Vestibular 2008 – UNIFEI – Prova 3 – Matemática

Vestibular 2008 – UNIFEI – Prova 3 – Matemática - 20/01/2008
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Questão 1
Um pai tem, hoje, 50 anos e os seus três filhos têm 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a quantos anos a soma das
idades dos três filhos será igual à idade do pai?
Resposta:
Daqui a x anos, tem-se: 5 + x + 7 + x + 10 + x = 50 + x
Portanto x = 14 anos
Questão 2
Durante quanto tempo deve ser aplicado um determinado capital, a juros simples e à taxa de 0,75% ao mês para que o
montante, no final da aplicação, seja igual a
9
5
do capital aplicado?
Resposta:
Tem-se: M = c + j , onde M = montante, c = capital e j = juros
i .t ⎞
9
9t ⎞
⎛
⎛
M = c ⎜1 +
c = c ⎜1 +
⎟ ⇒
⎟
100
5
100
⎝
⎠
⎝
⎠
Resolvendo, obtém-se: t = 8 anos, 10 meses e 20 dias
Questão 3
Para que valores de
Resposta:
m∈ℜ
a equação
x 2 + (2m + 1)x + (m − 2 ) = 0
admite raízes reais, distintas e ambas negativas?
⎧S < 0 (soma das raízes )
Como as raízes são ambas negativas, tem-se: ⎨
⎩P > 0 ( produto das raízes )
Nessas condições, obtém-se: m > 2
Questão 4
Considere o Sistema Linear Homogêneo:
⎧− 2 x − 2 y + 3az = 0
⎪
S : ⎨2 x + by + 2 z = 0
⎪cx + 2 y − 2 z = 0
⎩
, em que os números positivos a , b e c são
diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 , respectivamente. Qual deve ser o valor de
admita infinitas soluções?
Resposta:
Deve-se ter D = 0 , onde D = determinante da Matriz dos Coeficientes.
a b c
Além disso, deve-se ter
= =
1 2 3
2
4
a = ;b = ;c = 2
3
3
Resolvendo, obtém-se a , b e c, tais que 6a + 3b + c = 10
(6a + 3b + c ) para que esse sistema
Questão 5
Represente no plano complexo a região que satisfaz a inequação
z < 2 z + 1 , onde z = x + iy
e i 2 = −1 (i é a unidade
imaginária).
Resposta:
Região do plano xy exterior à circunferência de centro
⎛ 2 ⎞
⎜ − ,0 ⎟
⎝ 3 ⎠
e raio
1
.
3
AB
mede
6 cm
Questão 6
As retas r, s e t da figura abaixo são paralelas. O segmento
Quanto mede o segmento
EF ?
e o segmento
CD
mede
4 cm .
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s
r
t
F
A
D
E
C
B
Resposta:
Verifica-se que ΔABE ~ ΔCDE e ΔBEF ~ ΔBCD
Aplicando-se essas condições, resulta EF = 12 cm
Questão 7
O cubo da figura abaixo tem arestas medindo 5 cm . Nele está inscrita uma pirâmide ABCDE, onde B e D são os pontos
médios das arestas do cubo. Calcule o volume do sólido obtido quando retiramos a pirâmide do cubo.
A
B
D
C
E
Resposta:
Tem-se: Vsólido = Vcubo − V pirâmide
Calculando: Vsólido = 125 −
125 625
cm 3
=
6
6
Questão 8
Da geometria Plana, sabe-se que existe um único triângulo retângulo cujos lados têm por medidas três números inteiros e
consecutivos, que é o chamado Triângulo Pitagórico.
Considere, então, como Espaço Amostral, o conjunto de todos os triângulos retângulos semelhantes ao Triângulo Pitagórico
(incluindo o próprio) e que tenham como medida do menor cateto um número inteiro que não exceda a 59.
Escolhendo-se ao acaso um desses triângulos, qual é a probabilidade de que ele tenha por medida da hipotenusa um
número múltiplo de 3 ou de 4?
Resposta:
Tem-se 19 triângulos retângulos semelhantes ao Triângulo Pitagórico (incluindo ele próprio) cujos catetos menores medem
menos que 59. Desses, 6 deles têm por medida da hipotenusa um número múltiplo de 3 e quatro deles têm por hipotenusa
um número divisível por 4. Portanto,
P=
9
.
19
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Questão 9
A , B e C conjuntos constituídos por números Reais, encontre o conjunto C , sabendo que:
A ∪ B ∪ C = {x ∈ ℜ / 10 − 2 x ≥ 0}
Sendo
⎧
⎫
2⎞
⎛
A ∩ C = ⎨ x ∈ ℜ / ( x + 4).⎜ x − ⎟ ≤ 0 ou x 2 − 6 x + 8 ≤ 0⎬
3⎠
⎝
⎩
⎭
B ∩ C = {x ∈ ℜ / ( x − 3)(
. 4 − x ) ≥ 0}
A = {x ∈ ℜ / (3 x − 2 )(
. x − 4 )(
. 2 − x ) ≥ 0}
2
B = {x ∈ ℜ / x − 8 x + 15 ≤ 0}
Resposta:
2
⎧
⎫
A = ⎨x ∈ ℜ / x ≤
ou 2 ≤ x ≤ 4⎬
3
⎩
⎭
B = {x ∈ ℜ / 3 ≤ x ≤ 5}
C = {x ∈ ℜ / − 4 ≤ x ≤ 4}
Questão 10
( )
O triângulo retângulo ABC , de vértices A 3,6 ,
Determine a Equação Geral dessa circunferência.
B (− 3,6 )
e
C (3,14 ) , está inscrito numa circunferência.
Resposta:
Como o triângulo é retângulo e está inscrito numa circunferência, então a sua hipotenusa é um dos diâmetros dessa
circunferência. Calculando as medidas dos lados desse triângulo, conclui-se que a sua hipotenusa é o segmento BC .
Portanto, a Equação Geral dessa circunferência será:
x 2 + y 2 − 20 y + 75 = 0