Matemática

Vestibular 2008 – UNIFEI – Prova 3 – Matemática - 20/01/2008
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Questão 1
Um pai tem, hoje, 50 anos e os seus três filhos têm 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a quantos anos a soma das
idades dos três filhos será igual à idade do pai?
Resposta:
Daqui a x anos, tem-se: 5  x  7  x  10  x  50  x
Portanto x  14 anos
Questão 2
Durante quanto tempo deve ser aplicado um determinado capital, a juros simples e à taxa de 0,75% ao mês para que o
montante, no final da aplicação, seja igual a
9
5
do capital aplicado?
Resposta:
Tem-se: M  c  j , onde M = montante, c = capital e j = juros
i .t 
9
9t 


M  c 1 
c  c 1 
 

100
5
100




Resolvendo, obtém-se: t = 8 anos, 10 meses e 20 dias
Questão 3
Para que valores de
Resposta:
m 
a equação
x 2  2m  1x  m  2  0
admite raízes reais, distintas e ambas negativas?
S  0 (soma das raízes)
Como as raízes são ambas negativas, tem-se: 
P  0 ( produto das raízes)
Nessas condições, obtém-se: m  2
Questão 4
Considere o Sistema Linear Homogêneo:
 2 x  2 y  3az  0

S : 2 x  by  2 z  0
cx  2 y  2 z  0

, em que os números positivos a , b e c são
diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 , respectivamente. Qual deve ser o valor de
admita infinitas soluções?
Resposta:
Deve-se ter D  0 , onde D = determinante da Matriz dos Coeficientes.
a b c
 
Além disso, deve-se ter
1 2 3
2
4
a  ;b  ;c  2
3
3
Resolvendo, obtém-se a , b e c, tais que 6a  3b  c  10
6a  3b  c para que esse sistema
Questão 5
Represente no plano complexo a região que satisfaz a inequação
z  2 z  1 , onde z  x  iy
e i 2  1 (i é a unidade
imaginária).
Resposta:
Região do plano xy exterior à circunferência de centro
 2 
  ,0 
 3 
e raio
1
.
3
AB
mede
6 cm
Questão 6
As retas r, s e t da figura abaixo são paralelas. O segmento
Quanto mede o segmento
EF ?
e o segmento
CD
mede
4 cm .
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s
r
t
F
A
D
E
C
B
Resposta:
Verifica-se que ABE ~ CDE e BEF ~ BCD
Aplicando-se essas condições, resulta EF  12 cm
Questão 7
O cubo da figura abaixo tem arestas medindo
5 cm . Nele está inscrita uma pirâmide ABCDE, onde B e
D são os pontos
médios das arestas do cubo. Calcule o volume do sólido obtido quando retiramos a pirâmide do cubo.
A
B
D
C
E
Resposta:
Tem-se: Vsólido  Vcubo  V pirâmide
Calculando: Vsólido  125 
125 625

cm 3
6
6
Questão 8
Da geometria Plana, sabe-se que existe um único triângulo retângulo cujos lados têm por medidas três números inteiros e
consecutivos, que é o chamado Triângulo Pitagórico.
Considere, então, como Espaço Amostral, o conjunto de todos os triângulos retângulos semelhantes ao Triângulo Pitagórico
(incluindo o próprio) e que tenham como medida do menor cateto um número inteiro que não exceda a 59.
Escolhendo-se ao acaso um desses triângulos, qual é a probabilidade de que ele tenha por medida da hipotenusa um
número múltiplo de 3 ou de 4?
Resposta:
Tem-se 19 triângulos retângulos semelhantes ao Triângulo Pitagórico (incluindo ele próprio) cujos catetos menores medem
menos que 59. Desses, 6 deles têm por medida da hipotenusa um número múltiplo de 3 e quatro deles têm por hipotenusa
um número divisível por 4. Portanto,
P
9
.
19
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Questão 9
A , B e C conjuntos constituídos por números Reais, encontre o conjunto C , sabendo que:
A  B  C  x   /10  2x  0
Sendo


2

A  C   x   / x  4. x    0 ou x 2  6 x  8  0
3



B  C  x   /x  3
. 4  x  0
A  x   /3x  2
. x  4
. 2  x  0
2
B  x   / x  8x  15  0


Resposta:
2


A  x   / x 
ou 2  x  4
3


B  x   / 3  x  5
C  x   /  4  x  4
Questão 10
O triângulo retângulo
ABC , de vértices A3,6 , B 3,6 e C 3,14, está inscrito numa circunferência.
Determine a Equação Geral dessa circunferência.
Resposta:
Como o triângulo é retângulo e está inscrito numa circunferência, então a sua hipotenusa é um dos diâmetros dessa
circunferência. Calculando as medidas dos lados desse triângulo, conclui-se que a sua hipotenusa é o segmento BC .
Portanto, a Equação Geral dessa circunferência será:
x 2  y 2  20 y  75  0