CARDINALIDADE Prolo, agosto/2005 1. Definição: 2 conjuntos A e

CARDINALIDADE
Prolo, agosto/2005
1. Definição: 2 conjuntos A e B tem mesma cardinalidade
cd(A) = cd(B),
se existe uma bijeção h : A → B (ou, equivalentemente, h0 : B → A).
2. Definição:
cd(A) ≤ cd(B),
se existe função 1-1 (injetora) h : A → B
3. Note que:
se cd(A) ≤ cd(B) ∃h0 : A → B injetora,
então ∃ bijeção h : A → B
e cd(B) ≤ cd(A) ∃h00 : B → A injetora,
e portanto cd(A) = cd(B).
4. Definição:
cd(A) < cd(B),
se cd(A) ≤ cd(B) e cd(A) 6= cd(B)
(ou equivalentemente se cd(A) ≤ cd(B) e not(cd(A) = cd(B))).
5. Intuição: Cardinalidade é uma medida do tamanho de um conjunto.
6. Cardinalidade para conjuntos finitos é simples:
Se A é finito, cd(A) é o número de elementos de A.
Ex: cd({0,1}) = cd({true,false}) = 2
Ex: cd({0,1}) < cd({high, low, off}) (= 3)
7. Cardinalidade para conjuntos infinitos não é tão intuitiva, como veremos:
(a) cd(N) (onde N é o conjunto dos números naturais) é usualmente representada como ℵ 0
(lê-se “aleph 0” – aleph é uma letra do alfabeto hebreu).
(b) Portanto, um conjunto A tem cardinalidade ℵ0 se existe uma bijeção h : N → A (ou
equivalentemente, h0 : A → N).
(c) Cardinalidade para conjuntos infinitos é uma noção que confunde a princípio:
i. Será que todos os conjuntos infinitos tem cardinalidade = ℵ0 ?
ii. Será que todos os conjuntos infinitos tem cardinalidades distintas?
iii. Como será a cardinalidade dos conjuntos infinitos que usamos com maior frequência?
iv. IMPORTANTE: Se A e B são conjuntos infinitos, e A ⊂ B, será que necessariamente cd(A) < cd(B)? Ou pode acontecer de cd(A) = cd(B)?
8. Exemplos de comparação de cardinalidades (em aula e exercícios)
9. As vezes é difícil/complicado definir uma bijeção h entre os naturais e um conjunto A analiticamente (como uma fórmula), mas pode ser bem mais fácil simplesmente “ver que tal bijeção
existe”, mesmo sem definí-la precisamente.
TÉCNICA: Basta mostrar que existe uma ordenação linear a0 , a1 , a2 , a3 , · · · dos elementos
de A tal que:
(a) Existe um primeiro (a0 );
(b) Para qualquer elemento a ∈ A, a está na ordenação e existe um número finito de elementos entre ele e a0 . (Ou de outra forma: Para todo a ∈ A, existe k ∈ N tal que a = ak ).
Prova: a bijeção implícita é dada por h(n) = an .
10. Definição: Um conjunto com cardinalidade ℵ0 é dito infinito contável ou infinito enumerável. Um conjunto que é finito ou tem cardinalidade ℵ0 é dito contável ou enumerável.
Nota: Estas definições sugerem a existência de conjuntos infinitos não-contáveis.
Nota: Os termos “contável” e “enumerável” ou “denumerável” (denumerable) vem da idéia
de listagem (a0 , a1 , . . .) do item anterior.
11. Definição: Um conjunto(linguagem) A é dito efetivamente enumerável se existe um procedimento efetivo (programa) P que o enumera nas mesma condições acima, isto é:
(a) o programa P só lista elementos de A;
(b) para todo elemento x ∈ A, x é listado pelo programa “cedo ou tarde”, isto é, existe um
k ∈ N tal que x é o k-ésimo elemento listado por P .
NOTA: Se A for infinito, obviamente P não termina.
NOTA: Obviamente para um conjunto ser eftivamente enumerável ele tem que ter cardinalidade ≤ ℵ0 (ver definição anterior).
NOTA: CUIDADO: As palavras “contável” e “enumerável” sozinhas estão sendo usadas para
a acepção matemática de que o conjunto tem cardinalidade ℵ0 (ou menor), não garantindo
que o conjunto seja enumerável por computador. O termo “efetivamente enumerável” é que
caracteriza a possibilidade de enumeração por computador.
12. Teorema (não vamos provar): ℵ0 é a menor cardinalidade infinita.
Isto é, se cd(A) < ℵ0 para algum conjunto A, então A é finito.
13. Corolário: Se A ⊆ N, então A é finito ou A é infinito com cd(A) = ℵ 0 .
ESTA É UMA IMPORTANTE ESTRATÉGIA PARA DETERMINAR QUE UM CONJUNTO
TEM CARDINALIDADE ℵ0 .
14. Corolário: Se A ⊆ B, e cd(B) = ℵ0 então A é finito ou A é infinito com cd(A) = ℵ0 .
ESTA É TAMBÉM UMA IMPORTANTE ESTRATÉGIA PARA DETERMINAR QUE UM
CONJUNTO TEM CARDINALIDADE ℵ0 .
15. IMPORTANTE: Se A ⊂ B, duas coisas ainda são possíveis:
(a) cd(A) < cd(B)
(b) cd(A) = cd(B)
A segunda possibilidade é bastante contra-intuitiva inicialmente para alguns. Só se pode
garantir cd(A) ≤ cd(B). Não se pode garantir cd(A) < cd(B) só porque A está propriamente contido em B (exceto se A for finito, é claro).
16. Afinal, onde estão os conjuntos não-contáveis????