b - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA
Noções de Aritmética
• Professor
Marcelo Gonzalez Badin
Múltiplo e Divisor
• Dados dois inteiros a e b, dizemos que a
é múltiplo de b se existe um inteiro m tal
que:
a = mb
• Nessas condições, também se diz que b
é um fator (ou divisor) de a.
Divisão Euclidiana
Divisão em IN
•
•
•
•
•
23 7
2 3
a é chamado dividendo
b é chamado divisor
q é chamado quociente
r é chamado resto
Obs: Se ao dividir a por b encontramos r = 0, a divisão
é chamada exata. Isso equivale a dizer que a é divisível
por b (b é divisor de a), ou ainda: a é múltiplo de b.
a b
r q
23 7
2 3
“prova”
23 = 7.3 + 2
Sendo a, b, q e r naturais, temos:
a
b
r<b
r
q
a = bq + r
Quando r = 0, dizemos que b divide a
(b é divisor de a) a é múltiplo de b
1.(PUC/Campinas) Seja x um número natural que ao ser dividido
por 9 deixa resto 5 e ao ser dividido por 3 deixa resto 2. Sabendo-se
que a soma dos quocientes é 9, podemos afirmar que x é igual a:
a) 28 b) 35 c) 27 d) 33 e) 23
x 9 ⇒
x = 9a + 5
5 a
9a + 5 = 3b + 2
x 3 ⇒
x = 3b + 2
2 b
3a –b = –1
+
a+b=9
a+b=9
9a – 3b = –3 (Divide por 3)
4a = 8
a=2
Portanto, x = 9.2 + 5 = 23
x = 23
2. Determine o maior número natural que dividido por 5 fornece
quociente igual ao resto.
Seja x o número procurado
a<5
x 5
a a
x = 5a + a
x = 6a
Como a é um número natural menor que 5, isto é: a Œ{0, 1, 2, 3, 4}
O maior x ocorre para a = 4
O número é 24
Portanto x = 6.4 = 24
máx
3. (UNIUBE-MG) Sejam m e n dois números naturais, tais que quando
cada um deles for dividido por 6, obtém-se o mesmo resto, sendo este
resto igual a 5. Desse modo, o resto da divisão de m + n por 6 é igual a
Uma boa estratégia num teste é chutar
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2
m 6 ⇒
m = 6a + 5
5 a
+
n 6 ⇒ n = 6b + 5
5 b
m + n = 6a + 5 + 6b + 5
m + n = 6a + 6b + 10
m + n = 6a + 6b + 6 + 4
m + n = 6(a + b + 1) + 4
m+n 6
4 a + b +1
valores para a e b e encontrar possíveis m e n.
Fazendo a = 1 e b = 2, encontramos
m = 11 e n = 17. Assim, m + n = 28
28 6
4
4
Observe que 6a e 6b são divisíveis por 6
(resto zero). Logo, o resto procurado
será igual ao resto da divisão de 10 por 6.
10 6
4 1
Sistema de numeração decimal (base 10)
xy x vezes y
Nosso sistema de numeração é chamado decimal.
Considere o número
Podemos escrever todos os números utilizando os
de 2 algarismos xy
10 algarismos (dígitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Notação: xy
xy = 10x + y
2583 = 2.1000 + 5.100 + 8.10 + 3
2583 = 258.10 + 3
xyz = 100x + 10y + z
2583 = 25.100 + 83
xyz = 10xy + z
2583 = 2.1000 + 583
abcd = 1000a + 100b +10c + d
467 = 4.100 + 6.10 + 7
467 = 46.10 + 7
xyz = 735
x = 7, y = 3 e z = 5
abcd = 10abc + d
abcd = 100ab + cd
abcd = 1000a + bcd
4. (UFCE) Um número positivo N, de dois algarismos, é tal que ao
inverterem-se os dois algarismos, o novo número assim obtido excede
N em 27 unidades.
Se a soma dos algarismos de N é igual a 11, qual o valor de N?
Seja N = ab , com a + b = 11
Temos: ba = ab + 27
10b + a = 10a + b + 27
9b – 9a = 27 (divide por 9)
b–a=3
a + b = 11
2+9
3+8
4+7
5+6
a<b
a + b = 11
+
b–a=3
2b = 14
b=7
a + 7 = 11
a = 4 Portanto, N = 47
5.(Cesgranrio) Seja cdu um número de 3 algarismos, onde c > u.
Então, cdu − udc é sempre múltiplo de:
É claro que, sendo um teste,
a) 2 b) 5 c) 7 d) 11 e) 17
chutar valores para c, d e u
cdu − udc = 100c + 10d + u −(100u + 10d + c)
cdu − udc = 99c − 99u (Fatora)
cdu − udc = 99(c − u )
é uma estratégia válida.
Cuidado: dependendo dos
números chutados, pode haver
mais que uma alternativa correta.
Esse número é múltiplo de 99 e, consequentemente,
múltiplo dos divisores de 99.
Dentre as alternativas, o único divisor de 99 é 11.
6. (Fuvest-2006) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos
396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N.
Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N
é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Seja N = xyz , com x + z = 8
Temos: xyz − 396 = zyx
100x + 10y + z – 396 = 100z + 10y + x
99x – 99z = 396 (Divide por 99)
x–z=4
x+z=8
x–z=4
2x = 12
x=6
+
17.(Fuvest)
1abc
x3
abc4
Acima está representada uma multiplicação,onde os algarismos
a, b e c são desconhecidos. Qual o valor da soma a + b +c?
a) 5 b) 8 c) 11 d) 14 e) 17
1abc ⋅ 3 = abc4
(1000 + abc ) ⋅ 3 = 10abc + 4
3000 + 3abc = 10abc + 4
7abc = 2996
abc = 428
a=4
b=2
c=8
(Divide por 7)
∴ a + b + c = 4 + 2 + 8 = 14