ! Y é injetiva e Y é enumerável, então, X é enumerável.
Demonstração:
bijeção
Pondo f (X) = A, observamos que função injetiva f fornece uma
f : X ! A.
Se Y for …nito, pelo Corolário 3.1.3; X é enumerável. Caso contrário, existe uma bijeção
':N!Y.
Esta, por sua vez, fornece uma outra bijeção
':'
1
(A) ! A
Como ' 1 (A) N, segue do Teorema 3.3.5 que ' 1 (A) é enumerável. Se '
in…nito, existe uma bijeção
g : N ! ' 1 (A) .
1
(A) for
Fica, portanto, determinada a bijeção
f
1
' g : N !X,
mostrando que X é in…nito enumerável. Caso seja ' 1 (A) …nito, a sobrejeção ' garante
que A é …nito. Daí, como f é injetiva, obtemos que X é …nito.
Corolário 3.3.8 Se g : X ! Y é sobrejetiva e X é enumerável, então, Y é enumerável.
Demonstração: Se g : X ! Y é sobrejetiva, então, pelo Teorema 2.1.6, existe
f : Y ! X tal que
g f = idY .
Então g é uma inversa à esquerda para f . Pelo Teorema 2.1.5, f é injetiva. Segue-se
que Y e enumerável.(Corolário 3.3.7):
Teorema 3.3.9 Sejam, X; Y conjuntos enumeráveis. O produto cartesiano X
enumerável.
19
Y é
Demonstração: Se X; Y são in…nitos enumeráveis, existem funções injetivas
':X!N e
: Y ! N:
De…nimos agora a função
Y !N
g:X
N
dada por
g(x; y) = ('(x); (y))
A injetividade das funções ' e
nos garante a de g. Vamos mostrar que N
enumerável. Para isso, de…nimos a função
N é
f: N N !
N
:
m
(m; n) 7! 2 3n
Prova de que f é injetiva
Sejam dados (m; n) ; (m0 ; n0 ) 2 N
N quaisquer. Temos que
f (m; n) = f (m0 ; n0 )
=)
0
0
2m 3n = 2m 3n :
Esta última igualdade implica
m = m0 e n = n0 :
De fato, se não fosse assim, teríamos
m 6= m0 ou n 6= n0 .
Isto implicaria um mesmo número
0
0
2m 3n = x = 2m 3n ,
sendo decomposto, de duas maneira distintas, em fatores primos. Isto é um absurdo
contra o Teorema Fundamental da Aritmética. Portanto,
f (m; n) = f (m0 ; n0 )
=)
=)
m = m0 e n = n0
,
(m; n) = (m0 ; n0 )
e f é injetiva. A função injetiva f , fornece uma bijeção
f :N
N !f (N
N) .
Como f (N N)
N, segue do Teorema 3.3.5 que f (N N) é enumerável. Como f
é injetiva, obtemos que N N é enumerável. Utilizando agora o fato de g ser injetiva,
concluímos que X Y é enumerável.
20
3.3.4
A enumerabilidade de Q
A seguir, demonstraremos mais um resultado central desta monogra…a.
Ressaltamos que os dois resultados desta seção são consequências do Teorema 3.3.9
demonstrado na seção anterior.
Corolário 3.3.10 O conjunto Q dos números racionais é enumerável.
Demonstração: De fato, considere o conjunto
Z = Z f0g .
Temos que Z
Z e, como já foi mostrado, Z é enumerável. Pelo Corolário 3.3.6, Z é
enumerável. Segue do Teorema 3.3.9 que produto cartesiano
Z
Z
é enumerável. De…na agora a seguinte função
f :Z
Z !Q
dada por
m
.
n
Observando que f é sobrejetiva, o Corolário 3.3.8 garante que o conjunto Q é
enumerável. Como queríamos demonstrar.
f (m; n) =
Corolário 3.3.11 Sejam X1 ; X2 ; : : : ; Xn ; : : : conjuntos enumerávéis. A reunião
1
X = [ Xn
n=1
é enumerável.
Demonstração: Pela hipótese X1 ; X2 ; : : : ; Xn ; : : :, são conjuntos enumeráveis, então
existem as sobrejeções
f1 : N ! X1 ; f2 : N ! X2 ;
; fn : N ! Xn ;
De…nimos a sobrejeção
f :N
dada por
N!X
f (m; n) = fn (m)
Pelo Teorema 3.3.9, temos que o conjunto N
f :N
N é enumerável. Como a função
N!X
é sobrejetiva e o conjunto N N é enumerável, segue do Colorário 3.3.8 que X é
enumerável. Como queríamos demonstrar.
21
Capítulo 4
Corpos Ordenados
É bem conhecido e vastamente utilizado o fato de que o conjunto dos números
reais é um corpo. Isto é feito de maneira rotineira, principalmente durante as aulas de
análise, cálculo e álgebra. Nossa atitude neste texto não será diferente. Faremos uso
de uma lista contendo vários fatos elementares a respeito de números reais. Estes fatos
serão admitidos como axiomas (axiomas de corpo), ou seja, não serão demonstrados.
Tais axiomas apresentarão o conjunto R como um corpo ordenado completo. Apesar
de ser esta a atitude comum adotada em cursos de matemática, é importante que o
estudante saiba, pelo menos, que o motivo pelo qual o conjunto dos números reais é
um corpo decorre de um processo construtivo. Isto quer dizer o seguinte: por meio de
extensões sucessivas do conceito de número, chega-se à construção dos números reais
que, por sua vez, permite demonstrar aquela lista de propriedades anteriormente
adotada sem qualquer demonstração. Dentre os métodos mais conhecidos destacam-se
o dos cortes de Dedekind e o das sequências de Cauchy (devido à Cantor). Existem
livros, como [4], [8], [3], [1], [5] que tratam apenas das extensões do conceito de número.
Outros como [10] e [9] dedicam capítulos ao assunto. Um tratamento bastante acessível
ao aluno de graduação sobre o processo de cortes de Dedekind pode ser encontrado no
apêndice 4 de [6]: Estas são referências que recomendamos ao leitor interessado. Porém,
voltamos a frisar que nosso ponto de vista será o axiomático, isto é, em conformidade
com [11], admitiremos que os números reais formam um corpo ordenado completo e, a
partir daí, todas as demonstrações serão levantadas.
4.1
De…nições e propriedades
Aqui e, no restante do texto, usaremos a noção de corpo sem fornecer sua
de…nição. Recomendamos uma veri…cação em [7]: Começaremos com a de…nição de
corpo ordenado; a qual será usada com frequência em todo conteúdo seguinte.
De…nição 4.1.1 Um corpo ordenado é um corpo K, no qual pode ser encontrado
um subconjunto P
K, chamado o conjunto dos elementos positivos de K, tal que as
seguintes condições são satisfeitas:
22
(i) A soma e o produto de elementos positivos são positivos. Ou seja,
x + y 2 P; 8x; y 2 P
;
x y 2 P 8x; y 2 P
(ii) Dado x 2 K, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre:
ou x = 0; ou x 2 P ou
x 2 P:
De…nição 4.1.2 Num corpo ordenado K, escreveremos x < y, e diremos que x é
menor do que y, para sigini…car que y x 2 P . Isto equivale a dizer que existe z 2 P
tal que
y = x + z.
A relação de ordem x < y num corpo ordenado K goza das propriedades seguintes:
O1. (Transitividade) Se x < y e y < z, então, x < z:
O2. (Tricotomia) Para quaisquer x; y 2 K dados, ocorre exatamente uma das
alternativas seguintes:
ou x = y; ou x < y ou x > y.
O3. (Monotonicidade da adição) Se x < y, então,
x + z < y + z;
para todo z 2 K.
O4. (Monotonicidade da multiplicação) Esta, se apresenta de duas maneiras:
Se x < y então,
x z < y z;
para todo z > 0.
Se x < y, então,
x z>y z
sempre que z < 0.
Vamos demonstrar tais propriedades. Todas elas são consequências da De…nção
4.1.2: Veja como, a seguir.
23
[Prova de O1.] Suponha que x < y e y < z. Então, por de…nição, temos que
y
x2P
z
y 2 P:
e
Aplicando (P 1) e, novamente a De…nição 4.1.2, obtemos que
(z
y) + (y
x2P
=)
z
=)
x < z.
x) 2 P
[Prova de O2.] Dados x,y 2 K, temos, por (P 2), três possibilidades que se excluem
mutuamente. São elas:
x) 2 P ;
(y
(y
x) = 0;
(y
x) 2 P:
No primeiro caso temos, por de…nição, que
x < y.
No segundo caso, tem-se
x = y:
O terceiro caso diz que
(x
y) 2 P;
dode vem que
x > y,
e concluímos (O2).
[Prova de O3.] Se x < y; então, (y
x) 2 P: Daí,
(y + z)
=)
(x + z) = y
x+z <y+z
x 2 P:
[Prova de O4.] Suponha que x < y: Seja dado z > 0 arbitrário. Então
x2P
y
e
z2P
24
O item (i) da De…nição 4.1.2 nos garante que
y z
x) z 2 P .
x z = (y
Novamente, pela mesma de…nição,
x z<y z
donde vem a primeira parte da prova de (O4). A segunda parte se prova assim:
Suponha que x < y e, seja dado z < 0 arbitrário. Isto quer dizer que
x) 2 P
(y
e
z 2 P.
Logo,
x z
y z = (y
x) ( z) 2 P ,
donde vem que
x z > y z,
como queríamos demonostrar.
Num corpo ordenado K, existe a importante noção de intervalo, cuja de…nição é a
que segue.
De…nição 4.1.3 Dados a; b 2 K, com a < b, usaremos as notações abaixo:
[a; b] = fx 2 K; a x bg
[a; b) = fx 2 K; a x < bg
(a; b] = fx 2 K; a < x bg
(a; b) = fx 2 K; a < x < bg
( 1; b] = fx 2 K; x bg
( 1; b) = fx 2 K; x < bg
[a; +1) = fx 2 K; a xg
(a; +1) = fx 2 K; a < xg
( 1; +1) = K
4.2
Corpo ordenado completo
Antes de falar sobre a completeza de um corpo, apresentaremos algumas
de…nições necessárias.
De…nição 4.2.1 Um subconjunto X de um corpo ordenado K chama-se limitado
superiormente quando existe b 2 K tal que b x para todo x 2 X.
25
De…nição 4.2.2 Um subconjunto X de um corpo ordenado K diz-se limitado
inferiormente quando existe a 2 K tal que a x para todo x 2 X.
Um subconjunto X de um corpo ordenado K chama-se limitado quando é limitado
superior e inferiormente, isto é, quando existem a; b 2 K tais que X [a; b].
De…nição 4.2.3 Sejam K um corpo ordenado e X
K um subconjunto limitado
superiormente. Um elemento b 2 K chama-se supremo do subconjunto X quando
b é menor das cotas superiores de X em K. Assim, para que b 2 K seja supremo de
um conjunto X
K, é necessário e su…ciente que sejam satisfeitas as duas condições
abaixo:
S1. Para todo x 2 X, tem-se x
S2. Se c 2 K é tal que x
b;
c para todo x 2 X, então b
c.
De…nição 4.2.4 Um elemento a 2 K chama-se ín…mo de um conjunto Y
K,
limitado inferiormente, quando a é maior das cotas inferiores de K. Para que a 2 K
seja ín…mo de Y
K é necessário e su…ciente que as condições abaixo sejam satisfeitas:
I1. Para todo y 2 Y tem-se a
I2. Se c 2 K é tal que c
y.
y para todo y 2 Y , então c
a.
De…nição 4.2.5 Um corpo K chama-se completo quando todo subconjunto não-vazio,
limitado superiormente, X K, possui supremo em K.
Resulta da de…nição que, num corpo ordenado completo, todo conjunto não-vazio,
limitado inferiormente, Y
K, possui um ín…mo. Com efeito, dado Y , seja X = Y ,
isto é, X = f y; y 2 Y g. Então X é não-vazio e limitado superiormente; logo, existe
a = sup X. Mostraremos que a = inf Y . Para isso, note primeiramente que a é cota
inferior de Y e, portanto, a condição (I1) é satisfeita. Suponha agora que exista c 2 K
tal que
c y; 8y 2 Y .
Então,
y
mostrando que
c; 8y 2 Y ,
c é uma cota superior para X. Como a = sup X, segue que
) a = sup X
) c
c
a ,
mostrando que a condição (I2) é satisfeita. Portanto,
26
a = inf Y .
4.3
Corpo completo arquimediano
Neste tópico, será mostrado um resultado geral que garantirá um fato
importante. A saber, o conjunto R dos números reais é arquimediano.
De…nição 4.3.1 Teorema 4.3.2 Num corpo ordenado K, as seguintes a…rmações são
equivalentes:
(i) N
K é ilimitado superiormente;
(ii) Dados a; b 2 K, com a > 0, existe n 2 N tal que n:a < b;
(iii) Dado qualquer a > 0 em K, existe n 2 N tal que 0 <
1
n
< a.
Demonstração: (i) ) (ii) :Como N é ilimitado, dados a > 0 e b em K, existe n 2 N
tal que ab < n e, portanto, b < a:n. Para provar que (ii) ) (iii), dado a > 0, existe, em
virtude de (ii), um n 2 N tal que n:a > 1. Então 0 < n1 < a. Finalmente, mostraremos
que (iii) ) (i). Dado qualquer b > 0 existe, por (iii) um n 2 N tal que n1 < 1b , ou seja
n > b.
De…nição 4.3.3 Um corpo ordenado K chama-se arquimediano quando nele é válida
qualquer das três condições equivalentes citadas no Teorema 4.3.2.
Proposição 4.3.4 Todo corpo completo é arquimediano.
Demonstração: Seja dado um corpo não-arquimediano K. Vamos mostrar que K
não é completo. De fato, o conjunto N K é limitado superiormente. Se b 2 K é uma
cota superior de N, então
n + 1 b; 8n 2 N:
Segue-se que
n
b
1; 8n 2 N:
Isto mostra que, se b 2 K for uma cota superior de N, então, b 1 também o será.
Como b 1 < b, a condição (S2) da De…nição 4.2.3 não ocorre. Segue-se que num corpo
não-arquimediano K, o conjunto N dos números naturais é limitado superiormente mas
não existe sup N em K.
4.4
Números Reais
Nesta seção, voltamos a enfatizar nossa atitude axiomática. Aqui, admitiremos
que o corpo ordenado R é completo. O leitor interessado em ver uma demonstração,
via cortes de Dedekind, sobre a completeza de R, encontra-lo-á no apêndice 4 de [6]:
Adotaremos, portanto, o
27
4.4.1
O Axioma Fundamental da Análise Matemática
Axioma 4.4.1 Existe um corpo ordenado completo, R, chamado o corpo dos números
reais.
Observação 4.4.2 Sendo um corpo completo, segue da Proposição 4.3.4 que o conjunto
R dos números reais é arquimediano.
4.4.2
R não é enumerável
Teorema 4.4.3 Seja I1
::: uma sequência decrecente de intervalos
1
\
In não é vazia. Isto é, existe pelo
limitados e fechados In = [an ; bn ]: A interseção
I2
:::
In
n=1
menos um número real x tal que x 2 In para todo n 2 U2115: Mais precisamente,
temos \ In = [a; b]; onde a = sup an e b = inf bn :
Demonstração: Para cada n 2 N, temos In+1
an
an+1
:::
an
In , o que signi…ca
bn+1
bn
bn
:::
Podemos então escrever:
a1
a2
:::
b2
b1 .
Pondo A = fan ; n 2 Ng e B = fbn ; n 2 Ng a…rmamos que A e B são limitados. Para
ver que A é limitado, note que a1 é uma cota inferior de A.e que, para cada n 2 N, bn
é uma cota superior de A. De fato, sejam dados n; m 2 N quaisquer. Se for n
m,
então
an am b m .
Caso contrário, isto é, se n > m, temos que
an
bm .
bn
Em todo caso, tem-se
bm ; 8n; m 2 N.
an
Agora, …xando m e fazendo n variar em N, a desigualdade acima mostra que bm é uma
cota superior de A, para todo m 2 N. Isto conclui que A é limitado. Para ver que B é
limitado, note que b1 é uma cota superior de B e que, para cada n 2 N (…xo) obtemos,
ainda desta última desigualdade, que an é uma cota inferior de B. Isto conclui que B
é limitado. Sejam a = sup A e b = inf B. Como cada bn é cota superior de A, temos
a
bn ; 8n 2 N.
Assim, a é cota inferior de B e, portanto, a
a1
a2
:::
an
:::
a
b: Podemos então escrever:
b
28
:::
bn
:::
b2
b1 :
Concluímos que a e b pertencem a todos os In ,donde vem que[a; b]
Logo,
1
\
[a; b]
In .
In para cada n.
(4.1)
n=1
Para obtermos a inclusão contrária, basta mostrar que
!
1
\
R [a; b] R
In .
(4.2)
n=1
Isto ocorre de fato pois, se x 2
= [a; b] então, x < a ou x > b. Se for x < a, como a = sup
A, existe algum an 2 A tal que x < an , donde vem que x 2
= In : Se for b < x, como b =
inf B, existe algum bm !
2 B tal que bm < x, donde vem que x 2
= Im : Em qualquer caso,
1
\
In . Com isso, …ca demonstrada a inclusão (4.2). Segue de (4.1)
tem-se que x 2
=
n=1
e (4.2) que
1
\
In = [a; b] ,
n=1
como queríamos demonstrar.
Lema 4.4.4 Dados um intervalo limitado, fechado I = [a; b], com a < b, e um número
real x0 , existe um intervalo fechado, limitado J = [c; d], com c < d, tal que x0 2
= J e
J I.
Demonstração: Sejam dados um número real x0 e um intervalo limitado, fechado,
I = [a; b], com a < b. Se for x0 2
= I, o resultado está provado com J = I Se x0 2 I,
então x0 b. Caso seja x0 = b, ponha
c=aed=
a+b
:
2
Caso seja x0 < b, ponha
x0 + b
e d = b.
2
Em qualquer caso, obtemos um intervalo J = [c; d] tal que x0 2
= J e J
queríamos demonstrar.
c=
I. Como
Teorema 4.4.5 O conjunto R dos números reais não é enumerável.
Demonstração: Usaremos o lema anterior repetidamente para mostrar que, dado
qualquer subconjunto enumerável
X = fx1 ; x2 ; :::; xn ; :::g
29
R,
é possivel encontrar um número real x 2
= X. De fato, seja dado um subconjunto
enumerável qualquer
X = fx1 ; x2 ; :::; xn ; :::g R:
Seja I1 um intervalo limitado fechado e não-degenerado, tal que x1 2
= I1 . Pelo Lema
4.4.4, existe um intervalo I2 do mesmo tipo com x2 2
= I2 e I2
I1 . Suponha, por
indução, que sejam obtidos
I1 I2 ::: In
limitados fehados e não-degenerados, com
xi 2
= Ii ; (1
i
n).
Utilizando novamente o Lema 4.4.4, podemos obter
In com xn+1 2
= In+1 :
In+1
Isto nos fornece uma sequência decrescente
I1
:::
In
:::
de intervalos limitados e fechados com a propriedade de que
xn 2
= In ; 8n 2 N:
Pelo Teorema 4.4.3, existe um número real x que pertence a todos os In : Como xn 2
= In ,
segue-se que x 6= xn para todo n 2 N e, portanto, x 2
= X. Concluímos daí que, se
X R é um subconjunto enumerável de R, então, R *X. Logo X 6= R, e o resultado
segue.
4.4.3
Intervalos de números reais não são enumeráveis
O próximo resultado mostrará que todo intervalo não-degenerado de números
reais é não-enumerável. Sua demonstração será conduzida pelo seguinte roteiro:
(a) Mostraremos que todo intervalo aberto (a; b) é não-enumerável;
(b) Sabendo que todo intervalo I não-degenerado de números reais contém um intervalo
aberto (a; b), resulta do item (a) e do Corolário 3.3.6 que I é não-enumerável.
Passemos, então, à demonstração formal.
Corolário 4.4.6 Todo intervalo não-degenerado de números reais é não-enumerável:
30
Demonstração: Seja dado um intervalo aberto arbitrário (a; b). De…na a função
f : (0; 1) ! (a; b)
dada por
f (x) = (b
a)x + a.
Mostraremos que f é uma bijeção. De fato, a injetividade é facilmente mostrada usando
que (b a) > 0: Para mostrar a sobrejetividade, seja dado y 2 (a; b). Então,
a<y<b
) 0<y
) 0<
a<b
y a
b a
a
< 1.
Tomando x = yb aa , segue que x 2 (0; 1) e é tal que f (x) = y. Isso mostra que
f é sobrejetora. Portanto, concluimos que f é uma bijeção de (0; 1) em (a; b), para
qualquer intervalo aberto.(a; b). Mostraremos agora que (0; 1) não é enumerável:De fato,
suponha, por absurdo, que (0; 1) seja enumerável. Então, o intervalo (0; 1] = (0; 1)[f1g
também o seria. Estendendo o que acabamos de mostrar obtemos que, para cada n 2 Z,
a função
fn : (0; 1] ! (n; n + 1]
dada por
fn (x) = x + n,
é uma bijeção: Do Corolário 3.3.8;teríamos que (n; n + 1] seria enumerável, para cada
n 2 Z. Como
R = [ (n; n + 1],
n2Z
segue do Corolário (tal) que R é enumerável, um absurdo. Isto conclui a prova de que
o intervalo aberto (0; 1) não é enumerável: Agora, como f é injetiva, segue do Corolário
3.3.7 que (a; b) não é enumerável: Isto conclui a prova de que todo intervalo aberto
(a; b) é não-nenumerável: Assim, se I é um intervalo não-degenerado, então, I contém
um intervalo aberto (a; b). Como (a; b) é não-enumerável, segue do Corolário 3.3.6 que
I é não-enumerável. Como queríamos demonstrar.
Observação 4.4.7 Na demonstração do corolário acima, usamos o fato de que
R = [ (n; n + 1].
n2Z
monstraremos aqui este resultado. De fato, seja dado x 2 R qualquer. Como R é
arquimediano, o conjunto
X = fn 2 Z; x < ng
é não-vazio e limitado inferiormente por x. Pelo Princípio da Boa Ordenação, X
possui um elemento mínimo. Seja, portanto, n0 = min X. Como, n0 1 < n0 , segue
da minimalidade de n0 que (n0 1) 2
= X. Assim,
n0
1
x < n0
31
e, portanto,
( n0 ) < x
Pondo m =
( n0 ) + 1:
n0 , obtemos que
x 2 (m; m + 1]
[ (n; n + 1].
n2Z
Isto mostra que
R
[ (n; n + 1],
n2Z
e o resultado segue.
4.4.4
(R
Q) não é enumerável
Corolário 4.4.8 O conjunto dos números irracionais não é enumerável.
Demonstração: Sabemos que
R = Q [ (R
Q) :
Como já vimos, Q é enumerável e R não é enumerável. Suponha, por absurdo, que
(R Q) seja enumerável. Então, pelo Colorário 3.3.11, o conjunto resultante da união
Q [ (R
Q) = R
seria enumerável também, o que é absurdo contra o Teorema 4.4.5. Desta forma, segue
que o conjunto (R Q) dos números irracionais não é enumerável.
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Referências Bibliográ…cas
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[2] CANTOR. G - Contributions to the Founding of the Theory of Trans…nite
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[3] COHEN, L.W. e EHRLICH, G. - The Structure of the Real Number System. New
York, Van Nostrand, 1963
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[5] FERREIRA, J. - A construção dos números. Rio de Janeiro, SBM, 2011
[6] GUIDORIZZI, H. L. - Um curso de cáculo, vol. 1, Rio de Janeiro: LTC, 2008
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[10] RUDIN, W. - Princípios de Análise Matemática. Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico,
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[11] SPIVAK, M: - Calculus. New York, W. A. Benjamin, 1967
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