y - Centro de Estudos Espaço

Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Condutores e Isolantes:
Em alguns materiais, como aos metais, algumas
das cargas negativas podem se mover livremente.
Chamamos esses materiais de condutores. Em outros
materiais, como o vidro, borracha e plástico, as cargas
não podem se mover livremente. Chamamos de
isolantes ou não-condutores
A estrutura e natureza elétrica dos átomos são
responsáveis pelas propriedades dos condutores e
isolantes. Os átomos consistem de cargas positivas, os
prótons, cargas neutras, os nêutrons e cargas negativas,
os elétrons. Os prótons e os nêutrons estão compactados
no núcleo central e os elétrons orbitar o núcleo.
Quando os átomos de um condutor, como o
cobre, ficam juntos para formar um sólido alguns dos
elétrons não ficam presos ao núcleo, mas tornam-se
livres para percorrer o sólido. Chamamos estes elétrons
de elétrons de condução. Há poucos elétrons livres em
um isolante.
Chama-se de semicondutores, materiais
formados por silício e germânio (Si, Ge), por exemplo,
aqueles materiais que são intermediários entre
condutores e isolantes. Os elétrons num átomo só podem
assumir níveis de energia discretos, obedecendo a Teoria
atômica de Bohr e o princípio da exclusão de Pauli, que
diz que os elétrons possuem números quânticos distintos.
Quando dois átomos se aproximam em uma ligação
química, os níveis se sobrepõem devido à interação entre
os campos dos dois átomos. Em um cristal, o grande
número de superposição dos níveis de energia dos
átomos, origina um contínuo de níveis de energia
próximos, denominado banda de energia. A configuração
dessas bandas de energia determinará a natureza do
material.
Figura 1 – Representação das bandas de energia em um
sólido semicondutor, isolante e condutor.
Banda de condução
E ≈ 6 eV
E > 6 eV
Banda de valência
Isolante
Semicondutor Condutor
Nos materiais isolantes, há uma região
proibida de energia que separa as bandas de valência e de
condução (“gap”), da ordem de valores maiores que 6 eV
(1eV = 1,6.10-19J). Nos materiais condutores, não
há essa separação.
Nos materiais semicondutores, essa
separação é da ordem de 1 eV, de modo que alguns
elétrons podem ser promovidos da banda de valência
para a banda de condução. Os átomos de Si, C e Ge
possuem 4 elétrons na última camada, formando entre
si ligações covalentes e tetravalentes. Quando essas
ligações num cristal desse material (Si, C ou Ge) são
quebradas pela energia térmica dos elétrons a
temperatura ambiente, surge os elétrons livres na
banda de condução, gerando uma densidade de
elétrons livres n, e aparecem “buracos” (ausência de
elétrons na ligação) que geram a densidade de
buracos p. Quando n = p denominamos de
semicondutor intrínseco. A concentração n.p depende
da temperatura:
n i2 (T ) = n ⋅ p
O avanço da microeletrônica se deve ao
grande desenvolvimento que das últimas décadas nos
materiais semicondutores, com a descoberta que
pode-se controlar o número de elétrons livres n ou de
buracos p, inserindo-se átomos dopantes na rede
cristalina do material semicondutor.
Tabela I – Tipos de átomos doadores e aceitadores.
Tipo
Doadores
n
Aceitadores
p
Dopantes
Átomos
Com 5 elétrons na
última
camada:
P,As, Sb
Com 3 elétrons na
última
camada:
B,Ga, In
Função
Aumenta n e
reduz p
Aumenta p e
reduz n
Os circuitos integrados, por exemplo, são
constituídos por milhares de diodos e transistores,
estes por sua vez são fabricados por materiais
semicondutores construídos a base dos elementos
silício e germânio.
Finalmente
temos
os
materiais
supercondutores, assim chamados pelo fato de não
haver resistência elétrica ao movimento de cargas
elétricas através desses materiais. Quando as cargas
elétricas se movem em um material, dizemos que ele
está sendo atravessado por uma corrente elétrica.
Naturalmente, os materiais possuem certa
resistência à passagem de corrente elétrica. Por
exemplo, o fio usado em dispositivos eletrônicos é
um bom condutor de corrente elétrica, mas ainda
assim apresenta certa resistência elétrica. Em um
supercondutor a resistência elétrica é nula. Por
exemplo, se você dispusesse de um material
supercondutor na forma de um anel e fizesse passar
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
uma corrente elétrica por ele, esta irá atravessá-lo
indefinidamente, sem a necessidade de uma bateria
elétrica para mantê-la.
A supercondutividade foi descoberta em 1911
pelo físico holandês Kammerlingh Onnes, que observou
que mercúrio sólido perde sua resistência elétrica
completamente a temperaturas inferiores a 4,2 K. Até
1986, a supercondutividade estava limitada a pouca
utilidade prática, pois até então havia o conhecimento
de que os materiais que se tornavam supercondutores
necessitavam de uma temperatura abaixo de 20 K. Nos
anos recentes, novos materiais supercondutores foram
descobertos a temperaturas superiores, dando
possibilidade de uma nova era de aplicações.
• Condutores esféricos:
Se um excesso de carga é colocado em um
material condutor esférico, esta carga é distribuída
uniformemente na superfície externa do condutor. Por
exemplo, ao colocarmos uma quantidade de elétrons em
uma casca esférica condutora, estes elétrons se repelirão
uns aos outros se distribuindo uniformemente sobre a
superfície esférica externa.
™Princípio da conservação da carga:
Benjamin Franklin pensava que a carga elétrica
era um fluido contínuo, como o ar e a água, por
exemplo. Hoje sabemos que a matéria é composta de
certa quantidade de átomos: ela é discreta. Assim ocorre
com a carga elétrica. Experimentos mostram que a
carga elétrica é discreta, que toda carga elétrica pode ser
escrita como:
q = ne; n = ±1, ±2 ,..., ⇔ e = 1, 6.10−19 C
Aqui e é denominada de carga elétrica
elementar, uma importante constante da natureza.
É de fundamental importância o princípio da
conservação da carga elétrica:
Num sistema eletricamente isolado, a soma
algébrica das cargas negativas e positivas se mantém
constante.
A tabela a seguir mostra algumas propriedades
das três partículas elementares de um átomo.
Quando uma quantidade física, como a carga
elétrica, assume valores discretos, dizemos que esta
quantidade é quantizada. A matéria, a energia e
momento angular são quantidades quantizadas. Por
exemplo, em um bulbo de uma lâmpada de 100 W,
em torno de 1019 elementos de carga entram e
deixam o bulbo a cada segundo.
Exemplo 1 - Um material de Cobre de 3,11 g contém
igual quantidade de cargas positivas e negativas. Qual a
magnitude da quantidade de cargas positivas neste material?
Qualquer átomo neutro possui uma quantidade Ze de
prótons e uma quantidade Ze de elétrons, onde Z é seu número
atômico. Assim, a quantidade de carga no material é o produto de
NZe, onde N é o número de átomos no material e e a carga
elétrica elementar.
Sendo M a massa molar do Cu (M=63,5 g/mol) teremos:
N = NA
m
3.11
= 6, 02.1023 .
= 2 , 95.1022
63. 5
M
Átomos.
Sendo o número atômico do Cu Z=23:
q = NZe = ( 2 , 95.10 22 ).( 29 ).(1, 6.10 −19 ) = 137000 C
™A Conservação da carga elétrica:
Se você esfregar uma haste em um tecido,
medidas mostram que as cargas positivas se
acumularam na haste e as negativas no tecido. Isto
sugere que não há criação da carga, porém uma
transferência da mesma. Essa hipótese de
conservação da carga foi colocada pela primeira vez
por Benjamin Franklin.
Um exemplo de fenômeno que envolve a
conservação da carga: o decaimento do urânio, no
qual um núcleo se transforma espontaneamente em
outro tipo de núcleo. Por exemplo, o 238U , ou urânio
238, o qual é encontrado, pode decair emitindo uma
partícula alfa: e transformando-se em tório 234:
238U→ 234Th+ 4He
Outro exemplo de conservação da carga é o
que acontece quando um elétron ( e − ) encontra sua
anti-partícula, o pósitron ( e + ) , cuja carga é +e, dando
origem a dois raios gama de alta energia:
e− + e+ → γ + γ
Este processo é chamado de aniquilação.
Tabela II – Dados das partículas que constituem o átomo.
Exercícios:
Nome
S
Q
Massa
me = 9,1110
. −31kg
Mom
ento
angu
lar
=
Elétron
Próton
Nêutron
e
p
n
-1e
1e
0
1
1836.15
1836.68
2π
1/2
1/2
1/2
1) Qual a força eletrostática entre duas
cargas de 1C separadas por uma distância de:
a) 1 m.
b) 1 km
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
2) Uma carga puntiforme de 3, 00.10 −6 C está a
12cm de uma outra carga puntiforme de −1, 5.10 −6 C .
Calcule a magnitude da .força sobre cada carga.
3) Qual deve ser a distância entre as cargas
puntiformes q1 = 26. 0µC ; q2 = −47. 0µC para que a
força entre elas seja de 5.7 N?
4) Em um dispositivo luminoso, uma corrente
de 2 , 5.104 A flui durante 20ms. Qual a quantidade de
carga que a atravessa?
5) A figura ilustra três cargas puntiformes, de
intensidades q1 = q2 = q3 = 20µC , e o valor de d é
1,5m.
a)
q
q
1
Determine a força elétrica resultante sobre
cada carga.
9) Duas cargas puntuais, de valores +q e
+4q, estão a uma distância L entre si. Uma terceira
carga é colocada de modo que o sistema permaneça
em equilíbrio.
a) Determine a localização, a magnitude e o
sinal da terceira carga.
b) Mostre que o equilíbrio do sistema é
instável.
10) Determine a quantidade de elétrons em
uma carga de 1 C.
11) A magnitude da força elétrica entre dois
íons separados de 5, 0.10 −10 m é 3, 7.10 −9 N .
d
1
a) Qual o valor da carga elétrica de cada íon?
b) Determine o excesso de elétrons do íon.
d
d
q
3
q
2
q
2
d
a) Encontre a força elétrica sobre a carga q1 em
cada caso.
6) Porque experimentos em eletrostática não se
realizam muito bem emdias húmidos?
7) As cargas q1 e q2 e q3 estão alinhadas nas
posições x=-a, x=0 e x=a, respectivamente, no eixo x. Os
valores das cargas são: q1 = + Q , q2 = − Q; q3 = +2 Q .
Determine:
a) A força elétrica resultante sobre a carga q1.
b) A força elétrica resultante sobre a carga q2.
c) A força elétrica resultante sobre a carga q3.
8) Dispõe-se de 4 cargas localizadas nos
vértices de um quadrado, como mostra a figura abaixo:
y
a
+q
+2q
-q
a
-2q
12) Quantos megacoulombs em de carga
elétrica (prótons ou elétrons) estão presentes em 1,00
mol de gás molecular hidrogênio (H2)?
13) A atmosfera terrestre é constantemente
bombardeada por raios cósmicos (prótons)
provenientes do espaço. Se em cada metro quadrado
da superfície terrestre é bombardeado por uma taxa
média de 1500 prótons por segundo, qual seria a
correspondente corrente interceptada pela superfície
total da terra?
14) Qual a magnitude da força elétrica entre
um íon de sódio Na + (carga + e) e um íon de cloro
Cl − (de
carga
-e)
presentes
(separação:Na-Cl: 2 , 82.10 −10 m )?
no
cristal
NaCl
15) Coloca-se uma carga A de magnitude +Q
em contato com uma carga neutra B. Em seguida
aproxima-se a carga A de uma carga C de valor -2Q
colocando-as em contato e separando-as. Sabendo
que as cargas estão isoladas eletricamente, determine:
a) O valor da carga A após o contato com a
carga B.
b) Os valores das cargas A,B e C após os
contatos finais.
c) Encontre a força de interação entre as
cargas A e C, sabendo que sua separação é r.
16) aproxima-se um condutor de carga
negativa de um corpo neutro. Em seguida aterra-se o
corpo neutro. Qual será a carga final do corpo neutro?
x
16
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
17) Duas idênticas esferas condutoras, fixas no
espaço, atraem-se com uma força de 0,108 N quando
separadas por uma distância de 50,0 cm. As esferas são
então conectadas por um fio condutor. Quando o fio é
removido, as esferas exercem entre si uma força de
0,0360 N. Qual o valor inicial da carga das esferas?
18) Que quantidade de cargas positivas deveria
ser colocada naTerra e na Lua para neutralizar sua
atração gravitacional? Quantos kilogramas de hidrogênio
seriam necessários para prover essa carga?
19) São colocadas algumas cargas no plano xy:
q1=+3µC; x1=3,5 cm e y1=0,5cm; q2=-4µC; x2=-2,0
cm, y2=1,5 cm.
a) Encontre a magnitude e direção da força
eletrostática sobre a carga q2.
b) Onde seria necessário colocar uma carga q3 =
+4 µC para que anulasse a força eletrostática sobre a
carga 2 ?
20) Uma lâmpada de 100 W opera a 120 V e
passa por ela uma corrente de 0,83 A (assumindo a
corrente estacionária). Quanto tempo demora para 1 mol
de elétrons atravessar a lâmpada?
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
™ Campo Elétrico
• Introdução:
Suponha que uma carga fixa positiva q1 está
fixa em um ponto do espaço e colocamos uma segunda
carga q2 próxima a ela. Da Lei de Coulomb sabemos que
q1 exerce uma força eletrostática repulsiva sobre q2 e
poderíamos, conhecidas as cargas e a distância entre elas,
determinar a força de interação. Porém permanece a
questão: Como q1 "sabe" da presença de q2?
Esta questão sobre ação à distância pode ser
explicada devido a presença de um campo elétrico,
criado no espaço em torno da carga q1. Em um dado
ponto P do espaço, o campo elétrico dependerá da
magnitude da carga q1 e da distância da carga q1 a P.
Quando colocamos q2 em P, q1 interage com q2, através
do campo elétrico em P.
Como um exemplo prático de ação à distância,
durante o vôo da espaçonave Voyager II em torno do
planeta Urano, sinais de comando eram enviados da
Terra para a espaçonave. Esses sinais enviados por ondas
de rádio, (um tipo de onda eletromagnética), eram
gerados por meio de oscilações de elétrons em uma
antena de transmissão na Terra. O sinal movia-se através
do espaço e era recebido pela espaçonave somente
quando elétrons na antena receptora da nave oscilavam,
2,3 h depois do sinal ser enviado pela Terra. O sinal se
propaga pela velocidade c da luz no vácuo. Este e muitos
outros exemplos mostram que a eletricidade, o
magnetismo, a ótica podem representar juntas uma
maneira conjunta de se explicar um fenômeno.
• O Campo Elétrico:
O campo elétrico é um campo vetorial:
consiste de uma distribuição de vetores, um em cada
ponto da região em torno de um objeto carregado. Em
princípio, definimos o campo elétrico quando colocamos
uma carga teste ou carga de prova q0 em uma região do
espaço próxima a um objeto carregado, em um ponto P,
G
O vetor r ′ localiza o ponto Q da
carga .
G
O vetor r identifica o ponto
genérico do espaço P(x, y, z).
•
•
G
G
G
• O vetor R = r − r ′ de Q a P.
Podemos ainda escrever:
G G
G G
Q(r − r ′)
E (r ) =
G G3
4πε 0 r − r ′
Ou:
[
]
G G
Q ( x − x′)aˆ x + ( y − y′)aˆ y + ( z − z′)aˆ z
E (r ) =
2
2
2 32
4πε0 ( x − x′) + ( y − y′) + (z − z′)
[
]
O campo devido a n cargas pontuais Q1
G
G
localizada em r1 , Q2 localizada em r2 ,..., Qn
G
localizada em rn será dado por:
G G
Q1
Q2
Qn
E(r ) =
G G 2 aˆ1 +
G G 2 aˆ2 + " + 4πε rG − rG aˆn
4πε0 r − r1
4πε0 r − r2
0
n
n
G G
Qm
E(r ) = ∑
G G 2 aˆm
m=1 4πε0 r − rm1
Esse resultado é conhecido como o princípio
da superposição, que veremos adiante.
Figura 2 – (b) Carga de prova na presença de um
campo elétrico.
E
F
P .
+ + + + + + + + + + +++
+++++++++++
Objeto carregado Carga teste
Campo e
em P
b)
a)
G
E
como mostra a figura 2 (a):
G G G
R = r − r′
P(x, y, z)
Q(x’, y’, z’)
G
r′
G
r
O (Origem)
Figura 2 – (a) Cálculo do campo em P (x, y, z).
G G
E (r ) =
G G
Q
r − r′
G G2 G G
4πε 0 r − r ′ r − r ′
Mede-se a força eletrostática F que atua na
carga de prova. O Campo elétrico no ponto P devido
a presença do objeto carregado
G é definido por:
G F
E=
q0
Aqui:
18
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Tabela III – Valores de Campos elétricos típicos.
Figura 3 – Representação das linhas de força de uma carga
elétrica negativa.
A direção de E é a direção da força elétrica e o
sentido depende do sinal da carga do corpo carregado. A
unidade do sistema internacional (SI) para o campo
elétrico é o Newton por Coulomb (N/C).
Na figura a seguir ilustramos o sentido do
campo elétrico para dois corpos carregados com cargas
opostas:
Figura 4 – Campo elétrico de carga positiva e negativa.
P
P
E
E
+++
+++
--------Corpo carregado
Ou seja, o campo converge em P para o objeto
carregado negativamente e diverge em P para um objeto
carregado negativamente.
A força atuando entre duas partículas carregadas
era pensada como uma interação direta e instantânea
entre as partículas: A ação à distância era vista como:
Carga 1 → Carga 2
Hoje, sabemos que o campo elétrico atua como
um intermediário entre as cargas, ou seja, a ação é
simbolizada por:
Carga 1 → campo → Carga 2
A tabela a seguir ilustra alguns campos elétricos
existentes na natureza:
Campo
Na superfície de um
núcleo de Urânio
Átomo
de
Hidrogênio (órbita de
um elétron)
Acelerador
de
elétrons em um tubo
de TV
Baixa atmosfera
Dentro de um fio de
cobre em circuitos de
casa
Valor (N/C)
3, 0.1021
5, 0.1011
105
10 2
10 −2
• Linhas de Força - Linhas de Campo
Elétrico:
Michael Faraday introduziu a idéia de campo
elétrico no século XIX, através de linhas de força que
preenchiam o espaço ao redor de uma carga elétrica.
A relação entre as linhas de campo e o vetor campo
elétrico é:
1) Em qualquer ponto, a direção do campo
elétrico é o da tangente à curva de linha de força.
2) O número de linhas de força por unidade
de área, medida em um plano que é perpendicular às
linhas de força, é proporcional à magnitude do campo
elétrico E. Ou seja, se as linhas de campo estão mais
juntas, o campo é intenso, se estão mais distanciadas,
o campo é pequeno.
A figura abaixo ilustra as linhas de força
para cargas elétricas puntiformes de sinais iguais e de
sinais opostos.
Figura 5 – Linhas de força de cargas positivas (a) e
dipolo elétrico (b).
(a)
19
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
(b)
Observe que: O número de linhas de força que
saem da carga positiva é o mesmo que chegam à carga
negativa; as linhas de força não se cruzam em nenhum
ponto do espaço e convergem para a carga negativa,
divergindo para a carga positiva.
Equação das linhas de Força:
Observe que:
dy E y
=
dx E x
O campo elétrico de uma carga pontual é dado
por:
E=k
q
r2
Onde q é o valor da carga, r é a distância do
ponto à carga elétrica.
Se tivermos diversas cargas puntiformes
q1,q2,...,qn , o campo elétrico resultante em um ponto P
do espaço é daGdo pelo Gprincípio
G
Gda superposição:
G
E RP = E1 + E 2 + E 3 + ... + E n
Exemplo 2 - A figura abaixo mostra uma carga
+8q na origem do eixo x e uma carga -2q localizada em
x=L. Em que posição o campo elétrico resultante se
anula?
Figura 6 – Distribuição de cargas do Exemplo 2.
Observe que as únicas regiões possíveis do
campo elétrico resultante se anular estão à direita da
carga -2q (carga 2) e a esquerda da carga +8q (carga
1). Assim temos:
G G
G
G
G
E = E1 + E 2 = 0 ⇒ E1 = − E 2
G
G
Em módulo temos: E1 = E 2 . Chamando a
distância do ponto à carga 1 de x, teremos:
x− L 2 1
8q
2q
k
=k
⇒(
) = → x = 2L
2
2
x
4
( x − L)
x
Exemplo 3 - O núcleo de um átomo de
Urânio têm raio igual a 6,8 fm (fermi) . Assumindo
que a carga positiva no núcleo está distribuida
uniformemente, determine o campo elétrico num
ponto da superfície do núcleo devido a esta carga.
O núcleo tem uma carga positiva Ze, onde o
número atômico Z para o átomo de urânio é de Z=92,
e e = 1, 6.10 −19 C é a carga de um próton. Se a carga
está distribuída uniformemente, a força eletrostática
sobre uma carga de prova na superfície do núcleo é a
mesma se toda a carga nuclear estivesse concentrada
no centro nuclear. Então:
E=
1
Ze
4 πε 0 R 2
= 9 , 0.109
92 (1, 6.10 −19 )
( 6, 8.10 −15 ) 2
= 2 , 9.1021 N
C
20
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
• Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico:
Duas cargas de mesma magnitude porém sinais
opostos formam um dipolo elétrico. O campo elétrico
num ponto P é dado por (Observe da figura):
Figura 7 – Representação de dipolo elétrico.
p
d
E
(-)
+
-
+q
-q
P
E
(+)
r
(-)
r
(+)
Chamamos de p o momento de dipolo
elétrico o produto q.d:
G
G
p = qd
p possui sentido da carga negativa para a
positiva e direção do eixo do dipolo.
• Distribuições de Carga:
Uma distribuição de carga consiste de muitas
cargas pontuais (bilhões) espaçadas ao longo de uma
linha, superfície ou volume. Desde que estas
distribuições são dita contínua e contém um número
enorme de cargas elétricas pontuais, o campo
elétrico é encontrado considerando cada carga da
distribuição. Nesse caso, é conveniente tratar o
problema com o auxílio da densidade de carga, que
pode ser de acordo com a tabela abaixo:
z
Nome
Símbolo
Carga
q
λ = rL
Densidade de Carga
Linear
Densidade de Carga
Superficial
Densidade de Carga
Volumétrica
SI
Unidade
C
C/m
σ = rS
C
ρ = rv
C
m2
m3
Aqui, escrevemos a densidade de carga
volumétrica por:
ρv = lim
∆v → 0
∆Q
∆v
A carga total num volume finito é:
Q = ∫∫∫ ρ v dv
V
E = E(+) − E(−) = k
q
r(2+)
−k
q
r(2−)
= kq[
1 − 1 ]
(z−21 d)2 (z+21 d)2
Após uma pequena álgebra, chega-se a:
q
E=k
[(1 − d ) −2 − (1 + d ) −2 ]
2z
2z
2
z
É interessante usualmente verificar os efeitos do
dipolo a distâncias grandes comparadas com suas
dimensões.
Assim,
suponha
que
z >> d a grandes distâncias ⇒ d 2 z << 1.
Pode-se
expandir as duas quantidades no colchetes da equação
acima por:
q
E=k
[(1 + d + ...) − (1 − d + ...)] ⇒ d z < < 1
z
z
z2
Teremos o campo elétrico do dipolo dado por:
2 qd
1 p
E=k
=
3
2 πε 0 z 3
z
Campo Elétrico devido a uma distribuição
de cargas:
G G
r − r′
∆Q
G G 2 G G
4πε 0 r − r ′ r − r ′
G G
G G
ρ v ∆v ′
r − r′
∆E (r ) =
G G 2 G G
4πε 0 r − r ′ r − r ′
G G
∆E (r ) =
Se somarmos as contribuições para todas as
cargas deste volume em uma dada região e
considerarmos o volume elementar dv’ tendendo a
zero a medida que esses elementos se tornam
infinitos, o somatório se torna uma integral:
G
G G
ρ v (r ′)dv ′
E (r ) = ∫∫∫
G G 2
v 4πε 0 r − r ′
G G
r − r′
G G
r − r′
A seguir, indicaremos os versores, elementos
de volume e transformação de coordenadas que
serão úteis na resolução de problemas.
21
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
•
Coordenadas Cilíndricas
dv = ρdρdφdz
Relações: P(r, f, z) → P(x,y,z):
x = ρ cos φ ; y = ρsenφ ; z = z
Relações: P(x,y,z) → P(r, f, z):
ρ = x 2 + y 2 φ = arctg
y
x
Elemento de Volume:
z=z
z
P
y
r â z
âφ
f â z
âρ
â y
âx
x
• Relações
entre
versores
coordenadas cartesianas para cilíndricas:
Mostramos que:
•
das
⎧ aˆ ρ = aˆ x cos φ + aˆ y senφ
⎪
⎨aˆφ = − aˆ x senφ + aˆ y cos φ
⎪
aˆ z = aˆ z
⎩
Produtos escalares entre os sistemas
cartesiano e cilíndrico
â ρ
âφ
â z
â x
cos φ
− senφ
0
â y
senφ
cos φ
0
â z
0
0
1
G
r = xaˆ x + yaˆ y + zaˆ z
G
r = ρ cos φ aˆ x + ρ sen φ aˆ y + z aˆ z
G
r = ρaˆ ρ + zaˆ z
⎧ aˆ x = aˆ ρ cos φ − aˆφ senφ
⎪
⎨aˆ y = aˆ ρ senφ + aˆφ cos φ
⎪
aˆ z = aˆ z
⎩
• Relações
entre
versores
das
coordenadas cilíndricas para cartesianas:
Manipulando as equações acima, veja que:
Vetor deslocamento:
•
Diferencial do deslocamento:
Diferenciando a relação acima, vemos
que:
G
dr = dρaˆ ρ + ρdφaˆφ + dzaˆ z
• Coordenadas Esféricas
Relações: P(f,r,θ) → P(x,y,z):
x = r cos φsenθ ; y = rsenθsenφ ; z = r cosθ
Relações: P(x,y,z) → P(f,r,θ):
r = x2 + y 2 + z 2
φ = arctg
θ = arctg
y
x
x2 + y 2
z
22
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
âr
z
θ
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
âφ
P
r
âθ
y
r
f â z
â y
âx
x
• Vetor deslocamento:
G
r = xaˆ x + yaˆ y + zaˆ z
G
r = raˆr
•
Exemplo 4 - Encontre o Campo elétrico
resultante sobre o eixo de um anel de raio R com
densidade de carga uniforme e positiva.
Diferencial do deslocamento:
Figura 8 – Anel de raio R com carga Q.
G
dr = draˆr + rdθaˆθ + rsenθdφaˆφ
• Relações
entre
versores
coordenadas cartesianas para esféricas:
Veja que:
das
G
r = raˆr = xaˆ x + yaˆ y + zaˆ z
raˆr = r cos φsenθaˆ x + rsenφsenθaˆ y + r cosθaˆ z
aˆ r = cos φsenθaˆ x + senφsenθaˆ y + cos θaˆ z
Da figura, veja que:
aˆθ = cos θ cos φaˆ x + cos θsenφaˆ y − senθaˆ z
E:
aˆ φ = − sen φ aˆ x + cos φ aˆ y
⎧aˆθ = cos θ cos φaˆ x + cos θsenφaˆ y − senθaˆ z
⎪
aˆφ = − senφaˆ x + cos φaˆ y
⎨
⎪ aˆ = cos φsenθaˆ + senφsenθaˆ + cos θaˆ
x
y
z
⎩ r
Produtos escalares entre os sistemas cartesiano e
esférico
â r
âθ
âφ
â x
senθ cos φ
cos θ cos φ
− senφ
â y
senθsenφ
cos θsenφ
cos φ
â z
cos φ
− senθ
0
•
Elemento de Volume:
dv = r 2 senθdrdφdθ
(Young & Freedman, Física III)
23
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Cada elemento de carga se relaciona com a
densidade linear l por: dq = λds . Este elemento de
carga diferencial produz um vetor campo elétrico dE no
ponto P, dado por:
λds
dq
dE = k 2 = k
r
r2
Podemos escrever:
λds
dE = k
, porém, somente a
2
( z + R2 )
componente do campo elétrico ao longo do eixo do anel
contribuirá para o campo elétrico resultante:
dEcosθ = k
λds
λds
z
1
(z + R )
( z + R ) ( z + R2 ) 2
zλds
dEcosθ = k 2 2 3
(z + R ) 2
2
2
z
r
=k
2
2
2
Para adicionar todas as componentes integra-se
sobre todos os elementos de campo:
E = ∫ dE cos θ = k
E=k
zλ
3
2
(z + R2 ) 2
z λ 2 πR
2πR
∫ ds
0
3
( z2 + R2 ) 2
Q⋅z
E=
2
4πε 0 ( z + R 2 ) 3 2
1
Exemplo 5 – Seja um fio longo e carregado,
com densidade linear λ por unidade de comprimento.O
fio encontra-se sobre o eixo y. Deseja-se calcular a
intensidade do campo elétrico, devido ao fio, num
ponto P a uma distância r do ponto médio, como é
mostrado na figura:
Figura 9 – Fio longo com densidade de carga linear λ..
Seja o fio dividido em pequenos pedaços dy.
A carga dq em cada elemento será:
λ=
Q dq
=
⇒ dq = λdy = ρ L dy
L dy
O Campo elétrico devido a este elemento de
carga será:
1 dq
1 λdy
⇒ dE =
2
4πε 0 r
4πε 0 r 2
dE =
O campo total em P terá componentes em x e
em y, de forma que:
⎧dE x = dE ⋅ cos α
⎨
⎩dE y = dE ⋅ senα
2
2
2
Assim, com r = x + y , teremos:
x
⎧
⎪dE x = dE ⋅
x2 + y2
⎪
⎨
−y
⎪dE y = dE ⋅
⎪⎩
x2 + y2
Assim, teremos:
λ
⎧
⎪dE x = 4πε ⋅
0
⎪
⎨
−λ
⎪dE y =
⋅
4πε 0
⎪
⎩
xdy
(x
2
(x
2
)
3
+ y2
ydy
)
3
+ y2
Os campos totais serão dados pelas
integrais das expressões anteriores:
⎧
x
λ +L
E
=
⋅∫
⎪ x
4πε 0 − L x 2 + y 2
⎪
⎨
L
y
⎪E = − λ ⋅
y
∫
⎪
4πε 0 − L x 2 + y 2
⎩
(
)
dy
(
)
dy
32
32
Calculando as integrais:
(
)
y =+ L
⎡ y x2 + y2 ⎤
⎢ 2
32 ⎥
⎢⎣ x x + y 2 ⎥⎦ y = − L
λ
Ex =
4πε 0
(
)
λ ⎡ L(x + L ) − L(x + L ) ⎤
−
E =
⎢
⎥
4πε ⎢⎣ x(x + L )
x(x + L ) ⎥⎦
λ ⎡ 2 L(x + L ) ⎤
E =
⎢
⎥
4πε ⎣⎢ x(x + L ) ⎦⎥
2
x
2
0
2 32
2
x
0
2
2
2
2
2
2 32
2
2 32
24
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Ex =
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
⎤
λ ⎡
2L
⎢
⎥
4πε 0 ⎣ x x 2 + L2 ⎦
Mostre que: Ey=0
Veja
que
L >> x ⇔
se
ρS =
x +L ≅L
2
2
Então:
Ex =
1
Vamos calcular o campo elétrico em P como
o campo devido a contribuição de infinitos fios
colocados no plano zy:
As densidades superficial e linear de carga se
relacionam por:d
λ
ρ
dQ
dQ
=
= L ⇒ ρ L = ρ S dy ′
dA′ dy ′dz ′ dy ′
Da figura observe que:
2πε 0 x
dE x =
No livro do Hayt, a expressão mostrada idêntica é:
G
E=
ρL
aˆ ρ
2πε 0 ρ
dE x =
dE x =
Aqui:
r é a distância do fio ao ponto, perpendicular ao fio
(em coordenadas cilíndricas, se o fio estiver sobre o eixo
Oz, por exemplo).
â ρ : vetor unitário que sai do ponto P que se quer
ρL
cos θ
2πε 0 ρ ′
ρ S dy ′
2πε 0 x 2 + y ′ 2
ρ S dy ′
cos θ
2πε 0 x 2 + y ′ 2
ρ
dy ′
dE x = S 2
2πε 0 x + y 2
x
x 2 + y′2
Fazendo
a
integração,
consideraremos a contribuição de todas as faixas:
calcular o campo elétrico.
ρ
Ex = S
2πε 0
Exemplo 6 – Um plano infinito
carregado com uma carga positiva Q distribuída
uniformemente sobre sua superfície no plano xy. A
densidade superficial de carga é rS = σ. Encontre o
campo elétrico em P situado a uma distância a do
plano.
z
y´
dy’
Ex =
Ex =
ρS x
2πε 0
ρS x
2πε 0
+∞
xdy ′
+ y′2
∫x
2
∫x
2
−∞
+∞
−∞
+∞
∫x
−∞
dy ′
+ y′2
dy ′
2
(1 + ( ) )
y′ 2
x
y′
⇒ dy ′ = xdu
x
ρ 1 +∞ xdu
Ex = S
2πε 0 x −∫∞1 + u 2
Fazendo: u =
y
Ex =
ρ S x +∞ du
2πε 0 x −∫∞1 + u 2
Como:
du
∫1+ u
r’
θ
2
= arctgu + C
ρS ⎛
y′ ⎞
y′
⎜ lim arctg − lim arctg ⎟
y
'
→
+∞
y
'
→
−∞
x⎠
2πε 0 ⎝
x
ρ ⎛ π ⎛ π ⎞⎞
E x = S ⎜⎜ − ⎜ − ⎟ ⎟⎟
2πε 0 ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎠
ρ
Ex = S
2ε 0
Ex =
P(x,0,0)
x
G
G
dE , dE x
25
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
G
r = zaˆ z
G
r ′ = ρaˆ ρ
G G
r − r ′ = zaˆ z − ρaˆ ρ
G G
r − r′ = z 2 + ρ 2
Observe que se o ponto P estivesse no semieixo
Ox negativo:
Ex = −
ρS
2ε 0
Se definirmos um vetor sempre normal ao
plano:
G ρ
E = S aˆ N
2ε 0
Observações:
• O campo é constante em módulo e direção.
• Se uma segunda lâmina com mesma densidade
de carga, porém negativa, estivesse localizada no plano
paralelo ao anterior x = a teríamos na prática, um
capacitor plano, desde que desprezassem os efeitos de
borda. Nesse caso, o campo será dado por:
G
0; x < 0
⎧
G ⎪⎪ ρ
E = ⎨ S aˆ x ;0 < x < a
⎪ε0 G
⎪⎩
0; x > a
Exemplo 7 – Um disco carregado com uma
carga positiva Q distribuída uniformemente sobre sua
superfície no plano xy. A densidade superficial de carga
é rS = σ. Se o raio externo do disco é R, determine o
campo no eixo do disco.
G G
dE (r ) =
G
dE z (r ) =
G G
dQ
r − r′
G G 2 G G
4πε 0 r − r ′ r − r ′
ρ S 2πρdρ ⎛⎜
z
2
2 ⎜
4πε 0 (z + ρ ) z 2 + ρ 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
aˆ ρ = aˆ x cos φ + aˆ y senφ
As componentes Ex e Ey são nulas. Mostre
isso integrando.
ρ S 2πz R
ρ
G
E z (r ) =
dρ
∫
2
4πε 0 0 (ρ + z 2 )3 2
ρ 2πz ⎡
1
G
E z (r ) = S
⎢−
2
4πε 0 ⎢
ρ + z2
⎣
ρ =R
⎤
⎥
⎥⎦ ρ =0
ρ z⎡
1
− 1⎤
G
E z (r ) = S ⎢−
− ⎥
2ε 0 ⎣
z ⎦
R2 + z2
⎤
ρ z ⎡1
1
G
E z (r ) = S ⎢ −
⎥
2
2
2ε 0 ⎣ z
R +z ⎦
⎤
ρ ⎡
z
G
E z (r ) = S ⎢1 −
⎥
2
2
2ε 0 ⎣
R +z ⎦
Observe que interessante: quando R tender a
infinito, teremos: teremos:
⎤
ρ ⎡
z
G
lim E z (r ) = S ⎢1 − lim
⎥
R →∞
2ε 0 ⎣ R →∞ R 2 + z 2 ⎦
ρ
G
E z (r ) = S
2ε 0
dQ = ρ S dA = ρ s 2πrdr
Ou seja, o campo do disco infinito fica
idêntico ao de um plano infinito, o que era
esperado!!!.
dQ = ρ S dA = ρ s 2πρdρ
26
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Aplicações:
1.
Forno de Microondas:
Na água, as moléculas se encontram livres para
se mover relativamente às outras moléculas. O campo
elétrico produzido por cada dipolo afeta os outros
dipolos em sua volta.Como resultado, as moléculas
podem estar ligadas em grupos de dois ou três, devido
ao fim negativo de um dipolo (oxigênio) e ao fim
positivo de outro dipolo (hidrogênio) que se atraem.
Quando cada grupo é formado, a energia potencial
elétrica é transferida através de movimento térmico do
grupo e para as moléculas em volta. Quando ocorre a
colisão entre as moléculas, há a transferência inversa de
energia. A temperatura da água, que está associado com
o movimento térmico das moléculas, não muda, pois na
média, a energia transferida é zero.
Em um forno de microondas, porém, ocorre um
processo diferente. Quando está funcionando, as
microondas produzidas pelo forno produzem um campo
elétrico que oscilam rapidamente numa direção para
frente e para trás. Se há água no forno, o campo elétrico
oscilante exerce torques também oscilantes na molécula
de água, rodando continuamente para trás e para frente
alinhando seus momentos de dipolo com a direção do
campo elétrico. As moléculas que estão ligadas aos
pares podem se alinhar, porém aquelas ligadas em
grupos de três devem quebrar pelo menos uma de suas
três ligações.
As energias para quebrar essas ligações vêm do
campo elétrico, isto é, das microondas. Então as
moléculas que se separaram dos grupos podem formar
outros grupos, transferindo a energia que ganharam em
energia térmica. Então a energia térmica é adicionada à
água quando os grupos se formam, mas não é removida
quando os grupos se separam, aumentando assim a sua
temperatura.
Graças ao dipolo elétrico que a molécula de
água forma, é possível cozinhar alimentos a partir de
um forno de microondas.
As figuras abaixo ilustram a orientação de
um dipolo na presença de um campo elétrico
uniforme, a molécula de água e a energia associada à
rotação devido ao torque.
2. Tubo de Raios Catódicos.
Em 1897, J.J. Thompson, juntamente com
um grupo dos estudantes diplomado dele, tinha a
intenção de investigar o elétron. Ele projetou alguns
tubos que continham eletrodos dentro com o ar
evacuado dos tubos. Estes foram chamados “Tubos”
de Crookes nomeados mais tarde de “Tubos” de
Raios Catódicos. Foram executadas Experiências
nestes tubos nas quais atas voltagens geradas por uma
corrente elétrica passada entre os dois elétrodos.
Foram gerados raios como emanações procedidas do
elétrodo de Cátodo ao elétrodo de Ânodo.
Considerando que estas emanações originaram do
elétrodo de Cátodo que eles seriam chamados "Raios"
Catódicos. J.J. Thompson projetou alguns tubos
especiais que investigaram as propriedades destes
"Raios" Catódicos. Ele projetou um tubo que permitiu
Raios Catódicos imprensar contra uma tela de
superfície de Sulfeto de Zinco. Como os raios
imprensaram na superfície, emitiu uma faísca de luz
de forma que o caminho do raio invisível poderia ser
observado. Ele procedeu fazer um campo elétrico que
27
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
consiste em um prato positivo e um prato negativo perto
do vacinity dos Raios. Quando a corrente elétrica do
campo elétrico foi invertida, o caminho dos “raios” foi
mudado para longe do prato negativo e para o prato
positivo. Esta era uma indicação clara que deduziu que
os raios possuíam uma carga negativa. Uma sombra em
forma de cruz foi formada na frente do tubo. O único
modo que os “raios” pudessem lançar uma impressão de
sombra na parte de trás do tubo era se eles fossem além
do caminho de saída e formassem a cruz. Isto indicaria
fortemente que os teriam que possuir massa
Mas se os “raios” possuíssem massa que
significaria que eles não eram raios (pura radiação) e sim
partículas com uma massa finita! Outro tubo
experimental envolvendo uma roda de remo colocada no
caminho dos raios de cátodo resultado no movimento da
roda de remo quando a corrente foi invertida. Para que a
roda de remo seja usada para mover, os Raios teriam que
ter impulso passando para a roda. Isso significaria que o
assim chamou raios teriam que possuir impulso isto para
dar impulso a algum outro objeto. Estes “raios” eram na
verdade elétrons. Em 1891 um Professor chamado Stony
(Prof. de Eletricidade) investigava uma fonte de energia
para reações químicas. Ele sugeriu que uma corrente
elétrica fosse o resultado de partículas móveis que ele
sugeriu deveriam ser chamadas "elétrons".
Estas experiências definitivamente definiram os raios
como partículas atuais que têm uma carga de negativa e
uma massa finita. Em 1886, Professor Goldstein
executou experiências semelhantes que usam uma
superfície de cátodo perfurada. Isto produziu uma
partícula que possuiu uma carga positiva e uma massa
umas 2000 vezes mais que o elétron de Thompson. Esta
partícula foi chamada de próton. Considerando que
elétrons e prótons vieram da superfície de um objeto, é
lógico concluir que todo objeto está composto destas
partículas dentro dos átomos. É interessante notar que a
terçeira partícula subatômica do átomo não foi observada
até 1932 uns 35 anos depois da descoberta do elétron e o
próton.
A partícula tinha sido predita em 1920, mas não
foi descoberta até 1932, quando Chadwick observou
estas partículas neutras que ele chamou de nêutrons
enquanto executava uma série de experiências de câmara
de nuvem. Era o caminho de condensação dos nêutrons
semelhante para os rastros de jato que motores a jato
fazem quando a altitude que permitiu a observação
destas partículas. Como a chave para nossa compreensão
da química reside em nosso conhecimento dos elétrons e
prótons, a descoberta atrasada dos nêutrons não alterou o
quadro formado do átomo em 1932.
Em 1909, Robert Millikan executou a
experiência de gota de óleo legendária dele que lhe
permitiu determinar a magnitude exata da carga de
pólvora do elétron, 1.60 X 10-19 C. Mais cedo,
Thompson determinou a carga de pólvora para amontoar
relação do elétron, 1.76 X 108 coulomb / grama,
assim esta determinação da carga de pólvora por
Millikan permitiu a determinação da massa do
elétron, 9.09.10-28 gramas.
A experiência de J.J. Thompson demonstrou que
átomos estão realmente compostos de agregados de
partículas carregadas. Antes do trabalho dele,
acreditava-se que átomos eram distribuídos de
maneira uniforme. A primeira evidência ao contrário
veio quando as pessoas começaram a estudar as
propriedades de átomos em campos elétricos.
Se uma amostra de gás é introduzida na região entre
dois pratos carregados, um fluxo atual pode ser
observado e sugere que os átomos estiveram abaixo
quebrados em componentes carregados. Em 1897,
Thompson teve a intenção de provar que o cátodo
produziu que um fluxo de partículas negativamente
carregadas chamado elétrone.
3.
Impressoras jato de Tinta. (DeskJet).
4.
Experiência de Millikan.
Robert Andrew Millikan nasceu em 22 de
março, 1868, em Morrison. (EUA), como o segundo
filho do Reverendo Silas Franklin Millikan e Mary
Jane Andrews. Os avós dele eram da Velha ação de
Inglaterra Nova que tinha vindo para a América antes
das 1750, e era o colono pioneiro no Oeste Mediano.
Sua infância teve aspectos rurais e freqüentou a
escola secundária de Maquoketa (Iowa). Depois de
trabalhar pouco tempo como um repórter de tribunal,
ele entrou em Faculdade de Oberlin (Ohio) em 1886.
Durante seu curso de estudante universitário seus
assuntos favoritos eram gregos e matemáticos; mas
depois da graduação em 1891 levou, durante dois
anos, um posto pedagógico em física elementar. Era
durante este período que desenvolveu o interesse no
28
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
assunto no qual chegou a superar. Em 1893, depois de
obter o mestrado em física, foi designado Professor em
Física na Universidade de Columbia. Ele recebeu o Ph.D
depois (1895) na pesquisa da polarização de luz emitida
por superfícies incandescentes - usando para este
propósito ouro fundido e prata.
Na companhia de seus professores, Millikan
passou um ano (1895-1896) na Alemanha, nas
Universidades de Berlim e Göttingen. A convite de
Michelson, resolveu ficar assistente no Laboratório de
Ryerson recentemente estabelecido na Universidade de
Chicago (1896). Millikan era um professor eminente, e
atravessando os graus habituais ele se tornou o professor
naquela universidade em 1910, um posto que ele reteve
até 1921. Durante os anos em Chicago ele gastou muito
tempo preparando livros de ensino e simplificando o
ensino de física. Ele era autor ou co-autor dos títulos:
Um Curso de Faculdade em Física, com S.W. Stratton
(1898); Mecânica, Física Molecular, e Calor (1902); A
Teoria de Óptica, com C.R. Mann traduziu do alemão
(1903); Um Primeiro Curso em Física, com H.G. (1906);
UM Curso de Laboratório em Física para Escolas
Secundárias (1907); Eletricidade, Soe, e Light, (1908);
Físicas Práticas - revisão de UM Primeiro Curso (1920);
O Elétron (1917; rotação. eds. 1924, 1935).
Como um cientista, Millikan fez numerosas
descobertas, principalmente nos campos de eletricidade,
ótica, e física molecular. O sucesso principal dele era a
determinação precisa da carga de levada por um elétron e
usou o método “de gota de óleo”; ele também provou
que esta quantidade era uma constante para todos os
elétrons (1910), demonstrando assim a estrutura atômica
de eletricidade. Logo, ele verificou a equação
fotoelétrica de Einstein experimentalmente, e fez a
primeira determinação da constante h de Planck (19121915). Além dos estudos dos movimentos de Brownian
em gases acabaram toda a oposição com as teorias
atômicas e cinéticas. Durante 1920-1923, Millikan se
ocupou com trabalho relativo de espectroscopia dos
elementos (que explorou a região do espectro entre o
ultravioleta e radiação-X), estendendo assim o espectro
ultravioleta distante além do limite conhecido. A
descoberta da lei de movimento de uma partícula que se
cai para a terra depois de entrar na atmosfera da terra,
junto com as outras investigações dele em eletricidade, o
conduziu em última instância aos estudos significantes
de radiação cósmica (particularmente com câmaras de
ionização).
Ao longo da vida Millikan permaneceu um autor
prolífico e faz numerosas contribuições a diários
científicos. Ele não só era um cientista de ponta, mas a
natureza religiosa e filosófica era evidente nas
conferências e na reconciliação de ciência e religião e em
seus livros: Ciência e Vida (1924); Evolução em Ciência
e Religião (1927); Ciência e a Civilização Nova (1930);
Tempo, Importe, e Valores (1932). Logo antes a morte
dele ele publicou Elétrons (+ e–), Prótons, Fótons,
Nêutrons, Mésons, e Raios Cósmicos (1947) e a sua
Autobiografia (1950).
Durante a Primeira Guerra Mundial,
Millikan era o Více-presidente do Conselho de
Pesquisa
Nacional
e
estudou
dispositivos
meteorológicos. Em 1921, ele foi designado o Diretor
do Laboratório de Física no Instituto de Tecnologia
da Califórnia, Pasadena,; ele também foi Presidente
do Conselho Executivo daquele instituto. Em 1946
ele se aposentou deste posto. Millikan foi Presidente
da Sociedade Física americana, Vice-presidente da
Associação americana para o Avanço de Ciência, e
foi o sócio americano do Comitê em Cooperação
Intelectual da Liga de Nações, e o representante
americano ao Congresso Internacional de Físicas,
conhecido como o Congresso de Solvay, em Bruxelas
em 1921. Ele obteve os graus de doutor honorário de
vinte e cinco universidades, e era um sócio ou o sócio
honorário de muitas instituições instruídas no país e
no estrangeiro. Ele foi o Prêmio de Comstock da
Academia Nacional de Ciências, da Medalha de
Edison do Instituto americano de Engenheiros
Elétricos, da Hughes Medal da Sociedade Real de Grã
Bretanha, e do Prêmio de Nobel para Físicas 1923.
Ele também foi feito o Chefe da Legião de Honour, e
recebeu a Ordem chinesa de Jade.
Millikan era um jogador de tênis entusiástico, e
golfe também era um das recreações dele.
Millikan Greta Erwin Blanchard casado em 1902;
eles tiveram três filhos: Clark Blanchard, Glenn
Allen, e Max Franklin.
Ele morreu nos 19º de dezembro, 1953, em San
Marino, a Califórnia.
De Conferências de Nobel, Físicas 1922-1941.
O Aparelho:
Vários destes detectores Geiger-Müller
(GM) foram construídos em 1939 no laboratório de
física do Caltech para uso em estudos de raios
cósmicos. O exemplo acima possui aproximadamente
12 polegadas e é feito de cobre.
A etiqueta de papel identifica três datas: 2
de agosto de 1947; 25 de janeiro de 1948; e 8 de julho
de 1950. A data 1947 se refere para viajar de balão
vôos executados a latitudes diferentes do Texas para
Saskatoon. Um vôo típico levaria os instrumentos
para 70,000 a 80,000 pés. A data de 1948 data se
refere a experiências executadas em um B-29
bombardeiro que voa a 30,000 pés de Hudson Bay
29
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
para Lima, Peru. Robert Millikan e Neher estavam entre
o pessoal neste vôo.
Robert Millikan (1868-1950) era o Cientista de
América mais famoso dos anos vinte, e o segundo
americano receber o Prêmio Nobel em física. O
posterior foi premiado para as medidas da carga do
elétron (pelo Millikan, conhecido " experiência " da
gota) e por confirmar as equações de Einstein
experimentalmente para o efeito fotoelétrico. Em 1921,
Millikan deixou a Universidade de Chicago para
encabeçar o Instituto de Califórnia de Tecnologia em
Pasadena, recentemente criado. No CalTech, ele serviu
também como Diretor do Departamento de Física. A
pesquisa dele enfocou a natureza e origem de raios
cósmicos - Millikan cunhou o termo "raio" cósmico.
Estas investigações ajudadas demonstram a fonte
extraterrestre desta radiação e sua variação em
intensidade com latitude. Doado pelo Instituto de
Califórnia de cortesia de Tecnologia de Broto Cowan.
¾
Exemplos
Exemplo 1 – Uma carga positiva Q é distribuída
uniformemente ao longo de uma semi-circunferência de
raio a. Obtenha o campo elétrico
no centro de curvatura P.
aponta para o sentido negativo do eixo
y. A carga por unidade de
comprimento da semicircunferência é:
Q
k λ dl k λ dθ
e dE = 2 =
a
a
πa
k λ sen θ dθ
porém dE y = dE sen θ =
.
a
λ=
Portanto,
2k λ π / 2
2k λ
Ey =
sen θ dθ =
[− cos θ ]π0 / 2
∫
a 0
a
Ey =
2k λ
2k λ 2kQ
=
[− cos θ ]π0 / 2 =
,
a
a
π a2
Orientado de cima para baixo.
Exemplo 2 – Uma carga elétrica Q é
distribuída uniformemente ao longo dos quatro lados
de um quadrado. Dois lados adjacentes possuem a
mesma carga +Q distribuída ao longo desses lados.
(a) Supondo que os outros dois lados
possuam a mesma carga –Q distribuída, determine os
componentes x e y do campo elétrico resultante no
centro do quadrado. O quadrado tem lado a.
(b) Repita o cálculo supondo que os quatro
lados possuam a mesma carga Q distribuída.
(a) Ex = Ey, e Ex = 2Ecomprim. do fio α, carga Q =
2
1
Q
4πε 0 x x + a
2
⇒ Ex =
2
, onde x =
Q
πε 0 a
2
5/ 4
=
a
2
2Q
,
πε 0 a 2 5
2Q
,sentido − ˆj.
πε 0 a 2 5
(b) Supondo que todos os lados do quadrado
possuem a mesma carga, por simetria concluímos que
os campos elétricos fornecem uma resultante igual a
zero no centro do quadrado.
sentido − iˆ, E y =
O campo elétrico da metade da esquerda da
semicircunferência na direção x
anula o campo elétrico da metade do lado
direito. O componente y restante
Exemplo 3 – (a) Determine a carga total
sobre a coroa anular da figura, sabendo que esta
possui uma densidade superficial de carga σ.
30
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
(b) Se a coroa anular está sobre o plano yz,
determine sobre o eixo Ox o campo elétrico E.
(c) Mostre que, para pontos sobre o eixo Ox
suficientemente próximos da origem, o módulo do
campo elétrico é aproximadamente proporcional à
distância entre o centro da coroa e o ponto considerado.
(d) Uma partícula puntiforme de carga –q e
massa m pode-se mover sobre o eixo Ox e é colocada
sobre o ponto x = 0,01R1 e a seguir liberada. Determine a
freqüência de oscilações da partícula.
e considerar pontos suficientemente próximos
significa que (x/R1)2 << 1.
d)
F = qE ( x) = −
f =
ω
1
=
2π 2π
qσ ⎛ 1 1 ⎞
⎜ − ⎟ x = mx
2ε 0 ⎝ R1 R2 ⎠
qσ ⎛ 1 1 ⎞
⎜ − ⎟
2ε 0 m ⎝ R1 R2 ⎠
Exemplo 4 – (a) Determine o campo elétrico
produzido por uma linha carregada com densidade
linear de carga uniforme ρL e comprimento a no
ponto P(x,y,z).
(b) Faça o limite em que a tende a infinito e
calcule o campo elétrico de uma linha infinita.
z
P(x,y,z)
(a) Q = Aσ = π ( R2 − R1 )σ
2
2
G
r′
(b) Lembre que o campo elétrico de um disco, Eq.
(22-11), é dado por:
E=
([
])
σ
1 − 1 / ( R / x) 2 + 1 .
2ε 0
y
x
Portanto,
)
x
( R / x) + 1 ) iˆ.
x
(
G
x ˆ
σ ⎡
1 − 1/ ( R2 / x) 2 + 1 ⎤ − ⎡1 − 1/ ( R1 / x ) 2 + 1⎤
E ( x) =
i
⎦ ⎣
⎦ x
2ε 0 ⎣
(
−σ
E ( x) =
x ⇔ 1/ ( R2 / x)2 + 1 − 1/
2ε 0
c)
G
r
Fazendo a distribuição de cargas:
ρL =
2
1
O Campo elétrico é dado por:
Note que
(
x
1 / ( R1 / x) 2 + 1 =
1 = ( x / R1 ) 2
R1
Q
⇔ − a2 ≤ z ≤ + a2
a
)
−1 / 2
⎞
x ⎛ ( x / R1 )
≈ ⎜⎜1 −
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟⎟
2
R1 ⎝
⎠
G
σ ⎛ x x ⎞x ˆ
⇒ E ( x) =
⎜ − ⎟ i
2ε 0 ⎝ R1 R2 ⎠ x
G
σ ⎛ 1 1 ⎞ x2 ˆ
⇒ E ( x) =
⎜ − ⎟ i,
2ε 0 ⎝ R1 R ⎠ x
2
G G
∆E (r ) =
∆Q
G G 2
4πε 0 r − r ′
G G
ρ L dz ′
dE (r ) =
G G2
4πε 0 r − r ′
G G
r − r′
G G
r − r′
G G
r − r′
G G
r − r′
G
r = xax + yaˆ y + zaˆ z
G
r ′ = z ′aˆ z
31
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
G G
r − r ′ = xax + yaˆ y + ( z − z ′ ) aˆ z
G G
2
r − r ′ = x 2 + y 2 + ( z − z′)
G G
dE (r ) =
GG
dE(r ) =
4πε0 x + y + ( z − z′)
2
+ a2
4πε0 x2 + y2 + ( z − z′)
G G +2
E(r ) = ∫
a
x2 + y2 + ( z − z′)
x + y + ( z − z′)
2
− a2
2
+ a2
− a2
2
( z − z′) dz′
+∫
3
2
dz′
− a2
∫
2
x2 + y2 + ( z − z′)
(x
2
2
3
=∫
− a2
3
+y
)
− a2
x2 + y2 + ( z − z′)
3
2
2
3
=−
sen 2θ =
tg 2θ + 1 − 1
tg 2θ + 1
senθ =
( x + y + ( z − z′) )
2 32
dz′
⎞
⎟
⎟
⎠
x 2 + y 2 + ( z − z′)
∫
− a2
dz′
x + y + ( z − z′)
2
+ a2
∫
− a2
∫
+ a2
∫
− a2
2
(x
dz′
x2
2
+ a2
1
+y
)
2 32
∫
− sec2 θ dθ x2 + y2
2
2
2
3
3
2 32
+ a2
x2 + y 2
2 32
2
− sec2 θ dθ
2
3
2 1 2 + a2
2
2 32
2
3
− a2
2
1
dθ
=− 2 2 ∫
x + y − a secθ
2
32
2
− a2
2
+a
dz′
x2 + y2 + ( z − z′)
=
senθ =
(1+ tgθ )
− a2
∫
( x + y ) (sec θ )
( x + y ) sec θ dθ
dz′
=−
∫
( x + y ) sec θ
+ y + ( z − z′)
x2 + y2 + ( z − z′)
+ a2
− a2
2
3
=
+ a2
∫
− a2
+ a2
∫
− a2
x 2 + y 2 + ( z − z′)
2
′=+ a
dz′
x2 + y2 + ( z − z′)
2
x2 + y 2
z − z′
dz ′ = − sec 2 θ dθ x 2 + y 2
+ a2
2
⎞
⎟ +1
⎟
⎠
x2 + y 2
senθ =
z ′ = z − tgθ x 2 + y 2
tg 2θ + 1
z − z′
⎛ z − z′
⎜
⎜ x2 + y 2
⎝
z − z′
z − z′
x2 + y 2
tg 2θ
tg 2θ + 1
tgθ
x2 + y2
senθ =
2 32
⎛
⎞
⎜1+ ⎜ z − z′ ⎟
⎜ ⎜ x2 + y2 ⎟
⎠
⎝ ⎝
1
=1
sec 2 θ
1
sec 2 θ
1
sen 2θ = 1 − 2
tg θ + 1
sen 2θ =
2
θx= a
1
senθ ]θ 2
2
x=− a
x +y
2
2
sen 2θ = 1 −
Chamando de:
tgθ =
2
1
= − 2 2 ∫ cosθ dθ
x + y −a
sen 2θ + cos 2 θ = 1 ⇔ sen 2θ +
dz′
2
2
dz′
ρL
aˆz {1}
4πε0
∫⎛
2 32
x2 + y2 + ( z − z′)
ρL ⎡ xax + yaˆy ⎤⎦
4πε0 ⎣
+ a2
1
− a2
+a
dz′
⎡⎣ xax + yaˆy + ( z − z′) aˆz ⎤⎦dz′
+ a2
dz′
=
2
3
∫
⎡⎣ xax + yaˆy + ( z − z′) aˆz ⎤⎦ dz′
3
ρL
+ a2
+ a2
G G
G G 3 ( r − r ′ ) dz ′
4πε 0 r − r ′
2
− a2
∫
− a2
ρL
ρL
GG
E(r ) = ∫
+ a2
2
3
=−
z 2
1
z − z′
x2 + y2 x2 + y2 + ( z − z′)2
z′=− a
2
⎡
z − a2
1 ⎢
3
2
x2 + y2 ⎢ x2 + y2 + ( z − a )2
x2 + y2 + ( z − z′)
2
⎣
⎤
z + a2
⎥ {a}
−
2
2
a 2 ⎥
x + y +( z + 2 ) ⎦
dz′
=−
A outra integral será:
32
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
+ a2
( z − z′) dz′
− a2
x2 + y2 + ( z − z′)
∫
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
z′=+ a
⎤ 2
⎥
=−
2 ⎥
2
2
x + y + ( z − z′) ⎦ a
z′=− 2
1
2
3
⎡
⎤
1
1
⎥ {b}
= −⎢
−
⎢ x2 + y2 + z − a 2
2
2
a 2 ⎥
( 2 ) x + y +( z + 2 ) ⎦
⎣
Substituindo {a} e {b} em {1}:
⎡
⎤
GG
z − a2
z + a2
ρ 1
⎥
E(r) =− L ⎡⎣xax + yaˆy ⎤⎦ 2 2 ⎢
−
4πε0
x + y ⎢ x2 + y2 +( z − a )2 x2 + y2 +( z + a )2 ⎥
2
2 ⎦
⎣
⎡
⎤
1
1
⎢
⎥ ρL aˆ
−
−
2
2
⎢ x2 + y2 + z − a
⎥ 4πε0 z
2
2
a
+
+
+
x
y
z
(
)
(
)
2
2
⎣
⎦
Podemos
cilíndricas:
transformar
para
coordenadas
⎧ ρ = x2 + y 2
⎪⎪
⎨ x = ρ cos φ
⎪ y = ρ senφ
⎪⎩
⎧ aˆ ρ = aˆ x cos φ + aˆ y senφ
⎪
⎨aˆφ = − aˆ x senφ + aˆ y cos φ
⎪
aˆ z = aˆ z
⎩
⎡
⎤
GG
z − a2
z + a2
ρ ⎥
E(r ) = − L aρ ⎢
−
2
4πε0ρ ⎢ ρ2 + ( z − a )2
a 2⎥
z
+
+
ρ
(
)
2
2
⎣
⎦
⎡
⎤
1
1
⎢
⎥ ρL aˆ
−
−
z
⎢ ρ2 + z − a 2
2
a 2 ⎥ 4πε 0
z
+
+
ρ
(
)
(
)
2
2
⎣
⎦
¾ Limite de um fio infinito:
Se imaginarmos que o fio é muito comprido:
⎡
⎤
GG
z − a2
z + a2
ρ ⎥
−
E(r ) = − L aρ lim ⎢
2
4πε0ρ a→∞ ⎢ ρ2 + ( z − a )2
a 2⎥
z
+
+
ρ
( 2) ⎦
2
⎣
⎡
⎤
1
1
⎥ ρL aˆ
− lim ⎢
−
z
2
a→∞ ⎢
2
a 2
ρ 2 + ( z + a2 ) ⎥⎦ 4πε0
⎣ ρ +( z − 2 )
[
]
GG
ρ E(r ) = − L aρ [ −1−1] − 0 − 0
4πε0ρ
GG
−2ρL E(r ) = −
aρ
4πε0ρ
ρL
aˆz
4πε0
GG
ρ E(r ) = L aρ
2πε0ρ
Exemplo 5 – (a) Determine o campo elétrico
produzido por um plano quadrado de lado a carregada
com densidade superficial de carga uniforme ρS e
comprimento a no ponto P(x,y,z).
(b) Faça o limite em que a tende a infinito e
calcule o campo elétrico de um plano infinito.
⎧ aˆ x = aˆ ρ cos φ − aˆφ senφ
⎪
⎨aˆ y = aˆ ρ senφ + aˆφ cos φ
⎪
aˆ z = aˆ z
⎩
⎡
⎤
GG
z − a2
z + a2
ρ
1
⎥
E(r) =− L ⎡⎣ρcosφax + ρsenφaˆy ⎤⎦ 2 ⎢
−
2
2
2
4πε0
ρ ⎢ ρ2 +( z − a )
a ⎥
ρ
z
+
+
(
)
2
2
⎣
⎦
⎡
⎤
1
1
⎥ ρL aˆ
−⎢
−
2
⎢ ρ2 + z − a 2
⎥ 4πε0 z
2
a
ρ
+
+
z
(
)
(
)
2
2
⎣
⎦
z
P(x,y,z)
⎡
⎤
GG
z − a2
z + a2
ρρ
⎥
E(r ) = − L 2 ⎡⎣cosφax + senφaˆy ⎤⎦ ⎢
−
2
2
⎢ ρ2 + z − a
⎥
2
4πε0ρ
a
ρ
z
+
+
(
)
(
)
2
2
⎣
⎦
⎡
1
−⎢
−
⎢ ρ2 + z − a 2
( 2)
⎣
1
ρ2 + (z +
)
a 2
2
G
r
G
r′
⎤
⎥ ρ L aˆ
⎥ 4πε 0 z
⎦
a/2
a/2
y
x
(a) Fazendo a distribuição de cargas:
33
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
⎧− a2 ≤ y ≤ + a2
Q
ρS = ⇔ ⎨ a
a
A
⎩− 2 ≤ x ≤ + 2
⎡+ a ⎡
z ( x − x′ )
ρS ⎢ 2 ⎢
⎢
4πε 0 ⎢ −∫a ⎢ ⎡( y − y′ )2 + z 2 ⎤ ( x − x′ )2 + ( y − y′ )2 + z 2
2 ⎢
⎦
⎣⎢ ⎣ ⎣
O Campo elétrico é dado por:
⎡ + a2 ⎛
G G
ρ
E (r ) = S ⎢ ∫ ⎜
⎢
4πε 0 − a ⎜
⎣⎢ 2 ⎝
G G
∆Q
r − r′
G G 2 G G
4πε 0 r − r ′ r − r ′
G G
ρ S dx′dy′ G G
dE (r ) =
G G 3 ( r − r ′)
4πε 0 r − r ′
G G
∆E (r ) =
⎡ ⎛
ρS ⎢ ⎜
4πε 0 ⎢ −∫a ⎜
⎣⎢ 2 ⎝
G G
dE (r ) =
( x − x′ ) + ( y − y ′ )
2
2
+z
2
ρS
G G
G G 3 ( r − r ′ ) dx′dy′
4πε 0 r − r ′
G G
ρ ⎡( x − x′ ) ax + ( y − y′ ) aˆ y + zaˆ z ⎤⎦
dE (r ) = S ⎣
dx′dy′
4πε 0 ( x − x′ )2 + ( y − y′ )2 + z 2 3 2
(
⎡+ a + a
G G
ρS ⎢ 2 2
E (r ) =
4πε 0 ⎢ −∫a −∫a
⎢⎣ 2 2
)
( x − x′) dx′dy′
a +
32 x
2
2
2
( ( x − x′ ) + ( y − y ′ ) + z )
( y − y′) dx′dy′
aˆ +
32 y
∫∫
2
2
2
− −
′
′
x
x
y
y
z
−
+
−
+
(
)
(
)
(
)
+ a2 + a2
a
2
a
2
+ a2 + a2
∫∫
− a2 − a2
(
⎤
⎥
aˆ
32 z⎥
2
2
( x − x′ ) + ( y − y ′ ) + z 2
⎥⎦
zdx′dy′
⎡+ a ⎡
G G
ρS ⎢ 2 ⎢
E (r ) =
4πε 0 ⎢ −∫a ⎢
⎢ 2⎣
⎣
⎡+ a ⎡
ρS ⎢ 2 ⎢
4πε 0 ⎢ −∫a ⎢
⎢ 2⎣
⎣
)
x′=+ a
⎤ 2
⎥
dy′ax +
2
2
2 ⎥
( x − x′) + ( y − y′) + z ⎦ x′=− a
2
1
y ′=+ a
( x − ) + ( y − y′ )
a 2
2
+ a2
G
r = xax + yaˆ y + zaˆ z
G
r ′ = x′aˆ x + y′aˆ y
G G
r − r ′ = ( x − x′ ) ax + ( y − y′ ) aˆ y + zaˆ z
G G
r − r′ =
1
⎤ 2
1
⎥
dx′a y +
2
2
2 ⎥
( x − x′) + ( y − y′ ) + z ⎦ y′=− a
2
+ z2
2
1
( x − x′ )
2
+(y−
)
a 2
2
+z
x′=+ a
⎤ 2
⎥
dy′az
⎥
⎦⎥ x′=− a
2
⎞
⎟ dy′a +
x
+ ( y − y′ ) + z 2 ⎠⎟
1
−
(x + )
a 2
2
2
1
−
( x − x′ )
2
2
+(y+
)
a 2
2
⎞
⎟ dx′a +
y
⎟
+z ⎠
2
⎡ ⎡
⎤
z ( x − a2 )
−⎥
⎢ ⎢
2
2
2
2
⎢ + a2 ⎢ ⎡( y − y′ ) + z ⎤ ( x − a2 ) + ( y − y′ ) + z 2 ⎥
ρS ⎢ ⎢ ⎣
⎦
⎥ dy′az
a
4πε 0 ⎢ −∫a ⎢
⎥
z
x
+
(
)
2
⎢ 2⎢
⎥
2
2
2
2⎤
2
a
⎡
⎢ ⎢ ( y − y′ ) + z
x + 2 ) + ( y − y′ ) + z ⎥
⎦ (
⎦
⎣ ⎣⎣
G G
− ρ S ⎧⎪ ⎡
E (r ) =
⎨ln ( y − y′ ) +
4πε 0 ⎩⎪ ⎢⎣
− ρS
4πε 0
⎪⎧ ⎡
⎨ln ⎢( x − x ) +
⎩⎪ ⎣
2 ⎫
⎪
⎬ ax +
⎦ y′=− as ⎭⎪
( x + a2 ) + ( y − y′)2 + z 2 ⎥⎤ − ln ⎢⎡( y − y′) + ( x − a2 ) + ( y − y′)2 + z 2 ⎥⎤
2
2
⎦
⎣
2 ⎫
⎪
⎬ ay +
⎦ x′=− a2 ⎭⎪
2
2
( y − a2 ) + ( x − x′) + z 2 ⎤⎥ − ln ⎡⎢( x − x′ ) + ( y + a2 ) + ( x − x′) + z 2 ⎤⎥
2
2
⎦
⎣
⎡ ⎡
⎤
z ( x − a2 )
−⎥
⎢ ⎢
2
2
2
2
⎢ + a2 ⎢ ⎡( y − y′ ) + z ⎤ ( x − a2 ) + ( y − y′ ) + z 2 ⎥
ρS ⎢ ⎢ ⎣
⎦
⎥ dy′az
a
4πε 0 ⎢ −∫a ⎢
⎥
z
x
+
(
)
2
⎢ 2⎢
⎥
2
2
2
2⎤
2
a
⎡
⎢ ⎢ ( y − y′ ) + z
x + 2 ) + ( y − y′ ) + z ⎥
⎦ (
⎦
⎣ ⎣⎣
⎧ ⎡
⎪ ( y − y′) +
⎨ln ⎢
⎪ ⎢ ( y − y′ ) +
⎩ ⎣
G G
−ρS
E (r ) =
4πε 0
⎧ ⎡
−ρS ⎪ ⎢ ( x − x ) +
⎨ln
4πε 0 ⎪ ⎢ ( x − x′ ) +
⎩ ⎣
ρS
4πε 0
⎧
⎡
⎪
⎨ Arctg ⎢
⎢z
⎪
⎣
⎩
y ′=+ a
x′=+ a
2
2
2
y ′ =+ a2
⎤
( x − a2 ) ( y − y′)
⎥
2
2
( x − a2 ) + ( y − y′) + z 2 ⎥⎦ y′=−
a
2
⎡
− Arctg ⎢
⎢z
⎣
⎫
⎪
⎬ ay +
⎪
a
2 ⎭
x ′=+ a2
( y + a2 ) + ( x − x′ ) + z 2 ⎤⎥
2
2
( y − a2 ) + ( x − x′ ) + z 2 ⎦⎥ x′=−
2
⎫
⎪
⎬ ax +
⎪
a
s ⎭
y ′=+ a2
( x + a2 ) + ( y − y′ ) + z 2 ⎤⎥
2
2
( x − a2 ) + ( y − y′ ) + z 2 ⎦⎥ y′=−
2
2
2
2
G G −ρ ⎧⎪ ⎡( y − a2 ) + ( x+ a2 ) +( y − a2 ) + z2 ⎤ ⎡( y + a2 ) + ( x+ 2a ) +( y+ a2 ) + z2 ⎤⎫⎪
⎥ −ln⎢
⎥⎬a +
E(r) = S ⎨ln⎢
x
4πε0 ⎪ ⎢( y − a ) + ( x− a )2 +( y− a )2 + z2 ⎥ ⎢( y + a ) + ( x− a )2 +( y+ a )2 + z2 ⎥⎪
2
2
2
2
2
2
⎦ ⎣
⎦⎭
⎩ ⎣
⎧ ⎡
a
− ρS ⎪ ⎢ ( x − 2 ) +
⎨ln
4πε 0 ⎪ ⎢ ( x − a ) +
2
⎩ ⎣
( y + a2 ) + ( x − a2 ) + z 2 ⎤⎥ ⎡⎢ ( x + a2 ) + ( y + a2 ) + ( x + a2 ) + z 2 ⎤⎥ ⎫⎪ − ln
⎬ ay +
2
2
2
2
( y − a2 ) + ( x − a2 ) + z 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ( x + a2 ) + ( y − a2 ) + ( x + a2 ) + z 2 ⎥⎦ ⎪⎭
2
2
2
2
⎧
⎡
⎤
⎡
⎤ ⎫
( x − a2 )( y − a2 )
( x − a2 )( y + a2 )
⎪ Arctg ⎢
⎥ − Arctg ⎢
⎥ ⎪
⎪
⎢ z x − a 2 + y − a 2 + z2 ⎥
⎢ z x − a 2 + y + a 2 + z2 ⎥ ⎪
( 2)
( 2)
2)
2)
ρS ⎪
⎣ (
⎦
⎣ (
⎦ ⎪
⎨
⎬ az
4πε 0 ⎪
⎡
⎤
⎡
⎤⎪
a
a
a
a
x
y
x
y
+
−
+
+
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
⎥ + Arctg ⎢
⎥⎪
⎪− Arctg ⎢
⎢ z x + a 2 + y − a 2 + z2 ⎥
⎢ z x + a 2 + y + a 2 + z2 ⎥⎪
⎪
( 2)
( 2)
2)
2)
⎣ (
⎦
⎣ (
⎦⎭
⎩
2
2
2
2
G G −ρ ⎧⎪ ⎡( y − a2 ) + ( x+ a2 ) +( y − a2 ) + z2 ⎤ ⎡( y + a2 ) + ( x+ 2a ) +( y+ a2 ) + z2 ⎤⎫⎪
⎥ −ln⎢
⎥⎬a +
E(r) = S ⎨ln⎢
x
4πε0 ⎪ ⎢( y − a ) + ( x− a )2 +( y− a )2 + z2 ⎥ ⎢( y + a ) + ( x− a )2 +( y+ a )2 + z2 ⎥⎪
2
2
2
2
⎦ ⎣ 2
⎦⎭
⎩ ⎣ 2
⎧ ⎡
a
− ρS ⎪ ⎢ ( x − 2 ) +
⎨ln
4πε 0 ⎪ ⎢ ( x − a ) +
2
⎩ ⎣
( y + a2 ) + ( x − a2 ) + z 2 ⎤⎥ ⎡⎢ ( x + a2 ) + ( y + a2 ) + ( x + a2 ) + z 2 ⎤⎥ ⎫⎪ − ln
⎬ ay +
2
2
2
2
( y − a2 ) + ( x − a2 ) + z 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ( x + a2 ) + ( y − a2 ) + ( x + a2 ) + z 2 ⎥⎦ ⎭⎪
2
2
⎫
⎪
⎬ az
⎪
a
2 ⎭
y ′ =+ 2a
⎤
( x + a2 ) ( y − y′)
⎥
2
2
( x + a2 ) + ( y − y′) + z 2 ⎥⎦ y′=−
2
2
⎧
⎡
⎤
⎡
⎤ ⎫
( x − a2 )( y − a2 )
( x − a2 )( y + a2 )
⎪ Arctg ⎢
⎥ − Arctg ⎢
⎥ ⎪
2
2
2
2
⎪
⎢ z x − a + y − a + z2 ⎥
⎢ z x − a + y + a + z2 ⎥ ⎪
( 2)
( 2)
2)
2)
ρS ⎪
⎣ (
⎦
⎣ (
⎦ ⎪
⎨
⎬ az
4πε 0 ⎪
⎡
⎤
⎡
⎤⎪
a
a
a
a
x
y
x
y
+
−
+
+
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
⎥ + Arctg ⎢
⎥⎪
⎪− Arctg ⎢
⎢ z x + a 2 + y − a 2 + z2 ⎥
⎢ z x + a 2 + y + a 2 + z2 ⎥⎪
⎪
( 2)
( 2)
2)
2)
⎣ (
⎦
⎣ (
⎦⎭
⎩
34
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
(b) Observando que quando o valor de a tende a
infinito:
⎧ ⎡ a
G G −ρS ⎪⎪ ⎢− 2 +
limE(r) =
⎨ln⎢
a→∞
4πε0 ⎪ ⎢ a
−2 +
⎩⎪ ⎢⎣
2 ⎤ ⎡a
a⎥ ⎢ +
2 ⎥ −ln⎢ 2
2 ⎥ ⎢a
+
a
2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2
2 ⎤⎫
a⎥⎪
2 ⎥⎪a +
⎬x
2 ⎥⎪
a⎥
2 ⎦⎭⎪
⎧ ⎡ a
⎡a
2 ⎤
2 ⎤⎫
a⎥
a ⎥⎪
⎪⎪ ⎢ − 2 +
⎢ +
2 ⎥ − ln ⎢ 2 2 ⎥ ⎪ a +
⎨ln ⎢
⎬ y
2
2
⎢a
⎥⎪
⎪ ⎢− a +
a⎥
⎢⎣ 2 + 2 a ⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦
⎧
⎡
⎤
⎡
⎤ ⎫
a2 4
−a 2 4
⎪ Arctg ⎢
⎥ − Arctg ⎢
⎥ ⎪
⎢⎣ z 2a 2 4 + z 2 ⎦⎥
⎢⎣ z 2a 2 4 + z 2 ⎦⎥ ⎪⎪ ρ S ⎪⎪
⎨
⎬ az
4πε 0 ⎪
⎡
⎤
⎡
⎤⎪
a2 4
−a 2 4
Arctg
Arctg
−
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎪
⎪
2
2
2
2
⎪⎩
⎣⎢ z 2a 4 + z ⎦⎥
⎣⎢ z 2a 4 + z ⎦⎥ ⎪⎭
− ρS
4πε 0
GG ρ E(r) = S az
2ε0
Veja que é o mesmo resultado que chegamos
anteriormente:
G ρ
E = S aˆ N
2ε 0
G G −ρ
limE(r) = S {ln[1] −ln[1]} ax +
a→∞
4πε0
−ρS
{ln [1] − ln [1]} a y +
4πε 0
⎡
⎤ ⎫⎪ ρ S ⎧⎪
a2 4
⎥ ⎬ az
⎨4 Arctg ⎢
2
2
4πε 0 ⎪
⎣⎢ z 2a 4 + z ⎦⎥ ⎭⎪
⎩
G G ρ ⎧⎪
⎡ a2 4 ⎤⎫⎪ limE(r) = S ⎨4Arctg⎢
⎥⎬az
a→∞
4πε0 ⎩⎪
⎣z 2a 2⎦⎭⎪
G G ρ ⎪⎧
⎡ 2a⎤⎪⎫
limE(r) = S ⎨4Arctg⎢ ⎥⎬az
a→∞
4πε0 ⎪⎩
⎣ 4z ⎦⎪⎭
Fazendo a expansão por séries de potências para a
função arco-tangente, teremos:
G G ρS ⎧⎪ ⎛π 2 2z 16 2z3 ⎞⎫⎪ limE(r) =
+ 3 −"⎟⎟⎬az
⎨4⎜ −
a→∞
4πε0 ⎩⎪ ⎜⎝ 2 a
3a
⎠⎭⎪
Considerando apenas o primeiro termo:
G G ρ ⎧ ⎛π ⎞⎫ limE(r) = S ⎨4⎜ ⎟⎬az
a→∞
4πε0 ⎩ ⎝ 2 ⎠⎭
G G ρS limE(r) = az
a→∞
2ε0
Então, para um plano infinito carregado, teremos:
35
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
¾ Exercícios:
Willian H. Hayt, Jr.; John A. Buck, pg. 30
1. Quatro cargas positivas de 10 nC estão
localizadas no plano z = 0 nos vértices de um quadrado
de 8 cm de lado. Lima quinta carga positiva de 10 nC
está localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas. Calcule o módulo da força total nesta
quinta carga para e = e0.
G
rP = 8aˆ x + 12aˆ y + 2aˆ z
As relações entre os versores das
coordenadas cilíndricas polares: e as cartesianas são
obtidas com o auxílio da figura:
âφ
f
2. Um
Umaa carga Q=0.1mC esta localizada na origem
do espaço livre, enquanto Q = 0.2mC está em A(0.8, 0.6,
0). Determine o lugar dos pontos no plano z = 0 em que a
componente
ponente x da força em uma terceira carga positiva é
zero.
âρ
r
Da figura, então vemos que:
aˆ x = aˆ ρ cos φ − aˆφ senφ
4. Seja Q1 = 8mC localizada em P1(2, 5, 8).
enquanto Q2. = -5mC localizada em P2(6, 15, 8).
Considere e = e0.
(a) Determine F2 a força sobre Q.
(b) Encontre as coordenadas de P3, se a carga Q3,
experimenta uma força total F3 = 0 em P3.
aˆ y = aˆ ρ senφ + aˆφ cos φ
aˆ z = aˆ z
G
G G
rAP = rP − rA = 4aˆ x + 9aˆ y − 3aˆ z
G
G G
rAP = rP − rA = 42 + 92 + (−3)2 = 106
Como:
5.. Seja a carga pontual Q1 = 25 nC localizada em
7) e a carga Q2;= 60 nC localizada em P2(-3, 4,-
P1 (4,-2,
φ = arctg
2).
(a) Se e = e0., determine E em P(1, 2, 3).
(b) Em que ponto do eixo y Ex = 0?
7. Uma carga pontual de 2mC está localizada em
A(4, 3, 5) no espaço livre. Determine Er, Ef e Ez em P(8,
12, 2).
2).
âx
f
3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estão
localizadas cm A( l, 0, 0). B(- l, 0, 0), C(0, l, 0) e D(0, 1, 0) no espaço livre. Determine a força total sobre a
carga em A.
6. Duas cargas pontuais de 120 nC estão
localizadas em A(0,0,l) e B(0, 0, -1) no espaço livre,
(a) Determine E em P(0.5, 0, 0).
(b) Qual carga na origem forneceria um campo de
mesmo módulo?
â y
y
x
ρ = x2 + y2
φ A = arctg
3
= 0,643rad = 36,87 0
4
12
= 0,983rad = 56,310
8
2 ⋅10−6
=
= 169,81 CN
−9
10
4π
106
36π
φ P = arctg
G
EP =
Q
2
4πε 0 rAP
Em coordenadas cartesianas:
Solução:
Campo elétrico no ponto é dado por:
G
EP =
Q
2
4πε 0 rAP
Em coordenadas cartesianas:
G
rA = 4aˆ x + 3aˆ y + 5aˆ z
G
rAP
G
rAP
G
EP =
G G
rP − rA
Q
G G
2
rP − rA
4πε 0 rAP
G
G G
rAP rP − rA
4
9
3
aˆx +
aˆy −
aˆz
G =G G =
rAP rP − rA
106
106
106
G 4 ⋅169,81
9 ⋅169,81
3 ⋅169,81
EP =
aˆx +
aˆ y −
âz
106
106
106
G
E P = 65,974aˆ x + 148,441aˆ y − 49,480aˆ z
14
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
10. Duas cargas de 20 e -20 nC estão localizadas
em (3, 0, 0) e (-3, 0, 0), respectivamente. Considere e
= e0.
Substituindo:
aˆ x = aˆ ρ cos φ − aˆφ senφ
aˆ y = aˆ ρ senφ + âφ cos φ
G
E = (65,974cosφ + 148,441senφ )aˆ ρ
(a) Determine |E| em P(0, y,0).
(b) Esboce |E| vs. y em P.
+ (− 65,974senφ + 148,44 cosφ )aˆφ − 49,480aˆ z
Para acharmos o campo em coordenadas
cilíndricas:
G
E = Eρ aˆ ρ + Eφ aˆφ + Ez aˆ z
Precisamos então descobrir o ângulo f. Para isso observe
a figura a seguir:
Observando o paralelogramo no plano xy
G G
G
formado pelas projeções dos vetores rA , rP e rAP no
plano xy,:
φ = φ P + (φ P − φ A )
11. Uma carga Q0, localizada na origem no
espaço livre produz um campo no qual Ez=l k V/m no
ponto P( -2. l, -1),
(a) Determine Q0. Determine E em M( l, 6, 5)
em:
(b) coordenadas cartesianas:
(c) coordenadas cilíndricas:
(d) coordenadas esféricas.
12.
A
ρ v = ρ 0e
densidade
−x−y−z
volumétrica
de
carga
existe em todo o espaço livre.
Calcule a carga total presente.
z
Solução:
Q = ∫∫∫ ρ v dv
V
y
Em coordenadas cartesianas:
+∞+∞+∞
f
fA fP
Q=
∫ ∫ ∫ρ e
−x−y−z
0
dxdydz
− ∞− ∞− ∞
x
φ = 56,31 + (56,31 − 36,87 ) = 75,75 0
Substituindo
em:
G
E = (65 ,974 cos φ + 148 , 441 sen φ )aˆ ρ
+ (− 65 ,974 sen φ + 148 , 44 cos φ )aˆ φ − 49 , 480 aˆ z
G
E = 65,974cos75,750 + 148,441sen75,750 aˆ ρ
(
(
)
)
+ − 65,974sen75,750 + 148,44 cos75,750 aˆφ − 49,480aˆ z
G
E = (16,2397 + 143,8736)aˆρ + (− 63,944 + 36,839)aˆφ − 49,480aˆz
G
E = 160,11aˆ ρ − 27,01aˆφ − 49,48aˆ z
8. Dadas duas cargas pontuais de -lmC em P1 (0, 0,
-0.5) e P2(0, 0, -0.5), e uma carga de 2mC na origem,
determine E em P(0, 2, l) em componentes esféricas.
Considere e = e0.
9. Uma carga pontual de 100 nC está localizada em
A( -1, 1, 3) no espaço livre:
(a) Encontre o lugar dos pontos P(x, y, z.) no qual
E = 500 V/m.
(b) Determine y1, se P(-2, y1, 3) pertencer a este
lugar.
+∞
⎛0
⎞ +∞ − y +∞ − z
Q = ρ 0 ⎜⎜ ∫ e −(− x ) dx + ∫ e −(+ x ) dx ⎟⎟ ∫ e dy ∫ e dz
0
−∞
⎝ −∞
⎠−∞
Q = ρ 0 ⎛⎜ e x
⎝
0
−∞
+ − e −x
+∞
0
(
Q = ρ 0 e 0 − 0 + −0 − (−e 0
+∞
Q = 2ρ 0 ∫ e
−∞
− y
+∞
+∞
⎞⎟ e − y dy e − z dz
∫
⎠−∫∞
−∞
+∞
)∫ e
−∞
+∞
dy ∫ e
− y
−z
+∞
dy ∫ e
−z
dz
−∞
dz
−∞
Como as outras integrais são idênticas:
Q = 2 ρ 0 .2.2
Q = 8ρ 0
13 Uma densidade volumétrica uniforme de
carga de 0.2 mC/m3 está presente através de uma casca
esférica de r = 3 cm até r = 5 cm. Se rv = 0 em
qualquer outra parte, determine:
(a) a carga total presente dentro da casca e
(b) r1, se metade da carga está localizada na
região 3 cm < r < r1.
Solução:
15
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Q = ∫∫∫ ρ v dv
V
2π π 0.05
Q=
∫ ∫ ∫ 0.2µ ⋅ r′ senθ ′dr′dθ ′dφ ′
2
0 0 0.03
φ θ
r
π
2π
0.05
0
0
0.03
Q = 0.2 µ ∫ senθ ′dθ ′ ∫ dφ ′ ∫ r ′2 dr ′
π
( )
2π
Q = 0,2 µ (− cosθ 0 ) φ ′ 0
⎛ r3
⎜
⎜3
⎝
⎞
⎟ = 82.1 pC
⎟
0.03 ⎠
0.05
14. Seja:
(π − φ ) 2 1 µC m 2
ρ v = 5e
z + 10
⎧ 0 ≤ ρ ≤ 10
⎪
na região: ⎨− π ≤ φ ≤ π e rv=0 em qualquer outra
⎪
az;
⎩
18. Duas linhas de cargas uniformes de 0,4
m.C/m e - 0,4 p-C/m estão localizadas no plano x = 0
em y= - 0,6 e y =0,6 m, respectivamente. Considere e
= e0.
Determine E em :
(a) P(x, 0, z).
(b) Q(2,3,4).
19. Uma linha de carga uniforme de 2mC/m está
localizada no eixo z. Determine E em coordenadas
cartesianas em P(1,2,3) se a carga se estende de:
(a) z = -¶ a z= +¶.
(b) z = -4 a z = +4.
Solução:
− 0 ,1ρ
parte.
(a) Determine a carga total presente.
(b) Calcule a carga dentro da região:
⎧ 0≤ρ ≤4
⎪ π
π
⎨ − 2 ≤φ ≤ 2
⎪− 10 ≤ z ≤ 10
⎩
15. Um volume esférico de 2 mm de raio contém
uma densidade volumétrica uniforme de carga de
1015C/m.
(a) Qual a carga total confinada dentro do volume
esférico?
(b) Considere agora que uma grande região
contenha uma dessas pequenas esferas em cada quina de
uma grelha cúbica de 3 cm de lado e que não há
nenhuma carga entre as esferas. Qual é a densidade
volumétrica de carga média através desta região?
16. A região na qual 4 < r < 5, O < θ < 25° e 0,9π
< f <1,1π contém uma densidade volumétrica de carga:
ρ v = 10(r − 4)(r − 5)senθsen 12 φ
Fora desta região, rv = 0. Determine a carga dentro
desta região.
17. Uma linha de cargas uniforme de 16 nC/m está
localizada ao longo da linha definida por y = -2, z =- 5.
Se e = e0:
(a) determine E em P( l, 2. 3)
(b) determine E no ponto do plano z = 0 onde a
direção do vetor E é dada por 13 aˆ y − 23 aˆ z .
(a)
z
3
2
1
r
f
x
G
Como: E =
E
y
ρL
aˆ ρ
2πε 0 ρ
Observe da figura que:
φ = arctg xy = arctg 12 = 63,4350
ρ = x 2 + y 2 = 2 2 + 12 = 5
Como em coordenadas cilíndricas:
aˆ ρ = aˆ x cos φ + aˆ y senφ
cos φ =
senφ =
aˆ ρ =
x
ρ
y
ρ
1
5
⇒ cos φ =
⇒ senφ =
aˆ x +
2
5
1
5
2
5
aˆ y
Substituindo:
G
E=
ρL
â ρ
2πε 0 ρ
G
2µ
1
E=
aˆ + 25 aˆ y
5 x
2πε 0 5
G
µ 1
( aˆ x + 52 aˆ y )
E=
πε 0 5
(
)
16
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
G 36πµ
(15 aˆ x + 52 aˆ y )
E=
10 −9
π
G
E = 7,2aˆ x + 14,4aˆ y (kV m )
2
Ex = 6000
3
2ρ
Ey = L
4πε0
Solução:
4
3
E y = 12000
2
1
r
f -4
x
G G
Como: E ( r ) =
E
y
dQ
G G
∫Q 4πε rG − rG′ 3 (r − r ′)
0
G
r = aˆ x + 2aˆ y + 3aˆ z
G
r ′ = z ′aˆ z
G G
r − r ′ = aˆ x + 2aˆ y + (3 − z ′)aˆ z
G G
2
r − r ′ = 12 + 2 2 + (3 − z )
G G
2
r − r ′ = 5 + (3 − z )
Observe que: dQ = ρ L dz ′
Substituindo na integral, teremos:
G G
E(r ) =
ρ
∫ 4πε (5 + (3 − z′) ) (aˆ
4
L
−4
2 32
x
+ 2aˆ y + (3 − z′)aˆz )dz′
0
Separando por componentes, teremos:
Ex =
ρL
4πε0
4
1
∫ (5 + (3 − z′) )
−4
Ez =
2 32
dz ′
z =4
ρ
z −3
Ex = L
4πε0 5 z 2 − 6z + 14 z =−4
ρ
2
Ex = L
4πε0 3 3
2 ⋅10−6 2
Ex =
10−9 3 3
4π
36π
ρL
4πε0
2 32
−4
Ey =
z
1
∫ (5 + (3 − z′) )
4
(b)
≅ 4898,97 N C
2ρ L 2
4πε0 3 3
2
≅ 9797,96 N C
3
(3 − z′)
4
∫ (5 + (3 − z′) )
2 32
−4
ρ
Ez = L
4πε0
Ez =
Ez = 6000
dz ′
dz ′
z =4
1
z 2 − 6z + 14 z =−4
ρL 2
4πε0 3 3
2
3
≅ 4898,98 N C
Logo:
G G
E (r ) = 4,899aˆ x + 9,798aˆ y + 4,899aˆ z (kV m )
20. Uma linha de cargas uniforme de 120
nC/m está situada ao longo de toda a extensão dos
três eixos coordenados. Considerando as condições
do espaço livre, determine E em P(-3, 2, -1).
21. Duas linhas de carga uniformes idênticas
com rL = 75 nC/m estão localizadas no espaço livre,
em x = 0, y= ≤ 0,4 m. Que força por unidade de
comprimento cada linha de cargas exerce sobre a
outra?
Solução:
(a)
(1)
(2)
z
dQ’
-0,4
0,4
E
r
1
y
x
G
G
dF21 = E 2 dQ1′
17
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G
E2 =
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
G
r = −0.5aˆ z
G G
r − r ′ = −0.5aˆ z − ρ ′aˆ ρ
G G
r − r ′ = 0,5 2 + ρ ′ 2
ρL
aˆ ρ
2πε 0 ρ
G
75 ⋅ 10 −9
E2 =
aˆ y
10 −9
2π
0,8
36π
G
E 2 = 1687,5aˆ y
O elemento de área da distribuição será
expresso em coordenadas cilíndricas:
dA′ = ρ ′dρ ′dφ ′
Assim:
2πρ
G
EA = ∫∫
G
G
dF21 = E 2 ρ L L
00
G
dF21
= 1687,5aˆ y 75 ⋅ 10 −9
LG
dF21
= 1687,5aˆ y 75 ⋅ 10 −9
G L
dF21
= 1,265625 ⋅ 10 − 4 aˆ y N m
LG
dF21
= 126,5625 ⋅ aˆ y µN m
L
ρS
(
4πε0 0,52 + ρ′2
G 2πρ
EA = ∫∫
ρS
)
32
(−0,5aˆ − ρaˆρ )ρ′dρ′dφ′
z
(−0,5aˆz − ρaˆρ )ρ′dρ′dφ′
32
4πε0 0,52 + ρ′2
Como: ρ S = 2 µ
= 1,8 ⋅ 10 4
4πε 0
10 −9
4π
36π
Como: aˆ ρ = aˆ x cos φ + aˆ y senφ teremos
00
(
)
ao substituir na expressão
dependência em â z :
22. Uma densidade superficial de carga
uniforme de 5nC/m2 está presente na região x=0, -2 < y <
0 e " z. Se e = e0, determine E em:
(a) PA(3, 0, 0).
(b) PB(0, 3, 0)
23. Dada uma densidade superficial de carga rS
= 2mC/m2 na região r < 0,2 m, z = 0 e rS =0 em qualquer
outro lugar, determine E em:
(b) PA(r=0, z=-0.5).
z
y
acima
0, 2
2π
⎡
G
ρ′dρ′
EA = 1,8 ⋅ 104 ∫ dφ ⎢− 0,5 ∫
2
2
⎢⎣
0
0 0,5 + ρ ′
(
⎡
G
−1
E A = 1,8 ⋅104 ⋅ 2π ⎢− 0,5
⎢
0,252 + ρ ′ 2
⎢⎣
apenas
)
32
ρ ′ =0, 2
ρ ′ =0
a
⎤
aˆ z ⎥
⎥⎦
⎤
⎥aˆ
⎥ z
⎥⎦
⎡ ⎛
G
1
1
E A = 3,6π ⋅104 ⎢0,5⎜
−
2
2
⎢⎣ ⎜⎝ 0,25 + 0,2
0,252
G
E A = 3,6π ⋅104 [0,5(− 0,143047)]â z
G
E A = −8,089aˆ z kV m
⎞⎤
⎟⎥aˆ
⎟⎥ z
⎠⎦
(a) PA(r=0, z=0.5).
Analogamente e por questões de simetria,
chega-se a:
G
E A = 8,089aˆ z kV m
x
G G
dE ( r ) =
ρ S dA
G G 2
4πε 0 r − r ′
G
r ′ = ρ ′aˆ ρ
G G
r − r′
G G
r − r′
24. Três densidades de cargas superficiais
estão posicionadas no espaço livre como se segue: 20
nC/m2 em x=-3; -30 nC/m2 em y = 4 e 40 nC/m2 em z
=2. Determine a magnitude de E em:
(a) PA(4, 3, -2); (b) PB(-2, 5, -1);
(c) PC(0, 0, 0);
25. Determine E na origem se as seguintes
distribuições de carga estão presentes no espaço livre:
18
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Uma carga pontual de 12 nC, em P(2,0,6).
Uma densidade linear de carga uniforme de
3nC/m, em x = -2, y = 3.
Uma densidade superficial de carga uniforme de
0,2 nC/m2 em x = 2.
Solução:
6
z
Q(2,0,6)
rL=3nC/m
-2
0
3
y
rS =0,2nC/m2
x
•
Campo devido à carga puntiforme:
G G
Q
r − r′
G G 2 G G
4πε 0 r − r ′ r − r ′
G
r ′ = 2aˆ x + 6aˆ z
G G
EQ (r ) =
G
r = 0aˆ x + 0aˆ y + 0aˆ z
G G
r − r ′ = −2aˆ x − 6aˆ z
G G
r − r ′ = (−2) 2 + (−6) 2 = 40
G G
r − r′
2
6
aˆ x −
aˆ z
G G =−
r − r′
40
40
G G
EQ (r ) =
⎛
⎞
12 ⋅ 10 −9
2
6
⎜⎜ −
aˆ x −
aˆ z ⎟⎟
−9
2
10
40
40 ⎠
4π
40 ⎝
36π
G G
,4
E Q (r ) = − 540
aˆ x − 1640, 2 aˆ z
•
Campo devido à densidade de carga
linear:
G
EL =
ρL
aˆ ρ
2πε 0 ρ
(− 2)2 + 3 2
cos θ =
x
ρ
=
2
13
aˆ x −
3
aˆ y
13
13
G
⎞
3 ⋅ 10 −9 ⎛ 2
3
⎜⎜
EL =
aˆ x −
â y ⎟⎟
−9
10
13
13 ⎠
2π
13 ⎝
36π
G
3 ⎞
⎛2
E L = 54⎜ aˆ x − aˆ y ⎟
13 ⎠
⎝ 13
G
108
162
EL =
aˆ x −
aˆ y
13
13
Campo devido à densidade de carga
y
O campo resultante será dado por:
G G
G
G
G
E R (0) = EQ + E L + E S
G G
E Q (r ) = −
5, 4
40
aˆ x − 1640, 2 aˆ z
G
108
162
EL =
aˆ x −
â y
13
13
G
E S = −3,6π ⋅ aˆ x
G G
E R (0) = −3,86aˆ x − 12,46aˆ y − 2,56aˆ z
(V/m)
26. Uma densidade linear de carga uniforme
de 5nC/m está em y=0, z = 2m no espaço livre,
enquanto outra de -5nC/m está localizada em y=0, z=2. Uma densidade superficial de 0,3 nC/m2 está em
y=-0,2m. Determine |E| na origem.
G
E = (4 x − 2 y )aˆ x − (2 x + 4 y )aˆ y
= 13
; senθ = ρ =
G
ρ
E S = S aˆ N
2ε 0
Observe que: aˆ N = − aˆ x
G
0,2 ⋅ 10 −9
(− aˆ x )
ES =
10 −9
2
36π
G
E S = −3,6π ⋅ aˆ x
27. Dado o campo elétrico:
Observando a figura, escrevemos:
ρ=
2
superficial:
E(0) ?
2
aˆ ρ =
•
θ
â ρ
aˆ ρ = cos θaˆ x − senθaˆ y
3
13
Determine:
(a) a equação da linha de força que passa
pelo ponto P(2, 3, -4).
(b) O vetor unitário â E especificando a
direção de E no ponto Q(3, -2, 5).
19
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Solução:
dy E y
dy − (2 x + 4 y )
=
⇔
=
dx E x
dx
4x − 2 y
(4 x − 2 y )dy = −(2 x + 4 y )dx
(4 x − 2 y )dy + (2 x + 4 y )dx = 0
∂F
∂F
dF =
dx +
dy
∂x
∂y
Comparando as duas expressões:
∂F
= 2 x + 4 y ⇒ F ( x, y ) = ∫ (2 x + 4 y )dx
∂x
x
F ( x, y ) = x 2 + 4 xy + ϕ ( y )
∂F
= 4 x − 2 y ⇒ F ( x, y ) = ∫ (4 x − 2 y )dy
∂y
y
F ( x, y ) = 4 xy − y 2 + φ ( x)
Comparando as expressões:
φ ( x) = x 2 ; ϕ ( y ) = − y 2
(c) Um vetor unitário
aˆ N =(l,m,0) que é
perpendicular a â E em Q(3, -2, 5).
29. Se:
G
E = 20e −5 y (cos 5 xaˆ x − sen5 xaˆ y ) ,
determine:
(a) |E| em P(π/6; 0,1; 2);
(b) O vetor unitário na direção de E no ponto P.
(c) A equação da linha de direção que passa por
P.
Solução:
G
(a) E =
20e −5⋅0,1 (cos 5 π6 aˆ x − sen5 π6 aˆ y )
G
E = 20e −0,5 (− 0,866aˆ x − 0,5aˆ y )
G
E = 12,13(− 0,866aˆ x − 0,5aˆ y )
G
E = 12,13
Então:
F ( x, y ) = 4 xy − y 2 + x 2 + C
F (2,3) = 4 ⋅ 2 ⋅ 3 − 3 2 + 2 2 + C = −4
⇒ 24 − 9 + 4 + C = −4
C = −23
F ( x, y ) = 4 xy − y 2 + x 2 − 23 = −4
y 2 − x 2 = 4 xy − 19
(b) Q(3,-2,5)
G
E = (4 x − 2 y )aˆ x − (2 x + 4 y )aˆ y
G
E = (4 ⋅ 3 − 2 ⋅ (−2) )aˆ x − (2 ⋅ 3 + 4 ⋅ (−2) )aˆ y
G
E = 16aˆ x + 2aˆ y
G
16
2
E
n̂ E = G =
aˆ x +
aˆ y
260
260
E
nˆ E = 0,99aˆ x + 0,12â y
28. Seja o campo elétrico:
G
E = 5 x 3 aˆ x − 15 x 2 yaˆ y
Determine:
(a) A equação da linha de força que passa pelo
ponto P(4,2, 1).
(b) O vetor unitário â E especificando a direção de E
no ponto Q(3, -2, 5).
(b) aˆ EG = −0,866aˆ x − 0,5aˆ y
dy E y
dy − 20e −5 y sen5 x
=
⇔
=
(c)
dx E x
dx 20e −5 y cos 5 x
dy
dx
= − tg 5 x
y = − ∫ tg 5 xdx
1
y = ln cos 5 x + C
5
1
0,1 = ln cos 56π + C
5
5π
0,5 − ln cos
6
C=
5
C = 0,1286
1
y = − ln cos 5 x + 0,1286
5
30. Dada a intensidade do campo elétrico:
G
E = 400 yaˆ x + 400 xaˆ y (V m ) , determine:
(a) A equação da linha de direção que passa pelo
ponto A(2, 1, -2).
(b) A equação na superfície na qual |E| =800
V/m;
20
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
(c) Esboce a linha de força da parte (a).
(d) Esboce o traçado produzido pela interseção do
plano z=0 com a superfície da parte (b).
31. Em coordenadas cilíndricas com:
G
E (ρ , φ ) = E ρ (ρ , φ )aˆ ρ + Eφ (ρ , φ )aˆφ
a equação diferencial que descreve as linhas de direção
é:
Eρ
Eφ
=
dρ
(ρdφ )
em qualquer plano z = constante. Calcule a equação da
linha que passa pelo ponto:
P(r = 4, f = 100 , z = 2)
no campo:
G
E (ρ , φ ) = 2 ρ 2 cos 3φaˆ ρ + 2 ρ 2 sen3φaˆφ
Solução:
Eρ
Eφ
=
dρ
(ρdφ )
2 ρ cos 3φ
dρ
=
2
2 ρ sen3φ (ρdφ )
2
dρ
dρ
⇒
= ctg 3φdφ
dφ
ρ
ctg 3φρ =
∫
dρ
ρ
= ∫ ctg 3φdφ
. ln ρ = 13 ln sen3φ + C
3 ln ρ = ln sen3φ + 3C
3 ln ρ − ln sen3φ = 3C
ln
ρ3
sen3φ
ρ3
sen3φ
F (ρ , φ ) =
F (ρ = 4, φ = 10 0 ) =
= 3C
= e 3C
ρ3
sen3φ
− e 3C
43
sen3 ⋅ 10
0
− e 3C = 2
e 3C = K = 126
ρ 3 = 128 sen3φ
21
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CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Exercícios – Halliday – Resnick - Tipler
y
1) Três cargas elétricas estão colocadas nos
vértices de um triângulo equilátero,
conforme mostra
q
a figura:
+q
a
a
-Q
+Q
a
Trace as linhas de força devido as cargas +Q e Q e determine a direção da força que atua em +q devido
à presença das duas cargas elétricas.
a) Qual a intensidade do campo elétrico
produzido uma sobre a outra?
b) Qual a intensidade da força que atua em cada
carga?
2
x
d
As cargas são q1= + 1mC e q2= + 3mC e
estão separadas por uma distância d=10 cm. Faça um
gráfico do campo elétrico E (x) para ambos valores
positivos e negativos de x, tomando E positivo
quando apontar para a direita e E negativo quando
apontar para a esquerda.
7) Determine a magnitude e direção do
campo elétrico em P, centro do quadrado da figura
abaixo, com cargas nos vértices, sendo q=0,01mC e
a=5,0cm.
-2q
+q
2) Qual a magnitude de uma carga puntual cujo
campo elétrico à 50 cm da carga possui intensidade 2
N/C?
3) Duas cargas puntiformes de magnitudes
Q1=0,2 mC e Q2=0,085mC estão distanciadas de 12 cm.
q
1
a
P
-q
+2q
4) Duas cargas iguais e opostas de magnitude
0,2mC estão separadas de 15cm.
8) Um elétron é colocado em cada vértice de
um triângulo eqüilátero de 20 cm de lado.
a) Qual a intensidade e direção do vetor campo
elétrico sobre um ponto no meio da reta que une as
cargas?
b) Qual a intensidade e direção da força elétrica
sobre um elétron colocado neste ponto?
a) Qual é o campo elétrico no ponto médio
de um de seus lados?
b) Qual a força que atua em um elétron aí
colocado?
5) Um átomo de plutônio-239 tem um raio
nuclear de 6,64 fm e um número atômico de Z=94.
Assumindo que a carga positiva está distribuída
uniformemente sobre o núcleo, qual a magnitude e
direção do campo elétrico na superfície do núcleo devido
à carga positiva?
6) Duas carga s puntiformes estão dispostas
como mostra a figura:
9) Calcule o momento de dipolo elétrico de
um elétron e um próton distanciados de 4,3 nm.
10) Um elétron é colocado em um campo
elétrico uniforme de magnitude 2 , 00.104 N . Calcule
C
a aceleração do elétron (ignorar a gravidade).
11) Um elétron é acelerado na direção oeste
com aceleração de 1, 8.109 m2 por um campo elétrico.
s
Determine a magnitude e direção do campo elétrico.
12) Uma partícula a, núcleo de um átomo de
He, tem massa de 6, 64.10 −27 kg e carga de +2e.
22
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Qual a magnitude e direção do campo elétrico que
balanceia seu peso?
13) Uma nuvem carregada produz um campo
elétrico no ar próximo à superfície da Terra. Uma
partícula de carga −2 , 0.10 −9 C é atuada por uma força
eletrostática descendente de intensidade 3, 0.10 −6 N
b) Se duas gotas com mesmo raio e carga
combinam para formar uma outra gota esférica, qual
o potencial na superfície desta nova gota?
20) Determine o potencial elétrico em P
devido a presença das 6 cargas pontuais abaixo.
Assuma V=0 no infinito.
quando colocada no campo.
a) Qual é a magnitude do campo elétrico?
b) Qual é a magnitude e direção da força
eletrostática exercida sobre um próton colocado sobre o
campo?
c) Qual é a força gravitacional sobre o próton?
d) Qual a razão entre a força eletrostática e a
força gravitacional?
14) Se conhecemos o campo elétrico E em um
dado ponto, é possível encontrar o potencial V neste
ponto?
15) Determine o potencial elétrico produzido
pelas cargas do problema 7 no ponto P.
16) A ddp (diferença de potencial) entre a Terra
e uma nuvem é de 1, 2.109 V . Qual a magnitude da
mudança na energia potencial elétrica de um elétron que
se move entre esses pontos?
17) Suponha que durante uma descarga elétrica
entre uma nuvem e a Terra a ddp seja de 1, 0.109 V e
uma quantidade de carga transferida de 30 C.
a) Qual a mudança de energia nesta quantidade
de carga transferida?
b) Se esta energia fosse usada para locomover
um automóvel de 1000 kg , qual a velocidade atingida
pelo automóvel?
c) Se a energia utilizada fosse para derreter o
gelo, a 00 C , qual a quantidade de gelo que seria
derretida? (Dado:calor de fusão do gelo: 3, 3.105 J ).
kg
18) No problema 6 determine o potencial
elétrico em qualquer ponto x gerado pelas cargas
elétricas.
19) Uma gota dágua carrega uma carga de 30
pC e tem um potencial de 500 V na sua superfície. (com
V=0 no infinito).
a) Qual o raio da gota?
23
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
Texto : Leitura optativa
Tabela 1: Algumas partículas elementares de
um átomo:
Várias partículas elementares são agora
experimentalmente conhecidas pelas várias propriedades
pelas quais os físicos as identificam.
Ele está dividido em quatro grandes classes:
o fóton, o léptons, o baryons, e o mésons.
Prótons e nêutrons são os componentes básicos
de núcleos atômicos que, combinou com elétrons,
átomos de forma.
Fótons são as unidades fundamentais de
radiação eletromagnética que inclui ondas de rádio, luz
visível, e raios de X. O nêutron é instável como uma
partícula isolada e desintegra pelo processo:
n ± p + e + Xe
com uma vida comum de 917 segundos.
Quando se combinam com prótons, porém,
forma certos núcleos atômicos, como oxigênio-16 ou o
ferro-56, os nêutrons ficam estabilizados. A maioria das
partículas elementares diferentes do elétron, fóton,
próton, e nêutron foram descobertos desde 1945, alguns
por meio de raios cósmicos, em experiências que usam
aceleradores de alto-energia (veja Aceleradores de
Partícula). A existência de outras partículas foi predita,
mas eles não têm contudo sido observar-tal como o
gráviton, supondo ser responsável por transmitir a força
gravitacional.
Em 1930 o físico britânico Paul M. Dirac
predisse em estudos teóricos que, para todo tipo de
partícula elementar, há outro tipo chamado sua
antipartícula. A antipartícula do elétron foi achada em
1932 pelo físico americano Carl D. Anderson que
chamou de o pósitron. O antipróton foi achado em 1955
pelos físicos americanos Owen Chamberlain e Emilio
Segrè. É conhecida agora que a predição de Dirac é
válida para todas as partículas elementares. Algumas
partículas elementares, como o fóton, são a própria
antipartícula dele. Físicos geralmente usam uma barra
para denotar uma antipartícula; assim a antipartícula de
uma particula também pode ser classificada em
termos do giro deles/delas, ou momento angular,
como bósons ou férmions. Bósons têm um giro que é
um múltiplo inteiro de uma certa constante, h,;
fermions têm um giro que é um múltiplo de meiointeiro daquela constante.
Interações:
Partículas elementares exibem forças, e eles
constantemente são criados e são aniquilados.
Criação, aniquilação, e força, de fato, são fenômenos
relacionados e chamados de interações. Quatro tipos
de interações são conhecidos (embora mais foram
postulados):
Cada tipo de interação acontece pela troca de
um tipo particular de boson. Interações nucleares são
os mais fortes e são responsáveis pela ligação de
prótons e nêutrons e a formação de núcleos. Estas
interações resultam da troca de glúons. Logo, as
forças são interações eletromagnéticas responsáveis
pelos elétrons que estão ligados aos núcleos em
átomos e moléculas. Estas interações resultam da
troca de fótons. Do ponto de vista prático, esta
ligação é de grande importância porque todas as
reações químicas representam transformações
eletromagnéticas de elétrons e núcleos. Muito mais
fracas são as interações fracas denominadas que
governam o decaimento radioativo de núcleos
atômicos, observados (1896-98) pelos físicos
franceses e químicos Antoine H. Becquerel, Pierre
Curie, e Marie Curie. Estas interações são o resultado
da troca de bósons fracos: W+, W -, ou partículas de
Z°. A interação gravitacional de assunto é importante
em uma balança grande, embora é o mais fraco das
interações de partícula elementares. Esta interação é o
resultado teoricamente da troca de grávitons.
Leis de conservação
A dinâmica de interações de partícula
elementares é governada por equações de movimento
que é a generalização das três leis fundamentais de
Newton da dinâmica. Na dinâmica de Newton, não
são criados, nem são destruídas; eles são conservados.
Energia existe em muitas formas que podem ser
transformadas em outras, mas a energia total é
conservada e não muda. Para interações de partícula
elementares estas leis de conservação permanecem
com efeito, mas foram descobertas leis de
conservação adicionais que originaram papéis
importantes na estrutura e interações de núcleos e
partículas elementares.
Simetria e Números de Quantum
Princípios de simetria eram quase
exclusivamente aplicados a problemas em mecânicas
dos fluidos e cristalografia até o começo do 20º
século na física. Depois de 1925, com o sucesso
24
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
crescente de teoria de quantum descrevendo o átomo e
processos atômicos, os físicos descobriram aquelas
considerações de simetria conduzidas a números de
quantum (que descrevem estados atômicos) e para regras
de seleção (que governam transições entre estados
atômicos). Porque números de quantum e regras de
seleção são necessárias a descrições de fenômeno
atômico e subatômico, considerações de simetria são
centrais às físicas de partículas elementares.
Paridade (P)
Em sua maioria, os princípios de simetria dizem
que um fenômeno particular é invariante (inalterado)
quando são transformadas certas coordenadas de espaço,
ou mudam de um certo modo. O princípio de simetria de
reflexão espacial, ou paridade (P) conservação, estados
que as leis de natureza são invariante quando são
refletidos três coordenadas de espaço, x, y, e z, de todas
as partículas (quer dizer, quando os sinais deles são
mudados). Uma reação (colisão, ou interação) entre duas
partículas UM e B, por exemplo, que tem pA de
impulsos de vetor e pB poder ter uma certa probabilidade
de se render duas outras partículas C e D com os
próprios impulsos característicos deles o PC e pD. Esta
reação
Um + B ± C + D (R)
tem sido chamado R. Se partículas UM e B com
impulsos -pA e -pB produzem partículas C e D com
impulsos o -PC e -pD à mesma taxa então como R, a
reação é invariável debaixo de paridade (P).
Simetria de Conjugação de carga (C)
O princípio de simetria de conjugação de carga
pode ser ilustrado se referindo à reação R. Se as
partículas UM, B, C, e D são substituídos pelo
antipartículas UM, B, Ç, e D, então
Um + B ± Ç + D C(R)
Esta reação hipotética ser denominada C(R) e é
a reação conjugada de R. Se (R) e C(R) procede à mesma
taxa, então a reação é invariante debaixo de conjugação
de carga de pólvora (C).
Simetria de Inversão de tempo (T)
O princípio de simetria de inversão de tempo, ou
reversão de tempo, tem uma definição semelhante. Os
estados de princípio que se uma reação (R) é invariante
abaixo (T), então a taxa da reação inversa
C + D ± UM + B T(R)
está em uma proporção definida à taxa de (R).
Simetria e Forças de Interações
Foram achados os tipos de simetria
observados pelos quatro tipos diferentes de interações
para ser bastante diferente. As 1957 acreditaram que
simetria de reflexão espacial (ou conservação de
paridade) é observada em todas as interações. Em
1956 os físicos chinês-americanos Tsung Dao Lee e
Chen Ning Yang mostraram aquela conservação de
paridade tida, de fato, não sido testado para interações
fracas e várias experiências sugeridas para examinar
isto. Um destes foi executado o ano seguinte pelo
físico chinês-americano Chien-Shiung Wu e os
colaboradores dela que acharam que, realmente, não é
observada simetria de reflexão espacial em interações
fracas. Uma conseqüência era a descoberta que as
partículas emitiram em interações fracas tende a
espiralar ao longo da direção do movimento
deles/delas. Em particular, o ue de neutrinos e uµ que
só são envolvido em interações fracas e gravitacionais
sempre giram de uma maneira canhota. Os físicos
americanos James W. Cronin e Val L. Fitch e os
colaboradores deles/delas também descobriram, em
1964, aquela simetria de reversão de tempo não é
observada em interações fracas.
Simetria e Quarks
A classificação de partículas elementares
estava baseado nos números de quantum deles/delas e
assim fez de mãos dadas com idéias sobre simetria.
Trabalhando
independentemente
com
tais
considerações, os físicos americanos Murray GellMann e George Zweig propuseram em 1963 são
formados aquele baryons e mesons de componentes
menores que Gell-Mann chamado quarks. Eles
sugestionaram três tipos de quarks, cada que tem um
antiquark. Evidência indireta muito boa para o quark
modela de baryons e mesons tem acumulado,
especialmente como a descoberta em 1974 de
partículas de J/Y pelos físicos americanos Samuel C.
C. Ting e Burton Richter. A teoria modelo padrão de
partículas elementares postulou a existência de seis
tipos de quarks tudo dos quais foi experimentalmente
confirmado.
Teoria de campo de Interações
Antes do mid-19º século, interação, ou força,
era acreditada comumente que agia a uma distância.
O cientista inglês Michael Faraday iniciou a idéia que
interação é transmitida de um corpo a outro por um
campo. O físico escocês James Maxwell pôs as idéias
de Faraday em forma matemática e resulta na
primeira teoria de campo, comumente chamado as
equações
de
Maxwell
para
interações
eletromagnéticas. Em 1916 Albert Einstein publicou a
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Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO II - Campo Elétrico
teoria de interações gravitacionais, e isso se tornou a
segunda teoria de campo. Acredita-se agora
universalmente que as outras duas interações, fortes e
fracas, também podem ser descritas através de teorias de
campo.
Com o desenvolvimento da teoria do quantum,
foram encontradas certas dificuldades com teorias de
campo nos anos trinta e quarenta. As dificuldades foram
relacionadas aos campos muito fortes que têm que existir
na vizinhança imediata de uma partícula e chamamos de
divergência. Remover parte dessa dificuldade foi criado
um método chamado renormalização, desenvolvido nos
anos 1947-49 pelo físico japonês Shin'ichiro Tomonaga,
e os físicos americanos Julian Schwinger e Richard
Feynman e o físico Dyson anglo-americano. Métodos de
Renormalização mostraram que as dificuldades de
divergência podem ser isoladas sistematicamente e
podem ser removidas. O programa alcançou grandes
sucessos práticos, mas a fundação de teoria de campo
permanece insatisfatória.
já foi tentado nas idéias de supersimetria e
supergravidade.
Serão
procurados
tais
desenvolvimentos indubitavelmente.
A meta final é uma compreensão da estrutura
fundamental de assunto por princípios de simetria
unificados. Infelizmente, não é provável que esta
meta seja alcançada no futuro. Há dificuldades em
ambos os aspectos teóricos e experimentais do
empenho. No lado teórico, as complexidades
matemáticas de teoria de medida de quantum são
grandes. No lado experimental, o estudo de partícula
elementar estrutura a dimensões menores e menores
requer aceleradores maiores e maiores e detectores
(veja Detectores de Partícula). Os recursos humanos e
financeiros requeridos para progresso de futuro são
tão grandes que o passo de progresso será reduzido
inevitavelmente.
Contribuído por:
Chen Ning Yang
Unificação de Teorias de Campo
Os quatro tipos de interações são imensamente
diferentes de um do outro. O esforço para os unificar em
um único conceitual foi iniciado por Albert Einstein
antes das 1920. Os físicos americanos Sheldon Glashow
e Steven Weinberg e o físico paquistanês Abdus Salam
em 1979 compartilharam o Nobel em física com o
trabalho de um modelo próspero que unifica as teorias de
interações eletromagnéticas e fracas. Isto era acabado
reunindo idéias de simetria de medida desenvolvidas
pelo matemático alemão Hermann Weyl, Yang, e o físico
Robert Laurence Mills americano e de simetria quebrada
desenvolvida pelo físico japonês-americano Yoichiro
Nambu, o físico britânico Peter W. Higgs, e outros. Uma
contribuição
muito
importante
para
estes
desenvolvimentos foi feita pela física holandesa
Gerardus ' t Hooft que inseriu no programa de
renormalização essas teorias.
Prospectos para o Futuro
É reconhecido agora que as propriedades de todas as
interações são ditadas por várias formas de simetria de
medida. Em retrospecto, o primeiro uso desta idéia era à
procura de Einstein para uma teoria gravitacional que é
simétrico com respeito a transformações de coordenada
que culminaram na teoria geral de relatividade em 1916
(veja Gravitação; Relatividade). Exploração de tais
idéias será certamente um tema principal de física de
partículas elementares durante os anos próximos.
Extensão qualitativa do conceito de simetria de
medida para facilitar, possivelmente, uma unificação
eventual não só de todas as interações, mas também de
todas as interações com todas as partículas constituintes,
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