seno

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
FACULDADE DE ENGENHARIA AGRÍCOLA
egcn
ELETROTÉCNICA GERAL
Unidade 08
A base de tudo
Tri (três) + gonos (lados) + metro (medida)
Medida da altura de um prédio a
partir da projeção de sua sombra
Então Trigonometria = medida de triângulos
As relações trigonométricas de um triângulo retângulo são bem conhecidas:
sen
cateto oposto
hipotenusa
cos
cateto adjascente
hipotenusa
c
a
tan
cateto oposto
cateto adjascente
b
c
a
b
c
catetos
b
a
egcn
hipotenusa
Construindo os gráficos de funções trigonométricas
seno
cosseno
0
0,00
1
30
/6
0,50
0,87
60
/3
0,87
0,50
90
/2
1,00
0,00
120
/3
0,87
-0,50
....
....
0,00
1
Graus
Radianos
0
....
360
....
As formas de onda são iguais,
apenas estão posicionadas
diferentemente em relação ao
eixo das ordenadas!
Esta forma de onda é chamada
sinusóide
egcn
Ângulo
Por quê as funções sinusoidais são importantes?
[...] a Natureza, de um modo geral, parece ter um caráter senoidal; o
movimento de um pêndulo, uma bola pulando, a vibração de uma corda de
violão, a atmosfera política em qualquer país, as ondulações na superfície
de uma caneca de leite com chocolate, todos apresentam um razoável
caráter senoidal.
William H. Hayt e Jack E. Kemmerly
in Análise de Circuitos em Engenharia
Ed. McGraw-Hill do Brasil
Mais exemplos:
oscilação de uma mola
biorritmo
egcn
luz polarizada
Por quê as funções sinusoidais são importantes em
Eletrotécnica?
1. As funções comumente usadas em
circuitos elétricos podem ser
“geradas “ a partir de funções
sinusoidais.
Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830)
Uma função que se repete fo
vezes por segundo pode ser
representada pela soma de um
número infinito de funções
senoidais
(harmônicas) com
frequências que sejam múltiplos
inteiros de fo.
egcn
Séries de Fourier
Por quê as funções sinusoidais são importantes em
Eletrotécnica?
2. A deriva e a integral de funções sinusoidais também são funções sinusoidais.
d
cos kx
dx
cos kx dx
k sen kx
1
sen kx
k
egcn
d
sen kx k cos kx
dx
1
sen kx dx
cos kx
k
Por quê as funções sinusoidais são importantes em
Eletrotécnica?
3. Os geradores de energia elétrica(1) produzem tensões com forma de onda
senoidal (CA)
O Gerador Elementar
Pólos
Anéis coletores
Escovas
A tensão gerada nos
terminais das escovas é
do tipo senoidal (C.A.)
(1) Existem geradores de CC, porém este não têm a mesma importância comercial dos alternadores
egcn
Espira
Uma fonte externa fornece energia
mecânica para fazer a espirar girar
com velocidade angular
Variáveis de uma função sinusoidal
T
A
A
• Valor de pico ou amplitude (A): máximo valor atingido durante um ciclo
• Período (T): tempo que a função leva para completar um ciclo
segundos (s)
• Freqüência (f): número de ciclos completados na unidade de tempo
1
T
• Velocidade angular ( ): ângulo descrito na unidade de tempo
2
T
radianos/segundo (rad/s)
2 f
egcn
f
Hertz (Hz)
Geração de funções sinusoidais (1)
O vetor “parte” com ângulo igual a 0o
egcn
Obtém-se as funções seno e cosseno
“puras”
Geração de funções sinusoidais (2)
O vetor “parte” do ângulo igual a
egcn
Obtém-se as funções seno e cosseno
“defasadas”
Expressando matematicamente as sinusóides
Expressão geral:
f
A sen ( t
)
ângulo de fase (em graus decimais)
O ângulo de fase expressa de quantos graus a função está defasada da função básica
(a função seno “pura”)
função seno “pura”
=0
< 0 a forma de onda é deslocada
para a direita
função seno “pura”
a forma de onda coincide com a função seno “pura”
egcn
> 0 a forma de onda é deslocada
para a esquerda
f
A sen ( t 60o )
f
A sen ( t 30o )
egcn
Exemplos
Gráficos em função do ângulo ( t)
Exemplo: Funções f1 = 10 sen 5 t e f2 = 10 sen 10 t
rad
0
/6
/3
/2
o
0
30
60
90
180
270
360
f1
0,00
5,00
7,07
10,0
0,00
-10,0
0,00
f2
0,00
5,00
7,07
10,0
0,00
-10,0
0,00
t
/2
A vantagem neste tipo de gráfico é que se as funções ficam
“padronizadas”, independentemente de suas frequências.
egcn
f1 e f2
Gráficos em função do tempo
Exemplo: Funções f1 = 10 sen 5 t e f2 = 10 sen 10 t
t (s)
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
f1
0,00
7,07
10,0
7,07
0,00
-7,07
-10,0
-7,07
0,00
f2
0,00
10,0
0,00
-10,0
0,00
10,0
0,00
-10,0
0,00
A vantagem neste tipo de gráfico é que se pode determinar o período
e a frequência das funções.
egcn
f1
f2
Defasagem entre funções
A defasagem entre duas funções sinusoidais é dada por um ângulo ( ), expresso em graus decimais (o)
= 60o
OU
g(t) está 60º atrasada em relação a f(t)
Duas funções sinusoidais só podem ser comparadas em fase se tiverem mesma
freqüência.
egcn
f(t) está 60º adiantada em relação a g(t)
Defasagem entre funções
Para estabelecer a defasagem não é preciso ter-se um ciclo completo da forma de onda.
Exemplo:
= 45o
OU
f(t) está 45º atrasada em relação a g(t)
egcn
g(t) está 45º adiantada em relação a f(t)