Lista 1 - Análise Real 1) Prove que o conjunto dos números primos

Lista 1 - Análise Real
1) Prove que o conjunto dos números primos é infinito.
2) Defina uma função sobrejetiva f : N → N tal que, para todo n ∈ N, o conjunto f −1 (n) seja infinito.
3) Se r ∈ Q (r 6= 0) e x ∈ R \ Q, prove que r + x, rx ∈ R \ Q.
4) Prove que não existe número racional cujo quadrado é 12.
5) Sejam K e L corpos. Uma função f : K → L chama-se um homomorfismo quando se tem f (x + y) = f (x) + f (y) e
f (xy) = f (x)f (y) para quaiquer x, y ∈ K.
a) Dado um homomorfismo f : K → L, prove que f (0) = 0.
b) Prove também que, ou f (x) = 0 para todo x ∈ K, ou então f (1) = 1 e f é injetivo.
c) Seja f : Q → Q um homomorfismo. Prove que, ou f (x) = 0 para todo x ∈ Q ou então f (x) = x para todo
x ∈ Q.
6) Seja P o conjunto dos elementos positivos de um corpo ordenado K. Dado um número natural n, prove que a
função f : P → P , definida por f (x) = xn , é monótona crescente, isto é, x < y ⇒ f (x) < f (y). Além disso, prove que
f (P ) não é um subconjunto limitado superiormente de K.
7) Seja K um corpo ordenado e n ∈ N.
a) Se x 6= 0 em K, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.
b) Se x < 1 em K, prove que (1 − x)n ≥ 1 − nx.
c) Se a e a + x são positivos em K, prove que (a + x)n ≥ an + nan−1 x.
8) Prove que, num corpo ordenado K, as seguintes afirmações são equivalentes:
a) K é arquimediano.
b) Z é ilimitado superior e inferiormente.
c) Q é ilimitado superior e inferiormente.
d) Para todo > 0 em K, existe n ∈ N tal que
1
< .
2n
9) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico
quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável.
Um número chama-se transcedente quando não é algébrico. Prove que existe números transcedentes.
10) Prove que, na presença dos axiomas de Peano i) e ii), o axioma iii) é equivalente a: “Para todo subconjunto
não-vazio A ⊂ N, tem-se A \ s(A) 6= ∅”.
11) Dados os números naturais a, b, prove que existe um número natural m tal que ma > b.
12) Seja a ∈ N. Se um conjunto X é tal que a ∈ X e, além disso, n ∈ X =⇒ n + 1 ∈ X, então X contém todos os
números naturais maiores ou iguais que a.
13) Seja X um conjunto com n elementos. Use indução para provar que o conjunto das bijeções f : X → X tem n!
elementos.
14) Dado um conjunto finito X, prove que a função f : X → X é injetora se, e somente se, é sobrejetora.
15) Seja X um conjunto com n elementos. Determine o número de funções injetoras f : Ip → X.
16) Prove que se X tem n elementos, então P(X) tem 2n elementos.
17) Seja f : X → X uma função. Um subconjunto Y ⊂ X chama-se estável relativamente à f quando f (Y ) ⊂ Y .
Prove que um conjunto X é finito se, e somente se, existe uma função f : X → X que só admite os subconjuntos
estáveis ∅ e X.
18) Seja f : X → X uma função injetora mas não sobrejetora. Tomando x ∈ X \ f (X), prove que os elementos x,
f (x), f (f (x)) ..., são dois a dois distintos.
1
19) Obtenha uma decomposição N = N1 ∪ N2 ∪ · · · tal que os conjuntos N1 , N2 , · · · , são infinitos e dois a dois
distintos.
20) Seja X ⊂ N um subconjunto infinito. Prove que existe uma única bijeção crescente f : N → X.
21) Prove que o conjunto das sequencias crescentes (n1 < n2 < n3 < · · · ) de números naturais não é enumerável.
22) Dada uma sequência de conjuntos A1 , A2 , · · · , considere os conjuntos
∞
lim sup An = ∩∞
n=1 (∪i=n Ai )
e
∞
lim inf An = ∪∞
n=1 (∩i=n Ai ).
a) Prove que lim sup An é o conjunto dos elementos que pertencem a An para uma infinidade de valores n e que
lim inf An é o conjunto dos elementos que pertencem a todo An exceto possivelmente para um número finito de ı́ndices
n.
b) Sejam {xn } uma sequência de números reais crescente e limitada e An = (−∞, xn ). Qual a conexão entre
lim xn e lim sup An ?
n→∞
n→∞
22) Dados os conjuntos A, B suponha que existam funções injetivas f : A → B e g : B → A. Prove que existe uma
bijeção h : A → B.
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