APOSTILA de MATEMÁTICA BÁSICA

30 SÉRIE EM
APOSTILA de MATEMÁTICA BÁSICA para FÍSICA
MATEMÁTICA BÁSICA
ÍNDICE GERAL
Professor Afonso Oliveira
(www.afonsofisica.wordpress.com)
I. Conjuntos numéricos;
II. As quatro operações fundamentais (números decimais);
III. Números relativos;
ALUNO: ___________________________________No:_________
IV. Frações ordinárias;
V. Potências;
VI. Radicais;
VII. Operações algébricas;
VIII. Equações do 1º grau;
IX. Equações do 2º grau;
X. Equações irracionais;
XI. Inequações do 1º grau;
XII. Proporcionalidade;
XIII. Relações Trigonométricas;
XIV. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções);
XV. Noções de Geometria Plana e Espacial;
2
Q  Racionais
I - CONJUNTOS NUMÉRICOS
“São todas as decimais exatas ou periódicas diferente de
zero”
Q = {...,
3 1
, , ...}
4 2
I  Irracionais
“São todas as decimais não exatas, não periódicas e não
negativas”
Esta figura representa a classe dos números.
I = {...,
Veja a seguir:
2 , ,
22
, ...}
7
N  Naturais
R  Reais
“São todos os números positivos inclusive o zero”
“É a união de todos os conjuntos numéricos,  todo número,
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
seja N, Z, Q ou I é um número R (real)”
“Não há números naturais negativos”
“Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo
Z  Inteiros
e o índice par”
“São todos os números positivos e negativos inclusive o
zero”
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
“Não há números inteiros em fração ou decimal”
2
1
2
1 15  40  12
67
+ + =
=
 1,1166
4
3
5
60
60
II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
(NÚMEROS DECIMAIS)
ou
1
2
1
2,25  6  1,8 10,05
+ + =
=
 1,1166
4
3
5
9
9
1) Adição
“Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a
“Isto significa que qualquer número que for colocado no
operação aditiva, e o resultado é a soma”
denominador seguindo o processo, chegará à mesma resposta.
Com o MMC (mínimo múltiplo comum) você facilita seu
2+2=4
trabalho”
Parcelas
Adição
Soma
2) Subtração
“Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a
Exemplos:
operação a subtração, e o resultado é o minuendo”
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
Subtração


+ 2,3
 parcelas
1,429 
4,32
8,049
 soma
3–2=1
Observe que as parcelas
são dispostas de modo que
se tenha vírgula sobre
vírgula.
Minuendo
3
Subtraendo
Diferença
Exemplos:
“As regras para a subtração são as mesmas da
adição, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas
1
2 8 16 8
*
* =
=
 2,6
2
3 1
6
3
alterando a operação”
“Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor,
dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de
cima e o de baixo pelo de baixo)”
3) Multiplicação
“Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a
4) Divisão
operação multiplicativa, e o resultado é o produto”
“Na divisão os números são chamados de dividendo (a parte que
está sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte
22 * 3 = 66
está sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o
Fatores
Multiplicação
quociente”
Produto
Divisão
Exemplo:
7 / 4 = 1,75
7,32 * 12,5 = 91,500
7,32
* 12,5

 fatores

3660
1464 
732 
91,500
 produto
Dividendo (D)
Na multiplicação começa-se
operar da esquerda para a
direita.
Quando a multiplicação
envolver números decimais
(como no exemplo ao lado),
soma-se a quantidade de casas
após a vírgula.
Divisor (d)
Quociente (q)
Exemplo:
Existe na divisão, o que pode-se chamar de resto. Isto é, quando
uma divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado
valore, veja no exemplo a seguir:
4
c) 32,4 – 21,3 =
843 / 5 = 168
34
43
3  resto (r)
Para verificar se o resultado é
verdadeiro basta substituir os valores
na seguinte fórmula:
D=d*q+r
843 = 5 * 168 + 3
d) 48 – 33,45 =
e) 2,1 * 3,2 =
f) 48,2 * 0,031 =
g) 3,21 * 2,003 =
h) 8,4708 / 3,62 =
5) Casos particulares da multiplicação e divisão
i) 682,29 / 0,513 =
Multiplicação
j) 2803,5 / 4450 =
N*1=N
k) (FUVEST)
N*0=0
0,2 * 0,3
=
3,2  2,0
l) 0,041 * 21,32 * 401,05 
m) 0,0281 / 0,432 
Divisão
N/1=N
n)
2,31 * 4,82

5,1
o)
0,021 * 4,32

0,285
N/N=1
0/N=0
N/0= 
6) Exercícios
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =
b) 4,03 + 200 + 51,2 =
5
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o
sinal do maior.
III - NÚMEROS RELATIVOS
Exemplos:
Definição: É o conjunto dos números positivos, negativos e o
a) 2 + 4 = 6
zero, que não possuem sinal.
b) – 2 – 4 = – 6
c) 5 – 3 = 2
7) Valor absoluto ou Módulo
d) – 5 + 3 = – 2
“É um número desprovido de seu sinal. Suprimindo o sinal de
e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
um número relativo, obtemos um número aritmético, que se
f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
denomina valor absoluto ou módulo desse número relativo,
sendo representado pelo símbolo
.”
9) Multiplicação e divisão algébrica
Sinais iguais  resposta positiva
Sinais diferentes  resposta negativa
9 9
Exemplos:
2 2
Isto é:
0 0
7 7
8) Soma e subtração algébrica
Sinais iguais: Soma-se os valores absolutos e dá-se o sinal
comum.
Exemplos:
6
() * ()  ()
() : ()  ()
( ) * ( )  (  )
( ) : ( )  (  )
(  ) * ( )  ( )
(  ) : ( )  ( )
( ) * (  )  ( )
( ) : (  )  ( )
reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os
a) 12 * 3 = 36
sinais dos termos internos.
b) (-12) * (-3) = 36
c) 2 * (-2) = -4
Exemplo:
d) (-2) * 3 = -6
e)
4
=2
2
a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ]
f)
20
= -4
(5)
c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2
g)
h)
b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1
(20)
=4
(5)
11) Decomposição de um número em um produto de fatores
(20)
= -4
5
primos
A decomposição de um número em um produto de fatores primos
é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos
10) Expressões numéricas
exemplos a seguir.
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as
operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas
Exemplos:
estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em
expressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ],
colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operações eliminando-se,
na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais
interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da
7
30 2
15 3
55
12 \ 12 \ 45 2
06 \ 08 \ 45 2
30 = 2 * 3 * 5
03 \ 04 \ 45 2
03 \ 02 \ 45 2
1 30
03 \ 01 \ 45 3
01 \ 01 \ 15 3
21 3
7 7
01 \ 01 \ 05 5
21 = 3 * 7
01 \ 01 \ 01 720
1 21
O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720
b) m.m.c. (4; 3) = 12
OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e
c) m.m.c. (3; 5; 8) = 120
pelo número 1.
d) m.m.c. (8; 4) = 8
e) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60
12) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número
13) Exercícios
divisível por todos eles.
Exemplo:
a) 2 + 3 – 1 =
b) – 2 – 5 + 8 =
a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
d) 2 * (-3) =
e) (-2) * (-5) =
f) (-10) * (-1) =
8
g) (-1) * (-1) * (-2) =
b. 18, 20 e 30
c. 12, 18 e 32
h)
4
=
2
i)
8
=
2
j)
 20
=
5
k)
(4) * (1)
=
2
l)
(1  3 - 5) * (2 - 7)
=
1
m)
(2  3 * 4 - 2 * 5 - 3)
=
1
IV - FRAÇÕES ORDINÁRIAS
Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o
numerador e o divisor é o denominador.
n) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 )  2 ] }  1 =
“As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um
inteiro, e ao dividir formam as frações”
o) 8 - { - 20 [ ( - 3  3 ) : ( - 58 )]  2 ( - 5 ) } =
p) 0,5 * 0,4 : 0,2 =
q) 0,6 : 0,03 * 0,05 =
r) 5 : 10 =
s) 3 : 81 * 0,5 =
t) Calcule o m.m.c. entre:
a. 36 e 60
9
3
=0,75
4
1
=0,5
2
1
=0,25
4
1
=0,125
8
a)
10
3
10
=1
pois
possui resto 3
7
7
7
b)
28
3
28
= 5 pois
possui resto 3
5
5
5
c)
11
2
=3
3
3
d) 2
1
7
=
3
3
e) -1
7
= 0,875
8
1
5
=4
4
14) Propriedade
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um
número diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à
inicial.
A fração é própria quando o numerador é menor do que o
denominador:
Exemplos:
1 3 120
, ,
, etc.
2 5 210
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o
a)
1 1* 2 2


2 2*2 4
b)
3 3 * 5 15


4 4 * 5 20
c)
20 20 :10 2


30 30 :10 3
denominador, sendo possível representa-la por um número misto
e reciprocamente.
Exemplos:
10
d) -
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se
4
4:4
1
8
8: 4
2
faz com os denominadores.
15) Soma algébrica de frações
Exemplos:
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se
algebricamente os numeradores.
a)
OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos
1 3 3
* 
2 5 10
denominadores.
1
 1 1
b)    *  8
 4 2
Exemplos:
 1  2 2
c)    *    
 3   5  15
a)
1 1 3 2 3 2 5
   

2 3 6 6
6
6
d)
b)
1 5 2 3 5 4 35-4 4 2
 -   - 
 
2 6 3 6 6 6
6
6 3
3 1 11 16 44
4
e) 2 * 3  * 
8
4 5 4 5
5
5
c)
1 3 4
1 9 16 24 1 - 9  16 - 24 16 4
1
-  -2 -  - 
 -  -  -1
12 4 3
12 12 12 12
12
12 3
3
 3 *   1  *   2    4  7
3
14
17) Divisão de frações
1 1
7 5
28 15 48 28  15 - 48
5
d) 2  1 - 4   - 4   - 
3 4
3 4
12 12 12
12
12
Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração
divisora.
16) Multiplicação de frações
Exemplos:
11
1
a)
b)
2  1 * 3  3 1 1
1
2 1 2
2
3
 2 3    - 2  * 2  - 4  - 1 1
1
 
 3 1
2
3
c)
100
=
3
Transforme em fração ordinária:
2  1*1  1
3 2 3 6
c)
e)
12
=
5
3
1
d)
b)
a) 1
5 5 3 15
1
 *  7
2
1 2 2
2
3
b) 2
13
41
3 
3  13 *   4   - 52  - 1 25


3  9
27
27
21
9
4
4

1
=
5
  
3
=
4
c)  10
1
=
10
Simplifique as frações:
18) Exercícios
Transforme em número misto:
a)
3
=
2
12
a)
2
=
4
b)
9
=
27
c)
12
=
48
Comparar
as
frações
(sugestão:
reduzi-las
ao
menor
e)
1 2
* 
3 5
f)
3 1 2
* * 
7 3 5
denominador e comparar os numeradores).
OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b”
a > b lê-se “a é maior do que b”
a)
1 2
,
2 3
b)
2 5
,
3 6
 1  2
g)  -  *  -  
 6  5
1  1
h) 2 *  - 1  
5  3
1
i)
4 3
c)
,
7 8
1 1
 
5 10
b)
2 4
- 
3 3
c)
1 1 1
-  
2 3 6
3
2
j)
2  1
:-  
3  5
k)
1 2 1
: * 
2 3 4
l)
2 1
2 :1 
5 5
Resolva:
a)
1
1 2 1
m)    : 
3 4 2
1 1
n)
2
1
d) 2  3 - 5 
3
2
13
3
3
1
o)
p)
1 1
2
1
2

2
3 1  1 1 1 5 *1 2
8
4- 7
5
5
3
1
1
2 :3
2 -1
4
3
8
4
Simplifique:
1
11 
a)
1
1
1
1
11
1
1 1 1
 
2
3 4 :  9  1 
b)


2 3  17 

3 4
14
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
V - POTÊNCIAS
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
25 = 32 ; (- 2)5 = - 32
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n
fatores iguais a A.
19) Multiplicação de potências de mesma base
A é a base da potência;
n
A
A
*A
A
* A*
...

*A*
n é o expoente da potência, que determina o seu grau.
n vezes
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
Realmente: 2³ * 2²  2
*
2
*2 * 2
* 2  23  2  25

2 vezes
3 vezes



Assim:
5 vezes
2³ = 2 * 2 * 2 = 8  2³ = 8
Exemplo:
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1  (- 1)4 = 1
5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125
CASOS PARTICULARES:
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
20) Divisão de potências de mesma base
A1 = A; 21 = 2
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.
b) Toda potência de 1 é igual a 1:
6 vezes


5
5*5*5*5*5*5
Realmente:

 56 - 4  5 2
4
5*
5
* 5
*5
5
1² = 1; 1³ = 1
6
c) Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
4 vezes
d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
15
 2  310  59 049
Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
Exemplo: 35
21) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)
24) Expoente nulo
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual
a unidade.
Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)²
4 4
4-4

 a0
a : a  a
Realmente: 
4 4

a : a  1
Exemplo: 3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 375
a0 1
22) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)
Exemplo: (- 5)0 = 1
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Realmente:
22
72

2*2 2 2  2 
 *  
7*7 7 7  7 
25) Expoente negativo
2
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo
é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo
denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo
Exemplo: 8³ : 2³ = 4³ = 64
expoente com o sinal positivo.
23) Potenciação de potência
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
 2  23* 23  23  3  26 ou 23 2  23 * 2  26
Realmente: 23
2 vezes
16
 23
23
1
 7  3 4  4

2 *2
2
Realmente:  2
 23
3-7
 2- 4
 7 2
2
Exemplo: 5  2 
1
52

Todo número decimal equivalente a um produto do qual um
2- 4 
1
fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de
24
dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente
quantas são as ordens decimais.
1
1

5 * 5 25
Realmente: 0,0025 
25
25

 25 *10 - 4
4
10 000 10
26) Potências de 10
Exemplos:
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade
tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
a) 0,001 = 10-3
b) 0,002 = 2 * 10-3
Exemplos:
c) 0,00008 = 8 * 10-5
a) 10² = 100
d) 1,255 = 1255 * 10-3
b) 107 = 10 000 000
e) 2 * 10-3 = 0,002
c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²
28) Exercícios
d) 4000 = 4 * 10³
e) 300 000 = 3 * 105
f) 3 * 108 = 300 000 000
a) 1³ =
b) 04 =
c) (- 2)³ =
27) Números decimais
d) (- 4)³ =
17
e) (- 2)4 =
2
 2 2 * 33 
 =
w) 
 53 


f) (- 4)4 =
g) 2³ * 25 =
x) (2 * 3²)0 =
h) 3² * 3 * 35 =
y) 4-2 =
i) 35 : 34 =
4
z) 2 * 3-1 =
5
j) 3 : 3² * 3 =
k) 24 * 54 =
3
l) (- 35) * (- 55) =
3
2
aa)
4
=
bb) (2-3 * 5-2)-4 =
3
m) 15 : 3 =
cc) 2x + 1 * 4x =
n) (- 46) : 26 =
2
dd) 32x * 24x =
5
ee) 54x : 252x =
o) (3³) =
p) (2³) =
q) 3³2 =
Exprimir, utilizando potências de 10:
r) [ (3³)² ]² =
s) (2 * 3)³ =
a) 20 000 =
t) (3² * 5 * 2)4 =
b) 4 800 000 =
5
5
u)   =
3
c) 0,01 =
d) 0,000045 =
3
 2 
v)   =
 34 
Efetuar, utilizando potência de 10:
18
a)
b)
2 000 * 48 000
=
80
29) Propriedade
28 * 0,000032
=
0,00002
expoente do radicando pelo índice do radical.
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o
Exemplos:
VI – RADICAIS
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A,
a)
12  2 2 * 3  2 3
b)
180  2 2 * 32 5  2 * 3 5  6 5
c)
4 8
d)
4 8
3 * 5 4 * 2  32 * 5 4 2
ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A.
OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo
n - índice da raiz
n A A - radicando


 - radical
3  38 : 4  32
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplicase o expoente do fator pelo índice do radical. Assim:
3
3 3 2  33 * 2
Assim:
a)
30) Adição e subtração de radicais semelhantes
16  4 porque 4² = 16
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes.
b) 3 8  2 porque 2³ = 8
Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os
c) 4 81  3 porque 3 = 81
4
coeficientes e conserva-se o radical.
19
Exemplos:
a)
a) 3 2  5 2 - 10 2  8 2 - 10 2  - 2 2
b)
2 63
33
2 -53
2 -3
2 93
2 -63
2  33
4 3 3  4 33  4 27
2


2 5
5
5
b)  2 2 * 3   2 2 * 3  2 4 * 32


2
31) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
33) Radiciação de radicais
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
(quociente) o índice comum.
Exemplos:
Exemplo:
a)
2 * 3  2*3  6
6
b)
c)
d)
a)
2

b) 3 4 3  24 3
6
 3
2
34) Expoente fracionário
3 * 5 * 2  3 * 5 * 2  30
4 5 *4 3
42
3  2*2 3  4 3
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida
4 15
15

4
42
2
numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do
expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
32) Potenciação de radicais
Exemplos:
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
Exemplo:
20
p
q
a) a q  a p
d)
2 2
5 6
2 2* 6

5 6* 6

2 12
5 36

2 12 2 12
12


5*6
30
15
1
b) a 2  a
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois
2
3
c) 2 3  2 2  3 4
d)
termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau.
3
4 3
6 6 4
Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela
expressão conjugada do denominador.
35) Racionalização de denominadores
OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do
multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador
tipo:
da fração.
(a + b) * (a – b) = a² - b²
Assim:
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
Exemplo:
a)
b)
c)
1
1* 2
Exemplos:
2



2
2
2* 2
4
1
2 3
2
3


2
1* 3
2 3* 3
2* 3
3* 3


3
2 9
6
9


3
3

2*3 6
a)
6
3
b)
21
1
5 2
5
2 3



1* 5 - 2

5- 2

 5  2 *  5 - 2   5  -  2 

5* 2 - 3

2  3 * 2 - 3 


5* 2 - 3
 
22 - 3
2
2

5- 2 5- 2

5-2
3
  5 * 2 - 3   5 * 2 - 3   5 * 2 - 3 
4-3
1
2
36) Exercícios
Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
Efetuar:
3
a) 2 4 =
5 - 2 5  10 5 
a)
1
b) 2 2 =
32  3 2 - 8 
b)
1
c) 3 3 
d)
e)
f)
g)
 1  2
c)  2 2  =


3 - 4 729 
3* 6 
  
-3 2 * -3 4 
48
4
d)

3 2 6 
a)
2
3
h)  2 * 32  


i)
j)
3
b)

c)
2
k) 3 2 2 
l)
1
2* 3 6 =
Racionalizar o denominador das frações seguintes:
2
33
3

d)
3 3 3
2 2 2 
22
1
5
=
3
7
3
2 2
=
=
2
5 -2
=
e)
5
4 - 11
=
Simplifique:
a)
b)
c)
50 - 8
2
=
VII – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
2352 =
1
1- 2
-
1
2 1
37) Expressões algébricas
=
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e
números.
Exemplos:
a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b
OBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou de
diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente
numérico e a²b é a parte literal.
23
III. Divisão
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente
38) Operações com expressões algébricas
numérico do dividendo pelo 1º coeficiente do divisor, e a
I. Soma algébrica
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes
parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as
(monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar
regras para divisão de potências de mesma base.
ou
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se
subtrair
termos
semelhantes
(reduzir
termos
semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os
cada termo do dividendo pelo monômio divisor.
coeficientes.
Exemplo:
Exemplo:
(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²
3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
39) Produtos notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância,
devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles:
II. Multiplicação
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os
I. Quadrado da soma de dois termos:
termos do segundo fator e reproduzem-se os termos
(a + b)² = a² + 2ab + b²
semelhantes.
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do
Exemplo:
(3a²y) * (2ay) = 6a³y²
primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
o quadrado do segundo.”
Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
24
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto
indicado.
II. Quadrado da diferença de dois termos:
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo
(a - b)² = a² - 2ab + b²
coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do
coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é
primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
formada pelas letras comuns com os menores expoentes.
o quadrado do segundo.”
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito
como o produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é
Exemplo:
obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
(x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
III. Produto da soma de dois termos por sua diferença:
(a + b) * (a – b) = a - b
Exemplos:
“O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao
quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.”
a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
 4ax ² 8a ² x ³ 2a ³x 
4ax ²  8a ² x ³  2a ³x  2ax 


  2ax 2x  4ax²  a² 
 2ax 2ax 2ax 
Exemplo:
(1 -
3 ) * (1 +
3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2
b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
40) Fatoração
41) Exercícios
25
Efetuar:
a) 3a 2 - 7ab  4b 2 - 5a 2  3ab - 4b 2 =


7xy 2 * - 8x 2 y* xy  =

b) 3xy 2 - 7x 2 y  3y 3 - 2y 3 - 8x 2 y  3xy 2 =
c)
d) a  b  c * a - b =

 
f) 6x 2 - 4x 5  2x 4 - 2x 2 : 2x =
g) 2a 2 bc  3a 3b 3c 2  abc : abc =
e) x 3 - 3x 2 y  x * x 2 - y =
h) x  22  3x - 32 =

i) 3xy  8a

2 2
VIII – EQUAÇÕES DO 1º GRAU
=
j) 5ab  3c * 5ab  3c =
UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO
As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da
Fatorar:
França, Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 1540.
a) 15a² - 10ab =
Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que era
b) 3a²x – 6b²x + 12x =
mensagens escritas com a substituição de letras por numerais. Desta
26
forma Viète teve uma idéia simples mas genial: fez o contrário, ou
42) Equação
seja, usou letras para representar os números nas equações.
Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados
O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde
valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas).
(matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele
Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um
não existiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas.
problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma;
Um outro matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu
mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora LISA)
colega e começou a desenhar duas retas para representar que duas
quantidades são iguais:
Exemplo:
Exemplo:
_________
400 cm _________
a)
x
-
2 

1º membro
4m
b) 3x + y = 7
5

só é verdade para x = 7
2º membro
só é verdade para alguns valores de x e y,
como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4.
Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo
nas equações de Viète.
Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram
Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as
expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade.
igualdades denominam-se raízes da equação.
A notação de Viète significou o passo mais decisivo e
Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior
fundamental para construção do verdadeiro idioma da Álgebra:
expoente dessa incógnita for 1 então a equação é dita equação do
as equações. Por isso, Fraçois Viète é conhecido como o Pai da
1º grau a uma incógnita.
Álgebra.
43) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita
27
Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma
Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição
equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolve-la
ou subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores,
isolando-se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º
o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra:
membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se
Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c.
encontrado por cada um dos denominadores e multiplicamse os resultados pelos respectivos numeradores.
a operação inversa (as operações inversas são: adição e
subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação).
Exemplos:
Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:
a) x + 2 = 7  x + 2 – 2 = 7 – 2  x = 5
3x - 2 3x  1 4x - 6

2
3
5
b) x – 3 = 0  x – 3 + 3 = 0 + 3  x = 3
c) 2x  8 
d)
2x 8
  x4
2 2
1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver:
m.m.c. (2; 3; 5) = 30
x
3* x
5 
 3 * 5  x  15
3
3
Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6)
Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém, utilizar as
2º
operações dos sinais (capítulo III – Números relativos):
multiplicações indicadas:
Passo:
Eliminam-se
os
45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36
 2x  - 8 
- 2x - 8

 x4
-2 -2
28
parênteses,
efetuando
as
3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o
44) Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas
1º membro, e os independentes (os que não contém a incógnita)
A forma genérica de um sistema é:
para o 2º, efetuando as operações necessárias:
ax  by  c
onde a, b, c, m, n, p   (Reais)

mx  ny  p
45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10
4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:
a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas
-9x = 4
incógnitas admite infinitas soluções. Por exemplo, a
equação 2x – y = 4 é verificada para um número
5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está
ilimitado de pares de valores de x e y; entre estes pares
sendo multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita:
estariam:
 9x 4

9 -9
(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.
b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um
6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração
sistema de suas equações a duas incógnitas é
passa a ser negativa também:
determinar os valores de x e y que satisfaçam
x-
4
9
simultaneamente às duas equações. Por exemplo o
sistema:
5x  y  16

2x  3y  3
VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL”
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da
tem solução para
x  3

y  1
Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às
equação dada. Os valores numéricos devem ser iguais
duas igualdades. (Verifique!)
29
Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um
5 * 8  3y   4 y  2
sistema, são eles: Substituição, comparação e adição.
40  15y  4 y  2
19 y  38
y2
SUBSTITUIÇÃO
2x  3y  8
1º) Seja o sistema: 
5x  2 y  1
5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está
equação 1
isolado) e determina-se x:
equação 2
8  3 * 2 
2
86
x
2
 x 1
x
2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por
exemplo, o valor de x na equação 1:
2 x  3y  8
2 x  8  3y
x
8  3y
2
6º) A solução do sistema é:
equação 3
x=1 e y=2
3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):
 8 - 3y 
5*
  2y  1
 2 
COMPARAÇÃO
equação 4
7 x  3y  33
1º) Seja o sistema: 
5x  2 y  7
4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y:
2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:
30
x
33  3y
7
e x
7  2y
5
ADIÇÃO
Este método consiste em somar, membro a membro, as duas
3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são
equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das
iguais (x = x):
incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma
33 - 3y 7  2 y

7
5
das incógnitas serem simétricos.
Exemplos:
4º) Resolve-se a equação e determina-se y:
5 * 33  3y   7 * 7  2 y 
x  y  4
a) 
x  y  0
165  15y  49  14 y
29 y  16
equação 1
equação 2
Somando, membro a membro, vem:
 y4
2x  4  x  2
Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica
5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está
a critério do aluno), vem:
isolado e determina-se o valor de x:
2 y  4  y  2
33 - 3y 33  3 * 4 33  12 21



7
7
7
7
 x3
x
3x  2 y  7
b) 
5x  y  3  * (2)
6º) A solução do sistema é:

Somando, membro a membro, vem:
x=3 e y=4
13x  13  x  1
31
3x  2y  7

10x - 2y  6
Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a
k)
x  2 12  x 5x  36


1
3
2
4
l)
5x  3 3  4x x 31 9  5x

  
8
3
2 2
6
critério do aluno), vem:
3 *1  2y  7  3  2y  7  2y  4  y  2
45) Exercícios
Resolver os seguintes sistemas de equações:
Resolver as seguintes equações:
x  y  12
a) 
3x  y  24
a) 4x  8
b)  5x  10
5x  6 y  19
b) 
7 x  2 y  1
c) 7  x  8
d) 3  2x  7
x  5y  12
c) 
3x  4 y  2
e) 16  4x  4  x  12
f) 8  7x  13  x  27  5x
g)
2x 3

3
4
h)
1 3x

4 10
i)
9x  2  4x  5  4x  3
j)
3 * 2  x   5 * 7  2x   10  4x  5
x y
 4  5  2
d) 
 2x  1  y  3  2
 3
2
Considere o problema:
32
A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a
a . x² = 0
idade do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai
e do filho?
Exemplo:
3 x² = 0  x² = 0  x = 0  S = {0}
IX – EQUAÇÕES DO 2º GRAU
2º caso: c = 0 e b  0; temos então:
Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo:
a . x² + b . x = 0
a . x² + b . x + c = 0
Exemplo:
onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a  0).
3 x² - 12 x = 0  x . (3 x – 12) = 0  x = 0 ou 3 x – 12
A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à
= 0  3 x = 12  x = 4  S = {0; 4}
incógnita x apresentar o maior expoente igual a 2.
Se tivermos b  0 e c  0 teremos uma equação completa.
3º caso: b = 0 e c  0; temos então:
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.
a . x² + c = 0
46) Resolvendo Equações de 2º Grau
Exemplo:
x² - 4 = 0  x² = 4  x =  4  x’ = 2 e x’’ = -2 
Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é
 S = {-2; 2}
bastante simples, veja:
A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de
1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:
uma fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático
33
hindu nascido em 1 114; por meio dela sabemos que o valor da
47) Exercícios
incógnita satisfaz a igualdade:
Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas:
Fórmula de Bhaskara x 
 b  b²  4.a.c
2.a
a) x 2  7x  6  0
b) x 2  3x  28  0
A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo’rmulas;
c) 3x 2  5x  2  0
veja:
d) 16x 2  16x  3  0
  b2  4 * a * c
e) 4x 2  16  0
 > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes
f) 2x 2  18  0
 = 0 têm-se duas raízes reais e iguais
g) 3x 2  5x
 < 0 têm-se duas raízes imaginárias
h) 2x 2  8x  0
e
x
i)
b 
2*a
2x  32  4x  32
Prever a natureza das raízes das equações:
OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a
a) 2x 2  3x  1  0
equação de segundo grau visto que o x² seria anulado.
b) x 2  x  3  0
34
c) 2x 2  4x  2  0
Determinar mentalmente as raízes das equações:
a) x 2  6x  5  0
b) x 2  2x  15  0
c) x 2  4x  12  0
X – EQUAÇÕES IRRACIONAIS
d) x 2  10x  21  0
Definição: Uma equação é denominada irracional quando
e) x 2  5x  50  0
apresenta incógnita sob radical ou incógnita com expoente
fracionário.
Resolver as seguintes equações:
48) Resolução de uma equação irracional
2
a) ax  b
Durante o processo de solução de uma equação irracional com
b) xx  1  x2x  1  18
índice do radical igual a 2 (ou outro qualquer) é necessário
elevar ao quadrado (ou em caso de expoente diferente de 2,
eleva-se ao que se fizer necessário) ambos os membros da
equação e esta operação pode provocar o aparecimento de
raízes estranhas, isto é, valores que realmente não verificam a
35
equação original. Este fato obriga que toda raiz obtida deve ser
b) Determinar as raízes da equação:
verificada na equação original e verificando a igualdade.
Isolando o radical no 1º membro:
x4 2 x
x4  x2
Exemplos:
Elevando-se ambos os membros ao quadrado:
a) Determinar as raízes da equação:

x 5 4  0
x 2  3x  0
x 5  4
Elevam-se ambos os membros ao quadrado, para
As raízes da equação do 2º grau são:
eliminar a raiz:

x 5

4
2  x  22
x  4  x 2  4x  4
Isola-se o radical em um dos membros:
2
x4
x x  3  0
x1  0
2
e
x3 0
x 2  -3
x  5  16
Determina-se x e verifica-se na equação original.
Verificando as raízes na equação irracional:
x  21
x4 2 x
Para x1=0
Verificação:
04 2  0
22  0
00
21  5  4  0
 3  4  2  3
16  4  0
00
Para x2=-3
1  2  3
 1  3
36
Observe que apenas x=0 verifica a igualdade, assim a raiz
da equação original é 0.
49) Exercícios
a)
x 40
b)
x 20
c)
x 1  2  0
d) x  2 x  15
e)
2x  7  4  2  x
f)
x  1  x  4  2x  9
g)
x  2  x  2 1
h) x  9  x 2  3
37
XI – INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em
que a incógnita é de 1º grau.
Exemplo:
50) Símbolos de desigualdades
São símbolos que permitem uma comparação entre duas
2x > 4
grandezas.
A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x.
a > b (a é maior do que b)
Observa-se que o 1º membro será maior do que o 2º membro
a < b (a é menor do que b)
quando se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é:
a  b (a é maior ou igual a b)
x>2
a  b (a é menor ou igual a b)
x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da
inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma
Exemplos:
inequação do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à
solução de uma equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar
a) 7 > 5 (7 é maior do que 5).
ou dividir a inequação por um número negativo, inverte-se o
b) 3 < 6 (3 é menor do que 6).
sinal da desigualdade.
c) x  1 (x é menor ou igual a 1).
d) y  4
(y é maior ou igual a 4).
Exemplos:
e) 1 < x  4 (x é maior do que 1 e menor ou igual
4x  2
a 4).
a)
51) Inequação do 1º grau
x  24
 x  2
x2
38
2x  1  1
b)
2x  1  1
2x  0
x0
52) Exercícios
XII – PROPORCIONALIDADE
Resolver as seguintes inequações:
53) Razão
Seja dois números genéricos a e b. A razão entre a e b é
a) 2x  1  1
representada por
b)  3x  x  2
a
, a/b ou a : b, sendo b  0.
b
c) x  5x  16
d) 2x  1  3x  5  7x
e)
f)
g)
54) Proporção
2
1 4x
x 
1
5
2 5
Proporção é a igualdade de duas razões.
Seja a proporção:
7x
2
7  x
3
3
a c
 ou a : b  c : d ou a : b :: c : d.
b d
Seus elementos se denominam:
3x
2x
9 
4
4
7
39
a - primeiro termo
a e b - extremos
b - segundo termo
b e c - meios
c - terceiro termo
a e c - antecedentes
d - quarto termo
b e d - conseqüentes
 Diretamente proporcionais: quando a razão entre x e y é
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporção o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
constante.
x
 k ou x  ky
y
 Inversamente proporcionais: quando o produto delas é
constante.
Considerando as proporções:
x * y  k ou x 
a c
então a * d  b * c

b d
k
y
Sendo k denominada constante de proporcionalidade.
4 8
então 4 * 6  3 * 8

3 6
Exemplos:
x 3
então 5 * x  2 * 3

2 5
a) Seja um carro que se desloca com velocidade
constante em trajetória retilínea. A tabela mostra o
A principal aplicação desta propriedade é a determinação de um
deslocamento do carro em função do tempo.
elemento desconhecido na proporção. Exemplificando:
Tempo Deslocamento
Determine x na proporção:
(s)
(m)
A pergunta é: tempo e
1
20
deslocamento são
2
40
grandezas diretamente ou
55) Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais
3
60
inversamente
Duas grandezas x e y são denominadas:
4
80
proporcionais?
x 20
então 5 * x  4 * 20 ou x  16

4
5
40
5
100
10
200
400
Note que PV é constante.
PV  20.20  40.10  80.5  100.4  200.2  400.1  400
Assim: P e V são grandezas inversamente proporcionais
Chamado de x o deslocamento e t o tempo, observa-se
que a razão x
t
1
é constante.
com constante de proporcionalidade igual a 400.
x 20 40 60 80 100 200






 20
t
1
2
3
4
5
10
56) Regra de três simples
Utilizamos regra de três simples na solução de problemas que
Assim x e t são grandezas diretamente proporcionais e a
envolvem grandezas proporcionais.
constante de proporcionalidade vale 20 (que é a
velocidade do carro).
Exemplos:
b) Um gás é mantido à temperatura constante em um
a) Um automóvel se desloca com velocidade constante
recipiente de volume variável. Quando se altera o
percorrendo 40 km em 1 hora. Qual o tempo gasto
volume do gás a sua pressão também se modifica.
Registraram-se
em
uma
tabela
os
para percorrer 100 km?
valores
SOLUÇÃO
correspondentes da pressão (P) e volume (V).
Pressão
Volume
20
20
40
10
80
5
100
4
200
2
As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Teremos então uma regra de três simples e direta.
P e V são grandezas
Dispomos os dados do problema colocando frente `frente
diretamente ou
aqueles que se correspondem. Marcamos x no local do
valor procurado:
inversamente
40 km ...............1 h
proporcionais?
100 km ................x
41
Sendo a regra de três simples e direta, tem-se:
40 1
 (as grandezas são dispostas na mesma ordem de
100 x
correspondência).
Aplicando a propriedade fundamental das proporções,
57) Exercícios
vem:
40 * x  1*100

x  2,5 horas
Resolva os seguintes exercícios:
b) Dois litros de gás exercem uma pressão de 0,4 atm.
a) Uma bomba eleva 272 litros de água em 16 minutos.
Cinco litros do mesmo gás, à mesma temperatura,
Quantos litros elevará em 1 hora e 20 minutos?
exercerão que pressão?
b) Doze operários levaram 25 dias para executar uma
SOLUÇÃO
determinada obra. Quantos dias levarão 10 operários
As grandezas são inversamente proporcionais. Assim
para executar a mesma obra?
sendo, teremos uma regra de três simples e inversa.
c) Num livro de 200 páginas há 30 linhas em cada
Dispondo os dados do problema:
página. Se houvesse 25 linhas em cada página,
2 litros ............... 0,4 atm
quantas páginas teria o livro?
5 litros ............... x
d) Metade de uma obra foi feita por 10 operários em 13
Sendo a regra de três inversa, as grandezas são dispostas
dias. Quantos tempo levarão para terminar essa obra
de forma que na proporção os termos do 2º membro
com 3 operários a mais?
ficam invertidos.
2
x
ou 2 * 0,4  5 * x

5 0,4

x  0,16 atm
42
B
e) Com uma certa quantidade de cobre fabricam-se 1600
metros de fio com seção de 12 mm². Se a seção for de
a
c
8 mm², quantos metros de fio poderão ser obtidos?
C
b
A
No triângulo retângulo ao lado consideremos o ângulo C
formado pelo lado b e a hipotenusa a.
O lado b denomina-se cateto adjacente ao ângulo C. (É o cateto
que faz parte da constituição do ângulo).
XIII – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
O lado c denomina-se cateto oposto ao ângulo C.
Os lados do triângulo e um dos ângulos (não o reto), podem ser
58) Triângulo retângulo
relacionados por:
Um triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto (90º).
A
c
x
b
z
T
r
Y
S
s
sen C 
t
B
a
C
Z
y
X
R
cateto oposto c

hipotenusa
a
Em um triângulo retângulo temos:
a) Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto. Nas
cos C 
figuras acima são hipotenusas: a, x e r.
cateto adjacente b

hipotenusa
a
b) Catetos: são os outros dois lados do triângulo.
Nas figuras são catetos: b, c; y, z e s, t.
tg C 
59) Relações trigonométricas no triângulo retângulo
43
sen C
cateto oposto
c


cos C cateto adjacente b
Existem tabelas que fornecem os diversos valores de senos, co-
B
c
 c  a sen 60º
a
3
c  4*
2 3m
C
2
b
cos 60º   b  a cos 60º
a
1
b  4*  2 m
2
sen 60º 
senos e tangentes dos mais diversos ângulos. Assim, conhecido
um ângulo de um triângulo retângulo e um dos lados, pode-se
determinar os demais lados. A seguir temos uma tabela com os
valores das funções trigonométricas para os ângulos de 30º, 45º e
60º.
60º
a
b
c
A
b) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 5
30 graus 45 graus 60 graus
m e um dos catetos 2,5 m. Determinar o ângulo
Seno
1
2
2
2
3
2
Co-seno
3
2
2
2
1
2
Tangente
3
3
1
formado pela hipotenusa e por esse cateto.
Determine o outro cateto.
c 2,5 1


a
5
2
da tabela   60º
1ª ) cos  
3
2ª ) b  a sen   5 * sen 60º  5 *
 b  2,5 3 m
Exemplos:
A
c=2
,5m
a) Em um triângulo retângulo a hipotenusa vale 4 m
B 
e dos ângulos agudos vale 60º. Determine os dois
catetos do triângulo.
44
b
a=5m
C
3
2
ii. cos 
c) Em um triângulo retângulo os lados valem 3 m, 4
iii. tg 
m e 5 m. Determine o seno, o co-seno e a
tangente do ângulo formado entre o lado de 3 m e
o de 5 m.
b) Um ângulo de um triângulo mede 30º e o cateto
que se opõe a este ângulo vale 5 cm. Calcular a

4
sen    0,8
5
3
cos    0,6
5
4
tg    1, 3
3
5m
3m
hipotenusa e o outro cateto.
4m
c) Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 3 cm
e um dos ângulos agudos vale 45º. Calcular a
medida comum dos catetos.
Todo triângulo de lado 3, 4 e 5, ou múltiplos destes
valores, é denominado Triângulo Pitagórico.
d) Num triângulo retângulo, as medidas dos dois
catetos são iguais. Calcular a medida comum dos
60) Exercícios
ângulos agudos.
a) Dado o triângulo retângulo abaixo, calcular:
e) Calcular os ângulos formados pelos catetos com a
hipotenusa de um triângulo retângulo sabendo que
um dos catetos é a metade da hipotenusa.
25
2

f) Calcular x e y na figura a seguir:
4
i. sen 
45
x
Um ponto situado em um plano cartesiano tem sua posição
60º
definida por um par de números (coordenadas do ponto).
6 m
y
y
5
XIV – PLANO CARTESIANO (SEU PRODUTO, RELAÇÕES
4
3
E FUNÇÕES)
-5
-4
-3
-2
P4
61) Os eixos cartesianos
1
-1
P3
Dois eixos graduados, perpendiculares entre si, com origens
P1 3, 2 
P2 1, - 2 
5
3
1
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-3
-4
-5
segundo a ordenada do ponto.
5
x
0
origem
4
O primeiro valor numérico representa a abscissa do ponto e o
2
-2
3
P4 - 2, 0 
4
-3
2
P3 0, - 1
y (eixo das ordenadas)
-4
1
-2 P2
coincidentes, são denominados eixos cartesianos.
-5
P1
2
(eixo das abscissas)
-1
-2
63) Uma reta no plano cartesiano
-3
Um conjunto de pontos representados em um plano cartesiano
-4
pode resultar em uma reta. Tal fato acontece quando atribuímos
-5
os mais diversos valores a x em uma equação característica (a
seguir representada) e obtemos os valores de y correspondentes.
62) Um ponto no plano cartesiano
46
b) Reta paralela ao eixo x
O coeficiente angular (a) é igual a zero.
y=a*x+b
y
Esta equação é denominada equação reduzida da reta, sendo que
A equação fica
y=b
a e b necessariamente são valores constantes.
0
x
A sua representação gráfica nos mostra que:
a = tg  (coeficiente angular).
b = valor de y onde a reta
intercepta o eixo das ordenadas
(coeficiente linear).
y
b

0
c) Reta paralela ao eixo y
O valor de x é constante.
x
y
64) Casos particulares
0
x
a) Reta que passa pela origem
Exemplos:
O coeficiente linear (b) é igual a zero.
a) Representar graficamente a equação y  3 * x .
y
A equação fica:
y=a*x
0
Solução: O coeficiente angular é
3 . Como tg 60º =
3 , o ângulo que a reta forma com o eixo x é 60º.
x
47
y
Ainda, a reta não apresenta coeficiente linear, isto é, a
5
reta passa pela origem. Representando-a:
4
3
2
y
-5
-4
-3
-2
1
-1
1
2
3
4
5
x
-1
60º
0
-2
x
-3
A 0, - 2 
B 4, 0 
b) Representar graficamente y = 20.
Solução: Como y é constante a reta deve
-4
-5
C 1, 3
D - 2, - 3
ser
perpendicular ao eixo y.
b) Dê as coordenadas dos pontos P, Q, R e S da figura a
seguir.
y
20
y
5
0
4
x
Q
3
2
-5
65) Exercícios
-4
-3
-2
-1
1
1
2
P
3
4
5
x
-1
-2
a) Situe os pontos A, B, C e D no plano cartesiano a seguir.
R
-3
-4
-5
48
S
y
c) Qual a representação gráfica da reta de equação
2
y  3 x2
30º
0
x
e.
y
d) O gráfico da reta y = 5 é:
60º
0
x
a.
y
y
30º
x
5
0
-2
x
a.
b.
y
y
5
0
45º
x
2
60º
0
5
x
b.
c.
y
y
5
60º
0
x
0
-2
c.
d.
49
x
y
XVI – NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA E
ESPACIAL
0
5º
x
d.
GEOMETRIA PLANA
y
5
66) Definição e apresentação da Geometria Plana
45º
0
Geometria Plana possui como sua principal característica
x
e.
pertencer ao R2, isto é, possui duas dimensões sendo estas x e y
como em um plano cartesiano, também conhecidas como base
(b) e altura (h).
OBS: o b da base e o h da altura provem do inglês onde base =
base e altura = height.
Na Geometria Plana podemos encontrar a área (A) e o
perímetro (P) das figuras, onde:
Perímetros pode-se
definir como sendo o
comprimento do
“contorno” de uma
figura.
50
Área é o região do plano
limitado pelo perímetro
Toda figura plana possui uma fórmula para encontrar o valor de
seu perímetro e sua área, veja:
Losango
67) Apresentação das figuras planas e suas fórmulas
A
Quadrado
D*d
2
P=4*l
A = b * h mas como
b=leh=l 
A = l * l logo A = l²
P=l+l+l+l 
Paralelogramo
P=4*l
A  b*h
P=2*a+2*b
Retângulo
A=b*h
Trapézio
P=2*a+2*b
A
B * b * h
2
P=a+b+c+d
51
A   * r2
Triângulo Qualquer
A
Circunferência
b*h
2
P=a+b+c
A  2**R
Triângulo Eqüilátero
A
l2 3
4
GEOMETRIA ESPACIAL
P=3*l
68) Definição e apresentação da Geometria Espacial
Círculo
52
Geometria Espacial possui como sua principal característica
pertencer ao R³, isto é, possui três dimensões sendo estas x, y e z
como no espaço, também conhecidos como base (b) e altura (h)
e espessura (e).
Pirâmide
1
V  *B*h
3
Na Geometria Espacial podemos encontrar o volume (V) e a
área lateral (S), onde:
B é a área da base da
pirâmide
69) Apresentação das figuras espaciais e suas fórmulas
Cilindro circular reto
V =  * r² * h
Cubo
r
S  2**r *h
V=b*h*e
S = 6 * l²
Cone circular reto
1
V  *  * r2 * h
3
53
S   * r * r2  h2
Esfera
V
4
*  * r3
3
S 4**r
2
CURIOSIDADE
O ALFABETO GREGO

 alfa

 beta

 gama

 delta
54

 epsilon

 zeta

 eta

 teta

 iota
K
 kapa

 lambda

 mi
v
 ni

 csi

 ômicron

 pi

 ro

 sigma

 tau

 ipsilon

 fi

 qui

 psi

 omega
55