Luing Argôlo Santos (UESC) OFICINA

Luing Argôlo Santos (UESC)
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OFICINA: DESCOBRINDO A BELEZA EXISTENTE NOS TRIÂNGULOS
Público alvo: Professores da educação básica, graduados e graduandos em matemática
licenciatura, estudantes a partir do oitavo ano e demais interessados no tema.
Objetivo geral: Auxiliar na formação de professores de matemática mostrando que é possível
ensinar conceitos de Geometria Euclidiana Plana de maneira mais interessante, intuitiva e
experimental para os alunos.
Objetivos específicos: Estudar os triângulos e suas propriedades, utilizando materiais
concretos para demonstrar resultados conhecidos, fazendo ligação entre geometria e álgebra,
enfatizando também, o uso de dobraduras como forma de representação e demonstração
geométricas.
Conteúdos matemáticos: Triângulos; Propriedades desses polígonos; Condições de
existência de um triângulo; Construções elementares com régua e compasso; Medianas,
bissetrizes e alturas de um triângulo; Ângulos internos e ângulos externos de um triângulo.
Materiais utilizados: Régua, compasso, papel sulfite, tesoura, cartolina, palitos de picolé e
percevejos, palitos roliços de madeira, data show, quadro e piloto.
Metodologia: O desenvolvimento desse trabalho consiste no estudo e resolução de uma
seqüência didática envolvendo conhecimentos essenciais para um melhor aproveitamento no
estudo dos triângulos. Essa seqüência foi elaborada utilizando idéias construtivistas e
explorando a teoria dos registros de representações semióticas de forma que as questões
ficassem mais experimentais e investigativas para os alunos. Para isso, partiremos da
condição de existência de um triângulo utilizando palitos de madeira, depois construiremos
triângulos com régua e compasso, dando ênfase às condições de existência dos mesmos.
Dando continuidade, estudaremos alguns elementos pertencentes a esses polígonos, que são as
medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas de um triângulo, mostrando no GeoGebra
propriedades importantes conseqüentes desses elementos. Trabalharemos também com
construções concretas, mostrando que o professor pode se utilizar de várias ferramentas para
ensinar propriedades importantes. Demonstraremos também junto aos ouvintes/participantes
alguns resultados já conhecidos referentes aos ângulos internos e externos de um triângulo,
utilizando a maior variedade de registros de representações possíveis. Em toda oficina,
daremos ênfase à investigação matemática e ao uso do concreto como uma maneira
interessante e econômica de se trabalhar em sala de aula.
Motivação
Você já deve ter observado que os triângulos estão presentes em muitos objetos que nos
cercam: na arquitetura, nos adornos, na arte, nas estruturas de telhados, pontes, torres, etc. A
utilização de triângulos em estruturas se deve ao fato de possuírem uma propriedade que
nenhum outro polígono possui: a rigidez. Os triângulos são considerados rígidos porque não
se deformam.
A rigidez do triângulo tem muitas aplicações práticas. Ela explica a presença dos
triângulos nas estruturas, de madeira ou ferro das construções. Explica também a travessa
usada nos portões.
Portão de madeira
Torres de ferro
Fazer uma experiência utilizando palitos de picolé. Mostrar que a melhor base que
existe é o triângulo, porque ele é rígido, ou seja, não se move.
Nessa oficina você terá oportunidade de conhecer outras importantes propriedades
existentes nos triângulos.
SEQÜÊNCIA DIDÁTICA
Condições de existência dos triângulos
1) Experiência com palitos roliços de madeira.
Dadas as varetas tente construir triângulos usando três delas de cada vez.
Sempre que você pegou três varetas foi possível construir um triângulo?
a)
Escreva com quais varetas você não conseguiu formar um triângulo e explique o que
aconteceu.
b) Escreva com quais varetas você conseguiu formar um triângulo e explique o que
aconteceu.
c)
Você é capaz de escrever com suas próprias palavras, o que precisa acontecer para que
exista um triângulo? Que relação deve haver entre essas três medidas?
Resolvendo as atividades anteriores você deve ter percebido as seguintes relações entre as
medidas dos lados, para a existência de um triângulo.
A medida de cada lado de um triângulo deve ser
menor que a soma das medidas dos outros dois;
maior que a diferença (em módulo) das medidas dos outros dois.
2) Construir triângulos, utilizando régua e compasso.
a)
∆ ABC escaleno, sendo BC = 3,5 cm, AB = 3 cm e AC = 2 cm.
b) ∆ DEF isósceles, sendo DF = 8 cm e DE = EF = 6 cm.
c)
∆ GHI eqüilátero, sendo GH = HI = GI = 5 cm.
3) Em cada triângulo abaixo,
é o menor lado e , o maior. Se x representa um número
inteiro positivo, determine os seus possíveis valores.
a)
b)
c)
5) As medidas dos lados de um ∆ABC são números inteiros positivos. Se AC = 3cm e BC =
8cm, quais são as possíveis medidas do lado AB?
Medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas de um triângulo
6) Construa um triângulo em uma folha de papel sulfite e recorte esse triângulo. Determine
seu baricentro. Para isso, encontre as três medianas do triângulo. Lembre-se que a mediana
de um triângulo é um segmento cujas extremidades são: um vértice do triângulo e o ponto
médio do lado oposto. Para encontrar a metade de um lado qualquer do triângulo, dobre esse
lado ao meio. Para encontrar a mediana faça uma pequena marca no ponto médio dobrando
cada segmento ao meio e em seguida uma grande marca unido o ponto marcado ao vértice do
lado oposto. As três medianas de um triângulo interseccionam-se em um único ponto, que é o
baricentro do triângulo. Ao final do experimento, segure um lápis na posição vertical, coloque
sua ponta no baricentro e observe o que ocorre. Baseie-se na ilustração abaixo para obter sua
construção e registre o que você pôde observar através dessa experiência.
7) Construa um triângulo qualquer numa folha de papel sulfite e recorte esse triângulo.
Marque suas bissetrizes dobrando os vértices do triângulo ao meio. Marque o ponto I que é a
intercessão dessas bissetrizes. Agora construa, com o compasso, uma circunferência de centro
em I, passando pela intercessão de uma das bissetrizes com um dos lados desse triângulo.
Baseie-se na ilustração abaixo para obter a construção e relate o que você observou.
8) Construa um triângulo qualquer numa folha de papel sulfite e não recorte o triângulo por
enquanto. Trace as mediatrizes desse triângulo com régua e compasso. Baseie-se na figura
abaixo. Marque o ponto G que é a intercessão dessas medianas. Agora construa uma
circunferência de centro em G, passando por um dos vértices do triângulo. Relate o que você
obteve através dessa construção.
9) Construa em uma folha avulsa um triângulo isósceles ABC com as seguintes medidas: AB
= 10cm, AC = 10cm e BC = 12cm. Trace as três alturas desse triângulo e destaque, com um
ponto O, o seu ortocentro. A ilustração abaixo mostra o ortocentro de um triângulo. Baseie-se
nela para realizar a construção pedida.
10) Nesta malha quadriculada, a medida do lado de cada quadradinho é 1 cm. Verifique qual é
a altura relativa ao lado BC em cada triângulo desenhado nessa malha.
I=
II =
III =
IV =
11) De acordo com as indicações, classifique o segmento AD em cada triângulo abaixo como
mediana, bissetriz ou altura.
_________________________
_______________________
______________________
Relações entre os ângulos internos de um triângulo
Existem propriedades fundamentais que relacionam os ângulos de um triângulo.
Veremos algumas delas.
12) Observe o triângulo ABC e calcule as seguintes somas.
a) med( a ) + med( d ) =
b) med( b ) + med( e ) =
c) med( c ) + med( f ) =
Comparando essas somas, o que você pode concluir em relação a um ângulo interno de
um triângulo e o ângulo externo adjacente (contínuo, junto) a ele?
13) Considere o seguinte triângulo ABC, cujos ângulos internos foram representados pelas
letras a, b e c.
Pelo vértice A, traçamos um reta r (auxiliar),
paralela ao lado BC. Os ângulos formados pela reta r
com os lados AB e AC do triângulo fora,
respectivamente, representados pelas letras e e d.
Observando essa figura, justifique cada igualdade a seguir.
a) e + a + d = 180°, porque_____________________________________________________
b) e = b, porque______________________________________________________________
c) d = c, porque______________________________________________________________
d) Se e + a + d = 180°, então b + a + c = 180°, porque________________________________
___________________________________________________________________________
Assim provamos que, em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos
internos é igual a 180°.
Essa propriedade pode ser comprovada, experimentalmente através de recortes ou
dobraduras utilizando decomposição e composição de um modelo material de um triângulo.
Experimentando e aprendendo
14) Faça o que se pede em cada item.
a) Construa um triângulo ABC qualquer em uma folha avulsa. Prolongue o lado BC desse
triângulo, formando, assim, o ângulo externo e adjacente ao ângulo interno c. Depois recorte
os ângulos internos a e b e o ângulo externo e, conforme a figura abaixo.
b) Cole, em uma folha de sulfite, o ângulo a ao lado do ângulo b de tal forma que os vértices
A e B coincidam e que tenham um lado comum.
c) Sobreponha o ângulo externo (de medida e) ao ângulo (de medida a + b) que você colou na
folha de sulfite.
d) O que você observou? Registre a conclusão que você obteve em relação às medidas desses
ângulos.
Na atividade anterior você deve ter verificado que em todo triângulo, a medida de um
ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Esse resultado também pode ser provado com o auxílio da álgebra. Demonstre essa
propriedade resolvendo a atividade seguinte.
15) Na figura abaixo, as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC foram representados
respectivamente por a, b e c e a medida do ângulo externo adjacente ao ângulo interno de
medida c foi representada por e. Observe esta figura para justificar cada uma das igualdades a
seguir.
a) e + c = 180°, porque_____________________________
b) a + b + c = 180°, porque__________________________
c) e + c = a + b + c, porque__________________________
d) e = a + b + c – c, porque__________________________
Logo, e = a + b.
Experimentando e aprendendo
16) Faça o que se pede em cada item a seguir.
a) Construa um triângulo ABC qualquer em uma folha avulsa, prolongue os lados CA, AB e
BC desse triângulo, de forma que você obtenha os ângulos externos a, b e c, conforme a
figura abaixo. Pinte os ângulos externos com uma cor diferente.
b) Recorte os ângulos externos a, b e c.
c) Cole esses ângulos em seu caderno, colocando um ao lado do outro de forma que os
vértices A, B e C coincidam.
d) O que você observou em relação à soma das medidas desses ângulos? Registre a conclusão
que você chegou.
17) Em uma folha de papel sulfite construa um triângulo ABC escaleno. Em seguida, pegue
um transferidor e uma régua graduada e meça os ângulos , e e os lados BC, AC, AB
desse triângulo. Depois, responda:
a) Qual o maior lado desse triângulo? E o maior ângulo?
b) O maior ângulo desse triângulo está oposto ao maior lado?
c) Qual é o menor lado desse triângulo? E o menor ângulo?
d) O menor ângulo desse triângulo está oposto ao menor lado?
e) Que relação existe entre as medidas dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo
escaleno?
Se dois lados de um triângulo são desiguais, então
ao maior lado opõe-se o maior ângulo, e
ao menor lado opõe-se o menor ângulo
18) Resolva os problemas. (Faça o desenho de cada figura.)
a) Num ∆ABC, os ângulos e medem, respectivamente, 32° 20’ e 90°. Qual é o maior
lado desse triângulo? E o menor?
b) Os lados DE, DF e EF de um ∆DEF medem, respectivamente, 12 cm, 16 cm, e 20 cm.
Qual é o maior ângulo desse triângulo? E o menor?
c) Num ∆ABC, os ângulos e medem, respectivamente, 36° e 84°. Sendo
a bissetriz
do ângulo , determine o maior lado do ∆ABD.
Referências
BASTIAN, Irma Verri. O Teorema de Pitágoras. 2000. 187 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2000.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
matemática. Brasília: MEC, 1998.
LIMA, Maria Cristina Ponciano de; TINANO, Marilene Turíbia de Rezende. Matemática:
7S/8A ensino fundamental: Livro 2. Belo Horizonte: Editora Educacional, 2009. 95p.