Aula_13

Ricardo Ferreira Paraizor
Aula 13
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
Congruência e semelhança
de triângulos
Meta
Apresentar problemas aplicando semelhança de
triângulos e o Teorema de Tales.
Objetivos
Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de:
1. aplicar o conceito de congruência de triângulos;
2. resolver problemas utilizando semelhança de
triângulos;
3. resolver problemas utilizando o Teorema de Tales.
A geometria plana é muito importante para nosso dia-a-dia, pois ela se refere a
figuras básicas presentes nos desenhos da planta de uma casa e nos projetos da
construção de estradas e eletrodomésticos.
Uma das figuras a que daremos mais atenção é o triângulo, que é um polígono
muito utilizado, tanto como base para estudo de outras figuras geométricas como
em nosso cotidiano. Por exemplo, a rigidez proporcionada pelos triângulos é
utilizada na sustentação das estruturas em construções de modo geral. Por esses
motivos, precisamos dedicar bastante nossos estudos a essa figura.
Congruência de triângulos
Em primeiro lugar, você precisa ter a idéia de congruência. Então, vamos lá!
Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas
Lize Rixt
dimensões, ou seja, o mesmo tamanho. Veja o exemplo a seguir:
Fonte: www.sxc.hu
Figura 13.1: As três pontas, em forma de triângulos, do telhado dessa casa são congruentes.
No caso dos triângulos, existe a congruência entre os lados e os ângulos. Quando
um triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF, escrevemos da seguinte forma:
317
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
As estruturas triangulares dão sustentação aos
materiais das construções em geral
∆ ABC ≡ ∆DEF
e-Tec Brasil - Matemática Instrumental
318
Dois triângulos são congruentes quando os lados e os ângulos de um deles têm
respectivamente as mesmas medidas dos lados e dos ângulos do outro.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a
medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos. Veja a seguir
os casos de congruência.
1º Caso de congruência de triângulos
Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são triângulos
congruentes (Lado - Lado - Lado: LLL)
Exemplos:
O ∆ABC ≡ ∆DEF → Lê-se: O triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF (LLL).
2º Caso de congruência de triângulos
ÂNGULOS ADJACENTES
Dois triângulos que têm um lado e os ÂNGULOS ADJACENTES a esse lado respectivamente
Ângulos vizinhos um
do outro. No 2º caso, os
ângulos iguais estão no
lado congruente.
congruentes são triângulos congruentes.
BCA → Lê-se: Ângulo
BCA
FÊD → Lê-se: Ângulo
FÊD
(Ângulo - Lado - Ângulo: ALA)
Exemplo:
$ ≡ FDE
$ ≡ 40O
CAB
∆ABC
∆ABC ≡≡ ∆DEF
∆DEF →
→O triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF (ALA)
3º Caso de congruência de triângulos
Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo compreendido por esses lados
respectivamente congruentes são triângulos congruentes.
(Lado - Ângulo - Lado: LAL)
Exemplo:
Lado AC é igual ao lado RM = 7
Lado CB é igual ao lado RP = 5
$ ≡ MRP
$ ≡ 60o
ACB
∆ABC ≡ ∆MPR → O triângulo ABC é congruente ao triângulo MPR (LAL).
Note que, neste caso, os ângulos iguais (60°) ficam entre os lados iguais.
4º Caso de congruência de triângulos
Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse
lado respectivamente congruente são triângulos congruentes.
(Lado – Ângulo adjacente – Ângulo oposto: LAAO)
Exemplo:
7
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
319
Lado AC é igual ao lado DE
$ ≡ FED
$ ≡ 60O
BCA
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Lado BC é igual ao lado PN = 7
$ ≡ MNµP ≡ 45o (Este ângulo de 45° é adjacente ao lado BC e PN respecACB
tivamente)
µ ≡ NM
µP ≡ 65o (Este ângulo de 65° é oposto ao lado BC e PN respectiBAC
vamente)
∆ABC ≡ ∆MNP → O triângulo ABC é congruente ao triângulo MNP (LAAO)
Você já sabe o que é congruência de triângulos e também conhece todos os casos
de congruência. Vamos, então, fazer um exemplo.
Veja:
Um bloco de pedra tem a forma de um triângulo como no desenho abaixo. Calcular
x, y e o comprimento de uma moldura para esse bloco.
Sabendo-se que AB = x, AD= 1, BC = 0,5 e CD = 0,3y +0,1
Observação: A unidade de medida usada é o metro.
Veja a solução:
Perceba que o traço em AD e em DC indica que AD = DC , ou seja, o tamanho
de AD é o mesmo de DC .
Lado → AD = DC
Resolvendo a equação, temos:
Ângulo → ADB = BDC
0,3y = 1 – 0,1
0,3y = 0,9
y=
Lado→ DB (comum aos dois triângulos
ABD e DBC)
0, 9
=3
0, 3
∆ABC ≡ ∆DBC por LAL (terceiro caso de congruência de triângulo)
Como ABC é congruente ao triângulo DBC ⇒ AB = BC . Então, x = 0,5. AC = 1
• Para se calcular o comprimento da moldura do bloco, devemos calcular o
perímetro desse triângulo, ou seja: AD + DC + AC = 1 + 1 + 1.
Portanto, x= 0,5; y = 3 e o comprimento da moldura: 3 metros.
Agora é com você! Chegou o momento de praticar um pouco para fixar os conceitos.
Atividade
1
Atende ao Objetivo 1
Considere as afirmações:
I. Se dois ângulos  e B de um triângulo são congruentes aos ângulos C e D,
respectivamente, de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.
II. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
III. Dois triângulos que têm dois lados e um ângulo respectivamente congruentes
são triângulos congruentes.
IV. Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a
esse lado respectivamente congruentes são triângulos congruentes.
Assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas, a alternativa que
apresenta a seqüência CORRETA é:
a. VFFV
b. VVFF
c. VVVF
d. FVFV
e. FFVV
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
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Como AD = DC ⇒ 0,3y +0,1 = 1
Semelhança de triângulos
Ao estudar semelhança de triângulo, veremos a importância da matemática na
vida prática. Por exemplo, se um dia formos construir uma ponte de madeira e
precisarmos saber quanto de material precisaremos comprar para fazer essa ponte,
podemos fazer os cálculos utilizando semelhança de triângulo, sem precisar
atravessar o rio.
Iwan Beijes
e-Tec Brasil - Matemática Instrumental
322
Fonte: www.sxc.hu
Figura 13.2: Usando a semelhança de triângulos é possível descobrir a que
distância está o barco inimigo.
Novamente, você precisa ter a idéia de semelhança. Veja que duas figuras são
semelhantes quando têm a mesma forma, mas não têm necessariamente o mesmo
tamanho. Se duas figuras S e T são semelhantes, denotamos:
S ~ T.
Observe:
Dois triângulos são semelhantes, se, e somente se, possuem os três ângulos
HOMÓLOGOS
Elementos que, em
figuras semelhantes, estão
dispostos da mesma
maneira.
Se os homólogos são proporcionais, então a razão entre os lados homólogos é
uma constante. (Reveja a Aula 7 sobre Regra de três simples).
Assim,
a b c
= =
d e f
O homólogo do lado b (do triângulo ABC) é o lado e (do triângulo DEF). Veja que
os ângulos  e C correspondem aos ângulos D$ e F$ respectivamente.
Agora pense um pouco!
Seguindo o raciocínio análogo ao anterior, responda:
i. Qual é o lado homólogo do lado a (do triângulo ABC)?
ii. Qual é o lado homólogo do lado c (do triângulo ABC)?
••• Pensou? Agora veja a resposta:
i. O homólogo do lado a (do triângulo ABC) é o lado d (do triângulo DEF).
ii. O homólogo do lado c (do triângulo ABC) é o lado f (do triângulo DEF).
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
ordenadamente congruentes e os lados HOMÓLOGOS proporcionais.
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324
Atenção!
CUIDADO: Não confunda congruência com semelhança de triângulos.
• Dois triângulos são congruentes quando são iguais.
• Dois triângulos são semelhantes quando têm os lados homólogos proporcionais.
Os triângulos semelhantes podem ter lados com tamanhos diferentes.
Vamos fazer mais um exemplo:
Observe os dois triângulos semelhantes na figura a seguir. Você sabe dizer qual
o valor de x?
x
A partir da semelhança, podemos determinar o valor de x. Identificando os lados
homólogos e montando a proporção, temos:
3 4
=
6 x
Resolvendo a proporção, temos:
3x = 6 . 4 ⇒ 3x = 24 ⇒ x =
24
⇒x=8
3
Saiba mais...
Medindo através das sombras
Conta a lenda que, quando o matemático e filósofo grego Tales (século VI
a.C.) chegou ao Egito, os sacerdotes pediram-lhe que averiguasse a altura da
pirâmide de Quéops, construída por volta de 2500 a.C., e considerada uma das
grandes maravilhas do mundo antigo. Tales traçou uma linha no solo, marcando
nela sua altura e esperou que sua sombra, projetada pelo sol, ficasse igual à sua
Andrea De Stefani
altura; nesse momento, mediu a sombra projetada pela pirâmide.
Fonte: www.sxc.hu
O matemático respondeu aos sacerdotes: “Agora que minha sombra é igual
à minha altura, o comprimento da sombra da pirâmide deve coincidir com
o comprimento de sua altura”. Esse é o conceito de semelhança e, com ele,
podemos medir a altura de edifícios, árvores, postes telefônicos usando apenas
a sombra que projetam no solo.
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
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Na seqüência, tem duas atividades para você praticar. Faça as atividades com
atenção e se for necessário volte ao início desta seção para reforçar o estudo.
Atividade
2
Atende ao Objetivo 2
Um edifício projeta uma sombra de 30m, ao mesmo tempo que um poste de 12m
projeta uma sombra de 4m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o
poste são perpendiculares ao solo?
Atividade
3
Atende ao Objetivo 2
⇒ AB ,=para
BC atravessar uma lagoa com as medidas
Se você pretende construir uma ponte
da figura a seguir, sabendo-se que será usada uma tábua retangular de 1 metro de
Ricardo Ferreira Paraizo
largura, a área total de tábua necessária para se fazer essa ponte será de:
A
Dados: AC = 20 m
a. 10 m²
e. 50 m²
AD = 6 m
AE = 5m
DE // BC
b. 24 m²
c. 30 m²
d. 45 m²
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
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Teorema de Tales
Você ficará surpreso com tantas aplicações diferentes para este teorema: Desde
o cálculo da altura de prédios, distâncias de navios ou aviões até o modo
certo de aumentar o almoço de domingo! Você vai ver que tudo isso trata de
proporcionalidade de números (ou regra de três).
Observe, na figura a seguir, uma vassoura caída sobre uma escada.
Veja que o cabo da vassoura forma ângulos iguais com todos os degraus. Isso só
acontece porque os degraus são todos horizontais, ou seja, paralelos.
Observe que, quando retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos
formados numa das retas paralelas são correspondentes e iguais aos ângulos da outra.
E quando as retas paralelas são cortadas por duas retas transversais? Sabe o que
acontece?
feixe de retas (um conjunto de três ou mais retas) paralelas é cortado por duas
transversais, se os segmentos numa das retas forem iguais ( AB = BC = 1), então
os segmentos na outra reta também serão ( A ’ B ’ = B ’ C ’ = 11,5).
, 5
Ou seja:
1 1, 5
=
⇒ x = 1, 5
1
x
Mas, e quando os segmentos da primeira reta não forem iguais? Como mostra a
figura a seguir, onde AB = 1 e BD = 2 .
Dizemos que estes quatro números são proporcionais, ou seja, 1 está para 2,
assim como 1,5 está para x = ?. Montamos, assim, a proporção:
1 1, 5
=
⇒x=3
2
x
E concluímos que B ’ C ’ = 3 .
329
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
Essas retas paralelas e transversais geram segmentos proporcionais. Quando um
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330
Atenção!
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos
de retas proporcionais.
x
y
=
z
t
=
p
q
Veja um exemplo do dia-a-dia onde podemos aplicar o teorema de Tales.
Tereza quer saber qual entre dois crediários é o mais vantajoso. Na Loja MARQUITO
MÓVEIS um armário custa R$ 410,00 à vista. Já na Loja MÓVEIS GRAJAÚ, o mesmo
armário sai por duas parcelas: a primeira de R$ 200,00 e a segunda, no próximo
mês, de R$ 231,00. Considerando que a inflação prevista é de 5% no próximo mês,
qual dos dois crediários sai mais “em conta” para a Tereza?
Para resolver esse problema, vamos analisar as informações num gráfico. Veja:
De acordo com a inflação, os valores em reais para o próximo mês ficarão 5% mais
caros. Montando a proporção, temos:
100 105
=
x
231
extremos (100 e 231). Assim, 105x = 23100 e, então, x = 220. Isso significa que,
em valores de hoje, os R$231,00 que a Tereza pagaria no próximo mês equivalem
a R$220,00.
Dessa forma, a loja MÓVEIS GRAJAÚ estaria cobrando R$200,00 + R$220,00 =
R$420,00 pelo armário, enquanto a loja MARQUITO MÓVEIS cobra R$410,00 que
é, portanto, a melhor opção de compra.
Agora, é a sua vez de colocar a mão na massa. Faça a próxima atividade para
verificar seu aprendizado e depois leia o resumo da aula.
Atividade
4
Atende ao Objetivo 3
A figura a seguir mostra um mapa com três estradas paralelas (r//s//t) que são
cortadas por duas vias transversais. Determine a distância x entre os cruzamentos
dessas vias e estradas indicadas no mapa (em km).
331
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
Logo, para achar o valor x, basta fazer o produto dos meios (x e 105) pelos
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332
Resumindo...
• Reconhecer se um triângulo é congruente ao outro é muito simples,
pois basta verificar se são iguais. Mas quando o assunto for semelhança de
triângulo é importante dedicar bastante atenção ao mesmo, pois você verá
muita aplicação em algumas disciplinas técnicas do seu curso.
• Casos de congruência de triângulos:
1º Caso de congruência de triângulos: Lado - Lado – Lado: LLL
2º Caso de congruência de triângulos: Ângulo – Lado - Ângulo: ALA
3º Caso de congruência de triângulos: Lado – Ângulo – Lado : LAL
4º Caso de congruência de triângulos: Lado – Ângulo adjacente – Ângulo
oposto : LAAO
• Semelhança de triângulos: Duas figuras são semelhantes quando têm a
mesma forma, mas não têm necessariamente o mesmo tamanho. Se duas
figuras S e T são semelhantes, denotamos: S ~ T.
• Dois triângulos são semelhantes, se e somente se, possuem os três
ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Se os homólogos são proporcionais, então a razão entre os lados homólogos
é uma constante.
• Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas
transversais, segmentos de retas proporcionais.
x
y
=
z
t
=
p
q
Na próxima aula, vamos para o espaço. É isso mesmo, estou falando da geometria
espacial. Até lá!
Respostas das Atividades
Atividade 1
• A afirmação I é FALSA, pois os casos de congruências são: LAL – ALA – LLL
– LAAo. Dois triângulos com 3 ângulos iguais são semelhantes, mas podem não
ser congruentes.
• A afirmativa II é VERDADEIRA, pois as diagonais de um trapézio isósceles são
congruentes. Veja:
Podemos ver que o ∆ABD é congruente ao ∆ABC (3º caso de congruência de
triângulos – LAL). Se os triângulos são congruentes, os lados de um têm as
mesmas dimensões do outro. Assim sendo, a diagonal BD é igual à diagonal AC.
• A afirmativa III é FALSA, o certo é: “Dois triângulos que têm dois lados e o
ângulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes são triângulos
congruentes – LAL”.
• A afirmativa IV é VERDADEIRA, veja o 4º caso de congruência LAAo.
Portanto, a resposta é a alternativa d.
Atividade 2
Para resolver este problema, vamos esboçar os triângulos semelhantes no desenho
a seguir.
333
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
Informação sobre a próxima aula
334
Como podemos ver, o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF, pois  = F
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= 90° e, como os raios solares se propagam em linha reta e são paralelos, BC é
paralela a DE , isto quer dizer que B = E , conseqüentemente C = D .
Os lados homólogos são proporcionais:
x 30
=
⇒ 4x = 360 ⇒ x = 90m
12 4
Logo, a altura do edifício é 90 metros.
Atividade 3
Vamos separar o
∆ABC e ∆ADE
$
Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, pois B$ ≡ D$ , C$ ≡ E$ e µA ≡ A
Então, os lados homólogos são proporcionais:
x 20
=
6 5
5x = 6.20
x=
20.6
= 4.6 = 24m
5
Área do retângulo b.h = 24.1 = 24 m²
Assim, a área total de tábua necessária para se fazer essa ponte será de 24 m²
Aula 13 – Congruência e semelhança de triângulos
(letra b)
Atividade 4
Podemos desmembrar a figura assim:
Aplicando o Teorema de Tales, teremos:
x −3 x −2
=
x
x+2
A propriedade distributiva da multiplicação
em relação à adição
(x - 3)(x + 2) = x(x - 2)
335
Multiplica cada um dos termos de uma expressão
por todos os termos da outra expressão.
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
x² + 2x -3x – 6 = x² - 2x
Vamos passar tudo para o 1º membro (não podemos nos esquecer de trocar o sinal
dos termos ao passá-los do 2º membro para o 1º membro)
x² + 2x -3x – 6 – x² +2x = 0
x–6=0
x=6
Logo, a distância x é igual a seis 6 (letra c).
e-Tec Brasil - Matemática Instrumental
336
Referências bibliográficas
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamento de Matemática Elementar.
Geometria Plana v.9. 6. ed. São Paulo: Atual, 1985.
Referências complementares
GIOVANNI, José Ruy. et al. A Conquista da Matemática: 8ª série. São Paulo: FTD,
2002.
IEZZI Gelson. et al. Matemática e Realidade: 8. série. 5. ed. São Paulo. Atual,
2005.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática, idéias e desafios: 8ª série. São
Paulo: Saraiva, 2006.