Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA
Noções de Aritmética
• Professor
Marcelo Gonzalez Badin
Divisão em IN
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•
a é chamado dividendo Sendo a, b, q e r naturais
b é chamado divisor
q é chamado quociente
r é chamado resto
Obs: Se ao dividir a por b encontramos r = 0, a divisão
é chamada exata. Isso equivale a dizer que a é divisível
por b (b é divisor de a), ou ainda: a é múltiplo de b.
a b
r q
a b
r q
r<b
a = bq + r
1.(PUC/Campinas) Seja x um número natural que ao ser dividido
por 9 deixa resto 5 e ao ser dividido por 3 deixa resto 2. Sabendo-se
que a soma dos quocientes é 9, podemos afirmar que x é igual a:
a) 28 b) 35 c) 27 d) 33 e) 23
x 9 Þ x = 9a + 5
5 a
9a + 5 = 3b + 2
9a – 3b = – 3 (Divide por 3)
x 3 Þ x = 3b + 2
2 b
3a – b = – 1
+
a+b=9
a+b=9
4a = 8
a=2
Portanto, x = 9.2 + 5 = 23
x = 23
2. Determine o maior número natural que dividido por 5 fornece
quociente igual ao resto.
Seja x o número procurado
a<5
x 5
a a
x = 5a + a
x = 6a
Como a é um número natural menor que 5, isto é: a {0, 1, 2, 3, 4}
O maior x ocorre para a = 4
O número é 24
Portanto x = 6.4 = 24
máx
3. (UNIUBE-MG) Sejam m e n dois números naturais, tais que quando
cada um deles for dividido por 6, obtém-se o mesmo resto, sendo este
resto igual a 5. Desse modo, o resto da divisão de m + n por 6 é igual a
Uma boa estratégia num teste é chutar
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2
m
5
n
5
6 Þ m = 6a + 5
a
+
6 Þ n = 6b + 5
b
m + n = 6a + 5 + 6b + 5
m + n = 6a + 6b + 10
m + n = 6a + 6b + 6 + 4
m + n = 6(a + b + 1) + 4
m+n 6
4 a + b +1
valores para a e b e encontrar possíveis m e n.
Fazendo a = 1 e b = 2, encontramos
m = 11 e n = 17. Assim, m + n = 28
28 6
4 4
Observe que 6a e 6b são divisíveis por 6
(resto zero). Logo, o resto procurado
será igual ao resto da divisão de 10 por 6.
10 6
4 1
Sistema de numeração decimal (base 10)
xy x vezes y
Nosso sistema de numeração é chamado decimal.
Considere o número
Podemos escrever todos os números utilizando os
de 2 algarismos xy
10 algarismos (dígitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Notação: xy
xy = 10x + y
2583 = 2.1000 + 5.100 + 8.10 + 3
2583 = 258.10 + 3
xyz = 100x + 10y + z
2583 = 25.100 + 83
=
xyz 10xy + z
2583 = 2.1000 + 583
467 = 4.100 + 6.10 + 7
abcd = 1000a + 100b +10c + d
467 = 46.10 + 7
= 10abc + d
abcd
100x + 10y + z = 735
=
abcd 100ab + cd
xyz = 735
x = 7, y = 3 e z = 5
=
abcd 1000a + bcd
4. (UFCE) Um número positivo N, de dois algarismos, é tal que ao
inverterem-se os dois algarismos, o novo número assim obtido excede
N em 27 unidades.
Se a soma dos algarismos de N é igual a 11, qual o valor de N?
Outro modo:
Seja N = ab com a + b = 11
• a e b são dígitos
Temos: ba
= ab + 27
• a + b = 11
10b + a = 10a + b + 27
• a<b
(divide
por
9)
9b – 9a = 27
Temos as seguintes possibilidades:
b–a=3
a b
a + b = 11
Como ba= ab + 27
+
2 9
b–a=3
a=4eb=7
3 8
2b = 14 Þ b = 7
4 7
 N = 47
a + 7 = 11 Þ a = 4
5 6
Portanto, N = 47
5.(Cesgranrio) Seja cdu um número de 3 algarismos, onde c > u.
Então, cdu − udc é sempre múltiplo de:
É claro que, sendo um teste,
chutar valores para c, d e u
a) 2 b) 5 c) 7 d) 11 e) 17
é uma estratégia válida.
100c + 10d + u – (100u + 10d + c) 725 – 527 = 198
cdu − udc =
100c + 10d + u – 100u – 10d – c Cuidado: dependendo dos
cdu − udc =
99c – 99u (Fatora)
cdu − udc =
99(c – u)
cdu − udc =
números chutados, pode
haver mais que uma
alternativa que pareça certa.
Inteiro
Esse número é múltiplo de 99 e, consequentemente,
múltiplo dos divisores de 99.
Dentre as alternativas, o único divisor de 99 é 11.
6. (Fuvest-2006) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos
396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N.
Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N
é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Seja N = xyz com x + z = 8
Temos: xyz − 396 =
zyx
100x + 10y + z – 396 = 100z + 10y + x
99x – 99z = 396 (Divide por 99)
x–z=4
x+z=8
x–z=4
2x = 12
x=6
+
P a−b
2 15
N a+b
8
6
Nas divisões acima, N = ab e P = ba são números naturais formados pelos algarismos a e b.
O valor de N – P é:
a) 25
P a − b Þ P = 15(a – b) + 2
N
a
+
b
Þ N = 6(a + b) + 8
b) 27
2 15
8
6
c) 31
10b + a = 15a – 15b + 2
10a
+
b
=
6a
+
6b
+
8
d) 43
25b – 14a = 2
e) 45
4a – 5b = 8 (x 5)
20a – 25b = 40
25b – 14a = 2
6a = 42
a=7
4.7 – 5b = 8
Portanto, N = 74 e P = 47
– 5b = – 20
b=4
Assim, N – P = 27
N − P = ab − ba = 10a + b – (10b + a) = 10a + b – 10b – a
N – P = 9a – 9b (Fatora)
N – P = 9(a – b) (Múltiplo de 9)
(Mack-2007) Um número primo e positivo é formado por 2 algarismos não nulos. Se,
entre esses algarismos, colocarmos um zero, o número ficará aumentado em 360
unidades. Dessa forma, a soma desses 2 algarismos pode ser
a) 8
b) 7
c) 6
d) 9
e) 10
Seja N = xy (x·y ¹ 0) o número primo procurado.
Os possíveis valores de N são:
Temos: x0y = xy + 360
100x + y = 10x + y + 360
41 (soma dos algarismos 5)
90x = 360 (Divide por 90)
x=4
43 (soma dos algarismos 7)
\ N é um número primo com
algarismo das dezenas igual a 4
47 (soma dos algarismos 11)
(GV-E-10) Sejam x e y a soma e o produto, respectivamente, dos dígitos de um
número natural. Por exemplo, se o número é 142, então x = 7 e y = 8. Sabendo-se que
N é um número natural de dois dígitos tal que N = x + y, o dígito da unidade de N é
A) 2.
Seja N = du a representação decimal dos algarismos de N, em que d (d ≠ 0)
B) 3.
representa o algarismo das dezenas e u o algarismo das unidades.
C) 6.
Como N = x + y, temos:
D) 8. Do enunciado:
E) 9.
x=d+u
du = d + u + d⋅u
y = d⋅u
10d + u = d + u + d⋅u
9d = d⋅u
u=9
(d ≠ 0)
(Unicamp) Um número inteiro positivo de três algarismos termina em 7. Se este
último algarismo for colocado antes dos outros dois, o novo número assim formado
excede de 21 o dobro do número original. Qual é o número inicial? Justifique sua
resposta.
Seja N = xy7 o número procurado.
Temos: 7xy = 21 + 2 ⋅ xy7
700 + xy =
21 + 2 ⋅ (10xy + 7)
700 + xy =
21 + 20xy + 14
665 = 19xy (Divide por 19)
xy = 35 Þ x = 3 e y = 5
O número inicial é 357
(Fuvest) A diferença entre dois números inteiros positivos é 10. Ao multiplicar um
pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das
dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor
dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois números.
533
573
Sejam os inteiros positivos x e x +10.
– 40
Multiplicando um pelo outro:
Resultado correto = x·(x +10)
Resultado obtido = x·(x +10) – 40
x·(x +10) – 40 x
Û x·(x +10) – 40 = x·39 + 22
39
22
x2 +10x – 40 = 39x + 22
x = 31
x2 – 29x – 62 = 0
x = –2
S = 29
P = – 62
Os números são 31 e 41
(Unifesp) Um número inteiro n, quando dividido por 7, deixa resto 5.
Qual será o resto na divisão de n2 + n por 7? Uma boa estratégia num teste é chutar
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
valores para a encontrar possíveis n.
n 7 Þ n = 7a + 5
Fazendo a = 1 encontramos n = 12
Assim, n2 + n = 156
5 a
156 7
n2 + n = (7a + 5)2 + 7a + 5
2 22
2
2
n + n = 49a + 70a + 25 + 7a + 5
Observe que 49a2 e 77a são divisíveis por
n2 + n = 49a2 + 77a + 30
n2
+n=
49a2
+ 77a + 28 + 2
n2 + n = 7(7a2 + 11a + 4) + 2
n2 + n
2
7
7a 2 + 11a + 4
7 (resto zero). Logo, o resto procurado
será igual ao resto da divisão de 30 por 7.
30 7
2 4
(Unicamp) Dividindo-se 7040 por n, obtém-se resto 20.
Dividindo-se 12384 por n, obtém-se resto 9. Ache n.
7040 n Þ 7040 = na + 20
7020
20 a
na = 7020 ⇔ a =
n
12384 n Þ 12384 = nb + 9
12375
9 b
nb = 12375 ⇔ b =
n > 20
n
Como a, b e n são inteiros positivos,
n é divisor de 7020 e 12375
n é divisor do MDC(7020,12375)
n é divisor de 45 \ n Î {1, 3, 5, 9, 15, 45}
Como n > 20, n = 45
(Fuvest)
1abc
x3
abc4
Acima está representada uma multiplicação, onde os algarismos
a, b e c são desconhecidos. Qual o valor da soma a + b +c?
a) 5 b) 8 c) 11 d) 14 e) 17
1abc ⋅ 3 =
abc4
(1000 + abc ) ⋅ 3 =10abc + 4
3000 + 3abc = 10abc + 4
a + b + c = 4 + 2 + 8 = 14
7abc = 2996 (Divide por 7)
abc = 428
a=4
100a + 10b + c =
428
b=2
abc = 428
c=8
(Fuvest) Com os algarismos x, y e z, que representam inteiros e 1 a 9,
formamos os números xy e yx cuja soma é o número zxz . Qual a diferença y – x?
a) 3
o valor máximo de xy é 99
xy + yx ≤ 198
xy
22
≤
b) 4
+ yx
(xy + yx)máximo = 198
Þ
z
=
1
c) 5
o valor mínimo de xy é 11
zxz
d) 6
(xy + yx)mínimo = 22
e) 7
xy
+ yx
1x1
y + x termina em 1
2 ≤ y + x ≤ 18
Þ y + x = 11
1
x=2 Þy=9
xy
+ yx
12 1
\y–x=7
(x + y)máximo = 18
(x + y)mínimo = 2
(OMU) Um motorista viaja com velocidade constante quando vê uma placa com os
algarismos xy indicando um dos marcos da estrada, em quilômetros. Uma hora depois,
passa pelo marco yx e após mais uma hora pelo marco x0y. É evidente que os marcos
Determine x, y e a velocidade do carro.
estão em ordem crescente
1 hora
1 hora
km
km
km
km
xy
16
km
yx
61
km
x0y
106
A distância percorrida por hora é constante
yx – xy = x0y – yx
10y + x – (10x + y) = 100x + y – (10y + x)
10y + x – 10x – y = 100x + y – 10y – x
9y – 9x = 99x – 9y (Divide por 9)
y – x = 11x – y
2y = 12x (Divide por 2)
y = 6x
x e y são dígitos
x = 0 Þ y = 0 (não convém)
x=1 Þy=6
x = 2 Þ y = 12(não convém)
\x=1ey=6
A velocidade do carro é
45 km/h
(61 – 16 )