UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS FACULDADE DE ENGENHARIA AGRÍCOLA egcn ELETROTÉCNICA GERAL Unidade 08 A base de tudo Tri (três) + gonos (lados) + metro (medida) Medida da altura de um prédio a partir da projeção de sua sombra Então Trigonometria = medida de triângulos As relações trigonométricas de um triângulo retângulo são bem conhecidas: sen cateto oposto hipotenusa cos cateto adjascente hipotenusa c a tan cateto oposto cateto adjascente b c a b c catetos b a egcn hipotenusa Construindo os gráficos de funções trigonométricas seno cosseno 0 0,00 1 30 /6 0,50 0,87 60 /3 0,87 0,50 90 /2 1,00 0,00 120 /3 0,87 -0,50 .... .... 0,00 1 Graus Radianos 0 .... 360 .... As formas de onda são iguais, apenas estão posicionadas diferentemente em relação ao eixo das ordenadas! Esta forma de onda é chamada sinusóide egcn Ângulo Por quê as funções sinusoidais são importantes? [...] a Natureza, de um modo geral, parece ter um caráter senoidal; o movimento de um pêndulo, uma bola pulando, a vibração de uma corda de violão, a atmosfera política em qualquer país, as ondulações na superfície de uma caneca de leite com chocolate, todos apresentam um razoável caráter senoidal. William H. Hayt e Jack E. Kemmerly in Análise de Circuitos em Engenharia Ed. McGraw-Hill do Brasil Mais exemplos: oscilação de uma mola biorritmo egcn luz polarizada Por quê as funções sinusoidais são importantes em Eletrotécnica? 1. As funções comumente usadas em circuitos elétricos podem ser “geradas “ a partir de funções sinusoidais. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Uma função que se repete fo vezes por segundo pode ser representada pela soma de um número infinito de funções senoidais (harmônicas) com frequências que sejam múltiplos inteiros de fo. egcn Séries de Fourier Por quê as funções sinusoidais são importantes em Eletrotécnica? 2. A deriva e a integral de funções sinusoidais também são funções sinusoidais. d cos kx dx cos kx dx k sen kx 1 sen kx k egcn d sen kx k cos kx dx 1 sen kx dx cos kx k Por quê as funções sinusoidais são importantes em Eletrotécnica? 3. Os geradores de energia elétrica(1) produzem tensões com forma de onda senoidal (CA) O Gerador Elementar Pólos Anéis coletores Escovas A tensão gerada nos terminais das escovas é do tipo senoidal (C.A.) (1) Existem geradores de CC, porém este não têm a mesma importância comercial dos alternadores egcn Espira Uma fonte externa fornece energia mecânica para fazer a espirar girar com velocidade angular Variáveis de uma função sinusoidal T A A • Valor de pico ou amplitude (A): máximo valor atingido durante um ciclo • Período (T): tempo que a função leva para completar um ciclo segundos (s) • Freqüência (f): número de ciclos completados na unidade de tempo 1 T • Velocidade angular ( ): ângulo descrito na unidade de tempo 2 T radianos/segundo (rad/s) 2 f egcn f Hertz (Hz) Geração de funções sinusoidais (1) O vetor “parte” com ângulo igual a 0o egcn Obtém-se as funções seno e cosseno “puras” Geração de funções sinusoidais (2) O vetor “parte” do ângulo igual a egcn Obtém-se as funções seno e cosseno “defasadas” Expressando matematicamente as sinusóides Expressão geral: f A sen ( t ) ângulo de fase (em graus decimais) O ângulo de fase expressa de quantos graus a função está defasada da função básica (a função seno “pura”) função seno “pura” =0 < 0 a forma de onda é deslocada para a direita função seno “pura” a forma de onda coincide com a função seno “pura” egcn > 0 a forma de onda é deslocada para a esquerda f A sen ( t 60o ) f A sen ( t 30o ) egcn Exemplos Gráficos em função do ângulo ( t) Exemplo: Funções f1 = 10 sen 5 t e f2 = 10 sen 10 t rad 0 /6 /3 /2 o 0 30 60 90 180 270 360 f1 0,00 5,00 7,07 10,0 0,00 -10,0 0,00 f2 0,00 5,00 7,07 10,0 0,00 -10,0 0,00 t /2 A vantagem neste tipo de gráfico é que se as funções ficam “padronizadas”, independentemente de suas frequências. egcn f1 e f2 Gráficos em função do tempo Exemplo: Funções f1 = 10 sen 5 t e f2 = 10 sen 10 t t (s) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 f1 0,00 7,07 10,0 7,07 0,00 -7,07 -10,0 -7,07 0,00 f2 0,00 10,0 0,00 -10,0 0,00 10,0 0,00 -10,0 0,00 A vantagem neste tipo de gráfico é que se pode determinar o período e a frequência das funções. egcn f1 f2 Defasagem entre funções A defasagem entre duas funções sinusoidais é dada por um ângulo ( ), expresso em graus decimais (o) = 60o OU g(t) está 60º atrasada em relação a f(t) Duas funções sinusoidais só podem ser comparadas em fase se tiverem mesma freqüência. egcn f(t) está 60º adiantada em relação a g(t) Defasagem entre funções Para estabelecer a defasagem não é preciso ter-se um ciclo completo da forma de onda. Exemplo: = 45o OU f(t) está 45º atrasada em relação a g(t) egcn g(t) está 45º adiantada em relação a f(t)