Lista 3 - MTM

Curso Básico de Análise - Prof. Leandro Morgado - Verão 2017
Lista 3 - Noções de topologia
1. Considere R com a métrica euclidiana. Seja E ⊂ R um conjunto não vazio e limitado superiormente, tal que
sup(E) ∈
/ E. Mostre que sup(E) é um ponto de acumulação de E.
2. Considere R com a métrica euclidiana. Construa um subconjunto com exatamente cinco pontos de acumulação.
3. Considere R2 com a métrica euclidiana. Prove ou dê contra exemplo:
(a) qualquer ponto de um subconjunto aberto A ⊂ R2 é um ponto de acumulação de A;
(b) qualquer ponto de um subconjunto fechado F ⊂ R2 é um ponto de acumulação de F .
4. Indique quais são os pontos isolados, pontos de acumulação e pontos interiores dos seguintes conjuntos:
(a) M = R, com métrica euclidiana. A = Q.
(b) M = R, com métrica euclidiana. B = Q ∩ (1, 2).
(c) M = R, com métrica zero-um. C = Q.
(d) M = R2 , com métrica euclidiana. D = (0, 1) × [0, 1].
(e) M = R2 com métrica euclidiana. E = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x}.
(f) M = R, com métrica euclidiana. F = { n+1
n : n ∈ N}
(g) M = R, com métrica euclidiana. G = {1} ∪ { n+1
n : n ∈ N}
5. Diga quais conjuntos da questão anterior são abertos, fechados e discretos.
6. Dê um exemplo em que uma interseção infinita de conjuntos abertos não é um conjunto aberto.
7. De um exemplo em que uma união infinita de conjuntos fechados não é um conjunto fechado.
8. Sejam M um espaço métrico, a ∈ A e A ⊂ M um conjunto aberto. Mostre que A \ {a} é um conjunto aberto.
9. Seja M um espaço métrico, E ⊂ M um conjunto finito. Mostre que E é fechado. Dependendo da métrica, E
pode ser aberto?
10. Seja X um espaço métrico, E ⊂ X. Seja int(E) o conjunto dos pontos interiores de E.
(a) Mostre que int(E) é aberto;
(b) Mostre que se E é aberto então E = int(E);
(c) Se G ⊂ E e G é aberto, mostre que G ⊂ int(E);
(d) Mostre que o complementar de int(E) é o fecho do complementar de E.
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11. Considere Rn com a métrica euclidiana. Exiba um subconjunto A ⊂ Rn tal que int(A) = ∅ e A = Rn .
12. Seja M um espaço métrico, X, Y ⊂ M . Mostre que:
(a) X ∪ Y ⊂ X ∪ Y ;
(b) X ∩ Y ⊂ X ∩ Y .
13. Seja M um espaço métrico, E ⊂ M . Para cada uma das afirmações abaixo, prove ou dê um contra exemplo:
(a) int(E) = int(E);
(b) E = int(E);
(c) todo ponto de acumulação de E é um ponto de acumulação do conjunto E 0 ;
(d) todo ponto de acumulação do conjunto E 0 é um ponto de acumulação de E.
14. Seja M um espaço métrico, E ⊂ M . Mostre que E 0 é um conjunto fechado.
15. Seja M um espaço métrico, E ⊂ M . Seja F ⊂ M um subcojunto fechado tal que E ⊂ F . Mostre que E ⊂ M .
16. Seja M um espaço métrico, A, E ⊂ M . Mostre que se A é aberto, e A e E são disjuntos, então A ∩ E = ∅.
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