MA 733 Z - Tópicos de Especiais de Geometria 2o semestre de

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MA 733 Z - Tópicos de Especiais de Geometria
2o semestre de 2014
Profs. Marcos Jardim e Henrique N. Sá Earp
Lista 1 - Áreas
Questão 1 Calcule a área de um polı́go regular de n lados inscrito em uma
circunferência de raio 1.
Questão 2 (PROFMAT 2011) Considere um triângulo retângulo isósceles ABC
com hipotenusa BC. Tomando o ponto A como centro e AB como raio, consideramos o arco de circunferência delimitado pela corda BC. Consideramos ainda
a semicircunferência de diâmetro BC. Designamos por T a área do triângulo
ABC e L a área da região compreendida entre a circunferência (centrada em A
e raio BC) e a semicircunferência (de diâmetro BC). Prove que T = L.
Questão 3 Considere no plano cartesiano duas circunferências de raio 1, a
primeira centrada no ponto de coordenadas (1, 0) e a segunda centrada no ponto
de coordenadas (0, 1). Calcule a área da interseção entre elas.
Questão 4 (OMU 2014, nı́vel beta) De um retângulo cujos lados medem a e b
com 0 < b < a, são retirados dois triângulos equiláteros cujos lados medem b.
Entre todas as figuras construı́das desse maneira, com perı́metro fixo medindo
20, determine aquela de maior área.
Questão 5 (PROFMAT 2012) Calcule a razão entre as áreas de dois hexágonos
regulares, um inscrito e outro circunscrito a uma circunferência.
Questão 6 (OBM 2014, Nı́vel 1) O retângulo da figura abaixo foi repartido
em várias regiões por meio de três segmentos concorrentes, sendo um deles uma
de suas diagonais e os outros dois paralelos aos lados do mesmo. Os números
indicam as áreas em m2 das regiões brancas em que se encontram. Qual é a
área do retângulo original?
Questão 7 Os lados AB e BC de um triângulo ABC estão divididos em três
partes iguais. O segmento DE separa este triângulo em duas partes: um
triângulo de área S1 e um trapézio de área S2 . Qual destas duas áreas é maior?
Questão 8 Na figura abaixo, o triângulo ABC está dividido em seis trângulos
e as áreas de quatro deles são conhecidas. Encontre a área deste triângulo.
Questão 9 (OBM,2013, Nı́vel 1) Paulo possui uma folha de papel ABCD quadrada de lado 20 cm. A frente da folha é branca e o verso é cinza. O ponto E é
marcado no centro da folha. Ele decide fazer um cata-vento com a folha. Para
isso, ele recorta o segmento BE e dobra a ponta que estava no ponto B até o
ponto E. Ele repete o procedimento para cada um dos outros três vértices do
quadrado, completando o cata-vento.
Qual a razão entre a área cinza e a área branca na figura acima?
Questão 10 (Canguru Matemático, 2014, Nı́vel Cadete) O quadrilátero ABCD,
da figura abaixo, tem ângulos retos apenas nos vértices A e D. O ponto E é
o ponto de interseção das diagonais do quadrilátero e as medidas da área dos
triângulos ABE e AED são 5 e 10, respetivamente. Qual é a medida da área
de ABCD?